Vectorruimten met inproduct

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Vectorruimten met inproduct"

Transcriptie

1 Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij twee vectoren hebben we het zgn. inproduct dat een verband heeft met de hoek tussen de vectoren. Precieser, als v = (x,x 2,x 3 ) t R 3 dan wordt volgens de stelling van Pythagoras de lengte van v, genoteerd v gegeven door v = x 2 + x2 2 + x2 3. Het inproduct v,w van v en w wordt gegeven door (3.) v,w = v w cos α waarbij α de hoek tussen de vectoren v en w is. Gebruik makend van de cosinusregel kan men nagaan (opgave 3..3) dat geldt v,w = x y + x 2 y 2 + x 3 y 3. Deze formule kunnen we gebruiken om een inproduct op R n te definiëren: Definitie 3.. Zij v = x. x n en w = y. y n in R n. Met de voorschrijft v,w := x y + + x n y n wordt aan ieder tweetal vectoren v en w uit R n een reëel getal v,w toegevoegd m.a.w. we hebben een afbeelding, : R n R n R gedefinieerd. Opgave 3..2 Bewijs dat de in 3.. gedefinieerde afbeelding aan de volgende eigenschappen voldoet. i) v + v 2,w = v,w + v 2,w, voor alle v,v 2,w in R n. ii) cv,w = c v,w, voor alle v,w in R n en alle c in R. iii) v,w = w,v, voor alle v,w in R n. iv) v,v > als v. Opgave 3..3 Zij v = (x,x 2,x 3 ) t en w = (y,y 2,y 3 ) t in R 3 en v,w := v w cos α, waarbij α de hoek is tussen v en w. Bewijs dat v,w = x y + x 2 y 2 + x 3 y 3. 37

2 38 HOOFDSTUK 3. VECTORRUIMTEN MET INPRODUCT [Aanw.: Bekijk de driehoek met als zijden de vector v, de vector w en de vector die loopt van het eindpunt van w naar het eindpunt van v. Deze zijden hebben lengte resp. v, w en v w. Volgens de cosinusregel (3.3.2 uit LA) geldt dan Gebruik nu dat v 2 = x 2 + x2 2 + x2 3 enz.] v w 2 = v 2 + w 2 2 v w cos α. 3.2 Abstracte inproductruimten De eigenschappen van het inproduct op R n zoals in 3..2 beschreven leiden ons tot de volgende definitie. Definitie 3.2. Zij V een vectorruimte. Een inproduct op V is een afbeelding, : V V R die voldoet aan: i) v + v 2,w = v,w + v 2,w, voor alle v,v 2,w in V. ii) cv,w = c v,w, voor alle v,w in V en alle c in R. iii) v,w = w,v, voor alle v,w in V. iv) v,v > als v. Een vectorruimte V met daarop een inproduct heet een inproductruimte of ook ruimte met inproduct of prehilbertruimte. De lengte van een vector v in een inproductruimte definiëren we als v := v,v. Omdat er bij twee vectoren nauwelijks een misverstand met andere vermenigvuldigingen kan bestaan, worden inproducten vaak gewoon met v w i.p.v. v,w genoteerd, Opgave Ga na dat uit i)-iv) in 3.2. volgt dat v, = en,w = en dat v, w = v,w voor alle v,w V. Voorbeeld R n met, zoals in 3.. is volgens 3..2 een inproductruimte. We noemen het in 3.. gedefinieerde inproduct het standaard inproduct op R n. Voorbeeld Zij V := C([, ]) de vectorruimte der continue functies van [, ] naar R. Definieer f,g := Laat zien dat, een inproduct op V is. f(x)g(x)dx, voor alle f,g V. Oplossing. i)-iii): f + f 2,g = (f + f 2 )(x)g(x)dx = (f (x)g(x) + f 2 (x)g(x))dx = f,g + f 2,g. Ook ziet men eenvoudig dat cf,g = c f,g, voor alle c R en dat f,g = g,f. iv): Omdat f(x) 2 is het duidelijk dat f,f := f(x)2 dx. We moeten nog inzien: als f,f =, dan f =. Neem dus aan dat f,f = m.a.w. f(x)2 dx = en stel dat f(x ) voor zekere x (,). Volgens de continuïteit van f(x) bestaat dan δ > en ε > zdd f(x) ε voor alle x [x δ,x + δ]. Dan = f(x) 2 dx x +δ x δ f(x) 2 dx x +δ x δ ε 2 dx = 2δε 2 >,

