2IV10 Instructie 3: Transformaties en viewing
|
|
- Fedde Wouters
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 2IV0 Instructie 3: Transformaties en viewing. Gegeven een vierkant met ribbe, waarvan de linkeronderhoek in de oorsprong ligt. α s O C B A a. Geef een transformatiematrix waarmee dit vierkant wordt getransformeerd naar een vierkant met ribbe s, geroteerd over een hoek α, waarvan de rechteronderhoek samenvalt met de rechterbovenhoek van het oorspronkelijke vierkant. Eerst transleren we de rechteronderhoek naar de oorsprong (T(-,0)), vervolgens schalen we (S(s,s)) en roteren we (R(-α)). Om consistent met het plaatje te blijven, moet over een negatieve hoek worden geroteerd. Tot besluit transleren we de rechteronderhoek (die nu in de oorsprong staat) naar de rechterboven hoek met T(,). Dit alles in globale coördinaten. De samengestelde matrix M volgt dus uit: M = T(,)R(-α)S(s,s)T(-,0). b. We beschouwen een iets algemenere variant. Geef een recept voor een transformatiematrix voor een geroteerd en geschaald eenheidsvierkant OABC, waarbij het nieuwe hoekpunt O, A, B of C samenvalt met een van de oorspronkelijke hoekpunten O, A, B of C. Definieer P(x) als P(O) =(0,0), P(A)=(,0), P(B)=(,) en P(C)=(0,), en noem het nieuwe hoekpunt Q en het oude hoekpunt Q. Bij het antwoord op a komen twee translaties voor. De translatie T(-,0) bepaalt om welk punt gedraaid wordt, de translatie T(,) bepaalt waar dit punt uiteindelijk terecht komt. Als we dit algemeen maken, dan komen we uit op M=T(P(Q)) R(-α)S(s,s)T(-P(Q )). 2. We bekijken 3D rotaties. a. Geef 3x3 rotatiematrices voor een rotatie Rx(α ) om de x-as en een rotatie Rz(α) om de z-as. 0 0 cosα R x( α) = 0 cosα sin α, en Rz ( α) = sin α sin α cosα 0 sin α cosα 0 0 0
2 b. Bereken (expliciet) de samengestelde rotatiematrix voor een rotatie over 90 graden (π/2 radialen) om de x-as gevolgd door een rotatie over 90 graden om de z-as R z ( 90) Rx(90) = = c. Wat is het effect van deze twee opvolgende rotaties? Licht uw antwoord toe. De x-as wordt afgebeeld op de y-as, de y-as op de z-as, en de z-as op de x-as. Met andere woorden, de assen worden gepermuteerd. Ook kun je het effect interpreteren als een rotatie om de vector (,,) over een hoek van 2π/3. d. Krijgen we hetzelfde effect als we de volgorde van roteren omdraaien? Nee. Matrix-vermenigvuldiging is niet commutatief. Als we het uitrekenen, dan krijgen we R x( 90) Rz (90) = = en inderdaad, het effect is dramatisch anders. De x-as wordt afgebeeld op de z-as, de y-as op de negatieve x-as, en de z-as op de negatieve y-as. 3. We beschouwen een vervormde kubus. In de oorspronkelijke toestand wordt deze gegeven door 0 <= x,y,z <=. Na de vervorming geldt dat: - het ondervlak (in het XOY-vlak) op zijn plaats blijft; - het bovenvlak horizontaal blijft, maar wel verschuift: het punt (0,0,) wordt verplaatst naar (a, b, c) ; - alle ribben recht en alle vlakken vlak blijven. a. Geef een transformatiematrix voor deze vervorming. De oorsprong blijft op zijn plaats. Er vindt dus geen translatie plaats. Verder, ook de x-as (, 0, 0) en y-as (0,, 0) veranderen niet na transformatie. Echter, voor de z-as (0, 0, ) geldt dat de nieuwe richting (a, b, c) is. Met behulp hiervan kunnen we nu de transformatie-matrix in een keer opschrijven: 0 a 0 0 b 0 M = 0 0 c Controleer dat als we de punten (0, 0, 0, ), (, 0, 0, ), (0,, 0, ) en (0, 0,, 0) vermenigvuldigen met M (x = Mx, x en x kolomvectoren) we inderdaad het gewenste resultaat krijgen. 4. Gegeven een digitale landkaart. Gewenst is om een stukje van deze kaart in een viewport op het scherm af te beelden. In het midden van de viewport moet het punt C (in kaartcoördinaten) worden afgebeeld, de breedte van het af te beelden stuk is w (in kaartcoördinaten). Uiteraard mag er geen vervorming optreden. De viewport wordt 2
