Wiskunde voor informatici 2 Oefeningen
|
|
|
- Maria van de Velde
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Wiskunde voor informatici Oefeningen Reinout Stevens Prof: Ann Dooms Assistent: Arnout Van Messem 5 Juni 8
2 Gedachtenstroom In dit document staan de meeste oplossingen van de cursus Wiskunde voor Informatici II. Het is echter geen garantie dat deze en juist en volledig zijn. Gedurende het jaar komen er ook taken, welke hier niet in staan. Kortom, ga braaf naar de oefeningsessies en bekijk dit als een handig studiemiddel wanneer eigen notities niet meer duidelijk zijn of nooit duidelijk waren. Indien er nog fouten instaan mogen deze gerust doorgegeven worden, misschien heb ik geen rotslecht humeur en zal ik ze wel aanpassen. Ook de ontbrekende oefeningen zijn welkom. Geef Arnout ook spontaan een knuffel of een bak bier, wat waarschijnlijk in betere aarde zal vallen voor het meermaals nakijken van deze cursus. Oefeningen. Oefening Zij V een Vectorruimte, dan zijn de nulvector en inversie uniek: Stel er zijn nulvectoren o en o { o + o o o + o o o o Stel dat er inversen zijn -x en -x { x + x o x + x o x x. Oefening a Te Bewijzen R n is een vectorruimte b Bewijs i. x + y y + x p i e i + φ e i i i p i + φ i e i i φ i + p i e i i φ i e i + i i p i e i ii. x + y + z z + x + y
3 x + y + z n p i e i + φ i e i + v i e i i i i n p i e i + φ i + v i e i i i p i + φ i + v i e i i v i + p i + φ i e i i v i e i + i p i + φ i e i i n z + p i e i + i z + x + y φ i e i i iii. V : x + + x x x + x p i e i + e i i p i e i i iv. x V, x x + x x + x p i e i + p i e i i i p i p i e i i v. k x + y kx + ky
4 k x + y n k p i e i + φ i e i i i k p i e i + φ i e i i kx + ky vi. k, l R, x R n : k + l x kx + lx k k + l x k + l p i e i k i p i e i + l i i kx + lx p i e i vii. k lx klx k lx k l p i e i kl klx i p i e i i viii. x x. Oefening a Bewijzen vectorruimte A x x p i e i i p i e i i a... a m.. M nm R a n... anm
5 i. ii. A + B b... b m B.. M nm R b n... b nm a... a m b... b m a n... anm b n... b nm a + b... a m + b m.. M nm R a n + b n... a nm + b nm a... a m ka k.. a n... a nm ka... a m.. M nm R ka n... ka nm iii. Nu moeten de 8 eigenschappen uitgeschreven worden. b Geven van een basis E a a M a a E etc. Voortbrengend a b a, b, c, d : ae c d + be + ce + de Lineair onafhankelijk αe + βe + γe + δe α β γ δ α β γ δ. Oefening 5
6 x p i e i i x b p p n x T b Voldoende om na te gaan dat x + y en kx zelfde is voor beide notaties p. p n a x + y x T b + yt b n i p ie i + n i φ ie i p i + φ i e i i p i + φ i. p n + φ n b 5. Oefening 5 k p. p n kx n i p iφ i Er moet toch nog wat uitdaging zijn 6. Oefening 6 Dit is oefening 6 rly 7. Oefening 7 kp i e i kp. kp n + + totaal
7 8. Oefening 8 a r r+r r r r r r r r r r r r + r r r r r r + r r r r Dit is een strijdig stelsel
8 b r r r r +r 6 r r+r [ ] [ ] r r r [ ] r r + r c r r +r r r + r r r r r r r r r + r r r + r { t V, t }, t t R V,, 8