3 3.2. ABSTRACTE INPRODUCTRUIMTEN 39 tegenspraak. Dus blijkbaar f(x ) = voor alle x (,) en dus f = op [,] vanwege de continuïteit van f. Opgave Zij V := Pol(n) (zie voorbeeld.2.7) en p = a + a x + + a n x n en q = b + b x + + b n x n in V. Laat zien dat een inproduct op V definieert. p,q := a b + a b + + a n b n Opgave Zij A een n n matrix. Het spoor van A, genoteerd tr A (voor trace A), is per definitie de som der diagonaal elementen van A. Laat zien dat voor n n matrices geldt i) tr (A + B) = tr A + tr B. ii) tr (ca) = c.tr A, voor alle c in R. iii) tr (AB) = tr (BA). Opgave Zij V := M n (R). Definieer A,B := tr (A t B), voor alle A,B V. Laat zien dat, een inproduct op V definieert. Terugkerend naar formule (3.) zien we dat v,w v w voor alle v,w in R 3 (want cos α ). Het verrassende is dat zo n ongelijkheid geldt voor ieder inproduct! Stelling (Ongelijkheid van Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz.) Zij V een vectorruimte met inproduct,. Dan geldt v,w v w of te wel v,w 2 v,v w,w voor alle v,w V. Gelijkheid treedt op d.e.s.d.a. v en w afhankelijk zijn. Bewijs. i) Voor iedere t R geldt v + tw,v + tw en dus (3.2) v,v + 2t v,w + t 2 w,w voor alle t R. Als w,w =, dan w = en dus v,w = en dus geldt de ongelijkheid. We mogen dus aannemen dat w,w >. Kies dan voor t de waarde t := v,w w,w. Invullen in (3.2) geeft (3.3) v + t w,v + t w = v,v 2 v,w v,w 2 v,w 2 v,w + w,w = v,v w,w w,w 2 w,w. Dus v,w 2 v,v w,w. Trek dan wortels. ii) Uit (3.3) volgt dat we gelijkheid hebben d.e.s.d.a. v+t w,v+t w = d.e.s.d.a. v+t w =. Hieruit volgt de stelling. Het mooie van is dat we hem kunnen toepassen op allerlei inproductruimten. Bijvoorbeeld op die van Dit levert: Gevolg Zij f, g C([, ]). Dan geldt de volgende vaak gebruikte ongelijkheid voor integralen: 2 f(x)g(x)dx f(x) 2 dx g(x) 2 dx.

4 4 HOOFDSTUK 3. VECTORRUIMTEN MET INPRODUCT Een ander gevolg van is de zgn. driehoeksongelijkheid. Stelling 3.2. Zij V een inproductruimte en v, w in V. Dan geldt: v + w v + w. Bewijs. Volgens is v,w v,w v w. Dus Trek dan wortels. v + w 2 = v + w,v + w = v,v + 2 v,w + w,w v v w + w 2 = ( v + w ) 2. Ook kunnen we gebruiken om de hoek tussen twee vectoren ( ) in een abstracte inproductruimte te definiëren. Daartoe merk op dat als v en w in V beiden niet nul zijn dan (volgens 3.2.8) v,w v w. Dus bestaat er precies één θ met θ π zdd Deze hoek θ heet de hoek tussen v en w. cos θ = v,w v w. Definitie 3.2. We noemen twee willekeurige vectoren v en w in een inproductruimte V orthogonaal, notatie v w, als v, w =. We zeggen dan ook dat v en w loodrecht op elkaar staan. Definitie Zij v,...,v n in V. Dan heet (v,...,v n ) een orthogonaal stelsel in V als iedere v i en v i v j voor alle i j. Als bovendien iedere v i lengte heeft m.a.w. v i = voor alle i, dan heet (v,...,v n ) een orthonormaal stelsel in V. Voorbeeld Laat zien dat in C([,]) de vectoren v := x en w := 2 3x loodrecht op elkaar staan. Oplossing. v,w = x(2 3x)dx = 2xdx 3x2 dx = x 2 x3 = =. Voorbeeld In R n is (e,...,e n ) een orthonormaal stelsel t.o.v. het standaard inproduct. Een van de redenen waarom een orthogonaal stelsel handig is, is dat we de coördinaten van een willekeurige vector m.b.t. een orthogonaal stelsel rechtstreeks m.b.v. het inproduct kunnen bepalen. Stelling Zij (v,...,v n ) een orthogonaal stelsel in V. Voor v = c v + +c n v n V geldt dan c i = v,v i v i,v i, voor alle i. Bewijs. v,v i = c v + +c n v n,v i = c v,v i + +c i v i,v i + +c n v n,v i = c i v i,v i. Omdat v i is ook v i,v i en dus c i = v,v i v i,v i.