3 opgegeven in pixels. Voor de pixelcoördinaten geldt dat de oorsprong (het punt (0,0)) linksboven ligt en het punt (Nx-, Ny-) rechtsonder. De linkerbovenhoek van de viewport heeft coördinaten (Xmi, Ymi), de rechteronderhoek (Xma, Yma). a. Geef een transformatie om punt Q in kaartcoördinaten om te zetten in een punt Q in pixelcoördinaten. We bepalen eerst de hoogte h van het window, door te eisen dat de aspect-ratio van window en viewport hetzelfde zijn: h Yma Ymi Yma Ymi = dus h = w. w Xma Xmi Xma Xmi Hiermee kunnen we de linkeronderhoek P van het window bepalen: P = C (w/2, h/2). Het punt P verschuiven we naar de oorsprong (T(-P)). Vervolgens schalen we de breedte naar (S(/w,/w)) en deze schalen we naar de breedte van de viewport (S(Xma-Xmi, Xma-Xmi)). We gebruiken voor de x en y dezelfde schaalfactor, om geen vervorming te introduceren. Om de y-as de goede kant op te laten staan, spiegelen we om de horizontale as (S(, -)). Tot besluit transleren we de oorsprong naar de linkeronderhoek van de viewport (T(Xmi, Yma)). Bij elkaar geeft dit, met de schalingen gecombineerd: M = T(Xmi, Yma)S((Xma-Xmi)/w, -(Xma-Xmi)/w)T(-P). b. Een gebruiker wijst een punt R (pixelcoördinaten) aan. Geef een transformatie om het bijbehorende punt R in kaartcoördinaten te bepalen. Deze transformatie is de inverse van M. R =MR, dus R= M - R. We kunnen de inverse bepalen door een algemene routine op de matrix M los te laten, maar ook kunnen we hem afleiden uit de formule. Er moet gelden dat MM - = I. Dit bereiken we door M rechts te vermenigvuldigen met een reeks transformaties die de transformaties van M van rechts naar links opheffen. We vinden zo: M - = T(P)S(w/(Xma-Xmi), -w/(xma-xmi))t(-xmi, -Yma). 5. Gegeven een 3D scene, die wordt bekeken met een virtuele camera. De camera heeft positie P, staat gericht in de richting W, en lijnen in de richting van een vector V komen verticaal in beeld. Aangenomen mag worden dat V en W eenheidsvectoren zijn en loodrecht op elkaar staan. Bij de volgende vragen wordt gevraagd om het effect van de camerabeweging op P, V en W. a. Geef recepten om de camera voor- en achteruit, omhoog en omlaag, en naar links en rechts te bewegen. We definieren een extra hulpvector U=W V. We hebben nu een compleet assenstelsel voor onze virtuele camera: U staat naar rechts, V omhoog, en W loodrecht het scherm in. Hiermee kunnen we de gewenste operaties uitvoeren. Dit zou ook kunnen met algemene transformatie-routines, maar hier is het net zo handig om het rechtstreeks te doen. Als de verplaatsing a is, dan krijgen we Voor- en achteruit: Omhoog en omlaag: Rechts/links: P = P ± aw; P = P ± av; P = P ± au; 3
4 De vectoren V en W veranderen niet, het gaat hier om translaties. b. Geef recepten voor het roteren van de camera: pitch (links/rechts), yaw (naar onder/boven), roll (rotatie om middelpunt beeld). Hier veranderen de vectoren V en W, en blijft P hetzelfde. Ook dit zou weer met algemene transformatie-routines kunnen worden gedaan, maar rechtstreeks is handiger. Twee orthonormale 3D vectoren X en Y kunnen we roteren via: procedure RotVecs(X, Y: T3Dvector; var X, Y : T3Dvector; α: real); begin X = cos α X + sin α Y ; Y = sin α X + cos α Y end; Hiermee kunnen we de gevraagde rotaties opschrijven als: pitch: yaw: roll: RotVecs(U, W, U, W, α); // rotatie om V RotVecs(V, W, V, W, α); // rotatie om U RotVecs(U, V, U, V, α); // rotatie om W c. Stel dat de camera gecentreerd is om een punt C. Geef weer recepten voor rotatie, waarbij de camera op dit punt gecentreerd blijft. Het antwoord voor b geeft de gevraagde nieuwe oriëntatie van de vectoren. De nieuwe positie van P kunnen we bepalen door gebruik te maken van de betekenis van de vectoren. De vector W staat in de richting van P naar C, en na het draaien van de camera willen we dat W in de richting van P naar C staat. De vector W weten we al, en die kunnen we gebruiken om P te bepalen: P = C W P C. Ofwel, de nieuwe positie van de camera vinden we door vanuit C in de richting van W te gaan over dezelfde afstand P C als in de oorspronkelijke situatie. Voor de liefhebber: 6. We gaan uit van opgave 3, waarbij we keken naar het afbeelden van een digitale kaart. Stel dat een gebruiker de kaart heeft gecentreerd op een punt C (bijvoorbeeld Eindhoven) met een breedte w (0 km). Vervolgens geeft hij op dat hij de kaart wil centreren op een punt C (Amsterdam) met een breedte w (20 km). Gewenst is een animatie C(t), w(t), zodat een vloeiende overgang wordt getoond. a. Wat zou je als eisen formuleren? We zouden bijvoorbeeld willen dat (a) de animatie continu is (geen schoksgewijze bewegingen), dat (b) de hoeveelheid beweging op het scherm constant is en dat (c) de animatie efficiënt is van C naar C in de kortste tijd. b. Hoe zou je zo n animatie kunnen definieren? 4
