Het mysterie der fixpunten Wiskundige Basistechniek

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Het mysterie der fixpunten Wiskundige Basistechniek"

Transcriptie

1 Het mysterie der fixpunten Wiskundige Basistechniek 1 (Speciaal-) Orthogonale Matrix 1.1 Orthogonale Matrix Een orthogonale matrix A is een reële, vierkante matrix waarvoor geldt: A.A T = A T.A = I (met I de eenheidsmatrix). Een bijkomende eigenschap van een orthogonale matrix A is dat haar determinant steeds gelijk moet zijn aan +1 of -1. Dus: A.A T = A T.A = I A is orthogonaal (nodige en voldoende voorwaarde) A is orthogonaal Determinant van A is +1 of -1 (nodige voorwaarde) Er geldt dus NIET altijd: Determinant van A is +1 of -1 A is orthogonaal 1.2 Speciaal-Orthogonale Matrix Niet-Speciaal-Orthogonale Matrix - Een speciaal-orthogonale matrix B is een orthogonale matrix, waarvan de determinant steeds gelijk is aan +1. Met zo een matrix B komt steeds een rotatie overeen (dit is de meetkundige betekenis van de matrix B). Deze rotatie kan gebeuren rond zowel een rechte als een punt. (zie verder) - Een niet-speciaal-orthogonale matrix C is een orthogonale matrix, waarvan de determinant steeds gelijk is aan -1. Met zo een matrix C komt ofwel een spiegeling, ofwel de combinatie van een spiegeling en een rotatie overeen (dit is de meetkundige betekenis van de matrix C). De spiegeling kan gebeuren rond een vlak of een punt. (zie verder) speciaal-orthogonale matrix B niet-speciaal-orthogonale matrix C - orthogonale matrix - orthogonale matrix - determinant = +1 - determinant = -1 - rotatie - spiegeling/combinatie van spiegeling & rotatie - rond rechte of punt - rond vlak of punt 1

2 2 Vlak van fixpunten Rechte van fixpunten Eén fixpunt 2.1 Algemeen (Vanaf dit punt wordt enkel nog verdergewerkt met 3x3-matrices. ) Een fixpunt is een punt dat onder de actie van een matrix T op zichzelf afgebeeld wordt. Er geldt dus: T.x = x (met x een punt) Om in de praktijk naar fixpunten te zoeken, is het makkelijker om voorgaande uitdrukking om te vormen: T.x = x T.x x = 0 (T-I).x = 0 (met I de eenheidsmatrix) Dit stelsel is makkelijk op te lossen met de rij-echelonmethode. Verder: - Wanneer de matrix T-I rang 3 heeft, hebben we te maken met één fixpunt. (De rij-echelonmethode geeft ons juist één oplossing = punt.) - Wanneer de matrix T-I rang 2 heeft, hebben we te maken met een rechte van fixpunten. (De rij-echelonmethode geeft ons oneindig veel oplossingen in één dimensie = rechte.) - Wanneer de matrix T-I rang 1 heeft, hebben we te maken met een vlak van fixpunten. (De rij-echelonmethode geeft ons oneindig veel oplossingen in twee dimensies = vlak.) 2.2 Bij Speciaal-Orthogonale Matrix Bij een speciaal-orthogonale matrix hebben we te maken met een rotatie rond een rechte of punt. Dit wil zeggen dat, wanneer we hierbij naar fixpunten gaan zoeken, we enkel een rechte van fixpunten zullen vinden (Determinant A-I = 0), ofwel juist één fixpunt (Determinant A-I 0). Verklaring: (1) Wanneer bij een rotatie rond een rechte r een punt P geroteerd wordt, zal dit punt P sowieso van plaats veranderen (dus niet op zichzelf afgebeeld worden), tenzij dit punt P op de rotatierechte r ligt (dan zal het punt P niet van plaats veranderen). We kunnen dus concluderen dat de rotatierechte hier overeenkomt met de rechte van fixpunten. 2