5 3.2. ABSTRACTE INPRODUCTRUIMTEN 4 Gevolg Als (v,...,v n ) een orthogonaal stelsel is, is het onafhankelijk. Bewijs. Pas toe met v =. Gevolg Zij (v,...,v n ) een orthogonaal stelsel in V. i) Als dim V = n, is het een basis van V. ii) Als (v,...,v n ) volledig is in V, is het een basis van V. Bewijs. ii) volgt uit en i) uit en.4.4. Voorbeeld In R 3 vormen v :=, v 2 := en v 3 := een orthogonaal stelsel t.o.v. het standaard inproduct (ga na!). Dus is volgens i) (v,v 2,v 3 ) een basis van R 3. 2 Zij v := 3. Bepaal c,c 2,c 3 R met v = c v + v 2 c 2 + c 3 v 3. 7 Oplossing. Volgens is c = v,v c 3 = = 5 2. Net zo vinden we c 2 = 2 en v,v = We geven nu een algoritme om uit een gegeven basis (v,...,v n ) van V een orthogonale basis te maken: Stelling (Gram-Schmidt orthogonalisatie algoritme.) Zij V een inproductruimte met basis (v,...,v n ). Definiëer inductief e,...,e n in V d.m.v. e := v, e 2 := v 2 v 2,e e,e e,... e k := v k v k,e e,e e... v k,e k e k,e k e k v k,e j k = v k e j,e j e j. Dan is voor iedere k n het stelsel (e,...,e k ) orthogonaal. I.h.b. is (e,...,e n ) een orthogonale basis van V. Bewijs. Met inductie naar k. Duidelijk als k =. Neem dus aan k 2 en dat de stelling al voor k bewezen is, m.a.w. (e,...,e k ) is orthogonaal. We moeten dan nog inzien dat e k,e i = voor alle i k. Er geldt k v k,e j e k,e i = v k e j,e j e k v k,e j j,e i = v k,e i e j= j,e j e j,e i. j= Omdat e j,e i = als i j k volgt e k,e i = v k,e i v k,e i e i,e i e i,e i =. Dus is (e,...,e k ) orthogonaal voor alle k n. I.h.b. is (e,...,e n ) orthogonaal en dus een basis vanwege i). j=

6 42 HOOFDSTUK 3. VECTORRUIMTEN MET INPRODUCT Opmerking Het meetkundige idee achter de Gram-Schmidt orthogonalisatie is vrij simpel. Voor een vector v en een orthogonaal stelsel (e,...,e k ) is v = k j= v,e j e j,e j e j de orthogonale projectie van v in de deelruimte U opgespannen door e,...,e k (zie hieronder). De verschilvector e k = v v staat dan loodrecht op alle vectoren in de deelruimte U, dus i.h.b. op e,...,e k. Omdat v = e k + v en v in U ligt, is e,...,e k,v = e,...,e k,e k. Voorbeeld Zij P n [,] de verzameling der veeltermfuncties van graad n op het interval [, ]. Dit is een lineaire deelruimte van C([, ]), de vectorruimte der continue reëelwaardige functies op [,]. Op P n [,] nemen we het inproduct f,g := f(x)g(x)dx. Bepaal een orthogonale basis van P 2[,]. Oplossing. (,x,x 2 ) is een basis van P 2 [,]. Pas nu het Gram-Schmidt proces toe: e :=, e 2 := x x,,. Omdat x, = xdx = volgt e 2 = x. Tenslotte e 3 = x 2 x2,, x2,x x,x x. Omdat x 2,x = x3 dx = en x 2, = 2 3 en, = 2 volgt dat e 3 = x 2 3. Dus (,x,x 2 3 ) is een orthogonale basis van P 2[,]. Deze polynomen heten de Legendre polynomen. Eenzelfde verhaal voor n = 5 geeft de eerste zes Legendre polynomen, x, x 2 3, x3 3 5 x, x4 6 7 x , x5 9 x x. Definitie Zij U een lineaire deelruimte van een inproductruimte V. Het orthogonale complement van U (in V ), notatie U, is gedefinieerd d.m.v. U := {v V v,u = voor alle u U}. Opgave i) Laat zien dat U een lineaire deelruimte van V is. ii) Stel dat (u,...,u m ) een volledig stelsel voor V is. Laat zien dat U = {v V v,u =,..., v,u m = }. Voorbeeld Zij U := R 2. Bereken U. Oplossing. Volgens geldt: x x U = x 2 R 3, = = x 3 x 2 x 3 m.a.w. U is het vlak x + x 2 + x 3 =. x x 2 x 3 R 3 x + x 2 + x 3 = Opgave Zij A een m n matrix. Laat zien dat in R m het volgende verband geldt tussen de kolommenruimte Col(A) (zie sectie 2.3) en de nulruimte Nul(A t ) (zie.2.4) van de getransponeerde matrix: Col(A) = Nul(A t ).

