Vectorruimten met inproduct

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Vectorruimten met inproduct"

Transcriptie

1 Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij twee vectoren hebben we het zgn. inproduct dat een verband heeft met de hoek tussen de vectoren. Precieser, als v = (x,x 2,x 3 ) t R 3 dan wordt volgens de stelling van Pythagoras de lengte van v, genoteerd v gegeven door v = x 2 + x2 2 + x2 3. Het inproduct v,w van v en w wordt gegeven door (3.) v,w = v w cos α waarbij α de hoek tussen de vectoren v en w is. Gebruik makend van de cosinusregel kan men nagaan (opgave 3..3) dat geldt v,w = x y + x 2 y 2 + x 3 y 3. Deze formule kunnen we gebruiken om een inproduct op R n te definiëren: Definitie 3.. Zij v = x. x n en w = y. y n in R n. Met de voorschrijft v,w := x y + + x n y n wordt aan ieder tweetal vectoren v en w uit R n een reëel getal v,w toegevoegd m.a.w. we hebben een afbeelding, : R n R n R gedefinieerd. Opgave 3..2 Bewijs dat de in 3.. gedefinieerde afbeelding aan de volgende eigenschappen voldoet. i) v + v 2,w = v,w + v 2,w, voor alle v,v 2,w in R n. ii) cv,w = c v,w, voor alle v,w in R n en alle c in R. iii) v,w = w,v, voor alle v,w in R n. iv) v,v > als v. Opgave 3..3 Zij v = (x,x 2,x 3 ) t en w = (y,y 2,y 3 ) t in R 3 en v,w := v w cos α, waarbij α de hoek is tussen v en w. Bewijs dat v,w = x y + x 2 y 2 + x 3 y 3. 37

2 38 HOOFDSTUK 3. VECTORRUIMTEN MET INPRODUCT [Aanw.: Bekijk de driehoek met als zijden de vector v, de vector w en de vector die loopt van het eindpunt van w naar het eindpunt van v. Deze zijden hebben lengte resp. v, w en v w. Volgens de cosinusregel (3.3.2 uit LA) geldt dan Gebruik nu dat v 2 = x 2 + x2 2 + x2 3 enz.] v w 2 = v 2 + w 2 2 v w cos α. 3.2 Abstracte inproductruimten De eigenschappen van het inproduct op R n zoals in 3..2 beschreven leiden ons tot de volgende definitie. Definitie 3.2. Zij V een vectorruimte. Een inproduct op V is een afbeelding, : V V R die voldoet aan: i) v + v 2,w = v,w + v 2,w, voor alle v,v 2,w in V. ii) cv,w = c v,w, voor alle v,w in V en alle c in R. iii) v,w = w,v, voor alle v,w in V. iv) v,v > als v. Een vectorruimte V met daarop een inproduct heet een inproductruimte of ook ruimte met inproduct of prehilbertruimte. De lengte van een vector v in een inproductruimte definiëren we als v := v,v. Omdat er bij twee vectoren nauwelijks een misverstand met andere vermenigvuldigingen kan bestaan, worden inproducten vaak gewoon met v w i.p.v. v,w genoteerd, Opgave Ga na dat uit i)-iv) in 3.2. volgt dat v, = en,w = en dat v, w = v,w voor alle v,w V. Voorbeeld R n met, zoals in 3.. is volgens 3..2 een inproductruimte. We noemen het in 3.. gedefinieerde inproduct het standaard inproduct op R n. Voorbeeld Zij V := C([, ]) de vectorruimte der continue functies van [, ] naar R. Definieer f,g := Laat zien dat, een inproduct op V is. f(x)g(x)dx, voor alle f,g V. Oplossing. i)-iii): f + f 2,g = (f + f 2 )(x)g(x)dx = (f (x)g(x) + f 2 (x)g(x))dx = f,g + f 2,g. Ook ziet men eenvoudig dat cf,g = c f,g, voor alle c R en dat f,g = g,f. iv): Omdat f(x) 2 is het duidelijk dat f,f := f(x)2 dx. We moeten nog inzien: als f,f =, dan f =. Neem dus aan dat f,f = m.a.w. f(x)2 dx = en stel dat f(x ) voor zekere x (,). Volgens de continuïteit van f(x) bestaat dan δ > en ε > zdd f(x) ε voor alle x [x δ,x + δ]. Dan = f(x) 2 dx x +δ x δ f(x) 2 dx x +δ x δ ε 2 dx = 2δε 2 >,

3 3.2. ABSTRACTE INPRODUCTRUIMTEN 39 tegenspraak. Dus blijkbaar f(x ) = voor alle x (,) en dus f = op [,] vanwege de continuïteit van f. Opgave Zij V := Pol(n) (zie voorbeeld.2.7) en p = a + a x + + a n x n en q = b + b x + + b n x n in V. Laat zien dat een inproduct op V definieert. p,q := a b + a b + + a n b n Opgave Zij A een n n matrix. Het spoor van A, genoteerd tr A (voor trace A), is per definitie de som der diagonaal elementen van A. Laat zien dat voor n n matrices geldt i) tr (A + B) = tr A + tr B. ii) tr (ca) = c.tr A, voor alle c in R. iii) tr (AB) = tr (BA). Opgave Zij V := M n (R). Definieer A,B := tr (A t B), voor alle A,B V. Laat zien dat, een inproduct op V definieert. Terugkerend naar formule (3.) zien we dat v,w v w voor alle v,w in R 3 (want cos α ). Het verrassende is dat zo n ongelijkheid geldt voor ieder inproduct! Stelling (Ongelijkheid van Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz.) Zij V een vectorruimte met inproduct,. Dan geldt v,w v w of te wel v,w 2 v,v w,w voor alle v,w V. Gelijkheid treedt op d.e.s.d.a. v en w afhankelijk zijn. Bewijs. i) Voor iedere t R geldt v + tw,v + tw en dus (3.2) v,v + 2t v,w + t 2 w,w voor alle t R. Als w,w =, dan w = en dus v,w = en dus geldt de ongelijkheid. We mogen dus aannemen dat w,w >. Kies dan voor t de waarde t := v,w w,w. Invullen in (3.2) geeft (3.3) v + t w,v + t w = v,v 2 v,w v,w 2 v,w 2 v,w + w,w = v,v w,w w,w 2 w,w. Dus v,w 2 v,v w,w. Trek dan wortels. ii) Uit (3.3) volgt dat we gelijkheid hebben d.e.s.d.a. v+t w,v+t w = d.e.s.d.a. v+t w =. Hieruit volgt de stelling. Het mooie van is dat we hem kunnen toepassen op allerlei inproductruimten. Bijvoorbeeld op die van Dit levert: Gevolg Zij f, g C([, ]). Dan geldt de volgende vaak gebruikte ongelijkheid voor integralen: 2 f(x)g(x)dx f(x) 2 dx g(x) 2 dx.

4 4 HOOFDSTUK 3. VECTORRUIMTEN MET INPRODUCT Een ander gevolg van is de zgn. driehoeksongelijkheid. Stelling 3.2. Zij V een inproductruimte en v, w in V. Dan geldt: v + w v + w. Bewijs. Volgens is v,w v,w v w. Dus Trek dan wortels. v + w 2 = v + w,v + w = v,v + 2 v,w + w,w v v w + w 2 = ( v + w ) 2. Ook kunnen we gebruiken om de hoek tussen twee vectoren ( ) in een abstracte inproductruimte te definiëren. Daartoe merk op dat als v en w in V beiden niet nul zijn dan (volgens 3.2.8) v,w v w. Dus bestaat er precies één θ met θ π zdd Deze hoek θ heet de hoek tussen v en w. cos θ = v,w v w. Definitie 3.2. We noemen twee willekeurige vectoren v en w in een inproductruimte V orthogonaal, notatie v w, als v, w =. We zeggen dan ook dat v en w loodrecht op elkaar staan. Definitie Zij v,...,v n in V. Dan heet (v,...,v n ) een orthogonaal stelsel in V als iedere v i en v i v j voor alle i j. Als bovendien iedere v i lengte heeft m.a.w. v i = voor alle i, dan heet (v,...,v n ) een orthonormaal stelsel in V. Voorbeeld Laat zien dat in C([,]) de vectoren v := x en w := 2 3x loodrecht op elkaar staan. Oplossing. v,w = x(2 3x)dx = 2xdx 3x2 dx = x 2 x3 = =. Voorbeeld In R n is (e,...,e n ) een orthonormaal stelsel t.o.v. het standaard inproduct. Een van de redenen waarom een orthogonaal stelsel handig is, is dat we de coördinaten van een willekeurige vector m.b.t. een orthogonaal stelsel rechtstreeks m.b.v. het inproduct kunnen bepalen. Stelling Zij (v,...,v n ) een orthogonaal stelsel in V. Voor v = c v + +c n v n V geldt dan c i = v,v i v i,v i, voor alle i. Bewijs. v,v i = c v + +c n v n,v i = c v,v i + +c i v i,v i + +c n v n,v i = c i v i,v i. Omdat v i is ook v i,v i en dus c i = v,v i v i,v i.

5 3.2. ABSTRACTE INPRODUCTRUIMTEN 4 Gevolg Als (v,...,v n ) een orthogonaal stelsel is, is het onafhankelijk. Bewijs. Pas toe met v =. Gevolg Zij (v,...,v n ) een orthogonaal stelsel in V. i) Als dim V = n, is het een basis van V. ii) Als (v,...,v n ) volledig is in V, is het een basis van V. Bewijs. ii) volgt uit en i) uit en.4.4. Voorbeeld In R 3 vormen v :=, v 2 := en v 3 := een orthogonaal stelsel t.o.v. het standaard inproduct (ga na!). Dus is volgens i) (v,v 2,v 3 ) een basis van R 3. 2 Zij v := 3. Bepaal c,c 2,c 3 R met v = c v + v 2 c 2 + c 3 v 3. 7 Oplossing. Volgens is c = v,v c 3 = = 5 2. Net zo vinden we c 2 = 2 en v,v = We geven nu een algoritme om uit een gegeven basis (v,...,v n ) van V een orthogonale basis te maken: Stelling (Gram-Schmidt orthogonalisatie algoritme.) Zij V een inproductruimte met basis (v,...,v n ). Definiëer inductief e,...,e n in V d.m.v. e := v, e 2 := v 2 v 2,e e,e e,... e k := v k v k,e e,e e... v k,e k e k,e k e k v k,e j k = v k e j,e j e j. Dan is voor iedere k n het stelsel (e,...,e k ) orthogonaal. I.h.b. is (e,...,e n ) een orthogonale basis van V. Bewijs. Met inductie naar k. Duidelijk als k =. Neem dus aan k 2 en dat de stelling al voor k bewezen is, m.a.w. (e,...,e k ) is orthogonaal. We moeten dan nog inzien dat e k,e i = voor alle i k. Er geldt k v k,e j e k,e i = v k e j,e j e k v k,e j j,e i = v k,e i e j= j,e j e j,e i. j= Omdat e j,e i = als i j k volgt e k,e i = v k,e i v k,e i e i,e i e i,e i =. Dus is (e,...,e k ) orthogonaal voor alle k n. I.h.b. is (e,...,e n ) orthogonaal en dus een basis vanwege i). j=

6 42 HOOFDSTUK 3. VECTORRUIMTEN MET INPRODUCT Opmerking Het meetkundige idee achter de Gram-Schmidt orthogonalisatie is vrij simpel. Voor een vector v en een orthogonaal stelsel (e,...,e k ) is v = k j= v,e j e j,e j e j de orthogonale projectie van v in de deelruimte U opgespannen door e,...,e k (zie hieronder). De verschilvector e k = v v staat dan loodrecht op alle vectoren in de deelruimte U, dus i.h.b. op e,...,e k. Omdat v = e k + v en v in U ligt, is e,...,e k,v = e,...,e k,e k. Voorbeeld Zij P n [,] de verzameling der veeltermfuncties van graad n op het interval [, ]. Dit is een lineaire deelruimte van C([, ]), de vectorruimte der continue reëelwaardige functies op [,]. Op P n [,] nemen we het inproduct f,g := f(x)g(x)dx. Bepaal een orthogonale basis van P 2[,]. Oplossing. (,x,x 2 ) is een basis van P 2 [,]. Pas nu het Gram-Schmidt proces toe: e :=, e 2 := x x,,. Omdat x, = xdx = volgt e 2 = x. Tenslotte e 3 = x 2 x2,, x2,x x,x x. Omdat x 2,x = x3 dx = en x 2, = 2 3 en, = 2 volgt dat e 3 = x 2 3. Dus (,x,x 2 3 ) is een orthogonale basis van P 2[,]. Deze polynomen heten de Legendre polynomen. Eenzelfde verhaal voor n = 5 geeft de eerste zes Legendre polynomen, x, x 2 3, x3 3 5 x, x4 6 7 x , x5 9 x x. Definitie Zij U een lineaire deelruimte van een inproductruimte V. Het orthogonale complement van U (in V ), notatie U, is gedefinieerd d.m.v. U := {v V v,u = voor alle u U}. Opgave i) Laat zien dat U een lineaire deelruimte van V is. ii) Stel dat (u,...,u m ) een volledig stelsel voor V is. Laat zien dat U = {v V v,u =,..., v,u m = }. Voorbeeld Zij U := R 2. Bereken U. Oplossing. Volgens geldt: x x U = x 2 R 3, = = x 3 x 2 x 3 m.a.w. U is het vlak x + x 2 + x 3 =. x x 2 x 3 R 3 x + x 2 + x 3 = Opgave Zij A een m n matrix. Laat zien dat in R m het volgende verband geldt tussen de kolommenruimte Col(A) (zie sectie 2.3) en de nulruimte Nul(A t ) (zie.2.4) van de getransponeerde matrix: Col(A) = Nul(A t ).

7 3.2. ABSTRACTE INPRODUCTRUIMTEN 43 De volgende stelling is een zeer nuttige generalisatie ( ) van het feit dat iedere vector ( ) uit R 2 eenduidig te schrijven is als een vector uit U := en een vector uit U =. Stelling Zij U een eindig dimensionale lineaire deelruimte van een inproductruimte V. Dan is iedere v V éénduidig te schrijven als v = v + v 2 met v U en v 2 U. Bewijs. i) Kies m.b.v een orthogonale basis (e,...,e m ) van U. Zij v V en definiëer v := v,e e,e e + + v,e m e m,e m e m en v 2 := v v. Dan is duidelijk dat v in U en v = v + v 2. Om in te zien dat v 2 U is het volgens voldoende te bewijzen dat v 2,e i = voor alle i m. Zij daartoe i m. Dan v 2,e i = v,e i v,e i. Omdat e j,e i = als j i volgt Dus v,e i = v,e i e i,e i e i,e i = v,e i. v 2,e i = v,e i v,e i =. ii) Rest ons nog de eenduidigheid te bewijzen. Stel daarom dat ook v = v + v 2 met v U en v 2 U. Dan w := v v = v 2 v 2. Omdat v,v U volgt w U. Net zo w U, omdat w 2,w 2 U. Dus w,u = voor alle u U. I.h.b. voor u = w, m.a.w. w,w =. Dus w = en dus v = v en v 2 = v 2. Definitie Zij U een eindig dimensionale lineaire deelruimte van een inproductruimte V en zij v = v + v 2 V met v U en v 2 U. Dan heet de (eenduidig bepaalde) vector v U de projectie van v op U, notatie proj U (v). De vector v 2 U heet de component van v loodrecht op U. Uit bovenstaand bewijs zien we: als (e,...,e m ) een orthogonale basis van U is dan is proj U (v) = v,e e,e e v,e m e m,e m e m. en v 2 = v proj U (v). Het belang van de projectie van v op U komt voort uit de volgende (zeer nuttige) stelling: Stelling Zij U een eindig dimensionale lineaire deelruimte van een inproductruimte V en zij v V. Dan is proj U (v) die vector in U die de kleinste afstand tot v heeft, d.w.z. v proj U (v) v u, voor alle u U. Bewijs. Zij u U en v := proj U (v). Dan v v U en v u U. Schrijf nu v u = (v v ) + (v u). Dan volgt wegens v v,v u = : v u 2 = (v v ) + (v u),(v v ) + (v u) = v v,v v + v u,v u = v v 2 + v u 2. Dus i.h.b. v u 2 v v 2, waarmee de stelling bewezen is.

8 44 HOOFDSTUK 3. VECTORRUIMTEN MET INPRODUCT Voorbeeld Zij U de lineaire deelruimte van R 4 gegeven door de vergelijkingen x + x 2 + x 3 = en 2x 2 + x 3 + x 4 =. 5 Bepaal de projectie van v = 6 7 op U en de kleinste afstand van v tot U. 2 Oplossing. Het stelsel vergelijkingen oplossend vinden we x 2 = 2 x 3 2 x 4 en x = x 2 x 3 = 2 x x 4. Dit geeft 2 x x 4 U = 2 x 3 2 x 4 x 3 x 3,x 4 R = e := 2, e 2 :=. x 4 2 Merk op dat e en e 2 orthogonaal zijn. Dus proj U (v) = v,e e,e e + v,e 2 e 2,e 2 e 2 5.( ) + 6.( ) = ( ).( ) + ( ).( ) e ( ) ( ).( ) e 2 = 2 e + 2 e 2 =. De kortste afstand van v tot U is volgens : 5 v proj U (v) = 6 7 = = Toepassingen a) De methode der kleinste kwadraten In veel fysische situaties is het gebruikelijk dat een stelsel Ax = b om theoretische redenen een oplossing moet hebben, maar dat het in werkelijkheid geen oplossing heeft vanwege meetfouten die de matrix elementen van A en b verstoren. In zulke situaties zoeken we naar een x die een zo goed mogelijke oplossing is in de zin dat Ax b minimaal is ( is de gewone Euclidische lengte). Probleem der klassieke kwadraten. Gegeven een lineair systeem Ax = b van m vergelijkingen met n onbekenden. Vind een vector x R n zó dat Ax b minimaal is. Zo n x heet een kleinste kwadraten oplossing van Ax = b.

9 3.3. TOEPASSINGEN 45 Opmerking 3.3. De naam kleinste kwadraten zien we als volgt: zij ε := Ax b de error functie, zeg ε = (ε... ε m ) t. Dan ε = ε ε2 m is minimaal d.e.s.d.a. ε 2 = ε ε2 m minimaal. Dit verklaart de naam! Om het kleinste kwadraten probleem op te lossen definiëren we U := {Ax x R n } R m. We zien dus dat U de lineaire deelruimte Im f A = Col(A) is (zie sectie 2.3). We zoeken een x R n zodat Ax dié vector uit U is die zo dicht mogelijk bij b ligt. Volgens moet dan Ax = proj U b zijn!. M.a.w. we moeten x oplossen uit Ax = proj U b. Lemma Er geldt Ax = proj U b d.e.s.d.a. A t Ax = A t b. Bewijs. Merk op dat U = Col(A) = Nul(A t ) (3.2.25). : Stel Ax = proj U b. Dan b Ax = b proj U b U = Nul(A t ), dus A t (b Ax) = m.a.w. A t Ax = A t b. : Omgekeerd, stel A t (Ax b) =. Dan Ax b Nul(A t ) = U. Ook b proj U b U. Dus Ax proj U b U. Per definitie zitten Ax en proj U b in U, dus Ax proj U b U. Totaal Ax proj U b U U = {}. Dus Ax = proj U b. Gevolg Als de kolommen van A lineair onafhankelijk zijn, dan is een kleinste kwadraten oplossing uniek. Bewijs. Uit volgt dat x een kleinste kwadraten oplossing is d.e.s.d.a. A t Ax = A t b. We laten nu zien dat A t A inverteerbaar is (waaruit dan de bewering volgt). Volgens is het voldoende te bewijzen dat uit A t Ax = volgt dat x =. Neem dus aan dat A t Ax =, m.a.w. A t (Ax) =. Dus Ax Nul(A t ) = U. Ook Ax U. Dus Ax U U = {}, m.a.w. x A + + x n A n =, waarbij A i de i-de kolom van A is. Uit het gegeven volgt dan dat x =... = x n = m.a.w. x =. Voorbeeld Gegeven het stelsel Ax = b d.m.v. x x 2 = 4 3x + 2x 2 = 2x + 4x 2 = 3 Laat zien dat er precies een kleinste kwadraten oplossing bestaat en vind die. 4 Oplossing. Hier A = 3 2 en b = Men ziet meteen dat de kolommen van A onafhankelijk zijn. Dus is er precies één kleinste kwadraten oplossing van Ax = b (3.3.3). Om deze te bepalen moeten we volgens x oplossen uit A t Ax = A t b. Uitrekenen van A t A en A t b levert het stelsel ( ) ( ) ( ) 4 3 x =. 3 2 Hieruit volgt dan eenvoudig: (x,x 2 ) = ( 7 95, ). x 2

10 46 HOOFDSTUK 3. VECTORRUIMTEN MET INPRODUCT b) Hoofdcomponenten analyse Bij statistische evaluaties kijkt men vaak naar het gemiddelde van de metingen en naar de spreiding van de metingen rond het gemiddelde. Als de metingen x,...,x m zijn, dan is het gemiddelde (in de kansrekening verwachtingswaarde geheten) µ = m m i= x i en de variantie is σ 2 = m m i= (x i µ) 2, d.w.z. het gemiddelde van de kwadratische afwijkingen van de verwachtingswaarde. Als we nu een experiment hebben met verschillende parameters, dan zijn de metingen vectoren v i met een zeker aantal componenten. Bij drie parameters is een meting bijvoorbeeld een vector van de vorm v i = x i y i z i. Het gemiddelde vinden we weer door de metingen bij elkaar op te tellen en door het aantal metingen te delen, dit geeft bij drie parameters de vector µ x µ = µ y = m µ z m v i. Het is nu niet meer vanzelfsprekend dat de grootste spreiding van de metingen in één van de richtingen der parameters ligt, want misschien is er een combinatie van parameters, die het grootste effect op het experiment heeft. We willen dus graag de richting bepalen waarin de spreiding maximaal wordt. Dit legt het verband met de orthogonale projecties want als we het over de spreiding in een bepaalde richting hebben, praten we over de spreiding van de orthogonale projecties op een lijn. Stel we willen de spreiding in de richting van een vector u met u = bepalen. Volgens is de orthogonale projectie van een vector v op de lijn langs u gegeven door proj u (v) = v,u u en wegens u = is het kwadraat van de lengte van deze projectie v,u 2. Als we nu metingen v,...,v m met een gemiddelde µ hebben, is de spreiding in de richting van u gegeven door σu 2 = m v i µ,u 2 m i= Omdat we in dit geval altijd met het standaard inproduct op R n werken, kunnen we v,u 2 nog iets anders schrijven, namelijk i= v,u 2 = u t v v t u Dit toegepast op σ 2 u geeft ( σu 2 = u t m m (v i µ) (v i µ) )u. t i= Opmerking De uitdrukking V := m m (v i µ) (v i µ) t i=

11 3.3. TOEPASSINGEN 47 is een n n matrix die alleen maar van de metingen v i afhangt. Deze matrix heet de covariantiematrix van de metingen v,...,v n. M.b.v. de covariantiematrix laat zich σ 2 u makkelijk schrijven als σ 2 u = u t V u. Gezocht is nu de vector u met u = waarvoor u t V u maximaal is. Nu laat zich voor covariantiematrices bewijzen, dat ze altijd diagonaliseerbaar zijn, met alleen maar positieve reële eigenwaarden. Met behulp hiervan gaat men na dat de vector u waarvoor u t V u maximaal is de eigenvector voor de grootste eigenwaarde van V is. Voorbeeld Gegeven zijn de tien metingen (x,y ) = ( 5, 2); (x 2,y 2 ) = ( 4, 3); (x 3,y 3 ) = ( 3,); (x 4,y 4 ) = ( 2, ); (x 5,y 5 ) = (, ); (x 6,y 6 ) = (,); (x 7,y 7 ) = (2,3); (x 8,y 8 ) = (3,2); (x 9,y 9 ) = (4,); (x,y ) = (5,2). Bepaal de richting van de grootste spreiding van deze metingen. Oplossing. De punten zijn zo gekozen dat het gemiddelde µ = moeten dus alleen maar de covariantiematrix bepalen, deze is V = ( i= x2 i i= x ) iy i i= x = iy i i= y2 i De eigenwaarden van V zijn ( ) ( i= x ) i i= y i λ = 2 ( ) 2.34, λ 2 = 2 (57 865) 3.36 en de eigenvector voor de grootste eigenwaarde λ is ( ) 64 u = ( ) = ( ) is. We Het plaatje hieronder geeft de metingen en de lijn in de richting van de grootste spreiding aan. Merk op dat de lijn vanwege µ = door de oorsprong loopt. Opmerking In het algemeen wordt deze methode gebruikt om uit een groot aantal parameters de belangrijkste combinaties eruit te vissen. Deze combinaties heten de hoofdcomponenten, vandaar de naam hoofdcomponenten analyse. Men neemt dan bijvoorbeeld in een experiment met honderd parameters de eigenvectoren die bij de grootste tien eigenwaarden horen en heeft hiermee vaak de belangrijkste eigenschappen voor het experiment beschreven.

12 48 HOOFDSTUK 3. VECTORRUIMTEN MET INPRODUCT Historische opmerkingen Een techniek die veel lijkt op de methode der kleinste kwadraten was ontwikkeld door Roger Cotes (682-76) in een werk (rond 75) waarin hij afwijkingen in astronomische waarnemingen behandelde. Het complete principe werd voor het eerst door Gauss op 6-jarige leeftijd (793) geformuleerd terwijl hij bezig was de verdeling der priemgetallen te bestuderen. Gauss zei later dat hij deze methode heel veel gebruikt had gedurende vele jaren bijvoorbeeld bij het berekenen van banen van astroïden. Hij publiceerde zijn methode in 89 en gaf 4 jaar later een nog uitgebreidere uiteenzetting. Echter Adrien-Marie Legendre ( ) was de eerste die de methode der kleinste kwadraten publiceerde in een werk in 86 over de bepaling van komeetbanen. Legendre was niet echt blij met het feit dat Gauss in 89 beweerde dat hij de methode als eerste had bedacht: tot 827 bleef Legendre Gauss daarover schrijven.

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 2 Lineaire afbeeldingen 21 Inleiding Een afbeelding f van een verzameling V naar een verzameling W is een regel die aan ieder element v van V een element f(v) van W toevoegt maw een generalisatie

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode

Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode 2008-2009 Een rechte conoïde met als richtrechte de X-as, en als richtoppervlak de sfeer met middelpunt in (0, 16, 0) en straal 9. (1) Stel

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Vectormeetkunde in R 3

Vectormeetkunde in R 3 Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk

De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk In het vorige college hebben jullie gezien wat R 2 (het vlak) is. Een vector v R 2 is een paar v = (x,y) van reële getallen. Voor vectoren v = (a,b) en w = (c,d) in

Nadere informatie

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom 8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Symmetrische matrices

Symmetrische matrices Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

CTB1002-D2 Lineaire Algebra 2

CTB1002-D2 Lineaire Algebra 2 CTB00-D Lineaire Algebra Juli 03 Augustus 03 Juli 0 Augustus 0 Juli 0 Augustus 0 Juli 00 Augustus 00 Tentamenbundel Civiele Techniek Het Gezelschap "Practische Studie" Technische Universiteit Delft Faculteit

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

Meetkunde en lineaire algebra

Meetkunde en lineaire algebra Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Voortgezette Lineaire Algebra. Prof. dr. J. van Mill Dr. F. van Schagen

Voortgezette Lineaire Algebra. Prof. dr. J. van Mill Dr. F. van Schagen Voortgezette Lineaire Algebra Prof. dr. J. van Mill Dr. F. van Schagen Inhoud Hoofdstuk I. Complexe vectorruimten en inwendige producten 5 I.1. Vectorruimten 5 I.2. Hermitische producten 8 I.3. Inwendig-productruimten

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

1. Vectoren in R n. y-as

1. Vectoren in R n. y-as 1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale

Nadere informatie

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra 4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra Positieve en niet-negatieve matrices komen veel voor binnen de stochastiek (zoals de PageRank matrix) en de mathematische fysica: temperatuur, dichtheid,

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

2. Transformaties en matrices

2. Transformaties en matrices Transformaties en matrices Lineaire afbeelding Onder een lineaire afbeelding van R n naar R m verstaan we een functie A die aan iedere vector uit R n een vector uit R m toevoegt en van het volgende type

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015, Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Meetkundige ongelijkheden Groep A

Meetkundige ongelijkheden Groep A Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor

Nadere informatie

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17 Hints en uitwerkingen huiswerk 013 Analyse 1 H17 Rocco van Vreumingen augustus 014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 Hints 4 3 Hints 3 4 4 Hints 4 5 5 Hints 5 5 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Hints 8 6 9 Hints 9

Nadere informatie

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra en Lineaire Analyse (Y550/Y530), op donderdag 5 november 00, 9:00 :00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

Het orthogonaliseringsproces van Gram-Schmidt

Het orthogonaliseringsproces van Gram-Schmidt Het orthogonaliseringsproces an Gram-Schmidt Voor het berekenen an een orthogonale projectie an een ector y op een deelruimte W an R n is een orthogonale basis {u,, u p } zeer gewenst De orthogonale projectie

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als

Nadere informatie

Stelsels differentiaalvergelijkingen

Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +

Nadere informatie

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10 FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening

Nadere informatie

Analyse 1 Handout limieten en continuïteit

Analyse 1 Handout limieten en continuïteit Analyse Handout ieten en continuïteit Rogier Bos Inhoudsopgave Limieten 2. Intuïtief ieten bepalen........................ 2.2 Rekenen aan ieten........................... 4.3 Limieten als spel.............................

Nadere informatie

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus ook weergegeven met XY. Verder zullen we de volgende notatie

Nadere informatie

Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09 Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09

Nadere informatie

4. Determinanten en eigenwaarden

4. Determinanten en eigenwaarden 4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:

Nadere informatie

Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006

Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006 Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen 6 juni 6 i ii Inhoudsopgave Stelsels differentiaalvergelijkingen Opgaven Stelsels differentiaalvergelijkingen In deze paragraaf passen we onze kennis

Nadere informatie

Voorbeeld theorie examen

Voorbeeld theorie examen Vooreeld theorie examen Het schriftelijk examen over de theorie en de oefeningen heeft plaats op 27 juni van 8u3 t/m 13u. 1 uur en 3 minuten zijn voorzien voor het theorie examen. De vragen zijn gericht

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten

Deze week: Steekproefverdelingen. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen. Kwaliteit van schatter. Overzicht Schatten Deze week: Steekproefverdelingen Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 7: Steekproefverdelingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Zuivere Schatters Betrouwbaarheidsintervallen Departement Informatica Hfdstk

Nadere informatie

Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( )

Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( ) Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, (9.00-12.00) Zoals beschreven in de studiehandleiding 2DE04 bestaat dit tentamen uit drie

