1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.

Transcriptie

1 Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04, Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Zorg dat uw redeneringen en schrijfstijl helder en beknopt zijn. Noteer op elk vel uw naam en studentnummer. In geval uw huiswerkcijfer H 6.0 scoort u minimaal 5H/0 voor opgave 9.. a) Gegeven z = i, w = i 3. Bereken z w. b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0. ) x. Definieer de functie f :, ) R door fx) = exp. x + a) Bepaal de afgeleide van f. b) Bepaal het bereik van f. c) Laat zien dat f inverteerbaar is, en bepaal de inverse van f inclusief het domein van f. 3. Zij f : R R een continue functie en definieer hx) = 4. Bepaal de volgende onbepaalde en bepaalde integraal: e x cosx) dx 0 e x x ft) dt. Bepaal h x). ) 3 arcsinx) dx x 5. Gegeven is dat de kromme e xy = x + y 3 + e 3 rond het punt, ) lokaal de grafiek is van y als functie van x. Bepaal de raaklijn door, ). 6. Stel fx) = x e x met domein [, 4]. a) Bepaal de nulpunten van f, en geef aan waar f positief/negatief is. b) Bepaal de afgeleide van f. c) Bepaal de extreme waarden maxima/minima en lokaal/globaal) van f. d) Waar is f concaaf naar boven en concaaf naar beneden?!!zoz Op de achterkant staan ook nog opgaven ZOZ!!

2 Tentamen Calculus NWI-NP003B 7. De Maclaurin formule tanx) = x + 3 x3 + Ox 5 ) is gegeven. Bepaal tanx) x + cosx) + lim x x 0 ln + x 3 ) 8. De juiste formulering van de tussenwaardestelling is: a) Een functie f : [a, b] R neemt elke waarde uit zijn bereik aan. b) Een functie f : a, b) R neemt elke waarde tussen fa) en fb) aan. c) Een continue functie f : [a, b] R neemt elke waarde tussen fa) en fb) aan. d) Elke continue functie f : a, b) R is differentieerbaar. 9. a) Veronderstel dat f twee-maal differentieerbaar is met f continu, en dat fx) 0 voor alle x. Laat k een geheel getal zijn. Laat zien dat f x)fx) k f x) ) fx) ) k+ dx = f x) fx) ) k Hint. Differentieer het rechterlid.) b) Laat zien dat x dx = x + ) k+ k x + ) + k k ) Hint. Kies een geschikte f in a).) c) Bepaal x + x + ) 3 dx x + ) k dx Hint. Bepaal een geschikte splitsing van de teller en gebruik b) tweemaal.) Normering Opgave Gratis Totaal Punten Het eindcijfer T is de gebruikelijke afronding van het totaal aantal behaalde punten gedeeld door 0 naar hele en halve cijfers met uitzondering van 5.5), waarin een eventueel huiswerkcijfer wordt meegenomen in de beoordeling van opgave 9. Bij deze vraag kunt u gokken. Een fout antwoord geeft aftrek, géén antwoord geeft geen aftrek. Alleen het antwoord van deze opgave telt. Voor deze opgave scoort u minimaal H 5/0 punten, mits uw gemiddelde huiswerkcijfer H 6.0 is.