3 (2) Wanneer bij een rotatie rond een punt R een punt P geroteerd wordt, zal dit punt P sowieso van plaats veranderen (dus niet op zichzelf afgebeeld worden), tenzij dit punt P overeenkomt met het punt R (dan zal het punt P niet van plaats veranderen). We kunnen dus concluderen dat het rotatiepunt hier overeenkomt met het gevonden fixpunt (juist één). 2.3 Bij Niet-Speciaal-Orthogonale Matrix Bij een niet-speciaal-orthogonale matrix hebben we te maken met een spiegeling rond een vlak of punt, OF dit kan een combinatie zijn van een spiegeling en een rotatie. Dit wil zeggen dat, wanneer we hierbij naar fixpunten gaan zoeken, we een vlak van fixpunten (Determinant A-I = 0), ofwel juist één fixpunt (Determinant A-I 0), ofwel geen fixpunten (Determinant A-I = 0) zullen vinden. Verklaring: (1) Wanneer bij een spiegeling rond een vlak α een punt P gespiegeld wordt, zal dit punt P sowieso van plaats veranderen (dus niet op zichzelf afgebeeld worden), tenzij dit punt P op het rotatievlak α ligt (dan zal het punt P niet van plaats veranderen). We kunnen dus concluderen dat het spiegelvlak hier overeenkomt met het vlak der fixpunten. (2) Wanneer bij een spiegeling rond een punt R een punt P gespiegeld wordt, zal dit punt P sowieso van plaats veranderen (dus niet op zichzelf afgebeeld worden), tenzij dit punt P overeenkomt met het punt R (dan zal het punt P niet van plaats veranderen). We kunnen dus concluderen dat het rotatiepunt hier overeenkomt het gevonden fixpunt (juist één). (3) Wanneer we te maken hebben met een combinatie van een spiegeling en een rotatie, zal dit punt P sowieso van plaats veranderen veranderen (dus niet op zichzelf afgebeeld worden). We kunnen dus concluderen dat we hier geen fixpunt zullen vinden. Wanneer dus Determinant A-I = 0 (dit is bij (1) en (3) het geval) zullen we expliciet het stelsel gevonden in 2.1 moeten oplossen om te weten te komen met welk van de twee gevallen (vlak van fixpunten/ geen fixpunt) we te maken hebben. 3 Fixrechten Fixvlakken 3.1 Algemeen - Een fixrechte s is een rechte die onder de actie van een matrix T op zichzelf afgebeeld wordt. (Dit wil dus NIET zeggen dat elk punt van de fixrechte s op zichzelf afgebeeld moet worden.) 3

4 - Een fixvlak β is een vlak dat onder de actie van een matrix T op zichzelf afgebeeld wordt. (Dit wil dus NIET zeggen dat elk punt van het fixvlak β op zichzelf afgebeeld moet worden.) Wanneer we kijken naar de definitie van een fixrechte/fixvlak, kunnen we concluderen dat elke rechte van fixpunten een fixrechte is (de rechte wordt op zichzelf afgebeeld omdat alle punten van de rechte op zichzelf afgebeeld worden), en dat elk vlak van fixpunten een fixvlak is (het vlak wordt op zichzelf afgebeeld omdat alle punten van het vlak op zichzelf afgebeeld worden). Opgelet: deze redenering geldt niet omgekeerd (niet elke fixrechte is een rechte der fixpunten), namelijk: Het is niet omdat een rechte op zichzelf afgebeeld wordt, dat elk punt van die rechte op zichzelf afgebeeld wordt. Praktisch voorbeeld: Wanneer elk punt van een rechte afgebeeld wordt op het punt 1 centimeter links van het oorspronkelijke punt, zal de rechte op zichzelf afgebeeld worden (= fixrechte), MAAR niet alle punten van de rechte zijn afgebeeld op zichzelf ( rechte der fixpunten). Analoog geldt hetzelfde voor fixvlakken vlakken der fixpunten. Samenvattend: Rechte der fixpunten fixrechte (NIET altijd omgekeerd) Vlak van fixpunten fixvlak (NIET altijd omgekeerd) 3.2 Bij Speciaal-Orthogonale Matrix - Loodrecht op een rechte van fixpunten staan oneindig veel fixvlakken. Dit is meetkundig ook heel makkelijk te begrijpen: aangezien je een vlak gaat draaien rond een loodrechte rotatie-as, gaat dit vlak gewoon hetzelfde vlak blijven. - Door een fixpunt gaan oneindig veel fixvlakken. Dit is meetkundig ook heel makkelijk te begrijpen: aangezien je een vlak dat door het rotatiepunt gaat draait rond dit rotatiepunt, gaat dit vlak gewoon hetzelfde vlak blijven. 3.3 Bij Niet-Speciaal-Orthogonale Matrix - Loodrecht op een vlak van fixpunten staan oneindig veel fixvlakken en fixrechten. Dit is meetkundig ook heel makkelijk te begrijpen: aangezien je een vlak/rechte gaat spiegelen rond een loodrechte spiegelas, gaat dit vlak/deze rechte gewoon hetzelfde vlak/dezelfde rechte blijven. 4

