extra sommen bij Numerieke lineaire algebra

Transcriptie

1 extra sommen bij Numerieke lineaire algebra 31 oktober Stel, we willen met een rekenapparaat (dat arithmetische bewerkingen uitvoert met een relatieve nauwkeurigheid ξ, ξ ξ) voor twee getallen a en b: a 2 b 2 berekenen. Dit kan op twee manieren: A) a 2 b 2 = (a + b).(a b); B) a 2 b 2 = a.a b.b. (a) Laat a en b machinegetallen zijn. Onder verwaarlozing van hogere order termen in ξ, toon aan dat de relatieve fout in het resultaat berekend volgens A hoogstens 3ξ is, en volgens B (1 + (a 2 + b 2 )/ a 2 b 2 )ξ. Welke methode zou u prefereren en waarom? (b) Stel nu, dat a en b geen machinegetallen zijn. Toon aan, dat de relatieve fouten volgens A en B nu worden gemajoreerd door resp. (3 + 2(a 2 + b 2 )/ a 2 b 2 )ξ en (1 + 3(a 2 + b 2 )/ a 2 b 2 )ξ. 2. We beschouwen de vergelijking: e x = a + γx a > 1, 0 < γ < 1. (a) Laat zien dat er precies één positieve wortel α is. (b) Zie eerst grafisch en daarna ook analytisch in dat het iteratieve proces: x k+1 = ex k a k = 0, 1,... γ voor geen enkele startwaarde ( α) convergeert naar α. (c) Laat zien dat het proces: x k+1 = log(a + γx k ) k = 0, 1,... naar α convergeert voor een startwaarde voldoende dicht bij α. N.B. Er is zelfs convergentie voor elke positieve startwaarde. Zie dit in m.b.v. een plaatje. (d) Laat zien dat het proces uit c. lineair convergent is met (asymptotische) convergentie factor γ/e α. 1

2 (e) Laat zien dat de rij der iteranden uit c. monotoon dalend respectievelijk monotoon stijgend is voor x 0 > α resp. 0 < x 0 < α. 3. In deze opgave bekijken we de fouten in de Koorden-Newton iteranden x n wat nader. Laat Koorden-Newton toegepast worden op een functie f, waarbij α de gezochte wortel van de vergelijking f(x) = 0 is. (a) Toon aan, dat x i+1 α = (f(α) p(α)) x i x i 1 f(x i ) f(x i 1 ), waarbij p het lineaire interpolatiepolynoom is van f op de steunpunten x i en x i 1. (b) Bewijs nu, dat x i+1 α = (x i α)(x i 1 α) f (ξ i ) 2f (η i ), met ξ i [ x i, x i 1, α ] en η i [ x i, x i 1 ]. 4. Bewijs voor een m n matrix dat A 1 = max 1 j n m i=1 a ij. 5. Bewijs dat Q = [q 1... q n ] unitair is dan en slechts dan als {q 1,..., q n } een orthonormale basis is. 6. Bewijs dat een normale (dus i.h.b. vierkante) bovendriehoeks matrix diagonaal is. 7. Bewijs dat de eigenwaarden van een Hermietse matrix reëel zijn. 8. Zij A een m n matrix. (a) Laat zien dat A 2 = max 0 x Rn, 0 y R m (b) Bewijs dat A 2 2 = A A 2. Ax,y 2 x 2 y 2. (c) Bewijs dat A 2 = A 2, en Q 1 AQ 2 2 = A 2 voor alle unitaire Q 1 and Q 2. (d) Bewijs dat voor een normale A, A 2 = max λ σ(a) λ =: ρ(a), de zgn. spectraalstraal van A. (e) Bewijs dat voor een n n matrix A, en iedere norm op R n, A := max 0 x R n ρ(a). Ax x 9. (a) Bewijs dat voor een (semi-) (complex) positief definiete A geldt dat σ(a) (0, ) ([0, )). (b) Bewijs dat voor een normale A, σ(a) (0, ) ([0, )) impliceert dat A (semi-) positief definiet is. 2

