Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Aanvullingen bij Hoofdstuk 8"

Transcriptie

1 Aanvullingen bij Hoofdstuk Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los van de context van lineaire afbeeldingen. We kunnen anderzijds een vierkante matrix altijd beschouwen als de matrix van een lineaire afbeelding ten opzichte van een basis en dan moeten deze begrippen natuurlijk overeenkomen. Definitie 8.4. Zij B een (p p)-matrix. (1) De karakteristieke veelterm van B is f B (t) := det(ti p B). (2) Een eigenwaarde van B is een wortel van f B (t). (3) Een eigenvector van B met eigenwaarde λ is een vector (v 1... v p ) R p zodat (v 1... v p ) (0... 0) en v 1 v 1 B. = λ.. v p v p Anders gezegd als B : R p R p de lineaire afbeelding is met matrix B ten opzichte van de standaardbasis van R p dan is een eigenwaarde of eigenvector van B precies een eigenwaarde of eigenvector van B. Stelling 8.3. Zij B een (p p)-matrix en P een inverteerbare (p p)-matrix. Dan is f B = f P 1 BP en hebben B en P 1 BP dus dezelfde eigenwaarden. Bewijs. Oefening. Stelling 8.4. De eigenwaarden van een boven- of benedendriehoeksmatrix zijn de elementen op de hoofddiagonaal. Bewijs. Zij A een (p p)-boven- of benedendriehoeksmatrix. We noteren met a 11 a a pp de elementen op de hoofddiagonaal van A. Wegens Stelling 5.3 is p f A (t) = det(ti p A) = (t a ii ). 1

2 Definitie 8.5. Een (p p)-matrix B is diagonaliseerbaar als (1) R p een basis heeft bestaande uit eigenvectoren van B of equivalent hiermee als (2) er een inverteerbare (p p)-matrix P bestaat zodat P 1 BP een diagonaalmatrix is. Het bewijs van de equivalentie is eenvoudig. (Als je dit niet inziet kijk dan naar Stelling 8.2 en het bewijs hiervan.) 8.6 Criteria voor diagonaliseerbaarheid Omdat diagonaalmatrices de meest eenvoudige matrices zijn zowel om theoretisch mee te werken als praktisch ( met de hand of met de computer) loont het zeker de moeite om te onderzoeken wanneer precies een lineaire afbeelding diagonaliseerbaar is. Hiervoor gaan we eerst eigenvectoren en eigenwaarden wat van naderbij bestuderen. Belangrijke opmerking. We hebben de begrippen karakteristieke veelterm eigenwaarde eigenvector eigenruimte en diagonaliseerbaarheid intussen ook ingevoerd voor vierkante matrices. De resultaten en definities in dit deeltje gelden ook als je in de formuleringen de lineaire transformatie A vervangt door een vierkante matrix A. Stelling 8.5. Zij A een lineaire transformatie van een eindigdimensionale vectorruimte V. Zij λ 1... λ r verschillende eigenwaarden van A. (1) Zij v i een eigenvector van A met eigenwaarde λ i voor i = 1... r. Dan zijn v 1 v 2... v r lineair onafhankelijk. (2) De som r E λ i is een directe inwendige som. Bewijs. (1) Dit tonen we aan per inductie op r; het geval r = 1 is alvast in orde. We veronderstellen nu dat r > 1. Wegens de inductiehypothese mogen we aannemen dat v 1 v 2... v r 1 lineair onafhankelijk zijn. Stel dat v 1 v 2... v r lineair afhankelijk zouden zijn. Dan geldt voor zekere α i R dat v r = α 1 v 1 + α 2 v α r 1 v r 1. Inderdaad bij een afhankelijkheidsrelatie tussen v 1 v 2... v r moet v r expliciet voorkomen omdat de anderen lineair onafhankelijk zijn. Enerzijds is nu A(v r ) = A(α 1 v 1 + α 2 v α r 1 v r 1 ) = α 1 A(v 1 ) + α 2 A(v 2 ) + + α r 1 A(v r 1 ) = α 1 λ 1 v 1 + α 2 λ 2 v α r 1 λ r 1 v r 1 2