3 Tentamen Calculus NWI-NP003B 3 Opgave. a) Gegeven z = i, w = i 3, z w = Uitwerkingen en hints + i i 3 = 3 + i + 3) 4 + i i + i i 3 = ) = + 3) + i + 3) Alternatief: in plaats van in Cartesische coördinaten, kan het ook in poolcoördinaten. Merk op z = e i 4 π, w = e i 3 π, en dan z w = ei 4 π+i 3 π = e i π b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0. Schrijf in poolcoördinaten z = re iφ, r 0, φ mod π, dan Dus we vinden drie oplossingen z 3 = 8i = r 3 e i3φ = 8e i π = { { r 3 = 8, r = 3 8 =, 3φ = π mod π = φ = π mod π 6 3 z 0 = e i 6 π = cos 6 π) + i sin 6 π) = 3 + i, z = e i 5 6 π = cos 5 6 π) + i sin5 6 π) = 3 + i, z = e i 3 π = cos 3 π) + i sin3 π) = i, Merk op dat deze nulpunten op een cirkel met straal liggen, en dan de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek vormen. Alternatief: als je ziet dat z = i voldoet, dan kun je staartdelen en z 3 8i = z + i)z iz 4) bepalen. De nulpunten van z iz 4 = 0 kun je via kwadraat afsplitsen ofwel de abc-formule) vinden; Opgave. 0 = z iz 4 = z i) i 4 = z i) 3 = z = i ± 3 Definieer de functie f :, ) R door fx) = exp ) x. x +

4 Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 Figuur : De grafiek van de functie f links) en de inverse functie f rechts) van opgave. a) ) ) x x + ) x ) f x) = exp = x + x + ) x + ) exp ) x x + Merk op dat f x) > 0 op het domein, ), zodat f strikt monotoon stijgend is. b) Omdat f strikt monotoon stijgend is, bekijken we de limiet naar de grenzen van het domein van f; ) x lim exp = exp) = e, x x + ) x lim exp x = 0, want lim x x + x x + = Het bereik is 0, e). c) Omdat f strikt monotoon stijgend is op, ), is f injectief of one-to-one ), en dus is f inverteerbaar. Het domein van f is het bereik van f, dus 0, e). Het bereik van f is het domein, ) van f. Voor de expliciete vorm van de inverse, f x) = y fy) = x exp = y y + ) y = x y + = lnx) = y = y + ) lnx) = y lnx)) = + lnx) = f x) = y = + lnx) lnx)

5 Tentamen Calculus NWI-NP003B 5 Extra: merk op dat inderdaad geldt: + lnx) lim x 0 lnx) =, lim x e + lnx) lnx) = + Opgave 3. Bepaal h x) door middel van de hoofdstelling van de integraalrekening en de kettingregel h x) = fe x )e x f x ) x) = e x fe x ) + xf x ) Opgave 4. Met behulp van partiële integratie twee keer): }{{} e x cosx) dx = }{{} e x cosx) }{{} e x f g g }{{} f }{{} f sinx) }{{} g dx = e x cosx) e x }{{} sinx) dx = }{{} f g e x cosx) e x sinx) }{{}}{{} e x cosx) dx }{{}}{{} = g g f f e x cosx) + 4 e x sinx) e x cosx) dx 4 Dus 5 4 e x cosx) dx = e x cosx) + 4 e x sinx) = e x cosx) dx = 5 e x cosx) + 5 e x sinx) Opmerking: je kunt ook in de eerste stap van het partieel integreren cosx) als afgeleide zien, en dan op dezelfde manier nogmaals partieel integreren. Alternatief: raad een primitieve van de vorm Ae x cosx)+be x sinx), en differentieer deze. Dat blijft een functie van deze vorm, en kies dan A en B zodanig dat de afgeleide gelijk is aan e x cosx). Dit geeft twee vergelijkingen met twee onbekenden, die oplosbaar is. Voor de andere integraal passen we de substitutieregel toe; u = arcsinx) en dus du = x dx, 0 ) 3 arcsinx) dx = x arcsin ) arcsin0) u 3 du = 4 π 0 u 3 du = 4 u4 4 π 0 = ) 5 π 4 4