9 9. Oefening 9 e,,, e,,, e,, De determinant is verschillend van : de vectoren zijn lineair onafhankelijk en er zijn er precies, het moet dus een basis zijn. De inverse van de transitiematrix: P We kunnen nu adhv de inverse matrix de nieuwe cordinaten zoeken:. Oefening dx, y x y Te bewijzen dat: P 7 5 a dx, y als en slechts als x y b dx, y dy, x en P c dx, z dx, y + dy, z de driehoeksongelijkheid a x y x y x y b d x, y x y y x d y, x 9
10 c d x, y x y x z + z y x z + z y dx, z + dz, y. Oefening Er zijn geen andere metrieken op R d x, y x y + x y d x, y x y + x y a We bewijzen dat d een metriek is: d x, y { x y x y x y x y d x, y x y + x y y x + y x d y, x dx, z x z + x z x y + y z + x y + y z x y + y z + x y + y z d x, y + d y, z b We bewijzen dat d een metriek is: d x, y x y + x y y x + y x d y, x d x, y Pythagoras: { x y x y x y x y x y dx, a dx, z dz, a dx, a dx, z dx, a dx, z Nu kunnen we hetzelfde doen voor da, y, waaruit we kunnen concluderen dx, y dx, a + da, y dx, z + dz, y
11 . Oefening lim n ɛ N > : n N n d, < ɛ n n < ɛ n > ɛ. Oefening n, n n in X R \, ɛ >, N > m, n > N : d x m, x n < ɛ d x m, x n < ɛ m, m xm n, n xn d x m, x n + m n m n m n Dus neem m > m < ɛ ɛ. Oefening Zij < s < bewijs dan dat lim n s n en lim n n i si s. lim n x n x ɛ, N >, n N : d x n, x < ɛ d s n, < ɛ s n < ɛ s n < ɛ log s n < log ɛ n > log ɛ log s Te bewijzen: lim n i s i s
12 Bewijs: s s i i i n+ s i s s n+ s n+ i s i 5. Oefening 5 Het is een contractie indien: lim s n s i lim n n sn+ i dfx, fy sdx, y met < s < dfx, fy x + y + x y dx, y Het is dus een contractie Bepalen van het fixpunt: a via de definitie b via limieten 6. Oefening 6 fx x x + x x x lim f n x lim n n n + n n + dfx, fy.9cosx.9cosy.9 cosx cosy.9 sinc x y met c ]x, y[.9 x y Laatste stap gebeurt adhv de middelwaardestelling: c ]a, b[: fb fa b af c Het berekenen van het fixpunt kan men grafisch doen... voor de geïnteresseerde lezer? :
13 7. Oefening 7 dfx, fy x +. y. x y x + y x y x + y dx, y x + y kan zijn 8. Oefening 8 a Dit is geen contractie, maar wel een affiene transformatie b f f f f 8 8 Dit is geen contractie, maar wel een affiene transformatie f f f f 5 7 x c f y cos π sin π cos π sin π sin π cos π sin π cos π x y Dit is een contractie en een affiene transformatie
14 f f f f d Geen affiene transformatie f f f f 5 9. Oefening 9 Taak. Oefening straal, nulpunt, En verder: x + y x [ Dus y, [ ] x, y x y ± x dit weten we via de straal ] x Het berekenen van de volledige oppervlakte is keer de oppervlakte van kwart x x x y dydx We [ gaan over naar poolcoördinaten: r, ], θ [ ], π x x y dydx
15 x r cos θ, y r sin θ Het berekenen van de Jacobiaan J: cos θ r sin θ sin θ r cos θ r cos θ + r sin θ r Het geheel wordt dan:. Oefening π π π π r cos θ r sin θ Jdθdr r rdθdr r r [θ] π dr r r dr π [ ln r ] π ln π ln Oppervlakte voor de transformatie: r d r + dvdu [v] [u] Oppervlakte na de transformatie: ϕx, ydxdy fg G ϕgu, v, hu, v Ju, v dudv gu, v u v + hu, v u + v +. Oefening Definities: J dudv [u] [v] 5
16 a X, d is een metrische ruimte b Afsluitingspunt x is een afsluitingspunt van A als rij x n in A\{x} : lim n x n x c Gesloten A is gesloten als A al zijn afsluitingspunten bevat d Begrensd A is begrensd als x x : R R +. Oefening a ha, B A B h A, B max {d A, B, d B, A} d A, B d B, A : x A : d x, x < R x A : d x, B en x Bd x, A x A : y < B : d x, y en x B y A : d x, y A B ha, B max {d x, A x A} min d x, y y A } b ha, B hb, A max {d A, B, d B, A} c ha, B ha, C + hc, B ha, B d a, b voor een a A, b B Begrensd: d a, b zal nooit worden want elke afstand tussen punten van A en B zal meetbaar zijn. Deze A en B bestaan want: Gesloten: rand A en rand B erbij en we hebben de randen nodig voor ha, B, wat steeds de afstand is tussen de randen. Dus ha, B <. Voor A B is dit triviaal. Voor A B: a A, a B ha, B da, B > Te Bewijzen: da, B da, C + dc, B.... Oefening 6
17 d A, B d B, A h A, B d A, C d c,, + R d C, A d c,, R 5 ha, C 5 db, C d c,, + R + dc, B d c,, R hb, C + 5. Oefening 5 a Contracties < dus beide zijn contracties b Contracties toegepast w,, w,, w,, w,, w,, w,, w,, w,, 7
18 c Hausdorff afstanden d w g, w g d,,, 6. Oefening 6 d w g, w g a + b + e e c + d + f f a + b + e a c + d + f c a + b + e b c + d + e d w,, w,, w,, x w y a b c d x y w,, w,, w,, x w y x y e + f + w,, w,, w,, x w x + y y 7. Oefening 7 8
19 a Sierpinski N N N 9 N n n b Flakes ln N ln n D lim n n lim n ln n n ln ln ln Zie Sierpinski c Boxes N N N 9 Geen formule voor te vinden. d Binary N N N N 9 8 N 9 6 N N N 9 9
20 Zie Sierpinski e Koch Curve N N N 9 N 8 7 N n n 8. Oefening 8 Taak : 9. Oefening 9 ln n ln + n ln D lim lim ln n n ln n n ln ln Niet gedaan in de les. Oefening a b d x, y x y x y x y d x, y x y y x y x d y, x c d x, y x y x z + z y x z + z y d x, z + d z, y
21 . Oefening x x + x x x, x a x x + x x x x b kx k x + k x k x c Analytisch x + y < x + y, x + y > < x, x > + < x, y > + < y, y > x + y + < x, y > x + y + < x, y > x + y + x y x + y. Oefening Oefening voor ne mens met een teveel aan tijd aka Wiscundus Vulgaris. Oefening Taak bonuspunten indien ge het in brainfuck doet. Oefening a i. Eigenwaarden λ λ λ λ λ λ + De eigenwaarden zijn en ii. Eigenvectoren A. λ x + y x y E λ { s } s R
22 B. λ { } E λ s s R iii. P b iv. P AP 5 5 i. Eigenwaarden λ λ λ + λ + 6 λ λ + 8 c Geen oplossingen i. Eigenwaarden λ λ λ λ λ λ λ λ + λ + λ λ λ + De eigenwaarden zijn, en. ii. Eigenvectoren A. λ E λ t t R t B. λ
23 E λ t t R t C. λ t E λ t t R t iii. P iv. P AP d i. Eigenwaarden A. δ ɛ De eigenwaarde is δ. B. δ ɛ δ λ δ λ δ λ δ λ δ λ δ λ ɛ λ δ λ ɛ λ De eigenwaarden zijn δ en ɛ ii. Eigenvectoren
24 A. λ ɛ δ ɛ δ ɛ E ɛ s + t s, t R B. λ δ ɛ δ E δ s s R 5. Oefening 5 { h k+ h k + m k m k+ 5 h k + 5 m k hk+ m k+ 5 5 hk m k V is reeds gegeven in de opgave. V k AV k... A k V A QDQ A k QD k Q a Het berekenen van de eigenwaarden. λ 5 5 λ 5 λ λ λ 5λ + λ + 8 λ 7λ + λ λ
25 b λ 5 } E i {t t R c λ E i d Samenvatting 5 { } t t R 5 e Berekenen Q D en Q f Totaal 5 k k k k k 5 k k k 5 6 lim k V k 5 7 k k k k 6 k k 6 k k 6. Oefening 6 g k+ z k+ g k z k s k s k+ 5
26 a Eigenwaarden b Eigenvectoren i. λ λ λ λ E t ii. λ t R λ λ λ E t t R iii. λ E t c Samenvatting d Q t R D en Q 6
