Topologie in R n 10.1
|
|
- Dirk de Winter
- 4 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Topologie in R n 10.1 Lengte x = (x 1,..., x n ) = x x x2 n Bol B(x 0, r) = {x : x x 0 < r} x 0 r p 1 p 3 p 1 p 2 S p 1 heet uitwendig punt p 2 heet inwendig punt p 3 heet randpunt
2 p 1 p 3 p 1 p 2 S p 1 heet uitwendig punt p 2 heet inwendig punt p 3 heet randpunt S heet open als elk punt in S inwendig is als S geen enkel randpunt bevat S heet gesloten als S alle randpunten bevat S open R n \ S gesloten
3 Functies van meer variabelen f (x 1,..., x n ) f (x 1,..., x n ) D R n R R Domein D R n Bereik R R
4 Grafieken 12.1 n = 2 Grafiek van functie f (x, y) is verzameling in R 3 : { (x, y, z) R 3 : z = f (x, y) } n = 3 Grafiek van functie f (x, y, z) is verzameling in R 4 : { (x, y, z, w) R 4 : w = f (x, y, z) }
5 Niveauverzamelingen n = 2 Niveaulijn van functie f (x, y) is kromme van punten (x, y) met gelijke functiewaarden: { (x, y) R 2 : f (x, y) = c } y x x y -1.5
6 n = 3 Niveauvlak van functie f (x, y, z) is oppervlak van punten (x, y, z) met gelijke functiewaarden: { (x, y, z) R 3 : f (x, y, z) = c } z x y
7 Limieten 12.2 lim x y f (x) = L: (conceptueel) x y x = y = f (x) L (definitie) Voor elke ε > 0 bestaat er δ > 0 zodat x = y, x y < δ = f (x) L < ε. B(L, ε) L B(y, δ) y
8 Limieten en continuiteit Rekenregels: lim( f + g) = lim f + lim g lim f g = (lim f )(lim g) lim f g = lim f lim g mits lim g = 0 Def Een functie f is continu in y als lim x y f (x) = f (y). Vuistregel Een formule is continu op zijn domein
9 f (x, y) = x2 y x 2 + y 2, continu op R2 mits f (0, 0) = f (x, y) = x y xy x 2 + y 2, continu op R2 \ {0} -2-1 x y
10 Partiële afgeleiden 12.3 y vast x vast f 1 (x, y) = lim h 0 f (x + h, y) f (x, y) h f 2 (x, y) = lim k 0 f (x, y + k) f (x, y) k Notatie: f 1 = f x = D 1 f = f x.
11 z plane y = b ( a, b, f (a, b) ) z = f (x, y) a b y x Figure 12-15
12 z plane x = a z = f (x, y) ( a, b, f (a, b) ) a b y x Figure 12-16
13 z plane y = b plane x = a P tangent plane T 1 T 2 n y x Figure 12-17
14 Kettingregel 12.5 Voorbeelden 1. f (x, y), x = x(t), y = y(t) d dt f ( x(t), y(t) ) = f 1 ( x(t), y(t) ) x (t) + f 2 ( x(t), y(t) ) y (t) d f dt = f x dx dt + f y dy dt. 2. f (u, t), u = u(t) d dt f ( u(t), t ) ( ) = f 1 u(t), t u ( ) (t) + f 2 u(t), t d f dt = f u du dt + f t
15 Impliciet differentiëren 12.8 Voorbeeld Beschouw de functie y(x) die voldoet aan x 2 + y 2 = 3, y(1) = 2. Wat is y (1)? Uitwerking Diff naar x: 2x + 2y(x)y (x) = 0 Vul in x = 1: y (1) = 0 y (1) =
16 Linearisatie, 1 e -orde benaderingen Def De linearisatie of 1 e -orde benadering van f (x, y) in (a, b) is L (a,b) (x, y) = f (a, b) + f 1 (a, b)(x a) + f 2 (a, b)(y b) Def f heet differentieerbaar in (a, b) als f 1 en f 2 bestaan in (a, b), en lim (x,y) (a,b) f (x, y) L (a,b) (x, y) (x, y) (a, b) = 0 Stelling Laat f, f 1, en f 2 continu zijn in B ( (a, b), r ) (voor zekere r > 0). Dan is f differentieerbaar in (a, b). Gevolg Een formule f is differentieerbaar in elk inwendig punt van D( f ) D( f 1 ) D( f 2 )