5 We zouden eerst kunnen uitzoomen, vervolgens de camera transleren, en daarna weer inzoomen. Om bij het uitzoomen een constante verandering te krijgen, veranderen we w steeds met een constante factor: w(t+ t) = f w(t), met f>, totdat w(t) = w MAX. Als we deze differentievergelijking omzetten naar een differentiaalvergelijking (dw/dt=fw) en die oplossen, dan krijgen we w(t)=exp(ft). Voor w MAX gebruiken we α C-C, zodat de maximale uitzoomfactor afhankelijk is van de afstand tussen C en C. Lineair veranderen van w (w(t+ t) = w(t) + w) geeft geen constante verandering: Bij w=0km heeft een verandering van km veel meer effect dan bij w=00km. De translatie kan wel lineair gebeuren: C(t+ t ) = C(t) + s(c-c ). Bij het inzoomen gebruiken we een factor /f. Tot besluit stellen we de factoren α, s en f experimenteel in, zodat op het oog een prettige animatie ontstaat. Deze oplossing kan worden verbeterd. Bij de overgang van zoomen naar translatie treedt een schok(je) op, en het is ook niet de meest efficiënte route. Mooier is om tegelijkertijd de camera te verplaatsen en in- of uit te zoomen, onze virtuele camera moet een soort boog over de kaart heen beschrijven. Het is niet eenvoudig om te bepalen hoe dit te doen. Voor een complete uitwerking, zie: Wijk, J.J. van, Wim A.A. Nuij. Smooth and Efficient Zooming and Panning. In: T. Munzner, S. North (eds.), Proceedings IEEE Symposium on Information Visualization (InfoVis'2003), IEEE Computer Society Press, October 2003, p ( 5
2IV10 Oefentoets uitwerking
2IV10 Oefentoets uitwerking Deze oefentoets bestaat uit drie opgaven, waarvoor twee uur beschikbaar is. Bij voldoende resultaat wordt een bonuspunt toegekend voor het tentamen. De opgaven betreffen een
Nadere informatieWiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes
Wiskunde D vwo Lineaire algebra Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 9 november 205 Harm Houwing en John Romkes Vwo D Lineaire algebra Harm Houwing John Romkes Hoofdstuk 4 Onderwerpen Rekenen
Nadere informatie2IV10 Oefentoets 2010
2IV10 Oefentoets 2010 Deze oefentoets bestaat uit drie opgaven. Bij voldoe resultaat wordt een bonuspunt toegek voor het tentamen. In alle gevallen geldt: LICHT UW ANTWOORD TOE. Gebruik waar nodig schetsen
Nadere informatieIntroductie Lineaire Algebra Voor Computer Graphics
Introductie Lineaire Algebra Voor Computer Graphics John Val th October Inleiding In deze cursus staat tekenen op het computerscherm en animaties van die tekeningen centraal. We willen bereiken dat je
Nadere informatiex cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α
Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)
Nadere informatieTentamen 2IV10 Computergrafiek
Tentamen IV0 Computergrafiek april 0, 4:00-7:00 uur Dit tentamen bestaat uit vier vragen met in totaal 6 deelvragen. Elke deelvraag eegt even zaar. In alle gevallen geldt: LICHT UW ANTWOORD TOE. Gebruik
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieTentamen 2IV10 Computergrafiek
Tentamen IV Computergrafiek 8 augustus 8, 4:-7: uur Dit tentamen bestaat uit vier vragen met in totaal 5 deelvragen. Elke deelvraag weegt even zwaar. In alle gevallen geldt: LICHT UW ANTWOORD TOE. Gebruik
Nadere informatieTrillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude
Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast
Nadere informatieIN2905-I Computer Graphics 18 juni 2008, uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Afdeling Mediamatica IN95-I Computer Graphics 8 juni 8, 4. - 7. uur. Dit is een tentamen met 3 meerkeuzevragen Het aantal
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor
Nadere informatie11.0 Voorkennis V
11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix
Nadere informatieHOOFDSTUK 2 TRANSFORMATIES
HOOFDSTUK 2 TRANSFORMATIES Verschuiven, roteren, spiegelen, vergroten/verkleinen zijn manieren om bij een figuur een 'beeldfiguur' te bepalen. Deze manieren noem je 'transformaties'. 2.1 LIJNSPIEGELING
Nadere informatieNieuwe invoercellen voeg je toe door de cursor tussen twee cellen in te zetten, en invoer in te tikken.