Nadere informatie

Voorwaardelijke optimalisatie

Voorwaardelijke optimalisatie Voorwaardelijke optimalisatie We zoek naar maximale minimale waard van e kwadratische vorm Q(x op R n onder bepaalde voorwaard Zo n voorwaarde is bijvoorbeeld dat x R n e eheidsvector is, dat wil zegg

Nadere informatie

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2. BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor

Nadere informatie

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18 Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18 Rocco van Vreumingen 29 augustus 2014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 2 Hints 2 4 3 Hints 3 5 4 Hints 4 5 5 Hints 5 6 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Antwoorden

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

De kleinste kwadratenmethode. Figuur: Probleem uit video 8.1 (Video)

De kleinste kwadratenmethode. Figuur: Probleem uit video 8.1 (Video) De kleinste kwadratenmethode Figuur: Probleem uit video 8.1 (Video) Laat A een m n matrix zijn en b een vector in R m. Veronderstel dat de matrixvergelijking A x = b geen oplossingen heeft omdat b / Col(A).

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

Sterrenkunde Praktikum 1 Fouten en fitten

Sterrenkunde Praktikum 1 Fouten en fitten Sterrenkunde Praktikum 1 Fouten en fitten Paul van der Werf 12 februari 2008 1 Inleiding In de sterrenkunde werken we vaak met zwakke signalen, of met grote hoeveelheden metingen van verschillende nauwkeurigheid.

Nadere informatie

Lineaire Algebra A en B. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven

Lineaire Algebra A en B. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven Lineaire Algebra A en B Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2010 2011 ii Syllabus bij Lineaire Algebra A (2WF07) en Lineaire Algebra B (2WF08) Inhoudsopgave 0 Vectorrekening

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] 9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,

Nadere informatie

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is. 3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche

Nadere informatie

Een korte beschrijving van de inhoud

Een korte beschrijving van de inhoud Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige toepassingen op

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Leerplandoelstelling Delta Nova 4 hoofdstukken en paragrafen. I Meetkunde. M1 B Bewijzen dat door drie niet-collineaire punten juist één cirkel gaat.

Leerplandoelstelling Delta Nova 4 hoofdstukken en paragrafen. I Meetkunde. M1 B Bewijzen dat door drie niet-collineaire punten juist één cirkel gaat. Het gevolgde leerplan is D/2002/0279/047. In de onderstaande tabel vind je een overzicht van de doelstellingen en waar ze in Delta Nova 4a en 4b (leerweg 5) terug te vinden zijn. B = basisdoelstelling

Nadere informatie

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Leerkracht: Koen De Naeghel Schooljaar: 2012-2013 Klas: 5aLWi8, 5aWWi8 Aantal taken: 19 Aantal repetities: 14 Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Taken Eerste trimester: 11 taken indienen op taak

Nadere informatie

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk

Nadere informatie

Vectorruimten en lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten

Vectorruimten en lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten Hoofdstuk 3 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten 3.1 Vectorruimte : definitie en voorbeelden R DEFINITIE 3.1 vectorruimte Een vectorruimte of lineaire ruimte over een veld F is een

Nadere informatie

x(t + T ) = x(t) Voorbeeld 1. Beschouw het niet-lineaire autonome stelsel . (1) y x + y y(x 2 + y 2 )

x(t + T ) = x(t) Voorbeeld 1. Beschouw het niet-lineaire autonome stelsel . (1) y x + y y(x 2 + y 2 ) 97 Periodieke oplossingen en limit ccles We beschouwen weer autonome stelsels van de vorm x (t) = f(x(t)), waarbij het rechterlid dus niet expliciet van t afhangt We gaan onderzoeken wanneer er periodieke

Nadere informatie

Onderwerpskeuzes Lineaire Algebra en kwaliteitscriteria

Onderwerpskeuzes Lineaire Algebra en kwaliteitscriteria Onderwerpskeuzes Lineaire Algebra en kwaliteitscriteria Deliverable 3.5 J. Brandts, F. Beukers, H. Cuypers, H. de Graaf Inleiding In deze deliverable zullen we voor het domein van de lineaire algebra de

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds

Nadere informatie

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 3 De Nullstellensatz 1. De zwakke Nullstellensatz Stelling 1.1. Zij K een algebraïsch gesloten lichaam en zij I een ideaal in K[x] = K[x 1,...,

Nadere informatie

Tussentijdse Toets Wiskunde 2 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april 2011

Tussentijdse Toets Wiskunde 2 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april 2011 Tussentijdse Toets Wiskunde ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april Deze toets is bedoeld om u vertrouwd te maken met de wijze van ondervraging op het

Nadere informatie

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts

Nadere informatie