5 - Door een fixpunt gaan oneindig veel fixvlakken en fixrechten. Dit is meetkundig ook heel makkelijk te begrijpen: aangezien je een vlak/rechte dat door het spiegelpunt gaat, spiegelt rond dit spiegelpunt, gaat dit vlak/deze rechte gewoon hetzelfde vlak/dezelfde rechte blijven. 4 Conclusie Dit bestand is louter als hulp bedoeld, aangezien ik zelf enorm veel problemen had met dit onderwerp. Het kan fouten bevatten, maar normaal gezien zal het meerendeel van deze informatie kloppen. Moesten er toch vragen/opmerkingen zijn of verbeteringen aangebracht moeten worden: driesvanderlinden@hotmail.be 5

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

Wiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes

Wiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes Wiskunde D vwo Lineaire algebra Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 9 november 205 Harm Houwing en John Romkes Vwo D Lineaire algebra Harm Houwing John Romkes Hoofdstuk 4 Onderwerpen Rekenen

Nadere informatie

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

Supplement Wiskunde 2017/2018. Inhoudsopgave

Supplement Wiskunde 2017/2018. Inhoudsopgave Inhoudsopgave Hoofdstuk 1: Missende stof in de verslagen... 2 Hoofdstuk 2: Overbodige stof in de verslagen... 7 Hoofdstuk 3: Fouten in de verslagen... 8 Tentamen halen? www.rekenmaarverslagen.nl 1 Hoofdstuk

Nadere informatie

Meetkunde en lineaire algebra

Meetkunde en lineaire algebra Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x

Nadere informatie

Magidoku s en verborgen symmetrieën

Magidoku s en verborgen symmetrieën Uitwerking Puzzel 92-6 Magidoku s en verborgen symmetrieën Wobien Doyer Lieke de Rooij Een Latijns vierkant van orde n, is een vierkante matrix, gevuld met n verschillende symbolen waarvan elk precies

Nadere informatie

11.0 Voorkennis V

11.0 Voorkennis V 11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix

Nadere informatie

Morenaments Ornamenten met symmetrie. Werkblad vooraf met begeleidende tekst en oplossingen

Morenaments Ornamenten met symmetrie. Werkblad vooraf met begeleidende tekst en oplossingen Morenaments Ornamenten met symmetrie Fien Aelter, Liesje Knaepen en Kristien Vanhuyse, studenten SLO wiskunde KU Leuven Werkblad vooraf met begeleidende tekst en oplossingen Dit werklad is een voorbereiding

Nadere informatie

(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen!

(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen! Examen Wiskundige Basistechniek, reeks A 12 oktober 2013, 13:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven;

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30) Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015 Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op maandag juni Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen. De

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

Kwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.

Kwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat. 1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:

Nadere informatie

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten. WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de

Nadere informatie

EXAMENVRAGEN RUIMTEMEETKUNDE I (niet-analytische meetkunde)

EXAMENVRAGEN RUIMTEMEETKUNDE I (niet-analytische meetkunde) EXAMENVRAGEN RUIMTEMEETKUNDE I (niet-analytische meetkunde). (4 p) Geef drie verschillende mogelijkheden waardoor in de driedimensionale ruimte een rechte bepaald is? 2. (6 p) Wanneer zijn de snijlijnen

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor

Nadere informatie

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:

Nadere informatie

Examenvragen eerste zittijd academiejaar Vraag 1 (op 6 punten) Gegeven:

Examenvragen eerste zittijd academiejaar Vraag 1 (op 6 punten) Gegeven: Examenvragen eerste zittijd academiejaar 2010-2011 Vraag 1 (op 6 punten) de vectorruimte V = {A R 3 3 tr(a) = 0 en a 12 = a 21, a 13 = a 32, a 23 = a 31 }; de afbeelding T : V V, A A T A. (1) Toon aan