3 en anderzijds is ook Hieruit volgt dat A(v r ) = λ r v r = α 1 λ r v 1 + α 2 λ r v α r 1 λ r v r 1. α 1 (λ 1 λ r )v 1 + α 2 (λ 2 λ r )v α r 1 (λ r 1 λ r )v r 1 = 0. Omdat v 1 v 2... v r 1 lineair onafhankelijk zijn zijn dan alle λ i λ r waarvoor α i 0 gelijk aan nul. Dus is er zeker één λ i = λ r. Dit levert een contradictie. (2) We gebruiken Stelling We schrijven de nulvector als 0 = w i waarbij elke w i E λi en moeten dan aantonen dat elke w i = 0. Stel dat minstens één van deze w j 0. Dan zegt bovenstaande gelijkheid dat een aantal eigenvectoren horende bij verschillende eigenwaarden lineair afhankelijk zijn. En dit kan niet wegens (1). Hieruit kunnen we reeds het volgende speciale geval halen in verband met diagonaliseerbaarheid. Stelling 8.6. Als een lineaire transformatie A van een p-dimensionale vectorruimte p verschillende eigenwaarden heeft dan is A diagonaliseerbaar. Bewijs. Kies bij elke eigenwaarde een eigenvector. Deze p eigenvectoren zijn lineair onafhankelijk en vormen dus een basis van de gegeven p-dimensionale vectorruimte. Opmerking. In dit geval is elke eigenruimte dus ééndimensionaal. Nu gaan we op zoek naar een nodige en voldoende voorwaarde voor diagonaliseerbaarheid. Hierbij zullen we de multipliciteit van een eigenwaarde nodig hebben. Definitie 8.6. Zij A een lineaire transformatie van een eindigdimensionale vectorruimte en λ een eigenwaarde van A. De (algebraïsche) multipliciteit van λ genoteerd mult A λ of kortweg mult λ is het aantal keer dat λ een wortel is van de karakteristieke veelterm van A; anders gezegd : mult λ = m als f A (t) = (t λ) m g(t) met λ geen wortel van g. 3

4 Stelling 8.7. Zij A een lineaire transformatie van een eindigdimensionale vectorruimte. Voor elke eigenwaarde λ van A geldt : dim E λ mult λ. Bewijs. Zij p de dimensie van de vectorruimte en k = dim E λ. Neem een basis v 1... v k van E λ en breid deze basis uit tot een basis van V met p k vectoren v k+1... v p. De matrix van A ten opzichte van de basis v 1... v p is van de vorm λik B A = O C waarbij O de (p k) k-nulmatrix is B een k (p k)-deelmatrix en C een (p k) (p k)- deelmatrix. De karakteristieke veelterm van A is dus f A (t) = ti p A = ti k λi k B O ti p k C = (t λ)i k B O ti p k C. Ontwikkelen naar de eerste k kolommen levert f A (t) = (t λ) k ti p k C. Dit zegt dat λ minstens multipliciteit k heeft als wortel van f A en dus inderdaad dat de multipliciteit van λ minstens even groot is als dim E λ. Opmerking. De dimensie van E λ heet ook de meetkundige multipliciteit van λ. Dan zegt de vorige stelling : (meetkundige multipliciteit van λ) (algebraïsche multipliciteit van λ). In Voorbeeld 8.10 bleek voor de enige eigenwaarde λ = 1 dat dim E λ < mult λ; in Stelling 8.7 kan de ongelijkheid dus strikt zijn. Dit was ook de reden waarom de transformatie in Voorbeeld 8.10 niet diagonaliseerbaar was. Zij nu A : V V een lineaire transformatie van een p-dimensionale vectorruimte en λ 1... λ r alle verschillende eigenwaarden van A. Dan is altijd r mult λ i p waarbij gelijkheid optreedt precies wanneer f A volledig splitst in lineaire factoren over R. Uit Stelling 8.7 volgt alvast dat steeds ( ) dim E λi mult λ i p. Deze ongelijkheden zijn belangrijk bij het bewijs van de volgende criteria voor diagonaliseerbaarheid. 4