7 3.2. ABSTRACTE INPRODUCTRUIMTEN 43 De volgende stelling is een zeer nuttige generalisatie ( ) van het feit dat iedere vector ( ) uit R 2 eenduidig te schrijven is als een vector uit U := en een vector uit U =. Stelling Zij U een eindig dimensionale lineaire deelruimte van een inproductruimte V. Dan is iedere v V éénduidig te schrijven als v = v + v 2 met v U en v 2 U. Bewijs. i) Kies m.b.v een orthogonale basis (e,...,e m ) van U. Zij v V en definiëer v := v,e e,e e + + v,e m e m,e m e m en v 2 := v v. Dan is duidelijk dat v in U en v = v + v 2. Om in te zien dat v 2 U is het volgens voldoende te bewijzen dat v 2,e i = voor alle i m. Zij daartoe i m. Dan v 2,e i = v,e i v,e i. Omdat e j,e i = als j i volgt Dus v,e i = v,e i e i,e i e i,e i = v,e i. v 2,e i = v,e i v,e i =. ii) Rest ons nog de eenduidigheid te bewijzen. Stel daarom dat ook v = v + v 2 met v U en v 2 U. Dan w := v v = v 2 v 2. Omdat v,v U volgt w U. Net zo w U, omdat w 2,w 2 U. Dus w,u = voor alle u U. I.h.b. voor u = w, m.a.w. w,w =. Dus w = en dus v = v en v 2 = v 2. Definitie Zij U een eindig dimensionale lineaire deelruimte van een inproductruimte V en zij v = v + v 2 V met v U en v 2 U. Dan heet de (eenduidig bepaalde) vector v U de projectie van v op U, notatie proj U (v). De vector v 2 U heet de component van v loodrecht op U. Uit bovenstaand bewijs zien we: als (e,...,e m ) een orthogonale basis van U is dan is proj U (v) = v,e e,e e v,e m e m,e m e m. en v 2 = v proj U (v). Het belang van de projectie van v op U komt voort uit de volgende (zeer nuttige) stelling: Stelling Zij U een eindig dimensionale lineaire deelruimte van een inproductruimte V en zij v V. Dan is proj U (v) die vector in U die de kleinste afstand tot v heeft, d.w.z. v proj U (v) v u, voor alle u U. Bewijs. Zij u U en v := proj U (v). Dan v v U en v u U. Schrijf nu v u = (v v ) + (v u). Dan volgt wegens v v,v u = : v u 2 = (v v ) + (v u),(v v ) + (v u) = v v,v v + v u,v u = v v 2 + v u 2. Dus i.h.b. v u 2 v v 2, waarmee de stelling bewezen is.

8 44 HOOFDSTUK 3. VECTORRUIMTEN MET INPRODUCT Voorbeeld Zij U de lineaire deelruimte van R 4 gegeven door de vergelijkingen x + x 2 + x 3 = en 2x 2 + x 3 + x 4 =. 5 Bepaal de projectie van v = 6 7 op U en de kleinste afstand van v tot U. 2 Oplossing. Het stelsel vergelijkingen oplossend vinden we x 2 = 2 x 3 2 x 4 en x = x 2 x 3 = 2 x x 4. Dit geeft 2 x x 4 U = 2 x 3 2 x 4 x 3 x 3,x 4 R = e := 2, e 2 :=. x 4 2 Merk op dat e en e 2 orthogonaal zijn. Dus proj U (v) = v,e e,e e + v,e 2 e 2,e 2 e 2 5.( ) + 6.( ) = ( ).( ) + ( ).( ) e ( ) ( ).( ) e 2 = 2 e + 2 e 2 =. De kortste afstand van v tot U is volgens : 5 v proj U (v) = 6 7 = = Toepassingen a) De methode der kleinste kwadraten In veel fysische situaties is het gebruikelijk dat een stelsel Ax = b om theoretische redenen een oplossing moet hebben, maar dat het in werkelijkheid geen oplossing heeft vanwege meetfouten die de matrix elementen van A en b verstoren. In zulke situaties zoeken we naar een x die een zo goed mogelijke oplossing is in de zin dat Ax b minimaal is ( is de gewone Euclidische lengte). Probleem der klassieke kwadraten. Gegeven een lineair systeem Ax = b van m vergelijkingen met n onbekenden. Vind een vector x R n zó dat Ax b minimaal is. Zo n x heet een kleinste kwadraten oplossing van Ax = b.

9 3.3. TOEPASSINGEN 45 Opmerking 3.3. De naam kleinste kwadraten zien we als volgt: zij ε := Ax b de error functie, zeg ε = (ε... ε m ) t. Dan ε = ε ε2 m is minimaal d.e.s.d.a. ε 2 = ε ε2 m minimaal. Dit verklaart de naam! Om het kleinste kwadraten probleem op te lossen definiëren we U := {Ax x R n } R m. We zien dus dat U de lineaire deelruimte Im f A = Col(A) is (zie sectie 2.3). We zoeken een x R n zodat Ax dié vector uit U is die zo dicht mogelijk bij b ligt. Volgens moet dan Ax = proj U b zijn!. M.a.w. we moeten x oplossen uit Ax = proj U b. Lemma Er geldt Ax = proj U b d.e.s.d.a. A t Ax = A t b. Bewijs. Merk op dat U = Col(A) = Nul(A t ) (3.2.25). : Stel Ax = proj U b. Dan b Ax = b proj U b U = Nul(A t ), dus A t (b Ax) = m.a.w. A t Ax = A t b. : Omgekeerd, stel A t (Ax b) =. Dan Ax b Nul(A t ) = U. Ook b proj U b U. Dus Ax proj U b U. Per definitie zitten Ax en proj U b in U, dus Ax proj U b U. Totaal Ax proj U b U U = {}. Dus Ax = proj U b. Gevolg Als de kolommen van A lineair onafhankelijk zijn, dan is een kleinste kwadraten oplossing uniek. Bewijs. Uit volgt dat x een kleinste kwadraten oplossing is d.e.s.d.a. A t Ax = A t b. We laten nu zien dat A t A inverteerbaar is (waaruit dan de bewering volgt). Volgens is het voldoende te bewijzen dat uit A t Ax = volgt dat x =. Neem dus aan dat A t Ax =, m.a.w. A t (Ax) =. Dus Ax Nul(A t ) = U. Ook Ax U. Dus Ax U U = {}, m.a.w. x A + + x n A n =, waarbij A i de i-de kolom van A is. Uit het gegeven volgt dan dat x =... = x n = m.a.w. x =. Voorbeeld Gegeven het stelsel Ax = b d.m.v. x x 2 = 4 3x + 2x 2 = 2x + 4x 2 = 3 Laat zien dat er precies een kleinste kwadraten oplossing bestaat en vind die. 4 Oplossing. Hier A = 3 2 en b = Men ziet meteen dat de kolommen van A onafhankelijk zijn. Dus is er precies één kleinste kwadraten oplossing van Ax = b (3.3.3). Om deze te bepalen moeten we volgens x oplossen uit A t Ax = A t b. Uitrekenen van A t A en A t b levert het stelsel ( ) ( ) ( ) 4 3 x =. 3 2 Hieruit volgt dan eenvoudig: (x,x 2 ) = ( 7 95, ). x 2