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode

Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode 2008-2009 Door rotatie van de rechte r die bepaald wordt door de punten P(3, 1, 2) en Q(1, 1, 2) omheen de rechte s die gaat door het punt

Nadere informatie

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS LOTHAR PAPULA. deel 2. 2e druk ACADEMIC 5 E R V I C

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS LOTHAR PAPULA. deel 2. 2e druk ACADEMIC 5 E R V I C WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS deel 2 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC 5 E R V I C Inhoud 1 Lineaire algebra 1 1.1 Vectoren I 1.2 Matrices 4 1.2.1 Een inleidend voorbeeld 4 1.2.2 Definitie

Nadere informatie

Lineaire algebra en kegelsneden. Cursus voor de vrije ruimte

Lineaire algebra en kegelsneden. Cursus voor de vrije ruimte Lineaire algebra en kegelsneden Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk Reële vectorruimten. De reële vectorruimte van de reële n-tallen Definitie Een reëel

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax

Nadere informatie

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het

Nadere informatie

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van

Nadere informatie

Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode

Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode 2008-2009 Een rechte conoïde met als richtrechte de X-as, en als richtoppervlak de sfeer met middelpunt in (0, 16, 0) en straal 9. (1) Stel

Nadere informatie

(2) Stel een parametervoorstelling op van de doorsnijdingskromme van sfeer en cilinder in de voorkeurpositie.

(2) Stel een parametervoorstelling op van de doorsnijdingskromme van sfeer en cilinder in de voorkeurpositie. Vraag op 5 punten de sfeer met middelpunt in,, 4 en straal 6; de omwentelingscilinder met straal 6 en als as de rechte door,, met richtingsvector,, Bepaal een affiene transformatie of een coördinatentransformatie,

Nadere informatie

Symmetrische matrices

Symmetrische matrices Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 12 juni 2009, 9.00 Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen.

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00 Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.

Nadere informatie

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Als Ax λx voor zekere x in R n met x 0, dan is λ een eigenwaarde van A en x een eigenvector van A behorende bij λ. Een eigenvector is op een multiplicatieve constante

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen

Nadere informatie

Taalbeleid in wiskunde Transformaties van het vlak

Taalbeleid in wiskunde Transformaties van het vlak Taalbeleid in wiskunde Transformaties van het vlak Leerplan: Doelgroep: Beginsituatie: Wiskunde 1 ste graad A-stroom 2 de leerjaar A De leerlingen hebben alle transformaties van het vlak (spiegeling, puntspiegeling,

Nadere informatie

Voorbeeld theorie examen

Voorbeeld theorie examen Vooreeld theorie examen Het schriftelijk examen over de theorie en de oefeningen heeft plaats op 27 juni van 8u3 t/m 13u. 1 uur en 3 minuten zijn voorzien voor het theorie examen. De vragen zijn gericht

Nadere informatie

Determinanten. Definities en eigenschappen

Determinanten. Definities en eigenschappen Determinanten Definities en eigenschappen Definities (korte herhaling) Determinant van een 2x2-matrix: a b ad bc c d S. Mettepenningen Determinanten 2 Definities (korte herhaling) Determinant van een 3x3-matrix:

Nadere informatie

Examen Meetkunde, 1ste bach ir wet Academiejaar , tweede examenperiode

Examen Meetkunde, 1ste bach ir wet Academiejaar , tweede examenperiode Examen Meetkunde, 1ste bach ir wet Academiejaar 2006 2007, tweede examenperiode Vraag 1 De doorsnijdingskromme C van de volgende twee oppervlakken: het omwentelingskegeloppervlak K met de Z-as als omwentelingsas

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

6. Lineaire operatoren

6. Lineaire operatoren 6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn

Nadere informatie

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 1 11 februari 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra 2

Tentamen Lineaire Algebra 2 Lineaire algebra (NP010B) januari 013 Tentamen Lineaire Algebra Vermeld op ieder blad je naam en studentnummer. Lees eerst de opgaven voordat je aan de slag gaat. Schrijf leesbaar en geef uitleg over je

