Vectormeetkunde in R 3

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Vectormeetkunde in R 3"

Transcriptie

1 Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie : P Q (het pijltje van P naar Q). Een pijltje vanuit de oorsprong O heet een vector : plaatsvector van het punt A. OA = a. Deze vector heet wel de Elk pijltje AB is equivalent met of verschuivingsgelijk aan precies één vector, namelijk het pijltje vanuit de oorsprong O met dezelfde lengte en dezelfde richting als het pijltje AB. Stelling. Als a = a a a b b b twee vectoren in R zijn, dan geldt : dist (a, b) = a b = (a b ) + (a b ) + (a b ) heet de afstand van a en b. Dit is de lengte van de vector a b. Opmerking. We gebruiken hier de notatie v uit Lay voor de lengte of norm van de vector v. Een vector met lengte of norm wordt wel een eenheidsvector genoemd. Bewijs. Dit is vrij eenvoudig aan te tonen met behulp van de stelling van Pythagoras (zie : Stewart, pag. 78). We komen hier later nog op terug. Voorbeeld. De afstand tussen de punten P = (,, ) en Q = (,, ) is ( ) + ( ) + ( + ) = = 99 =. Alle punten op een bol in R hebben gelijke (constante) afstand tot het middelpunt van die bol. De vergelijking van een bol met middelpunt (a, b, c) en straal r kan dus geschreven worden als (x a) + (y b) + (z c) = r. Voorbeeld. De vergelijking van een bol met middelpunt (,, ) en straal is (x ) + (y + ) + z = oftewel x x + y + y + z =. Voorbeeld. De vergelijking x +y +z 6y+8z+6 = beschrijft een bol met middelpunt (,, ) en straal, want : x + y + z 6y + 8z + 6 = x + (y ) + (z + ) = 9.

2 Definitie. Als a = a a a b b b twee vectoren in R zijn, dan heet a b = a b + a b + a b het inwendig product van a en b. Analoog voor R : a b = a b + a b. Opmerking. genoemd. Het inwendig product wordt ook wel scalair product of kortweg inproduct Eigenschappen van het inwendig product zijn : Stelling. Als a, b en c vectoren in R (of R ) zijn, dan geldt :. a a = a. a (b + c) = a b + a c. a b = b a. (λa) b = λ(a b) = a (λb). Opmerking. Er geldt dus : a = a a = a + a + a. Nu volgt stelling wel heel eenvoudig. Stelling. Als a en b twee vectoren in R (of R ) zijn, dan geldt : a b = a b cos θ, waarbij θ de hoek is tussen de vectoren a en b (dus : θ π). Opmerking. Als a = o en/of b = o, dan geldt de formule voor iedere θ. In dat geval is de hoek tussen a en b niet gedefinieerd. Bewijs. Stel dat a de plaatsvector is van het punt A en b de plaatsvector van het punt B, dan bewijzen we deze stelling met behulp van de cosinusregel toegepast op driehoek OAB. Zie Stewart, pag. 797 en 798 en Lay, pag. 8. Er geldt : a b = a + b a b cos θ, waarbij θ de hoek is tussen a en b. Hieruit volgt nu : a b cos θ = a + b a b = a + a + a + b + b + b (a b ) (a b ) (a b ) = a b + a b + a b = (a b). Stelling. Twee vectoren a en b in R (of R ) zijn orthogonaal (staan loodrecht op elkaar) als ( a b a b = θ = π ).