Technische Universiteit Eindhoven, 2007 Complexe getallen Mathematica In een invoercel kun je Mathematica commando's invullen. Door op Shift + Enter te drukken laat je Mathematica de berekening uitvoeren.
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper
Nadere informatieBIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing
1 ste jaar Bachelor BIOMEDISCHE WETENSCHAPPEN Academiejaar 006-007 BIOFYSICA: Toets I.4. Dynamica: Oplossing 1 Opgave 1 Een blokje met massa 0, kg heeft onder aan een vlakke helling een snelheid van 7,
Nadere informatieDe grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.
Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband tussen
Nadere informatieCTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 6 27 februari 2014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we de rest van hoofdstuk 1.8 en 1.9 Voor de pauze: hoofdstuk 1.8 Na de pauze: hoofdstuk 1.9 2 Transformatie
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen HAVO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 0 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor
Nadere informatie8.1 Rekenen met complexe getallen [1]
8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn
Nadere informatieCorrecties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A.
Wiskunde voor het hoger onderwijs deel A Errata 00 Noordhoff Uitgevers Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Hoofdstuk. 4 Op blz. in het Theorieboek staat halverwege de
Nadere informatieDe grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.
2. Verbanden Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband
Nadere informatie0. voorkennis. Periodieke verbanden. Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen
0. voorkennis Periodieke verbanden Bijzonder rechthoekige driehoeken en goniometrische verhoudingen Er zijn twee verschillende tekendriehoeken: de 45-45 -90 driehoek en de 30-0 -90 -driehoek. Kenmerken
Nadere informatieTransformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1
Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 500765005 Haags Montessori Lyceum (c) 06 Inleiding In de leerroute transformaties van grafieken gaat het om de karakteristieke eigenschappen
Nadere informatie6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1]
6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] De eenheidscirkel heeft een middelpunt O(0,0) en straal 1. De draaiingshoek van P is α overstaande rechthoekzijde sin schuine zijde PQ yp sin yp OP 1 aanliggende rechthoekzijde
Nadere informatie7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden
7.0 Voorkennis Bij bepaalde aantallen graden hebben de sinus, cosinus en tangens een exacte oplossing. In deze gevallen moet je de exacte oplossing geven: hoek 30 45 60 sinus cosinus 2 tangens 3 3 3 2
Nadere informatieAppendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt
Bijlage bij Inversie Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt In dee paragraaf gaan we op een andere manier kijken naar inversie. We doen dat met behulp van de complexe getallen. We veronderstellen
Nadere informatie16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i
16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen
IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 15 Oplossingen IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 1/1 Oefening 1 Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag zonder score, wel
Nadere informatieOrigami Meetkunde. Peter Lombaers en Jan-Willem Tel 26 mei 2011
Origami Meetkunde Peter Lombaers en Jan-Willem Tel 26 mei 2011 Samenvatting In dit dictaat beschouwen we een manier om hoeken en afstanden te construeren: origami. We vergelijken het met het construeren
Nadere informatieVoorbeeldopgaven Meetkunde voor B
Voorbeeldopgaven Meetkunde voor B Hoofdstuk 2: Opgave 2 1 Gegeven zijn de vlakken U : x + y + z = 0 en V : x y + az = 0 waarbij a een parameter is. a) Bereken de cosinus van de hoek tussen de twee vlakken
Nadere informatieWerkblad Cabri Jr. Rotaties
Werkblad Cabri Jr. Rotaties Doel Het onderzoeken van de eigenschappen van een rotatie in het platte vlak, in het bijzonder de relatie tussen origineel en beeld. Inleiding Een rotatie is één van de vier