5 Stelling 8.8. Zij A : V V een lineaire transformatie van een eindigdimensionale vectorruimte V. Zij λ 1... λ r alle verschillende eigenwaarden van A. Dan zijn volgende uitspraken equivalent : (1) A is diagonaliseerbaar (2) V = r E λ i (3) V = r E λ i (4) f A splitst volledig in lineaire factoren over R en dim E λi = mult λ i voor elke i = 1... r. Bewijs. Noteer p := dim V. (1) (2) Per definitie van diagonaliseerbaar heeft V dan een basis van eigenvectoren en is dus zeker V = r E λ i. (2) (3) Dit volgt uit Stelling 8.5(2). (3) (4) Uit het gegeven en ( ) volgt dat p = dim V = dim E λi mult λ i p. Dit kan enkel als alle ongelijkheden gelijkheden zijn. Dan is r mult λ i = p wat betekent dat f A volledig splitst in lineaire factoren over R en r dim E λ i = r mult λ i wat (wegens Stelling 8.7) impliceert dat dim E λi = mult λ i voor elke i = 1... r. (4) (1) Kies in elke E λi een basis B i (van eigenvectoren dus). Het aantal vectoren in r B i is volgens het gegeven r dim E λ i = r mult λ i = p. Wegens stelling 8.5 zijn deze vectoren lineair onafhankelijk en vormen dus een basis van V. Gevolg. Als A diagonaliseerbaar is vormt de (disjuncte) unie van basissen van de E λi een basis van V. 8.7 Trianguleren Zelfs als de karakteristieke veelterm van een lineaire transformatie A volledig splitst in lineaire factoren over R hoeft A niet diagonaliseerbaar te zijn; zie Voorbeeld De tweede voorwaarde in Stelling 8.8(4) is dus echt nodig. Maar dan kunnen we wel steeds een nog redelijk eenvoudige matrixvoorstelling van A vinden; ten opzichte van een geschikte basis wordt de matrix van A namelijk een bovendriehoeksmatrix. Men zegt dan dat A trianguleerbaar is. In het bewijs komt de notie van invariante deelruimte te voorschijn. 5

6 Definitie 8.7. Zij A : V V een lineaire transformatie van een vectorruimte V. Een A-invariante deelruimte van V is een deelruimte W van V waarvoor A(W ) W. Merk op dat de beperking van A tot W dan een lineaire transformatie is van W. Stelling 8.9. Zij A : V V een lineaire transformatie van een eindigdimensionale vectorruimte V. Als f A volledig splitst in lineaire factoren over R dan bestaat er een basis E van V zodat de matrix van A ten opzichte van E een bovendriehoeksmatrix is. Bewijs. We argumenteren per inductie op de dimensie p van V. Het geval p = 1 is evident. We nemen nu p > 1. Zij λ 1 een eigenwaarde van A en v 1 een eigenvector met eigenwaarde λ 1. W 1 := <v 1 > een A-invariante deelruimte van V. Dan is Breid nu v 1 uit tot een basis v 1 v 2... v p van V. Dan is W 2 := <v 2... v p > een supplementaire deelruimte van W 1 met andere woorden V = W 1 W 2 maar W 2 is niet noodzakelijk A-invariant. De matrix van A ten opzichte van v 1 v 2... v p is dus van de vorm λ1 A = O R waarbij O een kolom is van p 1 nullen R een (p 1) (p 1)-deelmatrix en een rij van p 1 getallen. (Indien W 2 ook A-invariant zou zijn wordt dit een nulrij.) Zij A R de lineaire transformatie van W 2 met matrix R ten opzichte van de basis v 2... v p van W 2. Een belangrijke opmerking voor het vervolg is dat voor elke w W 2 de verschilvector A(w) A R (w) tot W 1 behoort. Door de determinant van ti p A te ontwikkelen naar de eerste kolom verkrijgen we f A (t) = (t λ 1 )f AR (t). Bijgevolg splitst ook f AR volledig in lineaire factoren over R. Nu levert de inductiehypothese toegepast op de (p 1)-dimensionale vectorruimte W 2 en de lineaire transformatie A R een basis v 2... v p van W 2 zodat de matrix R van A R ten opzichte van deze nieuwe basis een bovendriehoeksmatrix is. De vectoren v 1 v 2... v p vormen ook een basis van V en de matrix van A ten opzichte van deze basis is van de vorm A λ1 = O R. Verifieer dit! Omdat R een bovendriehoeksmatrix is is A dit natuurlijk ook. Gevolg. Zij A een lineaire transformatie van een eindigdimensionale vectorruimte. Als f A volledig splitst in lineaire factoren over R dan : 6