3 Voorbeeld. Stel dat a = Vraag : Wat is de hoek θ tussen a en b? Er geldt : a b = + =, a = + + ( ) = 6 en b = + + =. Hieruit volgt : = 6 cos θ = cos θ = = π = θ = 6 (want : θ π). Voorbeeld. De vergelijking x x + x = beschrijft een vlak in R door O. Merk x x op dat x x + x = x De oplossingen x = x van de vergelijking x x x x + x = zijn dus alle vectoren in R die loodrecht staan op de vector Deze vector heet wel een normaalvector van het vlak bepaald door x x + x =. Voorbeeld 6. Stel dat a = Vraag : Bepaal alle vectoren x die loodrecht staan op zowel a als b. x Stel x = x x, dan volgt : = x a = x + x en = x b = x + x x. We zoeken dus alle oplossingen van het homogene stelsel ( ) ( { x + x = x + x x =. ) ( ). De oplossingen zijn dus : x = x x = x x is vrij = x = x x x x x x = x Voorbeeld 7. Stel dat a = 7 Vraag : Voor welke waarde(n) van h zijn a en b orthogonaal (staan loodrecht op elkaar)? h

4 Er geldt : a b a b = + 7h = h =. Stelling. Als ( a en b) twee vectoren in R (of R ) zijn zodat {a, b} lineair onafhankelijk is, a b dan is de vector b de (orthogonale) projectie van a langs b. b b Bewijs. Stel dat λb de (orthogonale) projectie van a langs b is, dan geldt : a λb b oftewel (a λb) b =. Hieruit volgt dat (a b) λ(b b) =. Aangezien b o volgt hieruit dat λ = a b b b. Voorbeeld 8. De (orthogonale) projectie van a = ( ) a b b = b b ( ) + b = langs b = = is Definitie. Als a = a a a het uitwendig product van a en b. Opmerking. Als i =, j = b b b a b = twee vectoren in R zijn, dan heet a b a b a b a b a b a b en k =, dan geldt : a b = a b a b i a b a b j + a b a b k. Het uitwendig product van twee vectoren in R is dus weer een vector in R. Het uitwendig product wordt daarom ook wel vectorproduct genoemd. Dit in tegenstelling tot het inwendig product dat een getal is en daarom ook wel scalair product genoemd wordt. Voorbeeld 9. Er geldt dus : i j = k, j k = i, k i = j, j i = k, k j = i en i k = j.

5 Voorbeeld. Er geldt dus : en Stelling 6. Als a en b twee vectoren in R zijn, dan geldt :. a (a b) = en b (a b) =. a b = a b sin θ, waarbij θ de hoek is tussen de vectoren a en b. Bewijs. We bewijzen dit door alles met behulp van de definitie uit te schrijven. Zie Stewart, pag. 8 en 86. We vinden dan : a a b a b a (a b) = a a a b a b a b a b = a (a b a b ) + a (a b a b ) + a (a b a b ) Evenzo bewijst men dat b (a b) =. Verder geldt : = a a b a a b + a a b a a b + a a b a a b =. a b = (a b a b ) + (a b a b ) + (a b a b ) = (a + a + a )(b + b + b ) (a b + a b + a b ) = a b (a b) = a b ( a b cos θ) = a b ( cos θ) = a b sin θ. Hieruit volgt dat a b = a b sin θ aangezien sin θ is omdat θ π. Opmerking. De eerste uitspraak toont aan dat het uitwendig product van a en b loodrecht staat op zowel a als b. De tweede uitspraak toont aan dat de lengte van de vector a b gelijk is aan de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door de vectoren a en b. Zie figuur op pag. 86 van Stewart. Dit laatste geeft de mogelijkheid om oppervlakteberekeningen in R te doen. Voorbeeld. Bepaal de oppervlakte van de driehoek P QR met hoekpunten P = (,, ), Q = (,, ) en R = (,, ).