3 σ 10. Voor een m n matrix A, definiëer κ(a) := 1(A) σ min(n,m) (A), waarbij σ 1(A) σ min(m,n) (A) 0 de diagonaal elementen zijn (de singuliere waarden) van een m n diagonaal matrix Σ waarvoor A = UΣV, met U en V unitair. (a) Bewijs dat voor inverteerbare A, κ(a) = A 2 A 1 2. (b) Bewijs dat voor m n en rang(a) = n, κ(a) = A 2 A + 2. { κ(a (c) Bewijs dat κ(a) 2 = A) als m n, κ(aa ) als m n. 11. (a) Zij A C n n complex positief definiet. Bewijs dat iedere matrix geconstrueerd uit A door het verwijderen van rijen en corresponderende kolommen is complex positief definiet. Laat zien dat alle diagonaal elementen van A positief zijn. (b) Zij A R n n. Bewijs dat A is symmetrisch en reëel positief definiet dan en slechts dan als A is complex positief definiet. 12. (a) Bewijs dat voor n n matrices A en B, spoor(ab) = spoor(ba). (b) Bewijs dat spoor(a) invariant is onder gelijkvormigheids transformaties. (c) Bewijs dat spoor(a) gelijk is aan de som van de eigenwaarden van A geteld naar algebraische multipliciteit. 13. ( Companion matrix) Bewijs dat de determinant van de n n matrix λ 0 0 c 0 1 λ 0 c λ c n λ c n Zij A = = ( 1) n (λ n +c n 1 λ n 1 + c 1 λ+c 0 ). (a) Geef afschattingen voor de eigenwaarden van A m.b.v. Gershgorin. (b) Bepaal een diagonaal matrix D z.d.d. Gershgorin toegepast op D 1 AD laat zien dat er een eigenwaarde in [9.7, 10.3] ligt. (c) Laat zien dat 0 een eigenwaarde van A is, en toon vervolgens aan, zonder het karakteristieke polynoom op te stellen, dat de derde eigenwaarde in [1.7, 2.3] ligt. n 15. (a) Bewijs de ongelijkheid van Schur: i=1 λ i(a) 2 A 2 F, en laat zien dat gelijkheid optreedt dan en slechts dan als A normaal is. (b) Bewijs dat A normaal is dan en slechts dan als spoor(a A) = n i=1 λ i(a) 2 3

4 16. Zij A = (a) Toon aan dat A positief definiet is. (b) We voeren 1 stap van het klassieke Jacobi-proces uit. Laat zien, zonder deze stap expliciet uit te voeren, dat de Gershgorin cirkels van de getransformeerde matrix nu een straal hooguit 2 hebben. (c) Voer de eerder genoemde transformatie nu uit, en geef met Gershgorin toegepast op de getransformeerde matrix grenzen voor de eigenwaarden. 17. Zij A een Hermietse n n matrix met eigenwaarden λ 1 λ 2 λ n. Ax,x (a) Bewijs dat voor k = 0, 1,..., n 1, min Sk max 0 x Sk x,x λ k+1, waarbij S k loopt over alle k dimensionale deelruimten van R n (of C n ). (Hint: Met {v 1,... v n } een orthonormale basis van bijbehorende eigenvectoren, neem x met x = 1 loodrecht op S k + span{v k+2,..., v n }, en ontwikkel deze x in de eigenvector basis.) (b) Bewijs λ k+1 = min S k Ax, x max 0 x S k x, x (Courant-Fischer) (Hint: Laat zien dat voor 0 x span{v 1,..., v k }, Ax,x x,x λ k+1 ) (c) Bewijs dat Ax, x λ n k = max min S k 0 x S k x, x. 18. Bepaal de QR factorisatie van de matrix uit Opgave 2.15 zowel m.b.v Householder als met Givens. 19. Voor 1 k n, zij v 1,... v k eigenvectoren van een n n matrix bij verschillende eigenwaarden. Laat zien dat {v 1,..., v k } onafhankelijk is. Concludeer dat een n n matrix met n verschillende eigenwaarden diagonaliseerbaar is. 20. Zij A = [ ]. (a) Geef de eerste 10 benaderingen van de grootste eigenwaarde van A verkregen met de machtsmethode met startwaarde x 0 = [0 1]. (b) Geef ook de Rayleigh quotienten. (c) Bereken ook 5 iteraties van de Rayleigh quotient iteratie. 21. We onderzoeken het QR algorithme. (a) Laat zien dat als A Hermiets is, dat dan alle A k Hermiets zijn. 4

5 (b) Laat zien dat als bovendien A tridiagonaal is (zoals verkregen wordt door eerst Householder transformaties toe te passen), dat dan alle A k tridiagonaal zijn, en alle R k bidiagonaal. 22. Voer twee stappen van het QR algorithme met shifts uit voor de matrix uit Opgave