10 46 HOOFDSTUK 3. VECTORRUIMTEN MET INPRODUCT b) Hoofdcomponenten analyse Bij statistische evaluaties kijkt men vaak naar het gemiddelde van de metingen en naar de spreiding van de metingen rond het gemiddelde. Als de metingen x,...,x m zijn, dan is het gemiddelde (in de kansrekening verwachtingswaarde geheten) µ = m m i= x i en de variantie is σ 2 = m m i= (x i µ) 2, d.w.z. het gemiddelde van de kwadratische afwijkingen van de verwachtingswaarde. Als we nu een experiment hebben met verschillende parameters, dan zijn de metingen vectoren v i met een zeker aantal componenten. Bij drie parameters is een meting bijvoorbeeld een vector van de vorm v i = x i y i z i. Het gemiddelde vinden we weer door de metingen bij elkaar op te tellen en door het aantal metingen te delen, dit geeft bij drie parameters de vector µ x µ = µ y = m µ z m v i. Het is nu niet meer vanzelfsprekend dat de grootste spreiding van de metingen in één van de richtingen der parameters ligt, want misschien is er een combinatie van parameters, die het grootste effect op het experiment heeft. We willen dus graag de richting bepalen waarin de spreiding maximaal wordt. Dit legt het verband met de orthogonale projecties want als we het over de spreiding in een bepaalde richting hebben, praten we over de spreiding van de orthogonale projecties op een lijn. Stel we willen de spreiding in de richting van een vector u met u = bepalen. Volgens is de orthogonale projectie van een vector v op de lijn langs u gegeven door proj u (v) = v,u u en wegens u = is het kwadraat van de lengte van deze projectie v,u 2. Als we nu metingen v,...,v m met een gemiddelde µ hebben, is de spreiding in de richting van u gegeven door σu 2 = m v i µ,u 2 m i= Omdat we in dit geval altijd met het standaard inproduct op R n werken, kunnen we v,u 2 nog iets anders schrijven, namelijk i= v,u 2 = u t v v t u Dit toegepast op σ 2 u geeft ( σu 2 = u t m m (v i µ) (v i µ) )u. t i= Opmerking De uitdrukking V := m m (v i µ) (v i µ) t i=

11 3.3. TOEPASSINGEN 47 is een n n matrix die alleen maar van de metingen v i afhangt. Deze matrix heet de covariantiematrix van de metingen v,...,v n. M.b.v. de covariantiematrix laat zich σ 2 u makkelijk schrijven als σ 2 u = u t V u. Gezocht is nu de vector u met u = waarvoor u t V u maximaal is. Nu laat zich voor covariantiematrices bewijzen, dat ze altijd diagonaliseerbaar zijn, met alleen maar positieve reële eigenwaarden. Met behulp hiervan gaat men na dat de vector u waarvoor u t V u maximaal is de eigenvector voor de grootste eigenwaarde van V is. Voorbeeld Gegeven zijn de tien metingen (x,y ) = ( 5, 2); (x 2,y 2 ) = ( 4, 3); (x 3,y 3 ) = ( 3,); (x 4,y 4 ) = ( 2, ); (x 5,y 5 ) = (, ); (x 6,y 6 ) = (,); (x 7,y 7 ) = (2,3); (x 8,y 8 ) = (3,2); (x 9,y 9 ) = (4,); (x,y ) = (5,2). Bepaal de richting van de grootste spreiding van deze metingen. Oplossing. De punten zijn zo gekozen dat het gemiddelde µ = moeten dus alleen maar de covariantiematrix bepalen, deze is V = ( i= x2 i i= x ) iy i i= x = iy i i= y2 i De eigenwaarden van V zijn ( ) ( i= x ) i i= y i λ = 2 ( ) 2.34, λ 2 = 2 (57 865) 3.36 en de eigenvector voor de grootste eigenwaarde λ is ( ) 64 u = ( ) = ( ) is. We Het plaatje hieronder geeft de metingen en de lijn in de richting van de grootste spreiding aan. Merk op dat de lijn vanwege µ = door de oorsprong loopt. Opmerking In het algemeen wordt deze methode gebruikt om uit een groot aantal parameters de belangrijkste combinaties eruit te vissen. Deze combinaties heten de hoofdcomponenten, vandaar de naam hoofdcomponenten analyse. Men neemt dan bijvoorbeeld in een experiment met honderd parameters de eigenvectoren die bij de grootste tien eigenwaarden horen en heeft hiermee vaak de belangrijkste eigenschappen voor het experiment beschreven.

12 48 HOOFDSTUK 3. VECTORRUIMTEN MET INPRODUCT Historische opmerkingen Een techniek die veel lijkt op de methode der kleinste kwadraten was ontwikkeld door Roger Cotes (682-76) in een werk (rond 75) waarin hij afwijkingen in astronomische waarnemingen behandelde. Het complete principe werd voor het eerst door Gauss op 6-jarige leeftijd (793) geformuleerd terwijl hij bezig was de verdeling der priemgetallen te bestuderen. Gauss zei later dat hij deze methode heel veel gebruikt had gedurende vele jaren bijvoorbeeld bij het berekenen van banen van astroïden. Hij publiceerde zijn methode in 89 en gaf 4 jaar later een nog uitgebreidere uiteenzetting. Echter Adrien-Marie Legendre ( ) was de eerste die de methode der kleinste kwadraten publiceerde in een werk in 86 over de bepaling van komeetbanen. Legendre was niet echt blij met het feit dat Gauss in 89 beweerde dat hij de methode als eerste had bedacht: tot 827 bleef Legendre Gauss daarover schrijven.

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig

Nadere informatie

Unitaire en Hermitese transformaties

Unitaire en Hermitese transformaties Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Geadjungeerde en normaliteit

Geadjungeerde en normaliteit Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of

Nadere informatie

Vectorruimten en deelruimten

Vectorruimten en deelruimten Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 2 Lineaire afbeeldingen 21 Inleiding Een afbeelding f van een verzameling V naar een verzameling W is een regel die aan ieder element v van V een element f(v) van W toevoegt maw een generalisatie

Nadere informatie

Optelling en scalaire vermenigvuldiging zijn weer plaatsgewijs gedefinieerd, bijvoorbeeld: 7 (x 1, x 2, x 3,...)

Optelling en scalaire vermenigvuldiging zijn weer plaatsgewijs gedefinieerd, bijvoorbeeld: 7 (x 1, x 2, x 3,...) 5. Lineaire ruimten Tot nu toe hebben we ons uitsluitend met de R n bezig gehouden. We gaan de behandelde theorie nu uitbreiden tot verzamelingen die een sterke overeenkomst met een R n vertonen. Een dergelijke

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. . Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn

Nadere informatie

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b, UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht

Nadere informatie

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor

Nadere informatie

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college. Het inwendig- en het uitwendig product. Vandaag. Hoeken Orthogonaliteit en projecties. Toepassing: magnetische velden

Ruimtewiskunde. college. Het inwendig- en het uitwendig product. Vandaag. Hoeken Orthogonaliteit en projecties. Toepassing: magnetische velden college 2 - en het uitwendig collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 2 30 mei 207 30 2 3 4 5 Hoeken Orthogonaliteit en projecties Toepassing: magnetische velden.6-7[2] vandaag meetkundig Section

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines

Nadere informatie

Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode

Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode 2008-2009 Een rechte conoïde met als richtrechte de X-as, en als richtoppervlak de sfeer met middelpunt in (0, 16, 0) en straal 9. (1) Stel

Nadere informatie

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten. WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de

Nadere informatie

3 De duale vectorruimte

3 De duale vectorruimte 3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Vectormeetkunde in R 3

Vectormeetkunde in R 3 Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie

Nadere informatie

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES

Nadere informatie

V.4 Eigenschappen van continue functies

V.4 Eigenschappen van continue functies V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom 8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer

Nadere informatie

De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk

De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk In het vorige college hebben jullie gezien wat R 2 (het vlak) is. Een vector v R 2 is een paar v = (x,y) van reële getallen. Voor vectoren v = (a,b) en w = (c,d) in

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A. TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op dinsdag 9 april 8, 9.. uur. Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord

Nadere informatie

V.2 Limieten van functies

V.2 Limieten van functies V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de

Nadere informatie

Symmetrische matrices

Symmetrische matrices Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 28 november, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc.

College WisCKI. Albert Visser. 28 november, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc. College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 28 november, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Vectorvoorstelling Lijn: x = b + λa. b is steunvector

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

6. Lineaire operatoren

6. Lineaire operatoren 6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Meetkunde en lineaire algebra

Meetkunde en lineaire algebra Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.

Nadere informatie

CTB1002-D2 Lineaire Algebra 2

CTB1002-D2 Lineaire Algebra 2 CTB00-D Lineaire Algebra Juli 03 Augustus 03 Juli 0 Augustus 0 Juli 0 Augustus 0 Juli 00 Augustus 00 Tentamenbundel Civiele Techniek Het Gezelschap "Practische Studie" Technische Universiteit Delft Faculteit

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1)

Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Trainingsdag 3, april 009 Driehoeksongelijkheid Driehoeksongelijkheid Voor drie punten in het vlak A, B en C geldt altijd dat AC + CB AB. Gelijkheid geldt precies

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of

Nadere informatie

Voortgezette Lineaire Algebra. Prof. dr. J. van Mill Dr. F. van Schagen

Voortgezette Lineaire Algebra. Prof. dr. J. van Mill Dr. F. van Schagen Voortgezette Lineaire Algebra Prof. dr. J. van Mill Dr. F. van Schagen Inhoud Hoofdstuk I. Complexe vectorruimten en inwendige producten 5 I.1. Vectorruimten 5 I.2. Hermitische producten 8 I.3. Inwendig-productruimten