6 Eerst verschuiven we driehoek P QR zodanig dat P in de oorsprong O terechtkomt. De pijltjes P Q en P R zijn equivalent met (of verschuivingsgelijk aan) de vectoren + + a =, respectievelijk. Nu volgt : a b = De oppervlakte van driehoek P QR is de helft van de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door de vectoren a en b, dus : 8 opp(p QR) = a b = + + = 6. Een gevolg van de vorige stelling is : Stelling 7. Als a en b twee vectoren in R zijn, dan geldt : a b = {a, b} is lineair afhankelijk. Als {a, b} lineair onafhankelijk is, dan is het uitwendig product de uniek bepaalde vector v die voldoet aan de volgende drie eigenschappen :. v a en v b. {a, b, v} is rechtsdraaiend of positief georiënteerd. v is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door a en b. {a, b, v} rechtsdraaiend of positief georiënteerd wil zeggen dat {a, b, v} voldoet aan de zogenaamde rechterhandregel of kurkentrekkerregel. Als je de vingers van je rechterhand draait van a naar b over een hoek θ met < θ < π, dan wijst de duim in de richting van v. Of als men een kurkentrekker in de oorsprong O plaatst loodrecht op het vlak door a en b en men draait deze van a naar b over een hoek θ met < θ < π, dan beweegt de kurkentrekker zich in de richting van v. Voorbeeld. Vergelijk met voorbeeld 6. Stel dat a = Vraag : Bepaal alle vectoren x die loodrecht staan op zowel a als b. Er geldt : a b = 6 +

7 Dus alle vectoren x loodrecht op zowel a als b zijn alle veelvouden van Tenslotte hebben we de volgende rekenregels : Stelling 8. Als a, b en c vectoren in R zijn en λ R, dan geldt :. b a = (a b). (a + b) c = a c + b c. (λa) b = λ(a b) = a (λb). a (b c) = (a b) c. a (b + c) = a b + a c 6. a (b c) = (a c)b (a b)c Opmerking. Het product a (b c) is een getal en wordt daarom ook wel een scalartripelproduct genoemd. Het product a (b c) daarentegen is weer een vector in R en heet daarom ook wel een vectortripelproduct. Het scalartripelproduct kan ook geschreven worden als een determinant van een ( )-matrix : a b c Als a = a a, b = b b en c = c c, dan geldt : a (b c) = a b c a b c a b c = a b c b c a b c b c + a b c b c. De meetkundige betekenis hiervan is : Stelling 9. Het volume of de inhoud van het parallellepipedum opgespannen door de vectoren a, b en c in R is gelijk aan a (b c). Bewijs. Zie hiervoor figuur op pag. 88 van Stewart. Het volume is gelijk aan de oppervlakte van het grondvlak maal de hoogte : V = A h = b c a cos θ = a (b c). Een gevolg hiervan is : Stelling. Als a, b en c vectoren in R zijn, dan geldt : a (b c) = {a, b, c} is lineair afhankelijk. 7

Meetkundige ongelijkheden Groep A

Meetkundige ongelijkheden Groep A Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor

Nadere informatie

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)

Nadere informatie

Lineaire Algebra A en B. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven

Lineaire Algebra A en B. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven Lineaire Algebra A en B Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2010 2011 ii Syllabus bij Lineaire Algebra A (2WF07) en Lineaire Algebra B (2WF08) Inhoudsopgave 0 Vectorrekening

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

1. Vectoren in R n. y-as

1. Vectoren in R n. y-as 1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Goniometrie, vlakke meetkunde en rekenen met vectoren in de fysica (versie 0 juli 008) Rekenen met vectoren is een basisvaardigheid voor vakken natuurkunde.

Nadere informatie

Analytische en andere soorten meetkunde van Mavo tot Maple. Utrecht, 9 januari 2016 Wintersymposium KWG Jeroen Spandaw j.g.spandaw@tudelft.

Analytische en andere soorten meetkunde van Mavo tot Maple. Utrecht, 9 januari 2016 Wintersymposium KWG Jeroen Spandaw j.g.spandaw@tudelft. Analytische en andere soorten meetkunde van Mavo tot Maple Utrecht, 9 januari 2016 Wintersymposium KWG Jeroen Spandaw j.g.spandaw@tudelft.nl Puzzel mavo 3 Puzzel mavo 3 Puzzel mavo 3 Veronderstel: zijde

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college en scalarelden in R Vandaag collegejaar college build slides : : : : 4-5 7 augustus 4 33 Coördinatenstelsels in R VA andaag Voorkennis Zelf bestuderen uit.,. en.3: ptellen en scalair ermeniguldigen