17 Als f (x, y) differentieerbaar is, dan is de vergelijking van het raakvlak aan de grafiek van f in (a, b) (grafiek R 3!) z = L (a,b) (x, y) = f (a, b) + f 1 (a, b)(x a) + f 2 (a, b)(y b) of anders gezegd, het raakvlak A is de verzameling A = { } (x, y, z) R 3 : z = f (a, b) + f 1 (a, b)(x a) + f 2 (a, b)(y b) Gelijkwaardig: 1. f (x, y) is differentieerbaar in (a, b) 2. het raakvlak in ( a, b, f (a, b) ) is een redelijke benadering van de grafiek van f in (a, b)
18 Gradiënt en richtingsafgeleide 12.7 Def Gradiënt van f (x, y) f (x, y) = ( f 1 (x, y), f 2 (x, y) ). Def Directionele afgeleide in punt x = (x, y) in richting u = (u, v) D u f (x) = lim h 0 f (x + hu) f (x) h = lim h 0 f (x + hu, y + hv) f (x, y) h Stelling D u f (x) = f (x) u
19 Let op! D 2u f = 2D u f, want D 2u f = f (2u) = 2( f u) = 2D u f. Meestal neem je aan u = 1. Opmerkingen f niveaulijn (-vlak) van f f is richting van sterkste stijging van f L a (x) = f (a) + f (x a)
20 Hogere-orde afgeleiden Notatie: f 12 (x, y) = y ( x ) f (x, y) Stelling Gegeven f, f 1, en f 2 continu op B(x 0, r) f 12 en f 21 continu in x 0 Dan is f 12 (x 0 ) = f 21 (x 0 )
21 2 e -orde benaderingen 12.9 f (x, y) f (a, b) + f 1 (a, b)(x a) + f 2 (a, b)(y b) f 11(a, b)(x a) 2 + f 12 (a, b)(x a)(y b) f 22(y b) 2
22 Voorbeeld Tentamen mei 2000 Gegeven is de functie f (x, y) = x 2 y 2 + y. a. Bepaal de vergelijking van het raakvlak aan de grafiek van f in het punt (2, 1, 5). b. In welke richting stijgt de functie f in het punt (2, 1) het meest? c. Geef de vergelijking van de niveaulijn van f door het punt (2, 1) en bepaal de vergelijking van de raaklijn in het punt (2, 1) aan deze niveaulijn.
23 Extreme waarden 13.1 Def f heeft een globaal maximum in a D( f ) als f (x) f (a) voor alle x D( f ). f heeft een lokaal maximum in a D( f ) als er een B(a, r) bestaat zodat f (x) f (a) voor alle x B(a, r) D( f ). B(a, r) a D( f ) B(b, r) b
24 Stelling Als f een lokale extreme waarde heeft in a, dan óf a is inwendig, f is differentieerbaar in a, en f (a) = 0 (stationair punt) óf a is inwendig en f is niet differentieerbaar in a n = 1 : óf a ligt op de rand van D( f ) n = 1 : D( f )
25 Speciaal geval: inwendig punt, n = 2 Discriminant: = f 12 (a) 2 f 11 (a) f 22 (a) Stelling Gegeven a inwendig punt; f (a) = 0. Dan < 0 = extremum (min of max) = 0 =? > 0 = zadelpunt Als < 0, f 11 (a) > 0 = min < 0 = max
26 Extrema op begrensde gebieden 13.2 Stelling Als f continu is op een begrensde, gesloten verzameling D, dan heeft f een globaal max en min op D. Voorbeeld Tentamen mei 2003 Bepaal het globale maximum en minimum van de functie f (x, y) = xy y 2 op het gebied D gegeven door x 2 + y 2 1. (Hint: gebruik voor de rand poolcoördinaten).
27 Dubbelintegralen 14.1 z = f (x) f : D R 2 R D D f (x) da = V 1 V 2 V 1 : volume boven xy-vlak V 2 : volume onder xy-vlak
28 Eigenschappen 1. Als opp(d) = 0 dan is f da = 0 voor elke f D 2. 1 da = opp(d) D 3. ( f + g) da = f da + g da 4. (λ f ) da = λ f da voor elke λ R
29 Eigenschappen (2) D f da = D 1 f da + f da D 2 D 2 D 1 mits D = D 1 D 2 en D 1 D 2 = f da f da (driehoeksongelijkheid) 7. f (x) g(x) x D = = f da D D g da (monotonie)
30 Dubbelintegralen als herhaalde integralen 14.2 x = h 1 (y) d y = g 2 (x) D c y = g 1 (x) x = h 2 (y) a b Stelling f is continu op D. Dan D f da = b a g2 (x) g 1 (x) f (x, y) dy dx = d c h2 (y) h 1 (y) f (x, y) dx dy
31 Poolcoördinaten 14.4 x = r cos θ y = r sin θ r = x 2 + y 2 tan θ = y x dr rdθ y r θ θ + dθ x Oppervlakte-element da = rdrdθ
32 Voorbeeld Tentamen juli 2001 Het gebied G wordt gegeven door y x 3, y x én x 2 + y 2 9. Bereken de integraal G x da. 1 + (x2 + y 2 ) 3/2
33 Tripelintegralen 14.5 Voorbeeld van interpretatie: R Ω vol(ω) = V f (x, y, z) is massadichtheid in (x, y, z), i.e. f (x, y, z) V is massa van Ω = R f dv is totale massa van R In rechthoekige coördinaten dv = dxdydz
34 Herhaald integreren R z = h(x, y) y y = φ 2 (x) D a b x y = φ 1 (x) (x, y) z = g(x, y) y = φ 2 (x) a y = φ 1 (x) x b x D R f dv = D h(x,y) g(x,y) f (x, y, z) dz dxdy = = b a φ2 (x) h(x,y) φ 1 (x) g(x,y) f (x, y, z) dzdydx
35 Cylindercoördinaten 14.6 x = r cos θ y = r sin θ z = z r = x 2 + y 2 tan θ = y x z = z z P = (x, y, z) = [r,θ,z] d x x O θ y r z y
36 Integreren in cylindercoördinaten z rdθ dv = rdrdθdz r dr dz x θ dθ y Figure 14-39
37 Bolcoördinaten 14.6 x = ρ sin φ cos θ y = ρ sin φ sin θ z = ρ cos φ z ρ = x 2 + y 2 + z 2 φ = arccos(z/ρ) tan θ = y x P = (x, y, z) = [ρ,φ,θ] ρ φ x x φ O θ y r z y
38 Integreren in bolcoördinaten z ρ sin φ dθ dθ dρ θ [ρ,φ,θ] ρ φ dφ ρ dφ dv=ρ 2 sin φ dρ dφ dθ y x Figure 14-44
39 Vectorfuncties van één variabele 11.1 r(t) = x(t) y(t) z(t) r(a) r(t) r(b) v(t) = r (t) Snelheidsvector x (t) v(t) := r (t) = y (t) z (t) Versnelling a(t) := v (t) = r (t) = (snelheid v(t) = v(t) ) x (t) y (t)
40 Parametriseringen 11.2 r(a) = r(b) enkelvoudig gesloten (geen zelfdoorsnijding) gesloten (mogelijke zelfdoorsijding) Lengte L = b a v(t) dt = b a v(t) dt Booglengteparametrisering: een parametrisering met v = v = 1; te maken uit parametrisering r(t): s = t a v(t) dt.
41 Lijnintegralen 15.3 r(b) r(a) C ds Lengte(C) = Lijnintegraal: C C 1 ds f (x) ds = b a f ( r(t) ) r (t) dt NB Integraal is onafhankelijk van keus van parametrisering
42 Vectorvelden 15.1 F(x) = ( F 1 (x), F 2 (x) ) of F(x) = ( F 1 (x), F 2 (x), F 3 (x) )
43 Veldlijnen Def Een veldlijn van F is een kromme r(t) waarvoor r (t) F ( r(t) ). Figure 15-3 Veldlijn is een kromme die bij het vectorveld past
44 Conservatieve velden (R 3 ) 15.2 Def Als F(x) = ϕ(x) in gebied D, dan heet F conservatief F loodrecht op niveauvlakken van ϕ, {ϕ(x) = c} (equipotentiaalvlakken) Test Als F conservatief, dan y F 1 = x F 2 z F 2 = y F 3 ( F = 0) x F 3 = z F 1 NB Alléén = : Test kan uitsluiten dat F conservatief is, maar niet bewijzen!
45 Lijnintegralen van vectorvelden 15.4 r(a) θ r(b) F Arbeid W = F (r(b) r(a) ) = F r(b) r(a) cos θ
46 Langs stukje C: F ˆT ds C ˆT is eenheidsraakvector langs C; ˆT = 1 (bv T(t) = r (t), ˆT = T/ T ) Afgelegde weg: ˆT ds Arbeid over stukje ds: Arbeid over C: C F ˆT ds F ˆT ds
47 Berekening C F ˆT ds = b a F ( r(t) ) r (t) r (t) r (t) dt = b a F ( r(t) ) r (t) dt Vergelijk: Scalaire functie f : Vectorfunctie F: C C f ds = F ˆT ds = b a b a f ( r(t) ) r (t) dt F ( r(t) ) r (t) dt
48 Opmerkingen 1. Notatie: C F ˆT ds = C F dr. 2. Oriëntatie: andersom doorlopen integraal verandert van teken (alléén bij integralen van vectorfuncties!) 3. Gesloten kromme: A C C 2 B C 1 C F dr = C 1 F dr C 2 F dr
49 Integralen van conservatieve vectorvelden 1. Als F conservatief (F = φ) dan C F dr = φ ( r(b) ) φ ( r(a) ) Integraal hangt alleen af van begin- en eindpunt! 2. Als C gesloten is, dan is C F dr = 0.
50 Stelling Gebied D is samenhangend. Equivalent: 1. F is conservatief C C F dr = 0 voor elke gesloten C in D F dr hangt alleen af van begin- en eindpunt van C
51 Oppervlakte-integralen 15.5 z v d R (u,v) S r(u,v) c a b u x y Figure 15-16
52 r v dv r(u 0,v) r 0 r u du ds r(u 0 + du,v) r(u,v 0 ) r(u,v 0 + dv) Figure ds = r u du r v dv = r u r v dudv f ds = S D f ( r(u, v) ) r u r v dudv
53 Speciaal geval S is grafiek {z = f (x, y)} r(x, y) = ( x, y, f (x, y) ) voor (x, y) D r x = (1, 0, f x ) en r y = (0, 1, f y ) r x r y = ( f x, f y, 1) ds = 1 + f 2 x + f 2 y dxdy g(x, y, z) ds = g ( x, y, f (x, y) ) 1 + f 2 x + f 2 y dxdy S D
54 Oppervlakte-integralen van vectorvelden 15.6 Flux door oppervlak: v ˆN ds z ˆN v dt θ ds P S x y Figure 15-29
55 Def Oppervlak S heet oriënteerbaar als er een continu eenheidsnormaalvectorveld ˆN bestaat op S z ˆN ˆN P ˆN y x Figure Figure ± r u r v r u r v goede kandidaat voor ˆN
56 Berekening Notatie: I = S = ± = ± S D D F ˆN ds F ˆN ds = F ( r(u, v) ) r u r v r u r v r u r v dudv F ( r(u, v) ) r u r v dudv S F ds.
57 n = 2 scalaire f vector F 1d: C f ds = f (r) r dt F dr = F(r) r dt 2d: D f dv div F dv n = 3 scalaire f vector F 1d: C f ds = f (r) r dt F dr = F(r) r dt 2d: S f ds = f (r) r u r v dudv F ds = ±F(r) r u r v dudv 3d: D f dv div F dv
58 Grad-div-rot 16.1 Gradient f = grad f = ( f x, f y, f z ) Interpretatie: richting van sterkste stijging van f Divergentie div F = x F 1 + y F 2 + z F 3 Interpretatie: verandering van grootte van een meegevoerd volume z F 2 y F 3 Rotatie rot F = curl F = x F 3 z F 1 y F 1 x F 2 Interpretatie: moment uitgeoefend door krachtenveld
x a k of.x 1 a 1 / 2 + ::+.x n a n / 2 k 2 bol om a, straal k
Punten, Vectoren in de R n Punten: a =.a 1 ; a 2 ; : : : ; a n / ; b =.b 1 ; b 2 ; : : : ; b n / Vectoren: a = a 1 ; a 2 ; : : : ; a n ; b = b 1 ; b 2 ; : : : ; b n lengte van a : a = a 2 1 + : : : + a2
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Het gebied is een ringvormig gebied met als rand de twee cirkels met vergelijking x + y 9 respectievelijk x + y 5. Laat A lnx + y dxdy.
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 11 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 11 23 oktober 2017 35 De sterrennacht Vincent van Gogh, 1889 1 2 3 4 5 Verband met de stelling van n 1 VA intro ection 16.7 Definitie Equation
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 12 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 12 4 september 217 3 ail Training Vessel 263 tad Amsterdam 1 2 3 4 stelling van Gauss stelling van Green Conservatieve vectorvelden 1 VA
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 1 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 1 25 september 214 28 1 2 3 4 otatie Green De wet van Faraday 1 VA vandaag 4.5.6 ection 16.7 telling Vergeleijking (4.62) Theorem 6 Het
Nadere informatieMath D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #2 Uitwerking
Math D Gauss Wiskunde leerlijn TOM Deelnemende Modules: 14-144/FMHT/14161/14144-1A Oefententamen # Uitwerking Vraagstuk 1. tel de doorsnijding van de oppervlakken x + y + z 4 en z 1. Van bovenaf bekijkt
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 6 collegejaar : 8-9 college : 6 build : 2 oktober 28 slides : 38 Vandaag Minecraft globe van remi993 2 erhaalde 3 4 intro VA Drievoudige integralen Section 5.5 Definitie Een rechthoekig blok is
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNICHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functies van meer variabelen (DE6) op maandag augustus 5, 4. 7. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd
Nadere informatieWI1708TH Analyse 3. College 5 23 februari Challenge the future
WI1708TH Analyse 3 College 5 23 februari 2015 1 Programma Vandaag Richtingsafgeleide (14.6) Gradiënt (14.6) Maximalisatie richtingsafgeleide (14.6) Raakvlak voor niveauoppervlakken (14.6) 2 Richtingsafgeleide
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.
Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag
Nadere informatieMathematical Modelling
1 / 94 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 15-09-09 2 / 94 Overzicht 1 Herhaling 2 Deels oud, deels nieuw integreren 3 Lijnintegralen 3 / 94 Waarschuwing vooraf! Dit college heeft een
Nadere informatieMath D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #1 Uitwerking.
Math D Gauss Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: 14-144/FMHT/14161/14144-1A Oefententamen #1 Uitwerking Vraagstuk 1 Bereken de oppervlakte integraal F ˆn d, waarbij Fx, y, z) x î + y ĵ z ˆk en
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 2 Ruimte en oppervlakken collegejaar : 18-19 college : 2 build : 5 september 2018 slides : 25 Vandaag Ruimte 1 Vectoren in R 3 recap 2 Oppervlakken 3 Ruimte 4 1 intro VA Voorkennis uit Ruimtewiskunde
Nadere informatietentamen Analyse (deel 3) wi TH 21 juni 2006, uur
Technische Universiteit Delft Technische Wiskunde Faculteit lektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, 68 CD DLFT tentamen Analyse (deel 3) wi 54 TH juni 6, 4. 7. uur Deelname aan dit tentamen
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNICHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functies van meer variabelen, deel B (YE6) op vrijdag juli 5, 9..3 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd
Nadere informatieHertentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:30 16:30
Hertentamen WIN12 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Nadere informatieModulen voor Calculus- en Analysevakken
Modulen voor Calculus- en Analysevakken Versie juni 2005 Deze indeling in modulen is zoveel mogelijk onafhankelijk van enig leerboek. Echter, om de invulling ervan concreet te maken is er aangegeven waar
Nadere informatieEigenschappen van de gradiënt
Eigenschappen van de gradiënt De functie f stijgt in (a, b) het snelst in de richting van f(a, b) en daalt het snelst in tegenovergestelde richting. April 19, 2007 6 Eigenschappen van de gradiënt De functie
Nadere informatie(10 pnt) Bepaal alle punten waar deze functie een relatief extreem of een zadelpunt heeft. Opgave 3. Zij D het gebied gegeven door
Calculus 3. Tentamen Calculus 3, 8 April 11 Opgave 1. Zij f(x, y, z) = xy z 3xz en g(x, y, z) = x 3 +z sin(y) y sin(z). i) (5 pnt) Laat zien dat p = (, 1, 1) op de oppervlakken {f(x, y, z)} = en {g(x,
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatieTussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde.
Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Dinsdag 9 maart 2010, 9.00-11.00. Het gebruik van een rekenmachine is toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een berekening of redenering.
Nadere informatie2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk
Nadere informatie1 WGAM: overzicht definities, eigenschappen en stellingen. (Nuttig voor de WPO s)
1 WGAM: overzicht definities, eigenschappen en stellingen. (Nuttig voor de WPO s) 1.1 Hoofdstuk 1: eeksen efinitie 1.1.1. Gegeven een rij (a n ) van reële getallen, dan noemen we een uitdrukking van de
Nadere informatieTentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Ma 26 jan :30 16:30
Tentamen WISN1 Wiskundige Technieken Ma 6 jan 14 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Nadere informatieRelevante examenvragen , eerste examenperiode
Relevante examenvragen 2007 2008, eerste examenperiode WAAR/VALS Zijn de volgende uitspraken waar of vals? Geef een korte argumentatie (bewijs) of een tegenvoorbeeld, eventueel aangevuld met een figuur.
Nadere informatieMathematical Modelling
1 / 104 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 27-09-09 2 / 104 Waarschuwing vooraf Weer plaatjes dus opgelet! En: x F F x want anders worden de formules te lang... En: ik hoop dat ik consistent
Nadere informatie1e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari y = u sin(vt) dt. wordt voorgesteld door de matrix
e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari 9. Opgave: Bereken dt ( q) als p = (, ), q = (, ) en p u+v x = e t dt T : (u, v) (x, y) : u y = u sin(vt) dt Oplossing:
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 6 van een vectorveld collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 6 22 september 214 51 1 2 3 4 5 Gradiënt van een vectorveld 1 VA vandaag Section 16.2 Hoofdstu 4 Definitie Een vectorveld
Nadere informatieJe mag Zorich deel I en II gebruiken, maar geen ander hulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmachine etc.)!
Tentamen Analyse II. Najaar 6 (.1.7) Toelicting: Je mag Zoric deel I en II gebruiken, maar geen ander ulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmacine etc.)! Als je bekende stellingen gebruikt
Nadere informatieTentamen Vectorcalculus voor N (2DN06), dinsdag 24 januari 2006, uur.
TEHNIHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Vectorcalculus voor N (DN6), dinsdag 4 januari 6, 14.-17. uur. 1. Zij R 3 het deel van de grafiek van de functie f gegeven door
Nadere informatieAnalyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 10 januari 2008
ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 007-008 ste semester 0 januari 008 Analyse I. Bewijs de stelling van Bolzano-Weierstrass: elke oneindige begrensde deelverzameling van R heeft minstens
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNICHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functies van meer variabelen, deel A (2XE6) op maandag 2 mei 25, 9..3 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd
Nadere informatieAnalyse I. f(x)dx + f(x)dx =
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen/ Wiskunde/Natuurkunde Academiejaar 1-11 1ste semester, 18 januari 11 Analyse I 1. f en g zijn numerieke functies, f is differentieerbaar in a en g is differentieerbaar
Nadere informatie1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatieStudiehandleiding Vectorcalculus, 2DW00 Cursus
Studiehandleiding Vectorcalculus, 2DW00 Cursus 2008 2009 F.J.L.Martens HG08.90 tel (040-247)4280 e-mail F.J.L.Martens@tue.nl Versie 16 maart 2009 Deze studiehandleiding bevat informatie over het vak en
Nadere informatieVoortgezette Analyse. H.A.W.M. Kneppers. april 2017
Voortgezette Analyse H.A.W.M. Kneppers april 07 iteratuur [A] Robert A. Adams, Calculus, 8th edition, Addison-Wesley 00. [B] William E. Boyce & Richard C. DiPrima, Elementary Differential Equations and
Nadere informatieInhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft
Nadere informatieAnalyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.
Academiejaar 006-007 1ste semester februari 007 Analyse I 1. Toon aan dat elke begrensde rij een convergente deelrij heeft. Geef de definitie van een Cauchy rij, en toon aan dat elke Cauchy rij begrensd
Nadere informatieWiskunde met (bedrijfs)economische toepassingen
FACULTEIT TEW Wiskunde met (bedrijfs)economische toepassingen Oefenexamens 1ste Bachelor TEW Eerste deel (januari) Academiejaar 2013-2014 Het examen vindt voor iedereen plaats in twee delen : het eerste
Nadere informatie{neem f(x) = 3} {haakjes uitwerken} {vereenvoudig}
Wiskunde voor bachelor en master Deel Basiskennis en basisvaardigheden c 205, Synta Media, Utrecht www.syntamedia.nl Uitwerkingen hoofdstuk 2 2... We bepalen de afgeleide van f() 5 met de definitie van
Nadere informatie34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1.11 Vraagstukken Vraagstuk 1.11.1 Beschouw het beginwaardeprobleem = 2x (y 1), y(0) = y 0. Los dit beginwaardeprobleem op voor y 0 R en maak een
Nadere informatieFaculteit Wiskunde en Informatica VECTORANALYSE
12 Faculteit Wiskunde en Informatica Aanvulling 4 VECTOANALYE 2WA15 2006/2007 Hoofdstuk 4 De stelling van Gauss (divergentie-stelling) 4.1 Inleiding Dit hoofdstuk is gewijd aan slechts één stelling. De
Nadere informatieTentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Nadere informatieRelevante vragen , eerste examenperiode
Relevante vragen 2006 2007, eerste examenperiode OEFENING y = x 2 2, y = x, z = x 2 + y 2, z = x + 6 omvatten, indien we ons tot het gedeelte binnen de parabolische cilinder beperken, twee verschillende
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieTentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Do 1 feb :00 12:00
Normering Tentamen WISN02 Wiskundige Technieken 2 Do feb 207 9:00 2:00 voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Nadere informatie2015-2016 Laatste nieuws 2DN60 Lineaire algebra en vectorcalculus
2015-2016 Laatste nieuws 2DN60 Lineaire algebra en vectorcalculus Kwartiel 2, week 7.b Op het college op donderdagochtend 7 januari is behandeld: - hoek tussen vectoren en cosinus regel - driehoeksongelijkheid
Nadere informatieFaculteit Wiskunde en Informatica VECTORANALYSE
12 Faculteit Wiskunde en Informatica Aanvulling 2 VECTORANALYSE 2WA15 2006/2007 Hoofdstuk 2 Vectorvelden en lijnintegralen 2.1 De Euclidische ruimte E 3 Zij E 3 de (Euclidische) ruimte. iezen we in E 3
Nadere informatieTussentijdse evaluatie Analyse I
1ste Bachelor Wiskunde Academiejaar 1-1 1ste semester, november 1 Tussentijdse evaluatie Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R een continue functie is. (i) Bewijs dat er een x 1 en x in [a, b] bestaan
Nadere informatieFaculteit Wiskunde en Informatica VECTORANALYSE
2 Faculteit Wiskunde en Informatica Aanvulling 5 VECTORANALYE 2WA5 2006/2007 Hoofdstuk 5 De stellingen van tokes en Green 5. Inleiding In dit hoofdstuk worden de stellingen van tokes en van Green 2 behandeld.
Nadere informatieAanvullingen van de Wiskunde
3de Bachelor EIT - de Bachelor Fysica Academiejaar 014-015 1ste semester 7 januari 015 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven is een lineaire partiële differentiaalvergelijking van orde 1: a 1 (x 1,,
Nadere informatieTENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN ANALYSE. dinsdag april 2007, 4.00-7.00. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vijf opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan
Nadere informatieExamen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur
Examen GO7D Wiskunde II (6sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Biochemie & Biotechnologie Bachelor hemie, Bachelor Geologie Schakelprogramma Master Biochemie & Biotechnologie en Schakelprogramma Master
Nadere informatieOplossing 1de deelexamen Calculus II van 29/2/2012
Oplossing 1de deelexamen Calculus II van 9//1 March 6, 1 1 raag 1 Beschouw de volgende kromme in R 3, geparametriseerd als r(t) = ti + (t 1)j + t k. (a) Als de parameter t een tijd aangeeft, bereken dan
Nadere informatieReeksnr.: Naam: t 2. arcsin x f(t) = 2 dx. 1 x
Calculus, 4//4. Gegeven de reële functie ft) met als voorschrift t arcsin x ft) = dx x a) Geef het domein van de functie ft). Op dit domein, bespreek waar de functie stijgt, daalt en bepaal de lokale extrema.
Nadere informatie6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid.
6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. f(x) = x x Differentiequotiënt van f(x) op [0, 3] = y f (3) f (0) 60 x 30 30 y x 1 Algemeen: Het differentiequotiënt
Nadere informatieAnalyse I. 3. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.
ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 8-9 ste semester januari 9 Analyse I. Formuleer en bewijs de formule van Leibniz voor de n-de afgeleide van het product van twee functies f en g.. Onderstel
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.4, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 9 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 40 Outline 1 f : [a, b] C f : C C Primitieven 2 K.
Nadere informatieTussentijdse evaluatie Analyse I
ste Bachelor Wiskunde Academiejaar 5-6 ste semester 9 oktober 5 Tussentijdse evaluatie Analyse I. Geef de definitie van een Cauchy rij. Toon aan dat elke Cauchy rij begrensd is. Toon aan dat een numerieke
Nadere informatie== Tentamen Analyse 1 == Maandag 12 januari 2009, u
== Tentamen Analyse == Maandag januari 009, 400-700u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent (S Hille of O van Gaans) en je studierichting Elk antwoord dient gemotiveerd te
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieTussentijdse evaluatie Analyse I
ste Bachelor Wiskunde Academiejaar 4- ste semester 3 oktober 4 Tussentijdse evaluatie Analyse I. Toon aan dat een niet-stijgende begrensde rij convergent is.. Geef de definitie van een verdichtingspunt.
Nadere informatieStudiewijzer Vectorcalculus voor TN 2DN /13 Semester A kwartiel 2
Studiewijzer Vectorcalculus voor TN 2DN13 2012/13 Semester A kwartiel 2 De actuele versie van deze studiewijzer is te vinden op http://www.win.tue.nl/ gprokert/wijzer2dn13.pdf Doelgroep: tweedejaars Bachelor
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Nadere informatie10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:
10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld
Nadere informatieUitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen
Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieOEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE 1 (COLLEGE NAJAAR 2006). (z + 2i) 4 = 16. y 4y + 5y = 0 y(0) = 1, y (0) = 2. { 1 + xc 1 voor x > 0.
OEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE (COLLEGE NAJAAR 6).. Bepaal alle oplossingen van de vergelijking (z + i) 4 = 6 in het complee vlak. a. Schrijf het getal i in poolcoördinaten. b. Bereken de rechthoekige
Nadere informatieWI1708TH Analyse 3. College 2 12 februari Challenge the future
WI1708TH Analyse 3 College 2 12 februari 2015 1 Programma Vandaag Partiële afgeleiden (14.3) Hogere orde partiële afgeleiden (14.3) Partiële differentiaal vergelijkingen (14.3) 2 Functies van twee variabelen
Nadere informatie2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE 2
2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE 2 Inleverdatum 30 maart 207, uiterlijk :5 uur Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je mag de theorie gebruiken die op het college
Nadere informatie2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2
.0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)
Nadere informatieAnalyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 12 januari 2010
ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 9- ste semester januari Analyse I. Formuleer en bewijs de formule van Leibniz voor de n-de afgeleide van het product van twee functies f en g.. Onderstel
Nadere informatieH19: Differentiaalvergelijkingen van eerste orde
H19: Differentiaalvergelijkingen van eerste orde DV van de 1ste orde: oplossingen Algemene oplossing o Alle oplossingen voor een vergelijken met evenveel constanten als de orde van de vergelijking Particuliere
Nadere informatieEerste orde partiële differentiaalvergelijkingen
Eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen Vakgroep Differentiaalvergelijkingen 1995, 2001, 2002 1 Eerste orde golf-vergelijking De vergelijking au x + u t = 0, u = u(x, t), a ɛ IR (1.1) beschrijft
Nadere informatieOpgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus C (WCB) op zaterdag 5 januari 04, 9:00 :00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op
Nadere informatie5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm
5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm x y + xy + (x ν )y = met ν R (1) heet een Bessel (differentiaal)vergelijking. De waarde van ν noemt men ook wel de orde
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je
Nadere informatieTENTAMEN INFINITESIMAALREKENING 1C
TENTAMEN INFINITESIMAALREKENING 1C onderdag 1 maart 1, 14. 17. uur. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Shrijf je naam en studentnummer op elk vel dat je inlevert en op het
Nadere informatie1 Continuïteit en differentieerbaarheid.
1 1 Continuïteit en differentieerbaarheid. In dit hoofdstuk bekijken we continuiteit en differentieerbaarheid voor functies van meerdere variabelen. Ter orientatie repeteren we eerst hoe het zat met functies
Nadere informatieSignalen 4CA00 (1) Gedeelte Signalen, docent M.J.G. van de Molengraft. Gedeelte Wiskunde, docent F.J.L. Martens
Signalen 4CA00 (1) Gedeelte Signalen, docent M.J.G. van de Molengraft Gedeelte Wiskunde, docent F.J.L. Martens Inhoud wiskundedeel Functies van meer variabelen Partiële afgeleiden Extrema Eigenwaarden
Nadere informatie15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x))
5.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( x) a f '( x) 0 n f ( x) ax f '( x) nax n f ( x) c g( x) f '( x) c g'( x) f ( x) g( x) h( x) f '( x) g'( x) h'( x) p( x) f ( x) g( x) p'( x)
Nadere informatieK.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:
K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )
Nadere informatieStudiehandleiding Multivariabele Analyse voor W/BMT/INS/TeMa (2Y060)
Studiehandleiding Multivariabele Analyse voor W/BMT/INS/TeMa (2Y060) 2004-2005 M.A. Peletier HG 8.11, tel (040-247)2628 e-mail m.a.peletier@tue.nl 25 juni 2005 Deze studiehandleiding bevat informatie over
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatieDefinitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:
Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 5 juli 2012 van 14u00-17u00
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Technische Natuurkunde Examen Elektromagnetisme 3 (3NC30) donderdag 5 juli 202 van 4u00-7u00 Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven met elk 3 onderdelen. Voor elk
Nadere informatie2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak
Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter
Nadere informatieStudiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012
Studiewijzer Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90), cursus 2011/2012 Inleiding In de cursus Calculus 2 voor Bouwkunde (2DB90) wordt evenals in de cursus Calculus 1 gebruikt het boek: Calculus, Early Transcendental
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Nadere informatieWiskunde I - proefexamen - modeloplossing
Wiskunde I - proefexamen - modeloplossing Vraag 1 Zij f(x) = ln() (a) Bewijs met volledige inductie dat voor elke n 1 de nde afgeleide van f gelijk is aan d n n 3 dx f(x) = (n 1)! n (b) Bepaal de derdegraads
Nadere informatieDe Afgeleide. ) = 2y. 2 = 4y = 4.(2x+1)
De Afgeleide DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN GEGEVEN FUNCTIE y = f(x) = u is een andere functie genoteerd met y' die uit f'(x) wordt verkregen door toepassing van enkele basisformules. Zo is (u n ) =n.u n-1.u,
Nadere informatiedx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π
Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)
Nadere informatieFuncties van meer variabelen voor dummy s
Functies van meer variabelen voor dummy s Dit is een 'praktische gids voor dummy s'. Hieronder kun je een aantal voorbeelden met uitleg vinden, oefeningen en uitwerkingen. De voorbeelden komen deels uit
Nadere informatieVrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie
Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie Tentamen: Convexe Analyse en Optimalisering Opleiding: Bacheloropleiding Econometrie Vakcode: 611010 Datum:
Nadere informatie