7 (1) det(a) is het product van alle eigenwaarden van A (2) Sp(A) is de som van alle eigenwaarden van A. Hierbij moeten de eigenwaarden wel geteld worden met hun multipliciteit. 8.8 En nu met complexe getallen Hiermee wordt alles niet complexer maar eenvoudiger! Voorbeeld 8.9bis. De matrix cos α sin α A = sin α cos α had als karakteristieke veelterm f A (t) = t 2 2(cos α)t + 1. Als cos α ±1 heeft A geen reële wortels en dus geen eigenwaarden en geen eigenvectoren. Over C heeft f A wel twee wortels namelijk λ 1 = cos α + i sin α (= e iα ) en λ 2 = cos α i sin α (= e iα ). We zeggen dat λ 1 en λ 2 complexe eigenwaarden zijn van A. We kunnen de matrix A eigenlijk ook beschouwen als een matrix over C en hieraan de afbeelding C 2 C 2 : ( z1 z 2 ) z1 A z 2 associëren. Analoog als in Definities 8.1 en 8.2 kunnen we complexe eigenvectoren en( eigenruimtes ) ( invoeren. ) Bijvoorbeeld voor λ 1 zijn dit de oplossingen in C 2 van z1 z1 A = λ z 1 dus van het homogene stelsel met coëfficiëntenmatrix 2 z 2 i sin α sin α λ 1 I 2 A =. sin α i sin α De oplossingen hiervan zijn alle complexe veelvouden van (1 i). Analoog vormen alle complexe veelvouden van (1 i) de complexe eigenruimte van λ 2. We voeren deze begrippen nu in het algemeen in. (A) Alles wat we tot nu toe gezien hebben blijft geldig met C in plaats van R. Hiermee bedoelen we het volgende : 7

8 Stel dat voor de verzameling V in Definitie 2.1 als tevoren een vectoroptelling gedefinieerd is maar nu een scalaire vermenigvuldiging met complexe in plaats van reële getallen. Vervang in de axioma s overal R door C. Men noemt V dan een complexe vectorruimte of vectorruimte over C. Alle ingevoerde begrippen kunnen we nu ook beschouwen voor complexe vectorruimten en alle geziene resultaten blijven geldig (waarbij we telkens reëel getal moeten vervangen door complex getal )! Opmerking. Wat we tot nu toe steeds gewoon vectorruimte genoemd hebben wordt ook reële vectorruimte of vectorruimte over R genoemd. Dit is nuttig voor de gevallen waarin er keuze is om over R of over C te werken; zie (C) hieronder. (B) We bekijken nu in het bijzonder de complexe versie van Definities 8.1 en 8.2. Aan lineaire transformaties van complexe vectorruimten respectievelijk aan complexe vierkante matrices associëren we eigenwaarden in C en eigenvectoren met complexe coördinaten (ten opzichte van een basis) respectievelijk eigenvectoren in C n. Zij A een lineaire transformatie van een eindigdimensionale complexe vectorruimte. De karakteristieke veelterm f A van A splitst volledig in lineaire factoren over C; dit betekent dat de eigenwaarden van A samenvallen met alle wortels van f A. (Over R waren de complexe niet-reële wortels van de karakteristieke veelterm geen eigenwaarden.) Hieruit volgt ook dat er over C steeds een eigenwaarde (en dus eigenvector) is. De formuleringen van de Stellingen 8.8 en 8.9 zijn over C dan iets eenvoudiger. Voor de duidelijkheid geven we deze formuleringen expliciet. Stelling 8.8. Zij A : V V een lineaire transformatie van een eindigdimensionale complexe vectorruimte V en λ 1... λ r alle verschillende eigenwaarden van A. Dan zijn volgende uitspraken equivalent : (1) A is diagonaliseerbaar (2) V = r E λ i (3) V = r E λ i (4) dim E λi = mult λ i voor elke i = 1... r. Stelling 8.9. Zij A : V V een lineaire transformatie van een eindigdimensionale complexe vectorruimte V. Dan bestaat er een basis E van V zodat de matrix van A ten opzichte van E een bovendriehoeksmatrix is. Gevolg. Zij A een lineaire transformatie van een eindigdimensionale complexe vectorruimte. Dan : (1) det(a) is het product van alle eigenwaarden van A 8

9 (2) Sp(A) is de som van alle eigenwaarden van A waarbij de eigenwaarden geteld moeten worden met hun multipliciteit. We vermelden tenslotte expliciet als gevolg van de complexe versie van Stelling 6.4 : Een complexe (p p)-matrix A is diagonaliseerbaar als en slechts als er een inverteerbare complexe (p p)-matrix B bestaat zodat B 1 AB een (complexe) diagonaalmatrix is. (C) Zij A een reële (p p)-matrix. Naargelang we A beschouwen als reële of als complexe matrix geldt er een andere notie van diagonaliseerbaarheid. Voor de duidelijkheid is het hier beter om altijd expliciet diagonaliseerbaar over R of diagonaliseerbaar over C te zeggen. Even herhalen : A is diagonaliseerbaar over R R p heeft een basis van (reële) eigenvectoren van A f A splitst volledig in lineaire factoren over R en voor elke (reële) eigenwaarde λ van A is dim E λ = mult λ A is diagonaliseerbaar over C C p heeft een basis van (complexe) eigenvectoren van A voor elke complexe eigenwaarde λ van A is dim E λ = mult λ. Merk op dat in het eerste geval E λ een reële vectorruimte is en in het tweede geval een complexe vectorruimte. Bijvoorbeeld is de matrix in Voorbeeld 8.9 diagonaliseerbaar over C maar niet over R. Opgave 8.9. Zij λ een complexe niet-reële eigenwaarde van een reële vierkante matrix. Dan heeft λ geen reële eigenvectoren. Opmerking. Zelfs als we enkel geïnteresseerd zijn in reële eigenschappen van een reële vierkante matrix kan het nuttig zijn om complexe eigenwaarden en eigenvectoren te kennen en te gebruiken. We zullen hiervan voorbeelden zien bij een toepassing van lineaire algebra en bij de hoofdstelling over symmetrische matrices in Hoofdstuk 9. Een eenvoudig voorbeeldje van dit principe zagen we al bij de berekening van de determinant en het spoor van een reële vierkante matrix A. Deze zijn natuurlijk beide reëel maar kunnen berekend worden als respectievelijk het product en de som van alle complexe eigenwaarden van A. Merk op dat wanneer de karakteristieke veelterm van A niet volledig in lineaire factoren splitst over R det(a) en Sp(A) in het algemeen niet gelijk zijn aan respectievelijk product en som van alle reële eigenwaarden van A. 9

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.