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008 Driehoeken Enkele speciale topics Arne Smeets Trainingsweekend Februari 2008 Trilineaire en barycentrische coördinaten Definitie van trilineaire coördinaten Beschouw (in het vlak) een driehoek ABC en een

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden 1 V 1 8 en 12 V 2 7 en 11 V 3 6 en 10 V 4 5 en 9 2 5040 opstellingen 3 De zijde is 37 4 α = 100 5 10, 2 liter 6 De volgorde is 2, 5, 3, 4, 1 7 30 euro 8 De straal

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Een korte beschrijving van de inhoud

Een korte beschrijving van de inhoud Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige toepassingen op

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

Stelling van Pythagoras

Stelling van Pythagoras 1 of 6 Stelling van Pythagoras Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie De stelling van Pythagoras is een wiskundige stelling die zijn naam dankt aan de Griekse wiskundige Pythagoras. 'Zijn' stelling was overigens

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 1 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 1 25 september 214 28 1 2 3 4 otatie Green De wet van Faraday 1 VA vandaag 4.5.6 ection 16.7 telling Vergeleijking (4.62) Theorem 6 Het

Nadere informatie

Antwoordmodel - Vlakke figuren

Antwoordmodel - Vlakke figuren Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: tweede ronde Welke van de volgende vergelijkingen heeft als oplossing precies alle gehele veelvouden van π? () sinx = 0 (B) cos x = 0 (C) sinx = 0 (D) cosx = 0 (E) sinx

Nadere informatie

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10 FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur

Nadere informatie

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar 25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar Samenstelling en lay-out: Daniël Tant Luc Gheysens Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. VWO 1 1986 Vraag 17 Een

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 6 van een vectorveld collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 6 22 september 214 51 1 2 3 4 5 Gradiënt van een vectorveld 1 VA vandaag Section 16.2 Hoofdstu 4 Definitie Een vectorveld

Nadere informatie

Wiskundige Technieken

Wiskundige Technieken 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 009-010 1ste semester 7 oktober 009 Wiskundige Technieken 1. Integreer de volgende differentiaalvergelijkingen: (a) y + 3x y = 3x (b) y + 3y + y = xe

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde Vlaamse Wiskunde lmpiade 2007-2008: tweede ronde 1 Jef mit cola met whisk in de verhouding 1 : In whisk zit 40% alcohol Wat is het alcoholpercentage van de mi? () 1, (B) 20 (C) 25 () 0 (E) 5 2 ver jaar

Nadere informatie

1 Coördinaten in het vlak

1 Coördinaten in het vlak Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

Integratie voor meerdere variabelen

Integratie voor meerdere variabelen Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie, 27/28 Les 4 Integratie voor meerdere variabelen In deze les bekijken we het omgekeerde van de afgeleide, de integratie, en gaan na hoe we een integraal voor functies

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 15 Oplossingen IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 1/1 Oefening 1 Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag zonder score, wel

Nadere informatie

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 4 juni 2010. Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 4 juni 2010. Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine EUROPEES BACCALAUREAAT 2010 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 4 juni 2010 DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (240 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische

Nadere informatie

INLEIDING TOT DE HOGERE WISKUNDE

INLEIDING TOT DE HOGERE WISKUNDE INLEIING TOT E HOGERE WISKUNE EEL 2: Analyse van reële functies van meerdere reële veranderlijken Arno KUIJLAARS Stefaan POETS epartement Wiskunde, Katholieke Universiteit Leuven, Celestijnenlaan 2 B,

Nadere informatie

Vectorrekening voor Wiskundige Technieken I & II 2015-16. dr. S. A. Wepster Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht

Vectorrekening voor Wiskundige Technieken I & II 2015-16. dr. S. A. Wepster Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Vectorrekening voor Wiskundige Technieken I & II 2015-16 dr. S. A. Wepster Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Inhoudsopgave Voorwoord 2 1 Vectoren en scalairen 3 1.1 Notatie.....................................