Nadere informatie

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =

Nadere informatie

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. . Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn

Nadere informatie

Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011

Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011 Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011 vraag 1: Gegeven is het complex getal ω = exp(i π 5 ). vraag 1.1: Als we in het complexe vlak het punt P met cartesiaanse coördinaten (x, y) vereenzelvigen

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A. TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0

Nadere informatie

AANVULLINGEN WISKUNDE MET (BEDRIJFS)ECONOMISCHE TOEPASSINGEN: OEFENINGEN

AANVULLINGEN WISKUNDE MET (BEDRIJFS)ECONOMISCHE TOEPASSINGEN: OEFENINGEN AANVULLINGEN WISKUNDE MET (BEDRIJFS)ECONOMISCHE TOEPASSINGEN: OEFENINGEN Hieronder volgt een korte beschrijving van de vragen van het oefeningengedeelte met antwoord. We geven ook kort weer wat regelmatig

Nadere informatie

3. Stelsels van vergelijkingen

3. Stelsels van vergelijkingen . Stelsels van vergelijkingen We gaan de theorie van de voorgaande hoofdstukken toepassen op stelsels van lineaire vergelijkingen. Een voorbeeld: bepaal alle oplossingen (x,, ) van het stelsel vergelijkingen

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

b + b c + c d + d a + a

b + b c + c d + d a + a Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan

Nadere informatie

12 Bewijzen in de vlakke meetkunde

12 Bewijzen in de vlakke meetkunde ewijzen in de vlakke meetkunde bladzijde 54 a ' b Gegeven: e gelijkzijdige driehoek met zijn omgeschreven cirkel. unt ligt op de kortste boog en ligt op het verlengde van zo, dat =. riehoek is gelijkzijdig.

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................

Nadere informatie

Eliminatie van parameters en substitutie met computeralgebra

Eliminatie van parameters en substitutie met computeralgebra Eliminatie van parameters en substitutie met computeralgebra Guido Herweyers, KHBO Campus Oostende Dirk Janssens, K.U.Leuven 1. Inleiding Uitgaande van parametervergelijkingen van rechten en vlakken illustreren

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters

Nadere informatie

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra 4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra Positieve en niet-negatieve matrices komen veel voor binnen de stochastiek (zoals de PageRank matrix) en de mathematische fysica: temperatuur, dichtheid,

Nadere informatie

Platonische lichamen en andere reguliere polytopen

Platonische lichamen en andere reguliere polytopen Platonische lichamen en andere reguliere polytopen Bernd Souvignier Voorjaar 005 Inhoud De platonische lichamen. Reguliere veelhoeken.......................... Reguliere veelvlakken.........................

Nadere informatie

3. Structuren in de taal

3. Structuren in de taal 3. Structuren in de taal In dit hoofdstuk behandelen we de belangrijkst econtrolestructuren die in de algoritmiek gebruikt worden. Dit zijn o.a. de opeenvolging, selectie en lussen (herhaling). Vóór we

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

HOOFDSTUK 2 TRANSFORMATIES

HOOFDSTUK 2 TRANSFORMATIES HOOFDSTUK 2 TRANSFORMATIES Verschuiven, roteren, spiegelen, vergroten/verkleinen zijn manieren om bij een figuur een 'beeldfiguur' te bepalen. Deze manieren noem je 'transformaties'. 2.1 LIJNSPIEGELING

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith

Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith Scoop februari 2003 Scoop vult de gaten Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith De wiskundigen onder jullie zal de naam waarschijnlijk

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n en matrices 1 2 Lineaire stelsels 11 21 Formulering en interpretatie

Nadere informatie

1 Symmetrieën van figuren

1 Symmetrieën van figuren 1 Symmetrieën van figuren 1.1 Het mysterie van de hoge eik Als je door een met water gevulde reageerbuis heen de woorden DIE HOHE EICHE FÄLLT LANGSAM UM leest, waarbij de eerste drie woorden rood en de

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n 1 2 Lineaire combinaties 2 3 Matrices 7 31 Het begrip matrix 7 32 Som

Nadere informatie

Vectormeetkunde in R 3

Vectormeetkunde in R 3 Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets) Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar

Nadere informatie

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Ruimtemeetkunde deel 1

Ruimtemeetkunde deel 1 Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie