Wiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes

Transcriptie

1 Wiskunde D vwo Lineaire algebra Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 9 november 205 Harm Houwing en John Romkes

2 Vwo D Lineaire algebra Harm Houwing John Romkes

3 Hoofdstuk 4

4 Onderwerpen Rekenen met matrices Stelsels vergelijkingen Kansen en matrices Determinanten Inverse matrices Toepassingen

5 Stelsels De temperatuur in een bepaalde plaats wordt vaak berekend met behulp van gegevens van weerstations. In de figuur hiernaast zie je de plaatsen A, B, C en D en de temperaturen die zijn gemeten in acht naburige weerstatons. We nemen aan dat de temperatuur in ieder punt het gemiddelde is van de temperaturen van de vier naastgelegen punten. Voor de temperatuur T A in A geldt dus T (0 T T 6). A 4 D B Bereken de temperatuur in A, B, C en D door een stelsel op te lossen. Rond af op één decimaal.

6 Uitwerking Bij de figuur horen de vergelijkingen Dit geeft de matrix De optie rref (TI) of Rref (Casio) geeft afgerond op één decimaal A C D Dus de temperaturen in A, B, C en D zijn respectievelijk 8,5 C, 8,8 C, 8,8 C, en 9,3 C. 4TA TB TD TA 4TB TC TB 4TC TD T T 4T , , , ,3

7 Hoofdstuk

8 Onderwerpen Geogebra Lineaire afbeeldingen Eigenwaarden en eigenvectoren Diagonaliseren Machtreeksen Differentievergelijkingen Toepassingen

9 GeoGebra () Onderzoek met GeoGebra a welke rotatie bij M 0 0 hoort b welke spiegeling bij M 0 0 hoort c welke draaivermenigvuldiging bij 2 2 M 2 2 hoort.

10 GeoGebra (2) 2 M 3 2 a Voer de matrix in, maak een schuifknop a waarvan de waarde varieert van 0 tot 0 met stapgrootte 0, en teken de lijn k: y ax. b Teken een punt A op k, het punt B = M A en de vectoren OA en OB. c Onderzoek voor welke waarden van a geldt dat OB op k ligt. d Voor de waarden van a die je bij vraag c hebt gevonden geldt OB OA. Geef voor elke waarde van a de bijbehorende.

11 GeoGebra (3) a Voer de matrix M in en teken een punt A en de vector v OA. b Een van de eigenwaarden van M is gelijk aan. Dit betekent dat origineel en beeld samenvallen. Welke eigenvectoren horen hierbij? 2 c Een van de eigenvectoren van M is v. Welke eigenwaarde van M hoort hierbij?

12 Lineaire afbeeldingen a Het punt A(3, 5) wordt ten opzichte van de oorsprong over 45 geroteerd en vermenigvuldigd met 2 2. Bereken de coördinaten van het beeld A. b Het punt B(4, ) wordt ten opzichte van de oorsprong over 30 geroteerd en vermenigvuldigd met 2. Bereken de coördinaten van het beeld B.

13 Uitwerking Vraag a wordt afgebeeld op en wordt afgebeeld op 0, 2, dus M Dit geeft M a, dus A ( 4, 6) Vraag b wordt afgebeeld op 3 en 0 wordt afgebeeld op 0, 3 dus M Dit geeft M b, dus B 4 3, 4 3., 3

14 Eigenwaarden De matrix M beeldt A(2, 3) op A (4, 6) en B( 2, 4) op B (, 2) af. Geef de eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren van M zonder M op te stellen. Om de eigenwaarden van een 2 2-matrix te berekenen moet een tweedegraadsvergelijking worden opgelost. Een 2 2-matrix heeft dus 0, of 2 eigenwaarden. Geef bij de volgende afbeeldingen aan of de bijbehorende matrix 0, of 2 eigenwaarden heeft. Licht steeds je antwoord toe. a Vermenigvuldiging met 3 ten opzichte van O. b Rotatie om O over 20. c Rotatie om O over 80. d Spiegeling in een lijn door O. e Vermenigvuldiging met 2 ten opzichte van de x-as en met 3 ten opzichte van de y-as.

15 Diagonaliseren De matrix M heeft de eigenwaarden en 2 5. Bijbehorende eigenvectoren zijn a Stel de matrix M op. b Bereken M n. v 2 3 en v

16 Uitwerking a P geeft P M b M n n n n n n n n n n n n n n n

17 Heel bijzonder Gegeven is de 2 2-matrix M met de eigenwaarden en 2 π. 2 π Bijbehorende eigenvectoren zijn v en v 2. 0 a Bereken M. b Bereken sin(m). c Bereken cos(m). d Onderzoek of geldt 2 2 sin ( M ) cos ( M ) I.

18 Uitwerking a Bereken M. P M 0 geeft P 0 2 π π 0 2 π 0 π π π 2 π 0 2 π

19 Uitwerking b Bereken sin(m). sin( M ) sin( 0 2 π) sin( π)

20 Uitwerking c Bereken cos(m). cos( M ) cos( 0 2 π) cos( π)

21 Uitwerking d Onderzoek of geldt 2 sin ( M ) 2 cos ( M ) 2 2 sin ( M ) cos ( M ) I Dus sin ( M ) cos ( M ) I

22 Conclusie Leerlingen maken kennis met kernbegrippen uit de lineaire algebra. Van intuïtief werken met GeoGebra naar rekenen en bewijzen. Wij verwachten dat de leerlingen hierdoor met een flinke voorsprong beginnen in het vervolgonderwijs.