Nadere informatie

4. Determinanten en eigenwaarden

4. Determinanten en eigenwaarden 4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

Extra oefeningen: de cirkel

Extra oefeningen: de cirkel Extra oefeningen: de cirkel 1. Gegeven een cirkel met middelpunt M en straal r 5 cm en. De lengte van de raaklijnstukken PA PB uit een punt P aan deze cirkel bedraagt 1 cm. Bereken de afstand PM. () PAM

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur Eamen HAV 2015 1 tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken

Nadere informatie

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking

Nadere informatie

1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek.

1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek. Bij het uitrekenen van een lengte, een oppervlakte of een inhoud moet je altijd het volgende opschrijven: de formule - de tussenstap - het antwoord - de eenheid. 1. rechthoek. Kenmerken: alle hoeken zijn

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B 1 Analytische meetkunde Inhoud 1.1. Coördinaten in het vlak 1.2. Vergelijkingen van lijnen 1.3. Vergelijkingen van cirkels 1.4. Snijden 1.5. Overzicht In opdracht van: Commissie

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 009 tijdvak woensdag 4 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens 2 E ZITTING STAATSEXAMEN MULO 2007

UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens 2 E ZITTING STAATSEXAMEN MULO 2007 MINISTERIE VAN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXAMENUREAU UNIFORM HEREXAMEN MULO tevens E ZITTING STAATSEXAMEN MULO 007 VAK : WISKUNE ATUM : TIJ : ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2

Examen VWO. wiskunde B1,2 wiskunde B, Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.3 6.3 uur 6 Voor dit examen zijn maximaal 88 punten te behalen; het examen bestaat uit 9 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

6 - Geschiedenis van het getal Pi

6 - Geschiedenis van het getal Pi 6 - Geschiedenis van het getal Pi De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: F1 - Lees de hoofdstukken 1 t/m 4 en 9 uit het Zebra-boekje Pi. Maak uit de hoofdstukken 2 t/m 4

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B Analytische meetkunde Inhoud.. Coördinaten in het vlak.. Vergelijkingen van lijnen.3. Vergelijkingen van cirkels.4. Snijden.5. Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst Wiskunde

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: eerste ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: eerste ronde Hoeveel is 5 % van 5 % van? (A) 6 (C) 5 (D) 5 (E) 65 Wat is de ribbe van een kubus als zijn volume 5 is? (A) 5 5 (C) 5 (D) 5 (E) 5 De oplossingen van de

Nadere informatie

De wiskunde van de beeldherkenning

De wiskunde van de beeldherkenning De wiskunde van de beeldherkenning Op zoek naar wat er niet verandert! In het kader van: (Bij) de Faculteit Wiskunde en Informatica van de TU/e op bezoek c Faculteit Wiskunde en Informatica, TU/e Inhoudsopgave

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

De wortel uit min één. Jaap Top

De wortel uit min één. Jaap Top De wortel uit min één Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 20 maart 2007 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen

Nadere informatie

T.A. Horsmeier. Hoeken en kromming. In genormeerde ruimten zonder inprodukt. Bachelorscriptie, 25 augustus 2009

T.A. Horsmeier. Hoeken en kromming. In genormeerde ruimten zonder inprodukt. Bachelorscriptie, 25 augustus 2009 T.A. Horsmeier Hoeken en kromming In genormeerde ruimten zonder inprodukt Bachelorscriptie, 25 augustus 2009 Scriptiebegeleider: Dr. O.W. van Gaans Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave

Nadere informatie

1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie.

