College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie

Transcriptie

1 College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari,

2 Overview 2

3 Overview 2

4 Overview 2

5 Overview 3

6 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k. Zij x een vector. We willen x loodrecht projecteren of V. Stel de projectie is x V. Dus x x V staat loodrecht op V of te wel: voor elke v i, (x x V v i = 0. M.a.w. x V v i = x v i. Stel x V = α 1 v α n v n. Er volgt nu: α 1 (v 1 v α n (v n v 1 = x v α 1 (v 1 v n α n (v n v n = x v n Als we de v i een orthonormale basis van V kiezen, dat wordt dit: α 1 = x v 1,..., α n = x v n. Dus: x V = (x v 1 v (x v n v n. 4

7 Orthornormale Basis Zij V een deelruimte met orthonormale basis v 1,..., v k. Orthonormaal betekent: v i v j = δ ij, waar δ ij = 1 als i = j and δ ij = 0 als i j. Met andere woorden een basis is orthonormaal als alle vectoren in de basis lengte 1 hebben en loodrecht op elkaar staan. Bezie en vector x niet in V. We hebben gezien dat x V = (x v 1 v (x v n v n. Er volgt nu dat x x V = x (x v 1 v 1... (x v n v n loodrecht of V staat. Bovendien is x x V een lineaire combinatie van x, v 1,..., v n en is x een lineare combinatie van (x x V, v 1,..., v n. Als we dus v n+1 := (x x v / x x V kiezen is v 1,..., v n+1 een orthonormale basis van x + V. Met dit inzicht in de hand kunnen we een basis stapsgewijs omzetten in een orthonormale basis. 5

8 Overview 6

9 Wat is een Afbeelding? Een lineaire afbeelding T van een vectorruimte U naar een vectorruimte V is een afbeelding die voldoet aan: T (u + v = T (u + T (v T (λu = λt (u We hebben T (0 = T (00 = 0T (0 = 0. Stel U is 3-dimensionaal met basis u 1, u 2, u 3 en V is 2-dimensionaal met basis v 1, v 2. Omdat elk element van V op unieke manier te schrijven is als lineaire combinatie van elementen van de basis hebben we voor zekere getallen T ij T (u 1 = T 11 v 1 + T 21 v 2 T (u 2 = T 12 v 1 + T 22 v 2 T (u 1 = T 13 v 1 + T 23 v 2 7

10 Van Afbeelding naar Matrix Stel u = λ 1 u 1 + λ 2 u 2 + λ 3 u 3. T (u = T (λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 = λ 1 T (v 1 + λ 2 T (v 2 + λ 3 T (v 3 = λ 1 (T 11 v 1 + T 21 v 2 + λ 2 (T 12 v 1 + T 22 v 2 + λ 3 (T 13 v 1 + T 23 v 2 = (T 11 λ 1 + T 12 λ 2 + T 13 λ 3 v 1 + (T 21 λ 1 + T 22 λ 2 + T 23 λ 3 v 2 De T ij leggen T volledig vast! We schrijven deze vergelijking zo: ( ( λ1 ( T11 T 12 T 13 T11 λ λ T 21 T 22 T 2 = 1 + T 12 λ 2 + T 13 λ 3 23 T λ 21 λ 1 + T 22 λ 2 + T 23 λ 3 3 Merk op: de kolommen van de 2 3-matrix zijn de coordinaten van de beelden in V van de basisvectoren van U. 8

11 Afbeelding en Matrix Elke lineaire afbeelding bepaalt precies één matrix en elke matrix bepaalt precies één lineaire afbeelding. Merk op dat de matrix van een lineaire afbeelding valtligt gegeven bases van U en V. Veranderen we de bases dan verandert ook de afbeelding. Associatie: T A T en A T A. Deze correspondentie is 1-1: T AT = T en A TA = A. Bekijken we bijvoorbeeld de R 3, dan gebruiken we meestal de standaard basis: e 1 = ( 1 0 0, e 2 = ( 0 1 0, e 3 = (

12 Rotatie en Spiegeling in R 2 ( 1 Rotatie over een hoek φ stuurt naar 0 ( sin(φ naar. cos(φ ( cos(φ sin(φ ( 0 en 1 De matrix die bij deze afbeelding hoort (t.o.v de standaard basis is: ( cos(φ sin(φ. sin(φ cos(φ ( ( 1 1 Puntspiegeling t.o.v. de oorsprong stuurt naar en 0 0 ( ( 0 0 naar. 1 1 De matrix die bij deze afbeelding hoort (t.o.v de standaard basis is: (

