A = b c. (b) Bereken de oppervlakte van het parallellogram dat opgespannen wordt door b en c. Voor welke p is deze oppervlakte minimaal?

Transcriptie

1 Oplossing Tussentijdse toets Wiskunde II Vraag Zij A de matrix met kolomvectoren met p een vast reëel getal A = a b c a =, b =, c = p a Voor welke p R zijn de vectoren lineair afhankelijk? b Bereken de oppervlakte van het parallellogram dat opgespannen wordt door b en c Voor welke p is deze oppervlakte minimaal? c Geef alle oplossingen x = x y z T van A x = A T x+ waarin A T de getransponeerde matrix is Antwoord: a De drie vectoren zijn lineair afhankelijk als en slechts als det a b c = De determinant is gelijk aan p en dus zijn de vectoren lineair afhankelijk voor p = 3 b De oppervlakte van het parallellogram dat opgespannen wordt door b en c wordt gegeven door b c We berekenen het vectorproduct p b c = p De oppervlakte is dan gelijk aan b c = p +p + = p 6p+3 Om deze oppervlakte te minimaliseren moeten we fp = p 6p+3 minimaliseren We zien dat f p = p 6 en dit is nul voor p = 8 De grafiek van f is een dalparabool en bijgevolg wordt in p = 8 een minimum bereikt De minimale oppervlakte is f 8 = 96 = 3

2 c Het stelsel uit onderdeel c kunnen we ook schrijven als A A T x = We berekenen A A T en we zien dat we het volgende stelsel moeten oplossen Met behulp van rijoperaties herleiden we dit stelsel tot /3 /3 Alle oplossingen worden dan gegeven door λ x = λ met λ R 3 3 λ

3 Vraag Beschouw een model voor de populatie van twee soorten virussen X en Y Het aanwezige aantal van soort X na n weken geven we aan met x n en dat van soort Y met y n We nemen aan dat de populaties zich ontwikkelen volgens de vergelijkingen Hierin is q R een constante x n+ = x n +qy n en y n+ = x n +y n a Schrijf de vergelijkingen in matrix-vectorvorm en bereken de determinant en de eigenwaarden van de optredende matrix als functie van q b Voor welke waarden van q R treedt exponentiële groei op en voor welke waarden sterven de populaties uit? c Voor welke q is er een evenwichtspopulatie? Bereken de evenwichtspopulatie als a = en b = Antwoord: a We kunnen de vergelijking als volgt schrijven in matrixvorm xn+ y n+ De determinant wordt gegeven door xn q = y n q det = q Vervolgens berekenen we de eigenwaarden We stellen de karakteristieke veelterm gelijk aan λ q λ = λ 9 λ+ q = Dit heeft als oplossingen λ = 9+ +q en λ = 9 +q b Om te onderzoeken wanneer de populaties uitsterven moeten we op zoek naar de waarden van q waarbij λ < en λ < We maken hierbij onderscheid tussen waarden van q waarvoor de eigenwaarden reëel zijn en waarden van q waarvoor de eigenwaarden niet reëel zijn Vanwege de vierkantswortel +q in de formule voor λ en λ treedt de overgang tussen deze twee gevallen op bij q = 3

4 Geval q λ > en In dit geval zijn de eigenwaarden reëel Het is eenvoudig in te zien dat λ = 9 +q 9+ +q = λ Als dus λ < dan volgt zeker λ < en het is dus voldoende om alleen λ te onderzoeken Als functie van q is λ een strikt stijgende functie De vergelijking λ = heeft q = als oplossing Dus λ < geldt voor indien we in het eerste geval zitten q [,[ Geval q < Als q < dan is +q < en dan zijn λ en λ niet reëel Ze zijn dan elkaars complex toegevoegde met dezelfde absolute waarde λ = λ = 9±i q = 9 + q Dit is kleiner dan als en slechts als 9 q <, hetgeen neerkomt op q < 8+ = ofwel q > Dus λ = λ < geldt voor q ], ] Als we de twee gevallen combineren vinden we dat λ < en λ < geldt voor q ],[ In dat geval sterft de populatie uit Als q > dan is λ > en dan treedt exponentiële groei op Als q < dan geldt λ = λ > en treedt ook exponentiële groei op Als q = dan is λ = en λ = < Dan is er een evenwichtspopulatie Alsq = dangeldt λ = λ =, maarisgeeneigenwaarde Erisdaneenoscillerend gedrag maar geen evenwichtspopulatie NB Als q < dan zal het voorkomen dat x n en y n negatief worden voor zekere n In dat geval is het model voor de populatie van virussen in feite niet relevant c Als q =, dan is λ = en λ = We bepalen eigenvectoren bij deze eigenwaarden Een eigenvector bij λ = is v = Een eigenvector bij λ = is v =

5 Om de evenwichtspopulatie te berekenen moeten we x schrijven als lineaire combinatie van de twee eigenvectoren We gaan dus op zoek naar c en c zodat = c +c Dit leidt tot een stelsel lineaire vergelijkingen voor c en c met als oplossing c = c = De oplossing van het populatiemodel is dan c λ n v +c λ n v = Voor n gaat dit naar de evenwichtspopulatie c v = + n

6 Vraag 3 niet voor geografie a Bereken de Maclaurinreeks van de functie fx = ln+x Wat is de convergentiestraal van deze Maclaurinreeks? b Bereken de Fourierreeks van de π -periodieke functie g die op [ π,π] gegeven wordt door x gx = cos Antwoord: a Om de Maclaurinreeks op te stellen van f gebruiken we de gekende Maclaurinreeks van ln+x k+ ln+x = x k, x < k k= We vervangen hierin x door x en we vinden ln+x = k+ x k = k k= k+ k k= = x x x6 6 x8 + De Maclaurinreeks voor ln + x convergentiestraal en is bijgevolg convergent voor x < We mogen x vervangen door x als x <, hetgeen betekent dat x < De convergentiestraal van de Maclaurinreeks voor fx is gelijk aan b De Fourierreeks van een π-periodieke functie g is met a n = π gx = a + a n cosnx+b n sinnx n= πgxcosnxdx en b n = π π k x k gxsinnxdx De functie g uit de opgave is een even functie Hierdoor volgt dat b n = en a n = π We berekenen nu a en a n met n N Er geldt a = π gxcosnxdx x cos dx = π 6

7 en voor n N waarbij we gebruik maken van de formule van Simpson voor een product van twee goniometrische functies a n = x cos cosnxdx π = +n n cos x +cos x dx π = [ +n π +n sin x + ] π n n sin x = [ +n π +n sin π + ] n n sin π = [ π +n sin π +nπ + ] n sin π nπ Voor een geheel getal k Z geldt dat sin π +kπ = { als k even is als k oneven is Als n even is dan geldt dus dat sin π +nπ = sin π nπ = en a n = π +n + n = π n Als n oneven is dan geldt sin π +nπ = sin π nπ = en a n = π +n n = π De twee gevallen kunnen we samennemen door a n = n π De Fourierreeks wordt uiteindelijk n n als n N als n even is als n oneven is gx = π + π n= n n cosnx 7