1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Inleiding Y y p o θ r X fig In fig worden er op twee verschillende manieren coördinaten gegeven aan het punt p Een eerste

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Henrik Bastijns en Joachim Nelis 22-4-2014

Henrik Bastijns en Joachim Nelis 22-4-2014 HEILIGE DRIEVULDIGHEIDSCOLLEGE Onderzoeksopdracht Stelling van Ptolemaeus Henrik Bastijns en Joachim Nelis 22-4-2014 Inhoudstafel Historische achtergrond Bewijs van de stelling van Ptolemaeus Toepassingen

Nadere informatie

Lijnen, vlakken, normaalvector, shading

Lijnen, vlakken, normaalvector, shading Lijnen, vlakken, normaalvector, shading Inproduct (dotproduct Parametervoorstelling en vergelijking Uitproduct (crossproduct Normaalvector Flat shading en Gouraud shading Opgaven /7 Februari, 05 Definitie

Nadere informatie

2 Inproduct. Verkennen. Uitleg

2 Inproduct. Verkennen. Uitleg 2 Inproduct Verkennen Inproduct Inleiding Verkennen Het begrip arbeid komt uit de natuurkunde. Bekijk de applet zorgvuldig. Als je de rode stippellijn laat samenvallen met de beweging van A naar B dan

Nadere informatie

Ijkingstoets 4 juli 2012

Ijkingstoets 4 juli 2012 Ijkingtoets 4 juli 2012 -vragenreeks 1 1 Ijkingstoets 4 juli 2012 Oefening 1 In de apotheek bezorgt de apotheker zijn assistent op verschillende tijdstippen van de dag een voorschrift voor een te bereiden

Nadere informatie

Meetkundige constructies Leerlingmateriaal

Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Nynke Koopmans Roeland Hiele Historical Aspects of Classroom Mathematics Universiteit Utrecht, juni 2013 Inleiding Inleiding Een meetkundige constructie is een

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

VERVOLGBOEK WISKUNDE. Jan van de Craats

VERVOLGBOEK WISKUNDE. Jan van de Craats VERVOLGBOEK WISKUNDE Jan van de Craats ISBN: 978-90-430-69-3 NUR: 3 Trefw: wiskunde, wiskundeonderwijs Dit is een uitgave van Pearson Education Benelux bv, Postbus 75598, 070 AN Amsterdam Website: www.pearsoneducation.nl

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2009 - I en benadering van een nulpunt Voor elke positieve startwaarde 0 is een rij 0,, 2, gegeven door de volgende recursievergelijking: n+ = 2 n +. n Deze recursievergelijking kunnen we ook schrijven als n+ =

Nadere informatie

Appendix: Zwaartepunten

Appendix: Zwaartepunten Appendi: Zwaartepunten Enkele opmerkingen vooraf: Maak altijd eerst een schets van het betreffende gebied (en dat hoeft heus niet zo precies te zijn als de grafieken die ik hier door de computer kan laten

Nadere informatie

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Erratum Meetkunde Je vindt hier de correcties voor Handig met getallen 4 (ISBN: 978 94 90681 005). Deze correcties zijn ook bedoeld voor het Rekenwerkboek

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

Niveau 1. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan. 1p. x + 6. 4x + 3. 4x 2 + 3. x 2 + 3x + 3. x 2 + 27

Niveau 1. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan. 1p. x + 6. 4x + 3. 4x 2 + 3. x 2 + 3x + 3. x 2 + 27 1p. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan x + 6 4x + 3 4x 2 + 3 x 2 + 3x + 3 Niveau 1 1p. 1p. 1p. x 2 + 27 Opgave 2. Als a log b = 64, dan is a2 log (b 3 ) gelijk aan 6 48 28/3 96 512 Opgave

Nadere informatie

Eindopdracht Wiskunde en Cultuur 2-4: Geostationaire satellieten Door: Yoeri Groffen en Mohamed El Majoudi Datum: 20 juni 2011

Eindopdracht Wiskunde en Cultuur 2-4: Geostationaire satellieten Door: Yoeri Groffen en Mohamed El Majoudi Datum: 20 juni 2011 Eindopdracht Wiskunde en Cultuur 2-4: Geostationaire satellieten Door: Yoeri Groffen en Mohamed El Majoudi Datum: 20 juni 2011 1 Voorwoord Satellieten zijn er in vele soorten en maten. Zo heb je bijvoorbeeld