Nadere informatiehttp://www.webdesign.org/web/photoshop/drawing-techniques/create-an-awesome-musicposter.16299.html
http://www.webdesign.org/web/photoshop/drawing-techniques/create-an-awesome-musicposter.16299.html Muziek poster maken Stap 1 Nieuw document 600 X 900 px : vul achtergrond met de kleur = # 53157F. Stap
Nadere informatieTransformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 2. Willem van Ravenstein Haags Montessori Lyceum (c) 2016
Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 50075005 Haags Montessori Lyceum (c) 0 Inleiding In deze leerroute gaan we kijken naar goniometrische functies: De eenheidscirkel
Nadere informatiete vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector
Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product
Nadere informatieVierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1
Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en
Nadere informatieOpgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.
3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord
Nadere informatieBoldriehoeken op een wereldkaart. 1. Op zoek naar de kortste afstand
Boldriehoeken op een wereldkaart 1. Op zoek naar de kortste afstand Een boldriehoek op een wereldbol kun je je makkelijk inbeelden. Je kiest drie steden, en op het aardoppervlak en je verbindt ze met drie
Nadere informatiePrincipe van Stereovisie
Principe van Stereovisie Linda Tessens, IPI, TELIN oktober 2005 1 Pinhole Cameramodel We benaderen een reële camera door het pinhole model. Hierbij wordt een punt P in de ruimte geprojecteerd door de pinhole
Nadere informatieMorenaments Ornamenten met symmetrie. Werkblad vooraf met begeleidende tekst en oplossingen
Morenaments Ornamenten met symmetrie Fien Aelter, Liesje Knaepen en Kristien Vanhuyse, studenten SLO wiskunde KU Leuven Werkblad vooraf met begeleidende tekst en oplossingen Dit werklad is een voorbereiding
Nadere informatieSamenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van
Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur
Nadere informatieEindopdracht Wiskunde en Cultuur 2-4: Geostationaire satellieten Door: Yoeri Groffen en Mohamed El Majoudi Datum: 20 juni 2011
Eindopdracht Wiskunde en Cultuur 2-4: Geostationaire satellieten Door: Yoeri Groffen en Mohamed El Majoudi Datum: 20 juni 2011 1 Voorwoord Satellieten zijn er in vele soorten en maten. Zo heb je bijvoorbeeld
Nadere informatieCabri werkblad Lineaire transformaties met Cabri
Cabri werkblad Lineaire transformaties met Cabri Doel Introductie tot lineaire transformaties in het platte vlak op basis van matrices, met gebruikmaking van het programma Cabri Geometry II (of Plus).
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2013: algemene feedback
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 6 september 203 - reeks - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 203: algemene feedback In totaal namen 245 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VW 08 tijdvak maandag 4 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat
Nadere informatieUNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2009
MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 009 VK : WISKUNE TUM : VRIJG 0 JULI 009 TIJ : 09.45.45 UUR ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Nadere informatiewiskunde B pilot havo 2016-I
De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt ( 1, 1 ) 3p 1 Stel een vergelijking op van c. De punten B( 3, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) 2 2 C liggen op c. Punt Q is het midden van
Nadere informatie4. Determinanten en eigenwaarden
4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:
Nadere informatieStatica(WB/MT) college 4 Moment, uitprodukt. Guido Janssen
Statica(WB/MT) college 4 Moment, uitprodukt Guido Janssen G.c.a.m.janssen@tudelft.nl Toets 3, vraag 9 Toets 3 vraag 9 F AC max =1500N F AB max =1250N + å F = 0 x + åf y = 0 æ 3 F AB cos45 - F AC ç ö è
Nadere informatie5. Werken met afbeeldingen
103 5. Werken met afbeeldingen Foto s en tekeningen worden ook wel afbeeldingen genoemd. Afbeeldingen maken een website niet alleen mooier. Ze zijn ook belangrijk om duidelijk te maken wat je precies bedoelt.
Nadere informatie2 Inproduct. Verkennen. Uitleg
2 Inproduct Verkennen Inproduct Inleiding Verkennen Het begrip arbeid komt uit de natuurkunde. Bekijk de applet zorgvuldig. Als je de rode stippellijn laat samenvallen met de beweging van A naar B dan
Nadere informatieExamen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,
Nadere informatieExamen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen)
Examen havo wiskunde B 06-I (oefenexamen) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt (, ) p Stel een vergelijking op van c. De punten B(, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) C liggen
Nadere informatieUITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra en Lineaire Analyse (Y550/Y530), op donderdag 5 november 00, 9:00 :00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.
Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieWerk met de applet. Bedenk steeds welke parameter a, b, c en/of d je moet aanpassen. Experimenteer tot je de regelmaat kunt formuleren!
5 Transformaties Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-b Functies en grafieken Transformaties Inleiding Verkennen Werk met de applet. Bedenk steeds welke parameter a, b, c en/of
Nadere informatie1. Vectoren in R n. y-as
1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale
Nadere informatie6. Goniometrische functies.
Uitwerkingen R-vragen hodstuk 6 6. Goniometrische functies. R1 Wat heeft een cirkelomwenteling te maken met een sinus cosinus? ls een punt met constante snelheid een cirkelbeweging uitvoert en je zet hoogte
Nadere informatieRotaties in de ruimte, de ruimte van rotaties
Rotaties in de ruimte, de ruimte van rotaties Roland van der Veen (UvA) Dit is een hands-on inleiding in de wiskunde achter rotaties. De bedoeling is om aan hand van opgaven en puzzels zelf aan de slag
Nadere informatieBruno Ernst Symposium
Bruno Ernst Symposium Betegelingen en behanggroepen symmetrie in wiskundige termen Jeanine Daems Universiteit Leiden Voorbeelden van symmetrische figuren: wat is symmetrie in de wiskunde? symmetrie
Nadere informatieAan de gang. Wiskunde B-dag 2015, vrijdag 13 november, 9:00u-16:00u
Aan de gang Wiskunde B-dag 2015, vrijdag 13 november, 9:00u-16:00u Verkenning 1 (Piano) Je moet een zware piano verschuiven door een 1 meter brede gang met een rechte hoek er in. In de figuur hierboven
Nadere informatieEindexamen wiskunde B havo 2011 - I
Overlevingstijd Als iemand in koud water terecht komt, daalt zijn lichaamstemperatuur. Als de lichaamstemperatuur is gedaald tot 30 ºC ontstaat een levensbedreigende situatie. De tijd die verstrijkt tussen
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieUitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieHandig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde
Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Erratum Meetkunde Je vindt hier de correcties voor Handig met getallen 4 (ISBN: 978 94 90681 005). Deze correcties zijn ook bedoeld voor het Rekenwerkboek
Nadere informatieInhoud. Inleiding computer graphics. Introductie 11. Leerkern 14. Terugkoppeling 57. Uitwerking van de opgaven 57
Inhoud Inleiding computer graphics Introductie 11 Leerkern 14 1 Invoer en opslag van 3D objecten 14 2 Ray tracing 18 2.1 Basisprincipe van ray tracing 18 2.2 Secundaire stralen 20 2.3 Intersectieberekeningen
Nadere informatieFuncties. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm
Functies Verdieping 6N-p 01-014 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x)
Nadere informatieHoofdstuk 2: Grafieken en formules
Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde
Nadere informatieParameterkrommen met Cabri Geometry
Parameterkrommen met Cabri Geometry 1. Inleiding Indien twee functies f en g gegeven zijn die afhangen van eenzelfde variabele (noem deze t), dan kunnen de functiewaarden daarvan gebruikt worden als x-
Nadere informatie10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
10.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan
Nadere informatie3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]
3.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5-3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 3 = -15 Voorbeeld 4: -5 3 9 2
Nadere informatie2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een
Nadere informatieV Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R. IV.0 Inleiding
V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R IV.0 Inleiding V. Homogene kwadratische vormen Een vorm als H (, ) = 5 4 + 8 heet een homogene kwadratische vorm naar de twee variabelen en. Een vorm als K (,
Nadere informatieFracdes is een programma dat op een vrij eenvoudige manier toelaat figuren te construeren zoals de Kock-kromme en de Sierpinski-driehoek.