27 e Totaal A k QD k Q k k k k k + k k k + k + k V k A k V lim V k lim k k Ak V n n 7. Oefening 7 < x, y > x y x n y n a < x, x > x x x n x,..., x n x b < x, y >< y, x > x y +...+x n y n y x +...+y n x n geldig adhv commutativiteit in R c < x + y, z >< x, z > + < y, z > x + y z x n + y n z n x z + y z x n z n + y n z n d < kx, z > kx z kx n z n k < x, z > 8. Oefening 8 a x < x, x > b d x, y x y Zie oefening voor b 7
28 a b x < x, x > x < kx, kx > k < x, x > c x + y < x + y, x + y > < x, x + y > + < y, x + y > < x, x > + < x, y > + < y, y > x + < x, y > + y x + x y + y x + y 9. Oefening 9 a < x, y > x y x n y n x < x, x > Dit is de Euklidische norm. d x, y x y x x n x y x n y n b Dit is de Euklidische norm. < f, g > De norm uit..: b a b fxgxdx Nu:. Oefening f a f < f, f > Gegeven zijn volgende basissen in R : fx dx b B e, ; e, 6 B c ; ; c a f x dx, B is een orthogonale en B een orthonormale basis. 8
29 a Nakijken op loodrechtheid B : 6 6 B : + b Normailiteit van B c + c + c Uitschrijven van vector v tov B < v, e > e + < v, e > e e 6e controle:, 5, 56 Dit komt omdat B geen orthonormale basis is. d Uitschrijven van vector v tov B v. Oefening < v, c > c + < v, c > c 7 c + c 7 controle:, 7 +,, 5 B,, ;,, ; 6,, 9
30 b b,, b b < b, b > < b, b >b,, 6 b,, b b < b, b > < b, b > b < b, b > < b, b > b 6,, b 5 6,,,, 6, 6, 6 b 5, 5,. Oefening Gegeven: Te Bewijzen: x,..., x n paarsgewijs orthogonaal x,..., x n zijn lineair onafhankelijk, dus αx + βx ωx n α β... ω Bewijs: < αx + βx ωx n, x > α < x, x > <, x > α want < x, x > Dit kan men doen voor alle andere waarden. Oefening a V { y < y, > } R v, v + v
31 Berekenen van v: v V v, v V v, b V { y < y, x > x V } < y, x > < y, k, > k R ky + ky y y Berekenen van v: V {k, k R} v proj v v < v,, >, <,,, > 8, 5 v proj v v < v,, >, <,,, >, 5 c V {x, y, z x + y + z x + y + z } x + y + z < x, y, z,,, > Berekenen van v: V {k,, k R} v proj v v v v v proj v v <,,,, >,, <,,,,, >,,
32 . Oefening Te bewijzen: W W {o} Bewijs: W is een deelruimte o W W { x < x, y > y W } W Dus W W. Stel: z W W, z < z, z > z Dit is een contradictie, de doorsnede bestaat dus enkel uit de nulvector. 5. Oefening 5 a Nakijken op basis: i. Inproducten kolommen ii. Inproduction rijen overbodig + + b Nakijken op genormaliseerd i i i Oefening 6 De inverse matrix is de getransponeerde matrix: A A T B,,,,,,,, B,,, 6, 6, 6,,,
33 a Nakijken orthonormaliteit i + + i i + < i, i > < i, i > < i, i > b Opstellen transitiematrix i B e + e + e P V Bi P V B P P T I P orthonormaal P P T c Berekenen nieuwe coördinaten P B T Oefening 7 onvolledig
34 fx [, ] fx [, ] fx [ gx [, 8] gx [ 8, 8] gx [ 8, 5 8] gx [ 5 8, 8] 6 gx [ Oefening 8 Φ jx Φ j x + Φ j+x j 7 6 [ j 6, j+ 6 [ x + 6 [ j+ 6, j+ 6 [ x 8 [ j 6, j+ 6 [ x 8 [ j 8, j+ 8 [ x 9. Oefening 9 fx [ 8, 8[ x + [ 8, 8[ x+ [ 8, 8[ x + [ 8, 8[ x+ [ 8, 5 8[ x + [ 5 8, 8[ x+ 6 [ 6 8, 7 8[ x + [ 7 8, 8[ x 8 k proj v k g k j gj + g j+ Φ k j k+ k+
35 proj v f j fj + f j+ + Φ + [, [ Φ i + Φ + + Φ + Φ [,[ [, [ + 5 [, [ + [, [ + [,[ proj v k f j fj f j+ Φ k k+ k+ j Φ k j+ Φ Φ + Φ Φ [, 8[ [ 8, + 8 8[ [ 8, 8[ [ 8, + 8[ [, 8[ [ 8, + 8[ [ 8, 8[ [ 8, 8[ 5
Je mag Zorich deel I en II gebruiken, maar geen ander hulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmachine etc.)!