13 Operaties op Afb. en Matrices 1 We definiëren: (T + Z (u := T (u + Z (u (λt (u := λt (u (T Z (u := TZ (u := T (Z (u De lineaire afbeeldingen met + en λ( vormen zelf een vectorruimte! Met de operatie + correspondeert op het niveau van matrices: componentsgewijze optelling. Met de operatie vermenigvuldigen met λ: componentsgewijze vermenigvuldiging met λ. ( ( = ( ( = (

14 Operaties op Afb. en Matrices 2 ( T11 T 12 T 21 T 22 [( Z11 Z 12 Z 21 Z 22 ( 1 0 ( T11 T 12 T 21 T 22 [( Z11 Z 12 Z 21 Z 22 ( 0 1 ] ] ( ( T11 T 12 Z11 Z 12 T 21 T 22 Z 21 Z 22 = = = = = ( ( T11 T 12 Z11 T 21 T 22 Z 21 ( T11 Z 11 + T 12 Z 21 T 21 Z 11 + T 22 Z 21 ( ( T11 T 12 Z12 T 21 T 22 Z 22 ( T11 Z 12 + T 12 Z 22 T 21 Z 12 + T 22 Z 22 ( T11 Z 11 + T 12 Z 21 T 11 Z 12 + T 12 Z 22 T 21 Z 11 + T 22 Z 21 T 21 Z 12 + T 22 Z 22 12

15 Rotatie Eerst roteren over een hoek ψ en dan over een hoek φ. ( cos(φ + ψ sin(φ + ψ sin(φ + ψ cos(φ + ψ = ( ( cos(φ sin(φ cos(ψ sin(ψ sin(φ cos(φ sin(φ cos(ψ ( cos(φ cos(ψ sin(φ sin(ψ... sin(φ cos(ψ + cos(φ sin(ψ... Dus: cos(φ + ψ = cos(φ cos(ψ sin(φ sin(ψ sin(φ + ψ = sin(φ cos(ψ + cos(φ sin(ψ 13

16 Operaties op Afb. en Matrices 3 Het verwisselen van rijen en kolomen van een matrix A is de getransponeerde A T van de matrix. Hierbij is de component b ij van A T de component a ji van A. Rekenregels: A + (B + C = (A + B + C A + B = B + A A(BC = (ABC A(B + C = AB + AC λ(a + B = λa + λc (A + B T = A T + B T (AB T = B T A T 14

17 Operaties op Afb. en Matrices 4 I is de n n matrix met a ij = δ ij. O is de n n matrix met a ij = 0. λa T = (λa T A TT = A IA = AI = A OA = AO = O 15

18 Overview 16

19 Inverse 1 Stel A is een n n-matrix en stel er is een n n matrix B met AB = I. Dan hebben we ook BA = I. We gaan dat op dit college niet behandelen, maar ik geef wel het bewijs op de volgende slide. Deze stelling geldt alleen voor eindige dimensies. Er volgt nu dat als ook AC = I, dat dan B = B(AC = (BAC = C. Op dezelfde manier volgt dat als CA = I, dat dan C = B. Dus als er een B is met AB = I dan is B uniek met deze eigenschap en bovendien is ook BA = I. We noemen B de inverse van A en schrijven de inverse als A 1. Dus AA 1 = A 1 A = I. Pas op: er hoeft niet altijd een inverse te zijn! 17

20 Inverse 2 Stelling: Zij T een lineaire afbeelding van V naar W. Stel Tv 1,..., Tv n zijn lineair onafhankelijk. Dan zijn ook v 1,..., v n lineair onafhankelijk. Bewijs: Stel λ 1 v λ n v n = 0, dan is ook T (λ 1 v λ n v n = T 0 = 0 en dus λ 1 T (v λ n T (v n = 0. Omdat de Tv i lineair onafhankelijk zijn, is λ 1 =... = λ n = 0. Dus zijn de v i lineair onafhankelijk. Stel nu AB = I. Bezie een basis v 1,..., v n van R n. Omdat A(Bv i = v i, volgt er met de vorige stelling dat de Bv i lineair onafhankelijk zijn. Omdat onze ruimte dimensie n heeft vormen de Bv i een basis. Bezie een willekeurige u in R n. We hebben u = µ 1 Bv µ n Bv n. Ergo: 18

21 Inverse 3 BAu = BA(µ 1 Bv µ n Bv n = µ 1 (BABv µ n (BABv n = µ 1 B(ABv µ n B(ABv n = µ 1 BIv µ n BIv n = µ 1 Bv µ n Bv n = u Dus BA = I. 19

22 Berekening van de Inverse ( A 1 = ( A 1 = ( A 1 = ( A 1 = ( A 1 = ( A 1 = ( ( ( ( ( (