Nadere informatie

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als

Nadere informatie

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015 Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van

Nadere informatie

Unitaire en Hermitese transformaties

Unitaire en Hermitese transformaties Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Als Ax λx voor zekere x in R n met x 0, dan is λ een eigenwaarde van A en x een eigenvector van A behorende bij λ. Een eigenvector is op een multiplicatieve constante

Nadere informatie

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:

Nadere informatie

Geadjungeerde en normaliteit

Geadjungeerde en normaliteit Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

11.0 Voorkennis V

11.0 Voorkennis V 11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

Symmetrische matrices

Symmetrische matrices Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie

Nadere informatie

Symmetrische matrices

Symmetrische matrices Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00 Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

x 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt).

x 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt). 76 Complexe eigenwaarden Ook dit hebben we reeds gezien bij Lineaire Algebra Zie: Lay, 57 Als xt ve rt een oplossing is van de homogene differentiaalvergelijking x t Axt, dan moet r een eigenwaarde van

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

4. Determinanten en eigenwaarden

4. Determinanten en eigenwaarden 4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:

Nadere informatie

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets) Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N

Nadere informatie

3.2 Vectoren and matrices

3.2 Vectoren and matrices we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper

Nadere informatie

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Leerkracht: Koen De Naeghel Schooljaar: 2012-2013 Klas: 5aLWi8, 5aWWi8 Aantal taken: 19 Aantal repetities: 14 Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Taken Eerste trimester: 11 taken indienen op taak

Nadere informatie

Vectorruimten en deelruimten

Vectorruimten en deelruimten Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of

Nadere informatie

OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010

OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 1. Zij V een vectorruimte en A = {v 1,..., v m } een deelverzameling van m vectoren uit V die voortbrengend is voor V, m.a.w. V = A.

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.

Nadere informatie

Toepassingen op differentievergelijkingen

Toepassingen op differentievergelijkingen Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij

Nadere informatie

Ruimtemeetkunde deel 1

Ruimtemeetkunde deel 1 Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters

Nadere informatie

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Matrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.

Matrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b, UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

(2) Stel een parametervoorstelling op van de doorsnijdingskromme van sfeer en cilinder in de voorkeurpositie.

(2) Stel een parametervoorstelling op van de doorsnijdingskromme van sfeer en cilinder in de voorkeurpositie. Vraag op 5 punten de sfeer met middelpunt in,, 4 en straal 6; de omwentelingscilinder met straal 6 en als as de rechte door,, met richtingsvector,, Bepaal een affiene transformatie of een coördinatentransformatie,

Nadere informatie

De inverse van een matrix

De inverse van een matrix De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties

Nadere informatie

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A.

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A. . Oefen opgaven Opgave... Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat A = Bepaal de matrix van A. 4, 4 A =, A = 3 4. In de volgende opgave wordt het begrip injectiviteit en surjectiviteit van

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines

Nadere informatie

b + b c + c d + d a + a

b + b c + c d + d a + a Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A. TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0

Nadere informatie

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting

Nadere informatie

Lineaire Algebra. Samenvatting. De Roover Robin

Lineaire Algebra. Samenvatting. De Roover Robin Lineaire Algebra Samenvatting De Roover Robin 21-211 Deze samenvatting is een overzicht van alle definities, stellingen, lemma's en proposities met hun bijhorende bewijzen. Deze samenvatting is gebaseerd

Nadere informatie

extra sommen bij Numerieke lineaire algebra

extra sommen bij Numerieke lineaire algebra extra sommen bij Numerieke lineaire algebra 31 oktober 2012 1. Stel, we willen met een rekenapparaat (dat arithmetische bewerkingen uitvoert met een relatieve nauwkeurigheid ξ, ξ ξ) voor twee getallen