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra 4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra Positieve en niet-negatieve matrices komen veel voor binnen de stochastiek (zoals de PageRank matrix) en de mathematische fysica: temperatuur, dichtheid,

Nadere informatie

2. Transformaties en matrices

2. Transformaties en matrices Transformaties en matrices Lineaire afbeelding Onder een lineaire afbeelding van R n naar R m verstaan we een functie A die aan iedere vector uit R n een vector uit R m toevoegt en van het volgende type

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

1. Vectoren in R n. y-as

1. Vectoren in R n. y-as 1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015, Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd

Nadere informatie

Lineaire algebra en kegelsneden. Cursus voor de vrije ruimte

Lineaire algebra en kegelsneden. Cursus voor de vrije ruimte Lineaire algebra en kegelsneden Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk Reële vectorruimten. De reële vectorruimte van de reële n-tallen Definitie Een reëel

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Cursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1)

Cursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1) Cursus Statistiek Hoofdstuk 4 Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Departement Informatica Inhoud Verwachtingen Variantie Momenten en Momentengenererende functie

Nadere informatie

Wiskunde voor informatici 2 Oefeningen

Wiskunde voor informatici 2 Oefeningen Wiskunde voor informatici Oefeningen Reinout Stevens resteven@vub.ac.be Prof: Ann Dooms Assistent: Arnout Van Messem 5 Juni 8 Gedachtenstroom In dit document staan de meeste oplossingen van de cursus Wiskunde

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Als Ax λx voor zekere x in R n met x 0, dan is λ een eigenwaarde van A en x een eigenvector van A behorende bij λ. Een eigenvector is op een multiplicatieve constante

Nadere informatie

Opgaven bij Numerieke Wiskunde I

Opgaven bij Numerieke Wiskunde I Opgaven bij Numerieke Wiskunde I 7 november 8 1. (a) Gegeven verschillende interpolatiepunten x, x 1, x [a, b], en getallen y, y 1, y, z 1, toon aan dat er hooguit 1 polynoom p P 3 is met p(x i ) = y i,

Nadere informatie

3.2 Vectoren and matrices

3.2 Vectoren and matrices we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Meetkundige ongelijkheden Groep A

Meetkundige ongelijkheden Groep A Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor

Nadere informatie

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Lineaire Algebra A en B. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven

Lineaire Algebra A en B. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven Lineaire Algebra A en B Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2007 2008 ii Syllabus bij Lineaire Algebra A (2WF07) en Lineaire Algebra B (2WF08) Inhoudsopgave 0 Vectorrekening

Nadere informatie

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen

Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 1 van 13 Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen Les 1 : Vectoren tekenen Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog. b Je kunt vectoren

Nadere informatie

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17 Hints en uitwerkingen huiswerk 013 Analyse 1 H17 Rocco van Vreumingen augustus 014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 Hints 4 3 Hints 3 4 4 Hints 4 5 5 Hints 5 5 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Hints 8 6 9 Hints 9

Nadere informatie

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

Het orthogonaliseringsproces van Gram-Schmidt

Het orthogonaliseringsproces van Gram-Schmidt Het orthogonaliseringsproces an Gram-Schmidt Voor het berekenen an een orthogonale projectie an een ector y op een deelruimte W an R n is een orthogonale basis {u,, u p } zeer gewenst De orthogonale projectie

Nadere informatie

Determinanten. Hoofdstuk Inleiding

Determinanten. Hoofdstuk Inleiding Hoofdstuk 3 Determinanten 3.1 Inleiding In deze paragraaf bekijken we het stelsel Ax = b waarbij A een n n matrix is. We zagen in voorgaande dat, als A inverteerbaar is er precies één oplossing van dit

Nadere informatie

Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09 Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09

Nadere informatie

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10 FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra en Lineaire Analyse (Y550/Y530), op donderdag 5 november 00, 9:00 :00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006

Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006 Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen 6 juni 6 i ii Inhoudsopgave Stelsels differentiaalvergelijkingen Opgaven Stelsels differentiaalvergelijkingen In deze paragraaf passen we onze kennis

Nadere informatie

Analyse 1 Handout limieten en continuïteit

Analyse 1 Handout limieten en continuïteit Analyse Handout ieten en continuïteit Rogier Bos Inhoudsopgave Limieten 2. Intuïtief ieten bepalen........................ 2.2 Rekenen aan ieten........................... 4.3 Limieten als spel.............................

Nadere informatie

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als

Nadere informatie

te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector

te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product

Nadere informatie

Stelsels differentiaalvergelijkingen

Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +

Nadere informatie