2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE 2

Transcriptie

1 2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE 2 Inleverdatum 30 maart 207, uiterlijk :5 uur Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je mag de theorie gebruiken die op het college of in het boek is behandeld. Je moet het huiswerk op het college inleveren. Handgeschreven (mits goed leesbaar) en getypt mag alletwee. Geef exacte antwoorden, geen decimalen (bijvoorbeeld 4/3 en geen, 333, 2 en geen, 44). Zet je naam en studentnummer duidelijk leesbaar op het huiswerk. x 2 + y 2 + : R2 R. Schets de niveaukrom- Opgave. Gegeven is de functie f(x, y) = { men N c (f) = (x, y) R 2 : voor c >? } x 2 + y 2 + = c voor c =, 2, 3. Zijn er niveaukrommen Opgave 2. Bepaal de partiële afgeleiden, van de volgende functies f. Bepaal ook voor elke functie f het raakvlak aan de grafiek van f in (, 0, f(, 0)). a) f(x, y) = sin(xy) + x; b) f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ). Opgave 3. Bereken van de volgende functies f de partiële afgeleiden,, 2 f, 2, 2 f en laat zien dat 2 f 2 = 2 f : a) sin(x 2 + y); b) ln(x 2 y 2 + ). Opgave 4. Gegeven is de functie f(x, y) = x 3 2xy + y 2., a) Laat zien dat (0, 0), ( 2, 2 ) de stationaire punten zijn van f. 3 3 b) Bepaal voor elk van deze stationaire punten of f daarin een maximum of minimum aanneemt of dat dit stationaire punt een zadelpunt is. Ga in het geval van een maximum of minimum na of dat die absoluut of relatief is. Opgave 5. Bepaal getallen x, y, z zodat x 0, y 0, z 0, 6x + 8y + z = en zodat xyz maximaal is.

2 2 VOORBEELDEN. Gegeven is de functie f(x, y) = (x 2 + y 2 ) 2 : R 2 R. Hoe zien de niveaukrommen eruit? Oplossing. Merk op dat f(x, y) 0 voor alle x, y en f(x, y) = 0 (x, y) = (0, 0). Dus N 0 (f) = {(0, 0)}, N c (f) = voor c < 0, met andere woorden, voor c < 0 is er geen niveaukromme. Voor c > 0 geldt N c (f) = {(x, y) R 2 : f(x, y) = c} = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 = c /2 }. In het algemeen is x 2 + y 2 = r 2 de vergelijking van een cirkel met straal r. Dus N c (f) is een cirkel met straal (c /2 ) /2 = c /4. 2. Gegeven is de functie f(x, y) = (x + y) 2 + sin y. Bepaal de partiële afgeleiden van f. Bepaal ook de vergelijking van het raakvlak aan de grafiek van f in (, 0, f(, 0)). Oplossing. Door naar x te differentiëren en y constant te houden vinden we = 2(x + y), en door naar y te differentiëren en x constant te houden, = 2(x + y) + cos y. De vergelijking van het raakvlak aan de grafiek van f(x, y) in (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) wordt gegeven door z = f(x 0, y 0 ) + (x 0, y 0 ) (x x 0 ) + (x 0, y 0 ) (y y 0 ). In ons geval hebben we (x 0, y 0 ) = (, 0) en f(, 0) = + sin 0 =, (, 0) = 2( + 0) = 2, (, 0) = 2( + 0) + cos 0 = 2 + = 3. De vergelijking van het raakvlak in (, 0, f(, 0)) wordt dus z = + 2(x ) + 3(y 0) = + 2(x ) + 3y. Op een tentamen hoef je dit niet verder uit te werken.

3 3 3. Gegeven is de functie f(x, y) = x 3 + 3y 2 3xy. Bepaal de stationaire punten van f en ga voor elk van die punten na of f daarin een maximum of minimum aanneemt of dat dit punt een zadelpunt is. In geval van een maximum of minimum, is dat absoluut of relatief? Oplossing. De partiële afgeleiden van f zijn = 3x2 3y, = 6y 3x. We moeten het stelsel = 0, = 0 oplossen. Uit de tweede vergelijking volgt x = 2y. Invullen in de eerste vergelijking geeft 2y 2 3y = 0, ofwel 3y(4y ) = 0. Dit geeft y = 0 of y =. Samen met x = 2y geeft dit de stationaire punten (0, 0), (, ) De tweede orde partiële partiële afgeleiden van f worden gegeven door 2 = 6x, Voor het punt (0, 0) vinden we = 2 f = 3, 2 = 6 A = 2 f (0, 0) = 0, B = 2 f 2 (0, 0) = 3, C = 2 f (0, 0) = 6, 2 H = AC B 2 = 9 < 0. Dus (0, 0) is een zadelpunt van f. Voor het punt (, ) vinden we 2 4 A = 3 > 0, B = 3, C = 6, H = AC B 2 = 9 > 0. Dus f neemt in (, ) een minimum aan. Dit minimum is relatief, want 2 4 lim f(x, y) = lim x x x3 =. y=0 4. Zelfde vragen als boven voor f(x, y) = x 3 + y 3 3xy. Oplossing. De partiële afgeleiden van f zijn = 3x2 3y, Het stelsel vergelijkingen = 0, = 3y2 3x. = 0 kunnen we omwerken tot het stelsel x 2 = y, y 2 = x. Door deze vergelijkingen te combineren krijgen we x = y 2 = x 4, dus x 4 x = 0 ofwel x(x 3 ) = 0. Dit geeft x = 0 of x =, en dus de stationaire punten (0, 0), (, ). De tweede orde partiële partiële afgeleiden van f worden gegeven door 2 = 6x, = 2 f = 3, 2 = 6y.

4 4 Voor het punt (0, 0) vinden we Dus (0, 0) is een zadelpunt van f. Voor het punt (, ) vinden we A = 0, B = 3, C = 0, H = AC B 2 = 9 < 0. A = 6 > 0, B = 3, C = 6, H = AC B 2 = 9 > 0. Dus f neemt in (, ) een minimum aan. Dit minimum is relatief, want lim f(x, y) = lim x x x3 =. y=0 5. Bepaal getallen x, y, z 0 met x 2 + y 2 + z 2 = en xyz 2 maximaal. Oplossing. Substitueer z 2 = x 2 y 2 in xyz 2. Dit betekent dat we het absolute maximum moeten bepalen van f(x, y) = xy( x 2 y 2 ) = xy x 3 y xy 3 op het gebied D met x 0, y 0, x 2 y 2 0 ofwel D = {(x, y) R 2 : x 0, y 0, x 2 + y 2 }. Het gebied D is een kwart cirkelschijf. De rand van D bestaat uit de x-as van x = 0 tot x =, de kwart cirkelboog van (, 0) naar (0, ), en de y-as van y = 0 tot y =. Merk op dat f(x, y) 0 voor (x, y) D, en dat f(x, y) = 0 op de rand van D. Dus het absolute maximum van f(x, y) op D wordt zeker niet op de rand aangenomen. Bijgevolg wordt dit absolute maximum aangenomen in een stationair punt in D dat niet op de rand ligt. De partiële afgeleiden van f zijn = y 3x2 y y 3 = y( 3x 2 y 2 ), fy = x x 3 3xy 2 = x( x 2 3y 2 ) Zoals gezegd zoeken we naar stationaire punten in D die niet op de rand van D liggen. Dit betekent dat we alleen de stationaire punten van f hoeven te bepalen met x > 0, y > 0, x 2 + y 2 <. Blijft over 3x 2 + y 2 =, x 2 + 3y 2 =. Elimineer y door 3 de eerste vergelijking te nemen en daar de tweede van af te trekken, dat wil zeggen 3(3x 2 + y 2 ) (x 2 + 3y 2 ) = 2, ofwel 8x 2 = 2, x = 2. Dit geeft als stationair punt (, ). 2 2 We weten dat f op D een absoluut maximum moet aannemen en dat dat in een stationair punt is. Er is maar een stationair punt van f in D, namelijk (, ), en daarin neemt f dus 2 2

5 5 zijn absolute maximum aan. We hoeven dit niet meer na te gaan door A, B, C, H uit te rekenen. We zien dat xyz 2 maximaal is voor x =, y =, z = =