Nadere informatie

Meetkunde en lineaire algebra

Meetkunde en lineaire algebra Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

De dimensie van een deelruimte

De dimensie van een deelruimte De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van

Nadere informatie

Toepassingen op discrete dynamische systemen

Toepassingen op discrete dynamische systemen Toepassingen op discrete dynamische systemen Een discreet dynamisch systeem is een proces van de vorm x k+ Ax k k met A een vierkante matrix Een Markov-proces is een speciaal geval van een discreet dynamisch

Nadere informatie

6. Lineaire operatoren

6. Lineaire operatoren 6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen

Nadere informatie

Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith

Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith Scoop februari 2003 Scoop vult de gaten Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith De wiskundigen onder jullie zal de naam waarschijnlijk

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Samenvatting. Lineaire Algebra 1 - Collegejaar Dictaat met verwijzing naar het boek. Disclaimer

Samenvatting. Lineaire Algebra 1 - Collegejaar Dictaat met verwijzing naar het boek. Disclaimer Samenvatting Lineaire Algebra 1 - Collegejaar 2013-2014 Dictaat met verwijzing naar het boek Disclaimer De informatie in dit document is afkomstig van derden. W.I.S.V. Christiaan Huygens betracht de grootst

Nadere informatie

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen

Nadere informatie

Examenvragen eerste zittijd academiejaar Vraag 1 (op 6 punten) Gegeven:

Examenvragen eerste zittijd academiejaar Vraag 1 (op 6 punten) Gegeven: Examenvragen eerste zittijd academiejaar 2010-2011 Vraag 1 (op 6 punten) de vectorruimte V = {A R 3 3 tr(a) = 0 en a 12 = a 21, a 13 = a 32, a 23 = a 31 }; de afbeelding T : V V, A A T A. (1) Toon aan

Nadere informatie

Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode

Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode 2008-2009 Een rechte conoïde met als richtrechte de X-as, en als richtoppervlak de sfeer met middelpunt in (0, 16, 0) en straal 9. (1) Stel

Nadere informatie

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra 4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra Positieve en niet-negatieve matrices komen veel voor binnen de stochastiek (zoals de PageRank matrix) en de mathematische fysica: temperatuur, dichtheid,

Nadere informatie

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud

Ruimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud college 6 en lineaire collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 6 9 juni 27 3 2 3 van een matrix Toepassing: oppervlakte en inhoud.6-7[6] vandaag van de 2 2-matrix a b c d is gelijk aan ad bc.

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn

Nadere informatie

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 CTB100 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 5 5 februari 014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8 Voor de pauze: hoofdstuk 1.7 Na de pauze: hoofdstuk 1.8 Verschillende notaties

Nadere informatie

Overzicht. Eigenwaarden. Beurzen en afhankelijkheid. Eigenwaarden: Intro

Overzicht. Eigenwaarden. Beurzen en afhankelijkheid. Eigenwaarden: Intro Overzicht Eigenwaarden VU Numeriek Programmeren. Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam c.s.bos@vu.nl, A april Waarom? Voorbeelden Eigenwaarden/eigenvectoren Hoe vind ik ze? Polynoom Powermethode Andere

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie

Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode

Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode 2008-2009 Door rotatie van de rechte r die bepaald wordt door de punten P(3, 1, 2) en Q(1, 1, 2) omheen de rechte s die gaat door het punt

Nadere informatie

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 : Determinanten

Hoofdstuk 3 : Determinanten (A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten. WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de

Nadere informatie

Het karakteristieke polynoom

Het karakteristieke polynoom Hoofdstuk 6 Het karakteristieke polynoom We herhalen eerst kort de definities van eigenwaarde en eigenvector, nu in een algemene vectorruimte Definitie 6 Een eigenvector voor een lineaire transformatie

Nadere informatie