Vectorruimten met inproduct

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Vectorruimten met inproduct"

Transcriptie

1 Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij twee vectoren hebben we het zgn. inproduct dat een verband heeft met de hoek tussen de vectoren. Precieser, als v = (x,x 2,x 3 ) t R 3 dan wordt volgens de stelling van Pythagoras de lengte van v, genoteerd v gegeven door v = x 2 + x2 2 + x2 3. Het inproduct v,w van v en w wordt gegeven door (3.) v,w = v w cos α waarbij α de hoek tussen de vectoren v en w is. Gebruik makend van de cosinusregel kan men nagaan (opgave 3..3) dat geldt v,w = x y + x 2 y 2 + x 3 y 3. Deze formule kunnen we gebruiken om een inproduct op R n te definiëren: Definitie 3.. Zij v = x. x n en w = y. y n in R n. Met de voorschrijft v,w := x y + + x n y n wordt aan ieder tweetal vectoren v en w uit R n een reëel getal v,w toegevoegd m.a.w. we hebben een afbeelding, : R n R n R gedefinieerd. Opgave 3..2 Bewijs dat de in 3.. gedefinieerde afbeelding aan de volgende eigenschappen voldoet. i) v + v 2,w = v,w + v 2,w, voor alle v,v 2,w in R n. ii) cv,w = c v,w, voor alle v,w in R n en alle c in R. iii) v,w = w,v, voor alle v,w in R n. iv) v,v > als v. Opgave 3..3 Zij v = (x,x 2,x 3 ) t en w = (y,y 2,y 3 ) t in R 3 en v,w := v w cos α, waarbij α de hoek is tussen v en w. Bewijs dat v,w = x y + x 2 y 2 + x 3 y 3. 37

2 38 HOOFDSTUK 3. VECTORRUIMTEN MET INPRODUCT [Aanw.: Bekijk de driehoek met als zijden de vector v, de vector w en de vector die loopt van het eindpunt van w naar het eindpunt van v. Deze zijden hebben lengte resp. v, w en v w. Volgens de cosinusregel (3.3.2 uit LA) geldt dan Gebruik nu dat v 2 = x 2 + x2 2 + x2 3 enz.] v w 2 = v 2 + w 2 2 v w cos α. 3.2 Abstracte inproductruimten De eigenschappen van het inproduct op R n zoals in 3..2 beschreven leiden ons tot de volgende definitie. Definitie 3.2. Zij V een vectorruimte. Een inproduct op V is een afbeelding, : V V R die voldoet aan: i) v + v 2,w = v,w + v 2,w, voor alle v,v 2,w in V. ii) cv,w = c v,w, voor alle v,w in V en alle c in R. iii) v,w = w,v, voor alle v,w in V. iv) v,v > als v. Een vectorruimte V met daarop een inproduct heet een inproductruimte of ook ruimte met inproduct of prehilbertruimte. De lengte van een vector v in een inproductruimte definiëren we als v := v,v. Omdat er bij twee vectoren nauwelijks een misverstand met andere vermenigvuldigingen kan bestaan, worden inproducten vaak gewoon met v w i.p.v. v,w genoteerd, Opgave Ga na dat uit i)-iv) in 3.2. volgt dat v, = en,w = en dat v, w = v,w voor alle v,w V. Voorbeeld R n met, zoals in 3.. is volgens 3..2 een inproductruimte. We noemen het in 3.. gedefinieerde inproduct het standaard inproduct op R n. Voorbeeld Zij V := C([, ]) de vectorruimte der continue functies van [, ] naar R. Definieer f,g := Laat zien dat, een inproduct op V is. f(x)g(x)dx, voor alle f,g V. Oplossing. i)-iii): f + f 2,g = (f + f 2 )(x)g(x)dx = (f (x)g(x) + f 2 (x)g(x))dx = f,g + f 2,g. Ook ziet men eenvoudig dat cf,g = c f,g, voor alle c R en dat f,g = g,f. iv): Omdat f(x) 2 is het duidelijk dat f,f := f(x)2 dx. We moeten nog inzien: als f,f =, dan f =. Neem dus aan dat f,f = m.a.w. f(x)2 dx = en stel dat f(x ) voor zekere x (,). Volgens de continuïteit van f(x) bestaat dan δ > en ε > zdd f(x) ε voor alle x [x δ,x + δ]. Dan = f(x) 2 dx x +δ x δ f(x) 2 dx x +δ x δ ε 2 dx = 2δε 2 >,

3 3.2. ABSTRACTE INPRODUCTRUIMTEN 39 tegenspraak. Dus blijkbaar f(x ) = voor alle x (,) en dus f = op [,] vanwege de continuïteit van f. Opgave Zij V := Pol(n) (zie voorbeeld.2.7) en p = a + a x + + a n x n en q = b + b x + + b n x n in V. Laat zien dat een inproduct op V definieert. p,q := a b + a b + + a n b n Opgave Zij A een n n matrix. Het spoor van A, genoteerd tr A (voor trace A), is per definitie de som der diagonaal elementen van A. Laat zien dat voor n n matrices geldt i) tr (A + B) = tr A + tr B. ii) tr (ca) = c.tr A, voor alle c in R. iii) tr (AB) = tr (BA). Opgave Zij V := M n (R). Definieer A,B := tr (A t B), voor alle A,B V. Laat zien dat, een inproduct op V definieert. Terugkerend naar formule (3.) zien we dat v,w v w voor alle v,w in R 3 (want cos α ). Het verrassende is dat zo n ongelijkheid geldt voor ieder inproduct! Stelling (Ongelijkheid van Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz.) Zij V een vectorruimte met inproduct,. Dan geldt v,w v w of te wel v,w 2 v,v w,w voor alle v,w V. Gelijkheid treedt op d.e.s.d.a. v en w afhankelijk zijn. Bewijs. i) Voor iedere t R geldt v + tw,v + tw en dus (3.2) v,v + 2t v,w + t 2 w,w voor alle t R. Als w,w =, dan w = en dus v,w = en dus geldt de ongelijkheid. We mogen dus aannemen dat w,w >. Kies dan voor t de waarde t := v,w w,w. Invullen in (3.2) geeft (3.3) v + t w,v + t w = v,v 2 v,w v,w 2 v,w 2 v,w + w,w = v,v w,w w,w 2 w,w. Dus v,w 2 v,v w,w. Trek dan wortels. ii) Uit (3.3) volgt dat we gelijkheid hebben d.e.s.d.a. v+t w,v+t w = d.e.s.d.a. v+t w =. Hieruit volgt de stelling. Het mooie van is dat we hem kunnen toepassen op allerlei inproductruimten. Bijvoorbeeld op die van Dit levert: Gevolg Zij f, g C([, ]). Dan geldt de volgende vaak gebruikte ongelijkheid voor integralen: 2 f(x)g(x)dx f(x) 2 dx g(x) 2 dx.

4 4 HOOFDSTUK 3. VECTORRUIMTEN MET INPRODUCT Een ander gevolg van is de zgn. driehoeksongelijkheid. Stelling 3.2. Zij V een inproductruimte en v, w in V. Dan geldt: v + w v + w. Bewijs. Volgens is v,w v,w v w. Dus Trek dan wortels. v + w 2 = v + w,v + w = v,v + 2 v,w + w,w v v w + w 2 = ( v + w ) 2. Ook kunnen we gebruiken om de hoek tussen twee vectoren ( ) in een abstracte inproductruimte te definiëren. Daartoe merk op dat als v en w in V beiden niet nul zijn dan (volgens 3.2.8) v,w v w. Dus bestaat er precies één θ met θ π zdd Deze hoek θ heet de hoek tussen v en w. cos θ = v,w v w. Definitie 3.2. We noemen twee willekeurige vectoren v en w in een inproductruimte V orthogonaal, notatie v w, als v, w =. We zeggen dan ook dat v en w loodrecht op elkaar staan. Definitie Zij v,...,v n in V. Dan heet (v,...,v n ) een orthogonaal stelsel in V als iedere v i en v i v j voor alle i j. Als bovendien iedere v i lengte heeft m.a.w. v i = voor alle i, dan heet (v,...,v n ) een orthonormaal stelsel in V. Voorbeeld Laat zien dat in C([,]) de vectoren v := x en w := 2 3x loodrecht op elkaar staan. Oplossing. v,w = x(2 3x)dx = 2xdx 3x2 dx = x 2 x3 = =. Voorbeeld In R n is (e,...,e n ) een orthonormaal stelsel t.o.v. het standaard inproduct. Een van de redenen waarom een orthogonaal stelsel handig is, is dat we de coördinaten van een willekeurige vector m.b.t. een orthogonaal stelsel rechtstreeks m.b.v. het inproduct kunnen bepalen. Stelling Zij (v,...,v n ) een orthogonaal stelsel in V. Voor v = c v + +c n v n V geldt dan c i = v,v i v i,v i, voor alle i. Bewijs. v,v i = c v + +c n v n,v i = c v,v i + +c i v i,v i + +c n v n,v i = c i v i,v i. Omdat v i is ook v i,v i en dus c i = v,v i v i,v i.

5 3.2. ABSTRACTE INPRODUCTRUIMTEN 4 Gevolg Als (v,...,v n ) een orthogonaal stelsel is, is het onafhankelijk. Bewijs. Pas toe met v =. Gevolg Zij (v,...,v n ) een orthogonaal stelsel in V. i) Als dim V = n, is het een basis van V. ii) Als (v,...,v n ) volledig is in V, is het een basis van V. Bewijs. ii) volgt uit en i) uit en.4.4. Voorbeeld In R 3 vormen v :=, v 2 := en v 3 := een orthogonaal stelsel t.o.v. het standaard inproduct (ga na!). Dus is volgens i) (v,v 2,v 3 ) een basis van R 3. 2 Zij v := 3. Bepaal c,c 2,c 3 R met v = c v + v 2 c 2 + c 3 v 3. 7 Oplossing. Volgens is c = v,v c 3 = = 5 2. Net zo vinden we c 2 = 2 en v,v = We geven nu een algoritme om uit een gegeven basis (v,...,v n ) van V een orthogonale basis te maken: Stelling (Gram-Schmidt orthogonalisatie algoritme.) Zij V een inproductruimte met basis (v,...,v n ). Definiëer inductief e,...,e n in V d.m.v. e := v, e 2 := v 2 v 2,e e,e e,... e k := v k v k,e e,e e... v k,e k e k,e k e k v k,e j k = v k e j,e j e j. Dan is voor iedere k n het stelsel (e,...,e k ) orthogonaal. I.h.b. is (e,...,e n ) een orthogonale basis van V. Bewijs. Met inductie naar k. Duidelijk als k =. Neem dus aan k 2 en dat de stelling al voor k bewezen is, m.a.w. (e,...,e k ) is orthogonaal. We moeten dan nog inzien dat e k,e i = voor alle i k. Er geldt k v k,e j e k,e i = v k e j,e j e k v k,e j j,e i = v k,e i e j= j,e j e j,e i. j= Omdat e j,e i = als i j k volgt e k,e i = v k,e i v k,e i e i,e i e i,e i =. Dus is (e,...,e k ) orthogonaal voor alle k n. I.h.b. is (e,...,e n ) orthogonaal en dus een basis vanwege i). j=

6 42 HOOFDSTUK 3. VECTORRUIMTEN MET INPRODUCT Opmerking Het meetkundige idee achter de Gram-Schmidt orthogonalisatie is vrij simpel. Voor een vector v en een orthogonaal stelsel (e,...,e k ) is v = k j= v,e j e j,e j e j de orthogonale projectie van v in de deelruimte U opgespannen door e,...,e k (zie hieronder). De verschilvector e k = v v staat dan loodrecht op alle vectoren in de deelruimte U, dus i.h.b. op e,...,e k. Omdat v = e k + v en v in U ligt, is e,...,e k,v = e,...,e k,e k. Voorbeeld Zij P n [,] de verzameling der veeltermfuncties van graad n op het interval [, ]. Dit is een lineaire deelruimte van C([, ]), de vectorruimte der continue reëelwaardige functies op [,]. Op P n [,] nemen we het inproduct f,g := f(x)g(x)dx. Bepaal een orthogonale basis van P 2[,]. Oplossing. (,x,x 2 ) is een basis van P 2 [,]. Pas nu het Gram-Schmidt proces toe: e :=, e 2 := x x,,. Omdat x, = xdx = volgt e 2 = x. Tenslotte e 3 = x 2 x2,, x2,x x,x x. Omdat x 2,x = x3 dx = en x 2, = 2 3 en, = 2 volgt dat e 3 = x 2 3. Dus (,x,x 2 3 ) is een orthogonale basis van P 2[,]. Deze polynomen heten de Legendre polynomen. Eenzelfde verhaal voor n = 5 geeft de eerste zes Legendre polynomen, x, x 2 3, x3 3 5 x, x4 6 7 x , x5 9 x x. Definitie Zij U een lineaire deelruimte van een inproductruimte V. Het orthogonale complement van U (in V ), notatie U, is gedefinieerd d.m.v. U := {v V v,u = voor alle u U}. Opgave i) Laat zien dat U een lineaire deelruimte van V is. ii) Stel dat (u,...,u m ) een volledig stelsel voor V is. Laat zien dat U = {v V v,u =,..., v,u m = }. Voorbeeld Zij U := R 2. Bereken U. Oplossing. Volgens geldt: x x U = x 2 R 3, = = x 3 x 2 x 3 m.a.w. U is het vlak x + x 2 + x 3 =. x x 2 x 3 R 3 x + x 2 + x 3 = Opgave Zij A een m n matrix. Laat zien dat in R m het volgende verband geldt tussen de kolommenruimte Col(A) (zie sectie 2.3) en de nulruimte Nul(A t ) (zie.2.4) van de getransponeerde matrix: Col(A) = Nul(A t ).

7 3.2. ABSTRACTE INPRODUCTRUIMTEN 43 De volgende stelling is een zeer nuttige generalisatie ( ) van het feit dat iedere vector ( ) uit R 2 eenduidig te schrijven is als een vector uit U := en een vector uit U =. Stelling Zij U een eindig dimensionale lineaire deelruimte van een inproductruimte V. Dan is iedere v V éénduidig te schrijven als v = v + v 2 met v U en v 2 U. Bewijs. i) Kies m.b.v een orthogonale basis (e,...,e m ) van U. Zij v V en definiëer v := v,e e,e e + + v,e m e m,e m e m en v 2 := v v. Dan is duidelijk dat v in U en v = v + v 2. Om in te zien dat v 2 U is het volgens voldoende te bewijzen dat v 2,e i = voor alle i m. Zij daartoe i m. Dan v 2,e i = v,e i v,e i. Omdat e j,e i = als j i volgt Dus v,e i = v,e i e i,e i e i,e i = v,e i. v 2,e i = v,e i v,e i =. ii) Rest ons nog de eenduidigheid te bewijzen. Stel daarom dat ook v = v + v 2 met v U en v 2 U. Dan w := v v = v 2 v 2. Omdat v,v U volgt w U. Net zo w U, omdat w 2,w 2 U. Dus w,u = voor alle u U. I.h.b. voor u = w, m.a.w. w,w =. Dus w = en dus v = v en v 2 = v 2. Definitie Zij U een eindig dimensionale lineaire deelruimte van een inproductruimte V en zij v = v + v 2 V met v U en v 2 U. Dan heet de (eenduidig bepaalde) vector v U de projectie van v op U, notatie proj U (v). De vector v 2 U heet de component van v loodrecht op U. Uit bovenstaand bewijs zien we: als (e,...,e m ) een orthogonale basis van U is dan is proj U (v) = v,e e,e e v,e m e m,e m e m. en v 2 = v proj U (v). Het belang van de projectie van v op U komt voort uit de volgende (zeer nuttige) stelling: Stelling Zij U een eindig dimensionale lineaire deelruimte van een inproductruimte V en zij v V. Dan is proj U (v) die vector in U die de kleinste afstand tot v heeft, d.w.z. v proj U (v) v u, voor alle u U. Bewijs. Zij u U en v := proj U (v). Dan v v U en v u U. Schrijf nu v u = (v v ) + (v u). Dan volgt wegens v v,v u = : v u 2 = (v v ) + (v u),(v v ) + (v u) = v v,v v + v u,v u = v v 2 + v u 2. Dus i.h.b. v u 2 v v 2, waarmee de stelling bewezen is.

8 44 HOOFDSTUK 3. VECTORRUIMTEN MET INPRODUCT Voorbeeld Zij U de lineaire deelruimte van R 4 gegeven door de vergelijkingen x + x 2 + x 3 = en 2x 2 + x 3 + x 4 =. 5 Bepaal de projectie van v = 6 7 op U en de kleinste afstand van v tot U. 2 Oplossing. Het stelsel vergelijkingen oplossend vinden we x 2 = 2 x 3 2 x 4 en x = x 2 x 3 = 2 x x 4. Dit geeft 2 x x 4 U = 2 x 3 2 x 4 x 3 x 3,x 4 R = e := 2, e 2 :=. x 4 2 Merk op dat e en e 2 orthogonaal zijn. Dus proj U (v) = v,e e,e e + v,e 2 e 2,e 2 e 2 5.( ) + 6.( ) = ( ).( ) + ( ).( ) e ( ) ( ).( ) e 2 = 2 e + 2 e 2 =. De kortste afstand van v tot U is volgens : 5 v proj U (v) = 6 7 = = Toepassingen a) De methode der kleinste kwadraten In veel fysische situaties is het gebruikelijk dat een stelsel Ax = b om theoretische redenen een oplossing moet hebben, maar dat het in werkelijkheid geen oplossing heeft vanwege meetfouten die de matrix elementen van A en b verstoren. In zulke situaties zoeken we naar een x die een zo goed mogelijke oplossing is in de zin dat Ax b minimaal is ( is de gewone Euclidische lengte). Probleem der klassieke kwadraten. Gegeven een lineair systeem Ax = b van m vergelijkingen met n onbekenden. Vind een vector x R n zó dat Ax b minimaal is. Zo n x heet een kleinste kwadraten oplossing van Ax = b.

9 3.3. TOEPASSINGEN 45 Opmerking 3.3. De naam kleinste kwadraten zien we als volgt: zij ε := Ax b de error functie, zeg ε = (ε... ε m ) t. Dan ε = ε ε2 m is minimaal d.e.s.d.a. ε 2 = ε ε2 m minimaal. Dit verklaart de naam! Om het kleinste kwadraten probleem op te lossen definiëren we U := {Ax x R n } R m. We zien dus dat U de lineaire deelruimte Im f A = Col(A) is (zie sectie 2.3). We zoeken een x R n zodat Ax dié vector uit U is die zo dicht mogelijk bij b ligt. Volgens moet dan Ax = proj U b zijn!. M.a.w. we moeten x oplossen uit Ax = proj U b. Lemma Er geldt Ax = proj U b d.e.s.d.a. A t Ax = A t b. Bewijs. Merk op dat U = Col(A) = Nul(A t ) (3.2.25). : Stel Ax = proj U b. Dan b Ax = b proj U b U = Nul(A t ), dus A t (b Ax) = m.a.w. A t Ax = A t b. : Omgekeerd, stel A t (Ax b) =. Dan Ax b Nul(A t ) = U. Ook b proj U b U. Dus Ax proj U b U. Per definitie zitten Ax en proj U b in U, dus Ax proj U b U. Totaal Ax proj U b U U = {}. Dus Ax = proj U b. Gevolg Als de kolommen van A lineair onafhankelijk zijn, dan is een kleinste kwadraten oplossing uniek. Bewijs. Uit volgt dat x een kleinste kwadraten oplossing is d.e.s.d.a. A t Ax = A t b. We laten nu zien dat A t A inverteerbaar is (waaruit dan de bewering volgt). Volgens is het voldoende te bewijzen dat uit A t Ax = volgt dat x =. Neem dus aan dat A t Ax =, m.a.w. A t (Ax) =. Dus Ax Nul(A t ) = U. Ook Ax U. Dus Ax U U = {}, m.a.w. x A + + x n A n =, waarbij A i de i-de kolom van A is. Uit het gegeven volgt dan dat x =... = x n = m.a.w. x =. Voorbeeld Gegeven het stelsel Ax = b d.m.v. x x 2 = 4 3x + 2x 2 = 2x + 4x 2 = 3 Laat zien dat er precies een kleinste kwadraten oplossing bestaat en vind die. 4 Oplossing. Hier A = 3 2 en b = Men ziet meteen dat de kolommen van A onafhankelijk zijn. Dus is er precies één kleinste kwadraten oplossing van Ax = b (3.3.3). Om deze te bepalen moeten we volgens x oplossen uit A t Ax = A t b. Uitrekenen van A t A en A t b levert het stelsel ( ) ( ) ( ) 4 3 x =. 3 2 Hieruit volgt dan eenvoudig: (x,x 2 ) = ( 7 95, ). x 2

10 46 HOOFDSTUK 3. VECTORRUIMTEN MET INPRODUCT b) Hoofdcomponenten analyse Bij statistische evaluaties kijkt men vaak naar het gemiddelde van de metingen en naar de spreiding van de metingen rond het gemiddelde. Als de metingen x,...,x m zijn, dan is het gemiddelde (in de kansrekening verwachtingswaarde geheten) µ = m m i= x i en de variantie is σ 2 = m m i= (x i µ) 2, d.w.z. het gemiddelde van de kwadratische afwijkingen van de verwachtingswaarde. Als we nu een experiment hebben met verschillende parameters, dan zijn de metingen vectoren v i met een zeker aantal componenten. Bij drie parameters is een meting bijvoorbeeld een vector van de vorm v i = x i y i z i. Het gemiddelde vinden we weer door de metingen bij elkaar op te tellen en door het aantal metingen te delen, dit geeft bij drie parameters de vector µ x µ = µ y = m µ z m v i. Het is nu niet meer vanzelfsprekend dat de grootste spreiding van de metingen in één van de richtingen der parameters ligt, want misschien is er een combinatie van parameters, die het grootste effect op het experiment heeft. We willen dus graag de richting bepalen waarin de spreiding maximaal wordt. Dit legt het verband met de orthogonale projecties want als we het over de spreiding in een bepaalde richting hebben, praten we over de spreiding van de orthogonale projecties op een lijn. Stel we willen de spreiding in de richting van een vector u met u = bepalen. Volgens is de orthogonale projectie van een vector v op de lijn langs u gegeven door proj u (v) = v,u u en wegens u = is het kwadraat van de lengte van deze projectie v,u 2. Als we nu metingen v,...,v m met een gemiddelde µ hebben, is de spreiding in de richting van u gegeven door σu 2 = m v i µ,u 2 m i= Omdat we in dit geval altijd met het standaard inproduct op R n werken, kunnen we v,u 2 nog iets anders schrijven, namelijk i= v,u 2 = u t v v t u Dit toegepast op σ 2 u geeft ( σu 2 = u t m m (v i µ) (v i µ) )u. t i= Opmerking De uitdrukking V := m m (v i µ) (v i µ) t i=

11 3.3. TOEPASSINGEN 47 is een n n matrix die alleen maar van de metingen v i afhangt. Deze matrix heet de covariantiematrix van de metingen v,...,v n. M.b.v. de covariantiematrix laat zich σ 2 u makkelijk schrijven als σ 2 u = u t V u. Gezocht is nu de vector u met u = waarvoor u t V u maximaal is. Nu laat zich voor covariantiematrices bewijzen, dat ze altijd diagonaliseerbaar zijn, met alleen maar positieve reële eigenwaarden. Met behulp hiervan gaat men na dat de vector u waarvoor u t V u maximaal is de eigenvector voor de grootste eigenwaarde van V is. Voorbeeld Gegeven zijn de tien metingen (x,y ) = ( 5, 2); (x 2,y 2 ) = ( 4, 3); (x 3,y 3 ) = ( 3,); (x 4,y 4 ) = ( 2, ); (x 5,y 5 ) = (, ); (x 6,y 6 ) = (,); (x 7,y 7 ) = (2,3); (x 8,y 8 ) = (3,2); (x 9,y 9 ) = (4,); (x,y ) = (5,2). Bepaal de richting van de grootste spreiding van deze metingen. Oplossing. De punten zijn zo gekozen dat het gemiddelde µ = moeten dus alleen maar de covariantiematrix bepalen, deze is V = ( i= x2 i i= x ) iy i i= x = iy i i= y2 i De eigenwaarden van V zijn ( ) ( i= x ) i i= y i λ = 2 ( ) 2.34, λ 2 = 2 (57 865) 3.36 en de eigenvector voor de grootste eigenwaarde λ is ( ) 64 u = ( ) = ( ) is. We Het plaatje hieronder geeft de metingen en de lijn in de richting van de grootste spreiding aan. Merk op dat de lijn vanwege µ = door de oorsprong loopt. Opmerking In het algemeen wordt deze methode gebruikt om uit een groot aantal parameters de belangrijkste combinaties eruit te vissen. Deze combinaties heten de hoofdcomponenten, vandaar de naam hoofdcomponenten analyse. Men neemt dan bijvoorbeeld in een experiment met honderd parameters de eigenvectoren die bij de grootste tien eigenwaarden horen en heeft hiermee vaak de belangrijkste eigenschappen voor het experiment beschreven.

12 48 HOOFDSTUK 3. VECTORRUIMTEN MET INPRODUCT Historische opmerkingen Een techniek die veel lijkt op de methode der kleinste kwadraten was ontwikkeld door Roger Cotes (682-76) in een werk (rond 75) waarin hij afwijkingen in astronomische waarnemingen behandelde. Het complete principe werd voor het eerst door Gauss op 6-jarige leeftijd (793) geformuleerd terwijl hij bezig was de verdeling der priemgetallen te bestuderen. Gauss zei later dat hij deze methode heel veel gebruikt had gedurende vele jaren bijvoorbeeld bij het berekenen van banen van astroïden. Hij publiceerde zijn methode in 89 en gaf 4 jaar later een nog uitgebreidere uiteenzetting. Echter Adrien-Marie Legendre ( ) was de eerste die de methode der kleinste kwadraten publiceerde in een werk in 86 over de bepaling van komeetbanen. Legendre was niet echt blij met het feit dat Gauss in 89 beweerde dat hij de methode als eerste had bedacht: tot 827 bleef Legendre Gauss daarover schrijven.

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen

Nadere informatie

wordt de stelling van Pythagoras toegepast, in dit geval twee keer: eerst in de x y-vlakte en vervolgens in de vlakte loodrecht op de vector y.

wordt de stelling van Pythagoras toegepast, in dit geval twee keer: eerst in de x y-vlakte en vervolgens in de vlakte loodrecht op de vector y. Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 2 Les 5 Inproduct Als we het in de meetkunde (of elders) over afstanden en hoeken hebben, dan hebben we daar intuïtief wel een idee van. Maar wat is eigenlijk de

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T

Nadere informatie

Unitaire en Hermitese transformaties

Unitaire en Hermitese transformaties Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra B

Tentamen Lineaire Algebra B Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra

Tentamen Lineaire Algebra Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00 Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire

Nadere informatie

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30) Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Geadjungeerde en normaliteit

Geadjungeerde en normaliteit Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

Wiskunde voor relativiteitstheorie

Wiskunde voor relativiteitstheorie Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets) Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N

Nadere informatie

Vectorruimten en deelruimten

Vectorruimten en deelruimten Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie

Nadere informatie

Kwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.

Kwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat. 1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

Wiskunde voor relativiteitstheorie

Wiskunde voor relativiteitstheorie Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les : Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist verzicht colleges. College. Goniometrie 2. Vectoren 2. College 2. Matrixen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 2 Lineaire afbeeldingen 21 Inleiding Een afbeelding f van een verzameling V naar een verzameling W is een regel die aan ieder element v van V een element f(v) van W toevoegt maw een generalisatie

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor

Nadere informatie

Optelling en scalaire vermenigvuldiging zijn weer plaatsgewijs gedefinieerd, bijvoorbeeld: 7 (x 1, x 2, x 3,...)

Optelling en scalaire vermenigvuldiging zijn weer plaatsgewijs gedefinieerd, bijvoorbeeld: 7 (x 1, x 2, x 3,...) 5. Lineaire ruimten Tot nu toe hebben we ons uitsluitend met de R n bezig gehouden. We gaan de behandelde theorie nu uitbreiden tot verzamelingen die een sterke overeenkomst met een R n vertonen. Een dergelijke

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b, UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode

Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode 2008-2009 Door rotatie van de rechte r die bepaald wordt door de punten P(3, 1, 2) en Q(1, 1, 2) omheen de rechte s die gaat door het punt

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen) Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren

Nadere informatie

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn

Nadere informatie

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. . Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 5 december, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc.

College WisCKI. Albert Visser. 5 december, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc. College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 5 december, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Vectorvoorstelling Lijn: x = b +

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar

Nadere informatie

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015 Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen

Nadere informatie

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit

Nadere informatie

Inleiding Analyse 2009

Inleiding Analyse 2009 Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn

Nadere informatie

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college. Het inwendig- en het uitwendig product. Vandaag. Hoeken Orthogonaliteit en projecties. Toepassing: magnetische velden

Ruimtewiskunde. college. Het inwendig- en het uitwendig product. Vandaag. Hoeken Orthogonaliteit en projecties. Toepassing: magnetische velden college 2 - en het uitwendig collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 2 30 mei 207 30 2 3 4 5 Hoeken Orthogonaliteit en projecties Toepassing: magnetische velden.6-7[2] vandaag meetkundig Section

Nadere informatie

Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen

Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines

Nadere informatie

3 De duale vectorruimte

3 De duale vectorruimte 3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire

Nadere informatie

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015 Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen

Nadere informatie

Overzicht Fourier-theorie

Overzicht Fourier-theorie B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van

Nadere informatie

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten. WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A.

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A. . Oefen opgaven Opgave... Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat A = Bepaal de matrix van A. 4, 4 A =, A = 3 4. In de volgende opgave wordt het begrip injectiviteit en surjectiviteit van

Nadere informatie

V.4 Eigenschappen van continue functies

V.4 Eigenschappen van continue functies V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode

Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode 2008-2009 Een rechte conoïde met als richtrechte de X-as, en als richtoppervlak de sfeer met middelpunt in (0, 16, 0) en straal 9. (1) Stel

Nadere informatie

Ter Leering ende Vermaeck

Ter Leering ende Vermaeck Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel

Nadere informatie

Opgaven Inleiding Analyse

Opgaven Inleiding Analyse Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3

Nadere informatie

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES

Nadere informatie

3 De duale vectorruimte

3 De duale vectorruimte 3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3. (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire afbeeldingen

Nadere informatie

Vectormeetkunde in R 3

Vectormeetkunde in R 3 Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie

Nadere informatie

Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A =

Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A = Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december 2012 Opg 1 De schaakbordmatrix A is de 8 bij 8 matrix 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 A = 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 12 juni 2009, 9.00 Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen.

Nadere informatie

Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door

Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra, najaar 007. Gegeven is de lineaire afbeelding L : R R, die een punt P = (x, y) langs de lijn y = x projecteert op de lijn y = x: y y = x P x L(P ) y = x Bepaal

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A. TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

V.2 Limieten van functies

V.2 Limieten van functies V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk

De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk In het vorige college hebben jullie gezien wat R 2 (het vlak) is. Een vector v R 2 is een paar v = (x,y) van reële getallen. Voor vectoren v = (a,b) en w = (c,d) in

Nadere informatie

Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 1) Inleverdatum: 28 februari 2002

Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 1) Inleverdatum: 28 februari 2002 Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 1) Inleverdatum: 28 februari 2002 1. We vatten {0, 1} op als het lichaam F 2. Een schuifregisterrij is een rij {s n } n=0 in F 2 gegeven door r startwaarden s

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op dinsdag 9 april 8, 9.. uur. Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord

Nadere informatie

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom 8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer

Nadere informatie

Symmetrische matrices

Symmetrische matrices Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 28 november, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc.

College WisCKI. Albert Visser. 28 november, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc. College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 28 november, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Vectorvoorstelling Lijn: x = b + λa. b is steunvector

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 2014, 10:00 13:00 zalen 174, 312, 412, 401, 402

Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 2014, 10:00 13:00 zalen 174, 312, 412, 401, 402 Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 214, 1: 13: zalen 174, 312, 412, 41, 42 Dit zijn geen complete uitwerkingen. Er is dus geen garantie dat het overschrijven met andere getallen voldoende is voor huiswerk

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.3, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 34 Outline 1 Conforme afbeeldingen 2 K. P. Hart TW2040:

Nadere informatie

6. Lineaire operatoren

6. Lineaire operatoren 6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire

Nadere informatie