Appendix C: Fracdes Fracdes is een programma dat op een vrij eenvoudige manier toelaat figuren te construeren zoals de Kock-kromme en de Sierpinski-driehoek. Het programma omvat twee delen: de Familie
Nadere informatieCabri werkblad Lineaire transformaties met Cabri
Cabri werkblad Lineaire transformaties met Cabri Doel Introductie tot lineaire transformaties in het platte vlak op basis van matrices, met gebruikmaking van het programma Cabri Geometry II (of Plus).
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot 2013-I
Eindeamen vwo wiskunde pilot 03-I Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin
Nadere informatieJe moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Functies en grafieken. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
7 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Functies en grafieken. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: functie invoerwaarde
Nadere informatie1. Nieuw document openen: 600 x 600 pix, RGB, 300 dpi, Transparante achtergrond.
http://www.dwphotoshop.com/photoshop/dragon_wing_jewelry.php Draak met Vleugels Juweel Deel 1: De Vleugels 1. Nieuw document openen: 600 x 600 pix, RGB, 300 dpi, Transparante achtergrond. 2. Nieuwe laag,
Nadere informatieTentamen 2IV10 Computergrafiek
Tentamen IV Computergrafiek 9 juni 8, 9:-: uur Dit tentamen bestaat uit vier vragen met in totaal deelvragen. Elke deelvraag weegt even zwaar. In alle gevallen geldt: LICHT UW ANTWOORD TOE. Gebruik waar
Nadere informatieBij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten.
Theorie lineair verband Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten. In het dagelijks leven wordt vaak gebruik gemaakt van
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 11 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 11 23 oktober 2017 35 De sterrennacht Vincent van Gogh, 1889 1 2 3 4 5 Verband met de stelling van n 1 VA intro ection 16.7 Definitie Equation
Nadere informatieOpdracht 1 bladzijde 8
Opdrachten Opdracht bladzijde 8 Uit een stuk karton met lengte 45 cm en breedte 8 cm knip je in de vier hoeken vierkantjes af met zijde cm. Zo verkrijg je een open doos. 8 cm 45 cm Hoe groot is het volume
Nadere informatie( ) Hoofdstuk 4 Verloop van functies. 4.1 De grafiek van ( ) 4.1.1 Spiegelen t.o.v. de x-as, y-as en de oorsprong
Hoofdstuk 4 Verloop van functies Met DERIVE is het mogelijk om tal van eigenschappen van functies experimenteel te ontdekken. In een eerste paragraaf onderzoeken we het verband tussen de grafieken van
Nadere informatieMagidoku s en verborgen symmetrieën
Uitwerking Puzzel 92-6 Magidoku s en verborgen symmetrieën Wobien Doyer Lieke de Rooij Een Latijns vierkant van orde n, is een vierkante matrix, gevuld met n verschillende symbolen waarvan elk precies
Nadere informatiePoolcoördinaten (kort)
Poolcoördinaten (kort) WISNET-HBO update juli 2013 Carthesiaanse coördinaten In het algemeen gebruiken we voor de plaatsbepaling in het platte vlak de gewone (Carthesiaanse) coördinaten voor, in een rechthoekig
Nadere informatieWISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 4 juni 2010. Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine
EUROPEES BACCALAUREAAT 2010 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 4 juni 2010 DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (240 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische
Nadere informatieJe moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 donderdag 24 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen HAVO 202 tijdvak donderdag 24 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 82 punten te behalen. Voor
Nadere informatieExamen havo wiskunde B 2016-I (pilot)
Eamen havo wiskunde B 2016-I (pilot) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt ( 1, 1 ) 3p 1 Stel een vergelijking op van c. De punten B( 3, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) 2 2
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.
Nadere informatie8.0 Voorkennis. a De pijlen van O(0, 0) naar A(4, 2) en van A(4, 2) naar B(2, 3) zijn vectoren.
8.0 Voorkennis De pijlen van O(0, 0) naar A(4, 2) en van A(4, 2) naar B(2, 3) zijn vectoren. 4 OA a 2 en AB 2 1 Het bovenste kengetal geeft aan hoeveel de vector naar links of rechts gaat. Het onderste
Nadere informatieNoorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database
Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet
Nadere informatie