Tentamen Analyse II. Najaar 6 (.1.7) Toelicting: Je mag Zoric deel I en II gebruiken, maar geen ander ulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmacine etc.)! Als je bekende stellingen gebruikt
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Vectorruimten met inproduct
Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij
Aanvullingen van de Wiskunde
3de Bachelor EIT - de Bachelor Fysica Academiejaar 014-015 1ste semester 7 januari 015 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven is een lineaire partiële differentiaalvergelijking van orde 1: a 1 (x 1,,
Zelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde
In onderstaande zelftest zijn de vragen gebundeld die als voorbeeldvragen zijn opgenomen in de bijhorende overzichten van de verwachte voorkennis wiskunde. Naast de vragen over strikt noodzakelijke voorkennis,
Samenvatting theorie Meetkunde I
Meetkunde I Tweede bachelor wiskunde Samenvatting theorie Meetkunde I Auteurs: Stijn CAMBIE 1 samenvatting bewijzen (stelling 17) Zij p, q 2 punten van A n, zij {v 1, v 2 v n } een basis van T p A n en
Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Fractale en Wavelet Beeldcompressie Wiskunde voor Informatici II. Prof. Dr. Ann Dooms
Fractale en Wavelet Beeldcompressie Wiskunde voor Informatici II Prof. Dr. Ann Dooms Inhoudsopgave Introductie iii Het beeldcompressie proces................... iv Fractale Beeldcompressie.....................
Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van
WI1708TH Analyse 3. College 5 23 februari Challenge the future
WI1708TH Analyse 3 College 5 23 februari 2015 1 Programma Vandaag Richtingsafgeleide (14.6) Gradiënt (14.6) Maximalisatie richtingsafgeleide (14.6) Raakvlak voor niveauoppervlakken (14.6) 2 Richtingsafgeleide
Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T
Tentamen Lineaire Algebra
Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische
Stelsels differentiaalvergelijkingen
Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar
Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN
Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen
Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,
Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)
Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N
Examen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur
Examen GO7D Wiskunde II (6sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Biochemie & Biotechnologie Bachelor hemie, Bachelor Geologie Schakelprogramma Master Biochemie & Biotechnologie en Schakelprogramma Master
1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A.
. Oefen opgaven Opgave... Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat A = Bepaal de matrix van A. 4, 4 A =, A = 3 4. In de volgende opgave wordt het begrip injectiviteit en surjectiviteit van
Tentamen Lineaire Algebra B
Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES
Tussentijdse Toets Wiskunde 2 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april 2011
Tussentijdse Toets Wiskunde ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april Deze toets is bedoeld om u vertrouwd te maken met de wijze van ondervraging op het
Meetkunde en lineaire algebra
Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x
Topologie in R n 10.1
Topologie in R n 10.1 Lengte x = (x 1,..., x n ) = x 2 1 + x2 2 + + x2 n Bol B(x 0, r) = {x : x x 0 < r} x 0 r p 1 p 3 p 1 p 2 S p 1 heet uitwendig punt p 2 heet inwendig punt p 3 heet randpunt p 1 p 3
Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door
Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra, najaar 007. Gegeven is de lineaire afbeelding L : R R, die een punt P = (x, y) langs de lijn y = x projecteert op de lijn y = x: y y = x P x L(P ) y = x Bepaal
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Overzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Lineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Voorbeelden van toetsopgaven, 011 en (1) (a) Bepaal de afstand van het punt Q = (1,, ) R 3 tot het vlak gegeven door x + y z = 1. (b) Bepaal de hoek tussen de vectoren
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)
Wanneer zijn alle continue functies uniform continu?
Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Wanneer zijn alle continue functies uniform continu? Bachelor Project I Stijn Tóth Promotor: Prof. Eva Colebunders Academiejaar 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding
(vi) Als u een stelling, eigenschap,... gebruikt, formuleer die dan, toon aan dat de voorwaarden vervuld zijn, maar bewijs die niet.
Examen Functieruimten - Deel theorie 15 januari 2016, 08:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven; geen
Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)
Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale
Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur
Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Groep (omcirkel): (Leids) studentnummer: A (Keijzer)
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax
A = b c. (b) Bereken de oppervlakte van het parallellogram dat opgespannen wordt door b en c. Voor welke p is deze oppervlakte minimaal?
Oplossing Tussentijdse toets Wiskunde II Vraag Zij A de matrix met kolomvectoren met p een vast reëel getal A = a b c a =, b =, c = p a Voor welke p R zijn de vectoren lineair afhankelijk? b Bereken de
Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Hertentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:30 16:30
Hertentamen WIN12 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Hertentamen Topologie, Najaar 2009
Hertentamen Topologie, Najaar 2009 Toelichting: 06.05.2010 Je mag geen hulpmiddelen (zoals aantekeningen, rekenmachine etc.) gebruiken, behalve het boek van Runde en het aanvullende dictaat. Als je stellingen
Lineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom
8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College
Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011
Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011 vraag 1: Gegeven is het complex getal ω = exp(i π 5 ). vraag 1.1: Als we in het complexe vlak het punt P met cartesiaanse coördinaten (x, y) vereenzelvigen
Tentamen Numerieke Wiskunde (WISB251)
1 Tentamen Numeriee Wisunde WISB51 Maa één opgave per vel en schrijf op ieder vel duidelij je naam en studentnummer. Laat duidelij zien hoe je aan de antwoorden omt. Onderstaande formules mag je zonder
Topologie I - WPO. Prof. Dr. E. Colebunders
Topologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Academiejaar 2015-2016 Inhoudsopgave 1 Topologische ruimten 2 2 Metriseerbaarheid en aftelbaarheid 7 3 Convergentie en continuïteit 8 4 Separatie-eigenschappen
Optelling en scalaire vermenigvuldiging zijn weer plaatsgewijs gedefinieerd, bijvoorbeeld: 7 (x 1, x 2, x 3,...)
5. Lineaire ruimten Tot nu toe hebben we ons uitsluitend met de R n bezig gehouden. We gaan de behandelde theorie nu uitbreiden tot verzamelingen die een sterke overeenkomst met een R n vertonen. Een dergelijke
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines
HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op dinsdag 9 april 8, 9.. uur. Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord
Vectormeetkunde in R 3
Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode
Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode 2008-2009 Door rotatie van de rechte r die bepaald wordt door de punten P(3, 1, 2) en Q(1, 1, 2) omheen de rechte s die gaat door het punt
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 13 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 41 Outline III.6 The Residue Theorem 1 III.6 The
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen
de Bachelor EIT 2de en de Bachelor Wiskunde Academiejaar 215-216 1ste semester 26 januari 216 Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen 1. Gegeven een homogene lineaire partiële
1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D00. Datum: Vrijdag 1 maart 003. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: VRT 03H04. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere ogave o een aart vel. Schrijf
Inleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode
Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode 2008-2009 Een rechte conoïde met als richtrechte de X-as, en als richtoppervlak de sfeer met middelpunt in (0, 16, 0) en straal 9. (1) Stel
Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 10 januari 2008
ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 007-008 ste semester 0 januari 008 Analyse I. Bewijs de stelling van Bolzano-Weierstrass: elke oneindige begrensde deelverzameling van R heeft minstens
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Dit tentamen bestaat uit 4 open vragen, en kort-antwoord vragen. De uitwerkingen van de open vragen dienen volledig, duidelijk geformuleerd
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Uitwerking opgaven 17 december. Spoilers!!