Nadere informatie

Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal

Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal Junior College Utrecht Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal Versie 2 September 2012 Een project (ruimte-)meetkunde voor vwo-leerlingen Geschreven voor het Koningin Wilhelmina College Culemborg

Nadere informatie

44 De stelling van Pythagoras

44 De stelling van Pythagoras 44 De stelling van Pythagoras Verkennen Pythagoras Uitleg Je kunt nu lezen wat de stelling van Pythagoras is. In de applet kun je de twee rode punten verschuiven. Opgave 1 a) Verschuif in de applet punt

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

j (11,51) k (11,-41) l (11,-1011)

j (11,51) k (11,-41) l (11,-1011) H0 COÖRDINATEN 0.1 INTRO 1 a A3, C1, C3 b 3 A3, C1 a d6 of h10 0. DE WERELD IN KAART 3 B 4 a d Zie assenstelsel opgave 6. e b Zie bovenstaande wereldbol. Zie bovenstaande wereldbol. d 90 NB 5 a 7 b b Zie

Nadere informatie

DE GONIOMETRISCHE CIRKEL

DE GONIOMETRISCHE CIRKEL robleemstelling DE GONIOMETRISCHE CIRKEL Tijdens de lessen wiskunde worden verschillende verbanden aangeleerd tussen de goniometrische grootheden us, inus en gens. Het is niet eenvoudig om deze allemaal

Nadere informatie

ICT. Meetkunde met GeoGebra. 2.7 deel 1 blz 78

ICT. Meetkunde met GeoGebra. 2.7 deel 1 blz 78 ICT Meetkunde met GeoGebra 2.7 deel 1 blz 78 Om de opdrachten van paragraaf 2.7 uit het leerboek te kunnen maken heb je het computerprogramma GeoGebra nodig. Je kunt het programma openen via de leerlingenkit

Nadere informatie

ZESDE KLAS MEETKUNDE

ZESDE KLAS MEETKUNDE ZESDE KLAS MEETKUNDE maandag 1. Het vierkant. Eigenschappen. 2. Vierkanten tekenen met passer en lat vanuit zeshoek 3. Vierkanten tekenen met passer en lat binnen cirkel 4. Vierkanten tekenen met passer

Nadere informatie

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2012. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Exmen VWO 2012 tijdvk 1 woensdg 16 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit exmen hoort een uitwerkbijlge. Dit exmen bestt uit 17 vrgen. Voor dit exmen zijn mximl 78 punten te behlen. Voor elk vrgnummer

Nadere informatie

2015-2016 Laatste nieuws 2DN60 Lineaire algebra en vectorcalculus

2015-2016 Laatste nieuws 2DN60 Lineaire algebra en vectorcalculus 2015-2016 Laatste nieuws 2DN60 Lineaire algebra en vectorcalculus Kwartiel 2, week 7.b Op het college op donderdagochtend 7 januari is behandeld: - hoek tussen vectoren en cosinus regel - driehoeksongelijkheid

Nadere informatie

Basic Creative Engineering Skills

Basic Creative Engineering Skills Mechanica November 2015 Theaterschool OTT-1 1 November 2015 Theaterschool OTT-1 2 De leer van wat er met dingen (lichamen) gebeurt als er krachten op worden uitgeoefend Soorten Mechanica Starre lichamen

Nadere informatie

De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry

De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry DICK KLINGENS (e-mail: dklingens@pandd.nl) Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel (NL) augustus 2008 1. Inleiding In de (vlakke) Euclidische meetkunde

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -

Nadere informatie

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2007

UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2007 MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 007 VK : WISKUNE TUM: WOENSG 04 JULI 007 TIJ : 09.45.5 UUR (TOELTING VWO/HVO/NTIN) 09.45.45

Nadere informatie

Construeer telkens twee hoeken waarvan de cosinus of sinus gegeven is. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel.

Construeer telkens twee hoeken waarvan de cosinus of sinus gegeven is. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel. Herhalingsoefeningen Driehoeksmeting Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Construeer

Nadere informatie