6 Tentamen Calculus NWI-NP003B 6 Opgave 5. Het is voldoende de afgeleide voor de raaklijn te vinden, want we weten al dat, ) op de lijn ligt. Impliciet differentiëren geeft e xy y + xy ) = + 3y y en x, y) =, ) invullen geeft e + y ) = + 3y ofwel y e 3) = e, en dus is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan e. De raaklijn is dan e 3 y = e x ) e 3 Opgave 6. Stel fx) = x e x met domein [, 4]. Figuur : De grafiek van de functie f van opgave 6. a) fx) = 0 dan en slechts dan als x = 0, en verder is f positief als product van een niet-negatieve functie x en een positieve functie e x. b) f x) = xe x x e x = x x )e x. c) Merk op dat de kritieke punten i.e. waar f x) = 0) worden gegeven door x = 0 of x =. Omdat f overal differentieerbaar is zijn er geen singuliere punten. Er zijn nog de randpunten x = en x = 4 als mogelijke kandidaten. Merk op dat f x) < 0 voor x [, 0) of x, 4] en f x) > 0 voor x 0, ). Dus f heeft een randmaximum f ) = e.7 voor x = en een randminimum f4) = 6e voor x = 4. Merk op dat f x) = x)e x x x )e x = 4x + x )e x en 4x + x = x ) 4+ = 0 als x = ±. In het bijzonder f 0) > 0, dus f heeft lokaal minimum f0) = 0 voor x = 0. Ook f ) =, dus f heeft lokaal maximum f) = 4e 0.54 voor x = 0.

7 Tentamen Calculus NWI-NP003B 7 Dus we concluderen dat f0) = 0 het globale minimum is, en dat het globale maximum f ) = e is. In het bijzonder is het minimum f4) = 6e 4 lokaal, en evenzo is het maximum f) = 4e lokaal. d) Uit b) weten we dat f x) > 0 voor x [, ) of x +, 4], dus daar is de functie concaaf naar boven of convex). Verder f x) < 0 voor x, + ), en daar is f concaaf naar beneden. De punten en + zijn de buigpunten voor f. Opgave 7. De Maclaurin formule voor tanx) is gegeven. We weten of leiden af) Invullen geeft tanx) x + cosx) + x ln + x 3 ) 3 = x3 + Ox 4 ) x 3 + Ox 9 ) = + Ox) 3 + Ox 6 ) cosx) =! x + Ox 4 ), ln + x) = x + Ox 3 ) = x + 3 x3 + Ox 5 ) x + x + Ox 4 ) + x x 3 + Ox 9 ) = lim x 0 tanx) x + cosx) + x ln + x 3 ) Opgave 8. Antwoord 8c is correct, zie The Intermediate-Value Theorem p.85. Sectie.4). Opgave 9. a) Differentieer het rechterlid met behulp van de quotiëntregel: ) f x) ) k = f x) fx) ) k f x)k fx) ) k f x) ) k = f x)fx) k f x) ) ) k+ fx) fx) fx) = 3 En dus beide kanten integreren geeft f x)fx) k f x) ) ) f x) ) k+ dx = ) k dx = f x) ) k fx) fx) fx) b) Neem fx) = x +, dan voldoet f aan de voorwaarden twee-maal differentieerbaar en nergens 0). Invullen geeft x + ) k x ) x + ) k+ dx = x x + ) k

8 Tentamen Calculus NWI-NP003B 8 Vereenvoudig de integraal door 4k) 4k) x 4k)x x + ) = + k x + ) dx = k+ x + x + ) dx + 4k k+ x + ) dx + 4k k x + ) k+ dx = x + ) k+ dx Delen door 4k en de integraal naar de andere kant brengen geeft x dx = x + ) k+ k x + ) + k k ) x + ) dx k c) We splitsen de integraal en gebruiken de substitutieregel met u = x + en du = x dx) en de regel van b) twee keer; x + x + ) dx = x 3 x + ) dx + 3 x + ) dx = 3 u du + x 3 4 x + ) + 4 ) x + ) dx = u + x 4 x + ) + 3 x 4 x + + ) ) x + dx = x + ) + x 4 x + ) + 3 x 8 x arctanx) = x 4 x + ) + 3 x 8 x arctanx)