Uitwerking opgaven 7 december Spoilers!! (duh... 8 januari 206 Inhoudsopgave Complex diagonaliseren matrix 2. Opgave................................................ 2.2 Oplossing...............................................
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0
Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als: y = Φ(x, y) OF (vermits y = dy dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x,
wordt de stelling van Pythagoras toegepast, in dit geval twee keer: eerst in de x y-vlakte en vervolgens in de vlakte loodrecht op de vector y.
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 2 Les 5 Inproduct Als we het in de meetkunde (of elders) over afstanden en hoeken hebben, dan hebben we daar intuïtief wel een idee van. Maar wat is eigenlijk de
UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
18.I.2010 Wiskundige Analyse I, theorie (= 60% van de punten)
8.I.00 Wiskundige Analyse I, theorie 60% van de punten) Beantwoord elk van de vragen I,II,III en IV op één van de dubbele geruite bladen. Schrijf op elk van die dubbele geruite bladen, bovenaan de eerste
extra sommen bij Numerieke lineaire algebra
extra sommen bij Numerieke lineaire algebra 31 oktober 2012 1. Stel, we willen met een rekenapparaat (dat arithmetische bewerkingen uitvoert met een relatieve nauwkeurigheid ξ, ξ ξ) voor twee getallen
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1.11 Vraagstukken Vraagstuk 1.11.1 Beschouw het beginwaardeprobleem = 2x (y 1), y(0) = y 0. Los dit beginwaardeprobleem op voor y 0 R en maak een
College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.
Vectoranalyse voor TG
college 6 collegejaar : 8-9 college : 6 build : 2 oktober 28 slides : 38 Vandaag Minecraft globe van remi993 2 erhaalde 3 4 intro VA Drievoudige integralen Section 5.5 Definitie Een rechthoekig blok is
Opgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3
Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden
Leerkracht: Koen De Naeghel Schooljaar: 2012-2013 Klas: 5aLWi8, 5aWWi8 Aantal taken: 19 Aantal repetities: 14 Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Taken Eerste trimester: 11 taken indienen op taak
Lineaire algebra en kegelsneden. Cursus voor de vrije ruimte
Lineaire algebra en kegelsneden Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk Reële vectorruimten. De reële vectorruimte van de reële n-tallen Definitie Een reëel
Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid
Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit
Complexe functies 2019
Complexe functies 019 Extra opgaves Opgave A Laat zien dat R voorzien van de bewerkingen a + b := (a 1 +b 1,a +b ) a b := (a 1 b 1 a b,a 1 b +a b 1 ) isomorf is met C. Wat is i in deze representatie? Opgave
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les : Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist verzicht colleges. College. Goniometrie 2. Vectoren 2. College 2. Matrixen
Kwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.
1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:
2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk
Lineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire
Technische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.
Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag
Tentamen Gewone Differentiaal Vergelijkingen II
Tentamen Gewone Differentiaal Vergelijkingen II.0.007 Jullie mogen een willekeurige van de vier opgaven als bonusopgave bekijken. (Dus drie opgaven volledig en goed gedaan is al een 10.) Opgave 1 Bekijk
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 12 juni 2009, 9.00 Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen.
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.10, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 23 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline 1 2 3 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
wiskunde B pilot vwo 2017-II
Twee machten van maimumscore 5 f' ( ) = ln() + ln() Uit f' ( ) = volgt dat = Dus + = ( = ) Hieruit volgt = a+ a, met a =, moet minimaal zijn De vergelijking a = moet worden opgelost Dit geeft Hieruit volgt
V.2 Limieten van functies
V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de
Unitaire en Hermitese transformaties
Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het
Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen
Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.: