ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3."

Transcriptie

1 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8

2 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding De redactie Lineaire Algebra heeft een aantal voorbeeldtoetsen vervaardigd over de onderwerpen 1. Vectoren in de R 2 en R 3 2. Rekenen met matrices 3. Stelsels lineaire vergelijkingen 4. Vectorruimten 5. Determinanten 6. Eigenwaarden 7. Inproducten 8. Lineaire afbeeldingen Het betreft hier een verzameling van meer dan 80 opgaven, zowel open als multiple choice. Daarnaast is een groot aantal reeds bestaande interactieve opgaven verzameld. Momenteel is het reviewproces van deze opgaven aan de gang. De toetsen en overige opgaven zijn beschikbaar via onder de sectie Lineaire algebra en zijn als bijlage aan dit document toegevoegd. ONBETWIST Deliverable 3.8

3 Lineaire Algebra, Vectoren in R 2 en R 3 Opgave 1. Bepaal Opgave 2. Geef een vergelijking in de vorm ax + by = c voor de lijn door de punten A(1, 2) en B(3, 4). Opgave 3. Wat is de afstand tussen de twee punten A(1, 3, 2) en B( 2, 1, 1)? Opgave 4. Bepaal de oppervlakte van de driehoek ABC als A = (1, 1, 1), B = (2, 3, 1) en C = (0, 1, 1). Opgave 5. De lijn l in R 2 wordt gegeven door de vergelijking 6x + 5y = 3. ( ( ( x a c Geef een vectorvergelijking voor l in de vorm = + λ. y) b) d) 1

4 Opgave 6. Bepaal het snijpunt P van het vlak V gegeven door de vergelijking x+4y+z = 36 en de lijn l door de punten (2, 4, 0) en ( 1, 2, 4). Opgave 7. Bepaal de afstand van het punt P (3, 3) tot de lijn l door de twee punten A(1, 1) en B(3, 1). Opgave 8. Het vlak V gaat door de drie punten A(1, 1, 1), B(2, 3, 1) en C(5, 1, 2). Geef een vergelijking van het vlak in de vorm ax + by + cz = d. Opgave 9. Wat zijn de coördinaten van het spiegelbeeld van het punt P (3, 3, 1) in het vlak V gegeven door de vergelijking 2x + y z = 2? Opgave 10. Wat is de afstand tussen de twee lijnen l en m gegeven door de vectorvergelijkingen x 5 1 x 1 2 l : y = 1 + λ 1 en m : y = 2 + µ 0. z 1 1 z 1 1 2

5 Lineaire Algebra, Rekenen met matrices Opgave 1. Bepaal 3 ( ) ( ) ( ) Opgave 2. Bepaal ( ) Opgave ( ) Bereken Opgave 4. Als A een 7 3 matrix is en B een 3 5 matrix. Wat is dan het aantal kolommen van (AB)? Opgave 5. Bereken ( ) ( 5 4 ) ( )

6 Opgave 6. Geef een 3 3 matrix A met A 0, maar A 3 = 0. Opgave 7. Als A een 3 3 matrix is, waarvoor geldt dat AB = BA voor alle 3 3 matrices B, wat is dan de sterkste uitspraak over A. a. A = I b. A is een scalair veelvoud van I. c. A is een bovendriehoeksmatrix. d. A kan elke 3 3 matrix zijn. Opgave 8. Welke uitspraak is waar? a. Voor alle n n matrices A en B geldt AB BA = 0. b. Voor alle n n matrices A en B geldt AB B A = 0. c. Voor alle n n matrices A en B geldt (AB) B A = 0. d. Geen van bovenstaande beweringen is waar. Opgave 9. Als A een 3 3 matrix is, waarvoor geldt dat AB = BA voor alle 3 3 matrices B, wat is dan de sterkste uitspraak over A. a. A = I b. A is een scalair veelvoud van I. c. A is een bovendriehoeksmatrix. d. A kan elke 3 3 matrix zijn. 2

7 Opgave 10. ( ( ( ( Bepaal een 2 2 matrix A met A = en A =. 1) 5) 1) 1) 3

8 Lineaire Algebra, Oplossen van lineaire stelsels Opgave 1. Beschouw het volgend stelsel lieaire vergelijkingen: 4x 7z = 8 8y 3x + 2z = 0 3z 2y = 6 Wat is de uitgebriede coefficiëntenmatrix voor dit stelsel? Opgave 2. Zin A een 3 3-matrix en b een vector in R 3. De vergelijking Ax = b heeft als uitgebreide coëfficiëntenmatrix de 3 4-matrix A b. prcies één van de volgende beweringen is fout. Welke? a. Vermenigvuldiging van de tweede regel uit A b met 3 zal, in het algemeen, de oplossingsverzameling niet veranderen. b. Vermenigvuldiging van de tweede kolom uit A b met 3 zal, in het algemeen, de oplossingsverzameling niet veranderen. c. Optellen van de tweede rij bij de derde uit A b zal, in het algemeen, de oplossingsverzameling niet veranderen. d. Verwisselen van de tweede en derde regel uit A b zal, in het algemeen, de oplossingsverzameling niet veranderen. Opgave 3. 1

9 De rij-gereduceerde matrix van 0 a 0 a b c c b c c waarbij a 0 is gelijk aan Opgave 4. De vergelijking Ax = b, met en heeft een unieke oplossing. Deze oplossing is gelijk aan A = b = 0 6 Opgave 5. Voor p R is gegeven A = 1 p 2 en b = p p 0 De vergelijking Ax = b heeft geen oplossingen voor precies één waarde van p. Voor welke p is dat zo? Opgave 6. Stel u A = en b = u w 2

10 De vergelijking Ax = b heeft alleen oplossingen als u, v en w aan een vergelijking voldoen. Wat is deze vergelijking? Opgave 7. Stel A = p 0 p p 1 De vergelijking Ax = 0 heeft oneindig veel oplossingen voor twee waarden voor p. Welke? 3

11 Lineaire Algebra, Vectorruimten Opgave 1. De eigenschap dat in een vectorruimte V geldt dat (u + v) + w = u + (v + w) voor alle u, v, w V heet: a. Commutativiteit. b. Associativiteit. c. Geslotenheid onder optelling. Opgave 2. Wat is de dimensie van de reële vectorruimte van reële n n matrices? a. n. b. 2n. c. n 2. Opgave 3. Laat V de verzameling zijn van alle functies f op [ 1, 1] waarvoor geldt dat f( x) = f(x) voor alle x [ 1, 1]. Voor f, g V definiëren we f + g op de gebruikelijke wijze, en zo ook αf voor α R. Precies één van de volgende uitspraken is correct. Welke? a. V is een vectorruimte. b. V is geen vectorruimte want V is niet gesloten onder de gegeven optelling. c. V is geen vectorruimte want V wordt niet opgespannen door eindig veel vectoren uit V. Opgave 4. Welke van de volgende is geen axioma voor een vectorruimte V? 1

12 a. 0u = 0 voor alle u V b. 1u = u voor alle u V. c. c(du) = (cd)u voor alle c, d R en u V. Opgave 5. Welke van de volgende deelverzamelingen H van de verzameling V van 2 2 matrices is geen deelruimte? a. De deelverzameling H van bovendriehoeksmatrices. b. De deelverzameling van symmetrische matrices. c. De deelverzameling van matrices die niet symmetrisch zijn. Opgave 6. Laat V de verzameling zijn van alle horizontale vectoren van lengte twee, tezamen met alle verticale vectoren van lengte twee, oftewel, {( ) } b1 V = {(a 1, a 2 ), a 1, a 2 R}, b b 1, b 2 R. 2 Definieer de volgende optelling op V. Als v, w V beide horizontaal of beide verticaal zijn, definieer hun som v + w dan als gebruikelijk. Is dit niet het geval, definieer dan ( ) v1 + w v + w = 1. v 2 + w 2 Dus, de som is in dat geval altijd verticaal. Definieer de vermenigvuldiging met een scalair c R zoals gebruikelijk, ( ) ( ) v1 cv1 c =, c(w v 2 cv 1, w 2 ) = (cw 1, cw 2 ). 2 Precies één van de volgende uitspraken is correct. Welke? De verzameling V met de gedefinieerde optelling en vermenigvuldiging met een scalair is geen vectorruimte omdat: a. De optelling niet associatief is. b. Er geen nulvector in v bestaat. c. Niet iedere v V heeft een tegengestelde v. Opgave 7. Welke van de volgende is geen vectorruimte? 2

13 a. De verzameling van polynomen van graad ten hoogste twee gedefinieerd op het interval [0, 1], met de gebruikelijke optelling van functies, en de gebruikelijke vermenigvuldiging van een functie met een scalair. b. De verzameling van alle inverteerbare 2 2 matrices, met de matrix-optelling, en de vermenigvuldiging van een matrix met een scalair. c. De verzameling van alle rijtjes getallen (a n ) n=1 met de gebruikelijke elementsgewijze optelling, en de gebruikelijke vermenigvuldiging met een scalair. Opgave 8. Beschouw de complexe vectorruimte V van complexe 3 3 matrices. Laat H de deelverzameling zijn van Hermitische matrices, oftewel, matrices A waarvoor A = A. Precies één van de volgende uitspraken is correct. Welke? a. H is aan deelruimte van V van dimensie 6. b. H is aan deelruimte van V van dimensie 12. c. H is niet gesloten onder de gebruikelijke scalaire vermenigvuldiging. Opgave 9. Wat is de dimensie van de vectorruimte van symmetrische 3 3 matrices? 3

14 Lineaire Algebra, Determinanten Exercise 1. Bepaal het oppervlak van de driehoek in R 2 met hoekpunten ( 1, 4), (3, 2), (0, 1). Exercise 2. Bepaal het oppervlak van de driehoek in R 2 met hoekpunten (6, 1), (1, 2), ( 3, 1). Exercise 3. Bepaal het volume van het viervlak in R 3 met hoekpunten (1, 0, 0), (2, 3, 4), ( 1, 0, 2), (3, 2, 1). Exercise 4. Bereken Exercise 5. 1

15 Bereken Exercise 6. Bereken Exercise 7. Bereken a b 0 0 a b a 0 b. a. (a + b) 3 b. a 3 + b 3 c. ab(a + b) Exercise 8. Bereken 0 a 0 b c d 0 e 0. 2

16 a. 0 b. bd + ae c. ab + de Exercise 9. Gegeven is dat a b c d e f g h i = 4. Bepaal de determinant van a b c 2d 3g 2e 3h 2f 3i g h i. Exercise 10. Gegeven is dat Bepaal de determinant van a b c d e f g h i = 4. a b a + b c d e d + e f g h g + h i. Exercise 11. Gegeven is dat a b c d e f g h i = 4. 3

17 Bepaal de determinant van a d g b + 2a e + 2d h + 2g c f i. Exercise 12. Zij A een n n-matrix en λ R. Dan is det(λa) gelijk aan a. λ det(a) b. nλ det(a) c. λ n det(a) Exercise ( 13. ) 2 1 Zij A = 1 5. Bepaal de determinant van A. 1 2 Exercise 14. Beschouw het stelsel vergelijkingen x 1 + 3x 2 = 4 x 1 x 2 = 0. Is de volgende bewering waar: de regel van Cramer geeft ons als oplossing x 1 = 1 3 x 2 =

18 a. Waar b. Niet waar Exercise 15. Los met de regel van Cramer het stelsel op en geef de waarde van x 1. x 1 2x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 3 = 3 x 1 2x 2 = 0 Exercise 16. Welk van de volgende determinanten is nul voor willekeurige keuze van a, b, c? (1) 0 a a 0, (2) 0 a 0 0 a 0 0 a 0 b 0 b 0, (3) a 0 b 0 0 b 0 c 0 0 c 0 a. determinant (1) b. determinant (2) c. determinant (3) Exercise 17. Welk van de volgende determinanten is niet altijd nul voor willekeurige keuze van a, b, c? (1) a b c b + c a + c a + b, (2) a 2 b 2 c 2 b 2 + c 2 a 2 + c 2 a 2 + b 2, (3) a b c bc ac ab 5

19 a. determinant (1) b. determinant (2) c. determinant (3) 6

20 Lineaire Algebra, Eigenwaarden Opgave 1. Bepaal de karakteristieke vergelijking van de matrix M = variabele. ( ) 0 1 met λ als 3 2 Opgave 2. Bepaal de eigenwaarden van de matrix M = ( ) Opgave Beschouw de matrix A = Bepaal de eigenwaarden van A 2. Opgave 4. Een inverteerbare vierkante matrix M heeft eigenwaarden λ en µ met bijbehorende eigenvectoren s u, respectievelijk, v. Welk van de volgende beweringen is in het algemeen waar? a. λ + µ is een eigenwaarde voor M met eigenvector u + v. b. λ µ is een eigenwaarde voor M met eigenvector u v. c. λ 1 is an eigenwaarde voor M met eigenvector u 1. d. λ 1 is an eigenwaarde voor M 1 met eigenvector u. 1

21 Opgave 5. De vierkante matrix A heeft een eigenwaarde λ en corresponderende eigenvector u. Welk van de volgende beweringen is waar, welke onwaar en welke mogelijk waar of onwaar, afhankelijk van de waarden van A, λ en u? Hierbij is I de identiteitsmatrix. (a) det(a λi) = 0. (b) det(a λi) 0. (c) A is invertible. (d) A λi is invertible. (e) The system (A λi)x= 0 has exactly one solution. (f) The system (A λi)x= 0 has a nonzero solution. Opgave 6. De vierkante matrix A heeft een eigenwaarde λ en corresponderende eigenvector u. Dan is v is ook een eigenvector voor 3I + 2A. eigenwaarde? Hierbij is I de identiteitsmatrix. Wat is de corresponderende Opgave 7. ( ) 1 2 De matrix A= heeft eigenwaarden λ = 1 and λ 2 = 5. Bepaal een ( ) v1 eigenvector v = corresponderend met de eigenwaarde 5. v 2 Opgave De matrix A= heeft drie verschillende eigenwaarden, waaronder λ 1 = 4. Bepaal de andere twee eigenwaarden. Opgave 9. Definitie: Een vierkante matrix heet een transitiematrix als de entries van elke kolom optellen tot 1. 2

22 Beschouw de transitiematrix M = met de eigenwaarden λ 1 = 1, λ 2 = 0.85 and λ 3 = Er bestaan een diagonaalmatrix D en inverteerbare matrix P met M = P DP 1. Bepaal D en P. Opgave 10. Beschouw de symmetrische matrices A en B van de zelfde grootte. A heeft een eigenwaarde λ met eigenvector v and B een eigenwaarde µ met eigenvector v. Welk bewering is in het algemeen waar? a. AB heeft eigenwaarde λµ b. A T heeft eigenwaarde λ c. A T B heeft eigenwaarde λµ d. B T has eigenvector v 3

23 Lineaire Algebra, Inproducten Opgave 1. Wat is de waarde van het inproduct x, y tussen twee loodrecht op elkaar staande vectoren x, y uit een vectorruimte V? a. 90, b. 0, c. π/2 Opgave 2. Veronderstel dat, en (, ) inproducten zijn op een vectorruimte V. Slechts één van de volgende uitspraken is correct voor iedere keuze van de twee genoemde inproducten. Welke? a. [, ] :=, + (, ) is een inproduct op V, b. [, ] :=, (, ) is een inproduct op V. c. [, ] :=, (, ) is een inproduct op V. Opgave 3. Welke twee functies op [0, 1] staan loodrecht op elkaar in het standaardinproduct (f, g) = 1 0 f(x)g(x)dx a. f : [0, 1] R : x x en g : [0, 1] R : x 1 x, b. f : [0, 1] R : x x en g : [0, 1] R : x x, c. f : [0, 1] R : x x 1 2 en g : [0, 1] R : x 1, Opgave 4. Precies één van de volgende uitspraken is correct. Welke? 1

24 a. Er bestaan inproductruimtes waarin loodrecht op elkaar staande vectoren (beide ongelijk aan nul) linear afhankelijk kunnen zijn. b. Er bestaat een inproduct, op R 2 zodanig dat de standaard basisvectoren van R 2 niet loodrecht op elkaar staan. c. Als twee vectoren v, w in een inproductruimte V loodrecht op elkaar staan, en L : V V is een lineaire afbeelding, dan staan ook L(v) en L(w) loodrecht op elkaar. Opgave 5. Schrijf P 1 (I) voor de vectorruimte van polynomen op het interval I = [ 1, 1]. We definieren op P 1 (I) het volgende inproduct: p, q = 1 1 Schrijf voor de geassocieerde norm. Laat p : I R : x 1. Bereken p. p (x)q (x)dx + p(0)q(0). Opgave 6. Schrijf P 1 (I) voor de vectorruimte van polynomen op het interval I = [ 1, 1]. We definieren op P 1 (I) het volgende inproduct: p, q = 1 1 Schrijf voor de geassocieerde norm. Laat p : I R : x 1. p (x)q (x)dx + p(0)q(0). Voor welke a, b R heeft de functie q : I R : x a + bx de volgende twee eigenschappen? q = 1, q staat loodrecht op p. Opgave 7. 2

25 Schrijf M voor de vectorruimte van 2 2 matrices, en definieer op M het volgende inproduct, A, B = sp(a t B), waarbij sp(a) het spoor van een matrix is, gedefinieerd als de som van zijn diagonaal-entries is, en A t de getransponeerde van A is. Schrijf voor de geassocieerde norm. Laat Bereken A. A = ( ) Opgave 8. Schrijf M voor de vectorruimte van 2 2 matrices, en definieer op M het volgende inproduct, A, B = sp(a t B), waarbij sp(a) het spoor van een matrix is, gedefinieerd als de som van zijn diagonaal-entries is, en A t de getransponeerde van A is. Schrijf voor de geassocieerde norm. Laat en Bereken A, B. A = B = ( ( ) ) 3

26 Lineaire Algebra, Lineaire afbeedlingen Introductie. Toets Lineaire Algebra over Lineaire afbeeldingen. Opgave 1. Welk van de volgende afbeeldingen is lineair? a. De afbeelding A : R 3 R met (x, y, z) met x y z b. De afbeelding A : M 2 2 M 2 2 met A(M) = M M voor alle matrices M M 2 2 c. De afbeelding op de verzameling oneindig differentieerbare functies van R naar R die aan elke functie f de functie f f toekent Opgave 2. Zij P n de vectoruimte van reële polynomen in de variabele x van graad < n. Beschouw voor n 2 de volgende afbeeldingen: f : P n P 2n gegeven door f(p)(x) = p(x 2 ); g : P n P n gegeven door g(p)(x) = xp (x); h : P n P n gegeven door f(p)(x) = x + p(x). Welk van deze afbeeldingen is linear? a. Alleen f en g. b. Alleen f en h. c. Alleen g en h. d. Alle drie Opgave 3. De lineaire afbeelding A : R 2 R 2 beeldt de vectoren (1, 3) en (3, 8) af op respectievelijk (12, 12) en (33, 33). 1

27 Bepaal de matrix van A t.o.v. de standaard basis. Opgave 4. De lineaire afbeelding P : R 3 R 3 is de orthogonale projectie op het vlak V gegeven door de vergelijking x 2y 2z = 0. Bepaal de matrix van P ten opzichte van de standaard basis. Opgave 5. De lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven door de matrix Is A injectief? Zo ja, antwoord met ja, zo nee geef een vector 0 in de kern van de afbeedling. Opgave 6. De matrix van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is Bepaal het volledig origineel onder A van de vector ( 12, 14, 20) Opgave 7. Zij V de deelruimte van de vectorruimte van oneindig vaak differentieerbare functies van R naar R opgespannen door de drie onafhankelijke functies f, g en h met f(x) = e x, g(x) = cos(x) en h(x) = sin(x). De afgeleide nemen is een lienare afbeelding van V naar V. Wat is de matrix voor deze lineaire afbeelding t.o.v. de basis (f, g, h) van V? Opgave 8. De drie vectoren (2, 4, 5), (8, 18, 24) en (2, 0, 5) vormen een basis B voor R 3. Vind de overgangsmatrix T die coördinaten van een vector t.o.v. van de standaardbasis overvoert naar coördinaten t.o.v. B. 2

28 Opgave 9. De drie functies f, g en h vormen een basis B voor een deelruimte V van de vectorruimte van alle differentieerbare functies van R naar R. De deelruimte V is invariant onder het nemen van de afgeleide. De matrix voor het nemen van de afgeleide tov de basis B is Is de functie die constant 1 is in V? Zo nee, antwoord met nee, zo ja, wat zijn dan de coördinaten van de functie die constant 1 is t.o.v. de basis B, als verder gegeven is dat f(0) = 1, g(0) = 2 en h(0) = 3? Opgave 10. Stel A en B zijn twee lineaire afbeeldingen van een vectorruimte V naar zichzelf. Welk van de volgende beweringen is altijd waar? (1) Ker(A B) is een deelruimte van Ker(A); (2) Ker(A B) is een deelruimte van Ker(B); a. Bewering (1) b. Bewering (2) c. Bewering (1) en (2) d. Geen van beide. 3

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014 Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:

Nadere informatie

Lineaire Algebra 2. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven

Lineaire Algebra 2. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven Lineaire Algebra 2 Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2012-2013 ii Syllabus in wording bij Lineaire Algebra 2 (2WF30 Inhoudsopgave 1 Lineaire afbeeldingen 1 11 Lineaire

Nadere informatie

2. Transformaties en matrices

2. Transformaties en matrices Transformaties en matrices Lineaire afbeelding Onder een lineaire afbeelding van R n naar R m verstaan we een functie A die aan iedere vector uit R n een vector uit R m toevoegt en van het volgende type

Nadere informatie

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09 Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

4. Determinanten en eigenwaarden

4. Determinanten en eigenwaarden 4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

1 Stelsels lineaire vergelijkingen.

1 Stelsels lineaire vergelijkingen. Stelsels lineaire vergelijkingen Ter herinnering: in de tweede klas Havo/Atheneum leer je twee vergelijkingen met twee onbekenden oplossen Voorbeeld: { x + y = 5 x + y = 0 Twee keer de eerste vergelijking

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 199 1994 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12)

Lineaire Algebra (2DD12) Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

De dimensie van een deelruimte

De dimensie van een deelruimte De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van

Nadere informatie

CTB1002-D2 Lineaire Algebra 2

CTB1002-D2 Lineaire Algebra 2 CTB00-D Lineaire Algebra Juli 03 Augustus 03 Juli 0 Augustus 0 Juli 0 Augustus 0 Juli 00 Augustus 00 Tentamenbundel Civiele Techniek Het Gezelschap "Practische Studie" Technische Universiteit Delft Faculteit

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra en Lineaire Analyse (Y550/Y530), op donderdag 5 november 00, 9:00 :00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

Vectormeetkunde in R 3

Vectormeetkunde in R 3 Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008)

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Lineaire algebra (versie 15 september 2008) 2 Lineaire algebra Deze module wordt zowel gegeven in het A-programma als in het B-programma van de zomercursus

Nadere informatie

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

Onderwerpskeuzes Lineaire Algebra en kwaliteitscriteria

Onderwerpskeuzes Lineaire Algebra en kwaliteitscriteria Onderwerpskeuzes Lineaire Algebra en kwaliteitscriteria Deliverable 3.5 J. Brandts, F. Beukers, H. Cuypers, H. de Graaf Inleiding In deze deliverable zullen we voor het domein van de lineaire algebra de

Nadere informatie

Symmetrische matrices

Symmetrische matrices Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie

Nadere informatie

Voorbeeld theorie examen

Voorbeeld theorie examen Vooreeld theorie examen Het schriftelijk examen over de theorie en de oefeningen heeft plaats op 27 juni van 8u3 t/m 13u. 1 uur en 3 minuten zijn voorzien voor het theorie examen. De vragen zijn gericht

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 2 Lineaire afbeeldingen 21 Inleiding Een afbeelding f van een verzameling V naar een verzameling W is een regel die aan ieder element v van V een element f(v) van W toevoegt maw een generalisatie

Nadere informatie

Lineaire Algebra A en B. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven

Lineaire Algebra A en B. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven Lineaire Algebra A en B Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2010 2011 ii Syllabus bij Lineaire Algebra A (2WF07) en Lineaire Algebra B (2WF08) Inhoudsopgave 0 Vectorrekening

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

Toepassingen op differentievergelijkingen

Toepassingen op differentievergelijkingen Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij

Nadere informatie

3. Stelsels van vergelijkingen

3. Stelsels van vergelijkingen . Stelsels van vergelijkingen We gaan de theorie van de voorgaande hoofdstukken toepassen op stelsels van lineaire vergelijkingen. Een voorbeeld: bepaal alle oplossingen (x,, ) van het stelsel vergelijkingen

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie

Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie (WB033B) Bernd Souvignier

Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie (WB033B) Bernd Souvignier Wiskunde voor kunstmatige intelligentie (WB33B Bernd Souvignier voorjaar 24 Deel I Lineaire Algebra Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 24 Les Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier

Nadere informatie

Praktische informatie. m.b.t. College. Lineaire Algebra en Beeldverwerking. Bachelor Informatica. 1e jaar. Voorjaar semester 2012

Praktische informatie. m.b.t. College. Lineaire Algebra en Beeldverwerking. Bachelor Informatica. 1e jaar. Voorjaar semester 2012 Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica 1e jaar Voorjaar semester 2012 Docenten: Jesse Goodman en Charlene Kalle Universiteit Leiden Praktische informatie

Nadere informatie

Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie. Bernd Souvignier

Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie. Bernd Souvignier Wiskunde voor kunstmatige intelligentie Bernd Souvignier voorjaar 2003 Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar

Nadere informatie

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Leerkracht: Koen De Naeghel Schooljaar: 2012-2013 Klas: 5aLWi8, 5aWWi8 Aantal taken: 19 Aantal repetities: 14 Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Taken Eerste trimester: 11 taken indienen op taak

Nadere informatie

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen):

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Deel C Lineaire Algebra Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Seymour Lipschutz, Marc L. Lipson: (Schaum s Outline of Theory and Problems of) Linear Algebra. McGraw-Hill Companies,

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Module 10 Lineaire Algebra

Module 10 Lineaire Algebra L Vak 57.5 Les 36. Module Lineaire Algebra Afbeeldingen (vervolg (b)) In deze les worden de eigenwaarden en eigenvectoren van lineaire afbeeldingen behandeld. Inhoud van de leskern Basistransformatie *:;*

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n 1 2 Lineaire combinaties 2 3 Matrices 7 31 Het begrip matrix 7 32 Som

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt

Nadere informatie

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =

Nadere informatie

Oefeningen bij de Cursus Lineaire Algebra, Eerste Kandidatuur Informatica. Complexe Getallen en Veeltermvergelijkingen over R en C

Oefeningen bij de Cursus Lineaire Algebra, Eerste Kandidatuur Informatica. Complexe Getallen en Veeltermvergelijkingen over R en C Oefeningen bij de Cursus Lineaire Algebra, Eerste Kandidatuur Informatica Stefaan De Winter en Koen Thas Universiteit Gent, Vakgroep Zuivere Wiskunde en Computeralgebra Galglaan, Gent sgdwinte@cagerugacbe;

Nadere informatie

1. Vectoren in R n. y-as

1. Vectoren in R n. y-as 1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale

Nadere informatie

Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ²

Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ² 1 Herhaling 1.1 Het vlak, punten, afstand, midden Opdracht: Teken in het vlak de punten: A ( 1, 2) B(3,6) C( 5,7) Bepaal de coördinaat van het midden van (lijnstuk) [A B]: M [B C ]: N Bepaal de afstand

Nadere informatie

Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent:

Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: D.P. Huijsmans LIACS Universiteit Leiden College Lineaire

Nadere informatie

Lineaire algebra en vectorcalculus

Lineaire algebra en vectorcalculus Lineaire algebra en vectorcalculus dr. G.R. Pellikaan Studiewijzer voor het studiejaar 2013/2014 College 2DN60 Contents 1 Algemeen 2 2 Inhoud van het vak 2 3 Leerdoelen 3 4 Berekening tijdsplanning 3 5

Nadere informatie

b + b c + c d + d a + a

b + b c + c d + d a + a Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur

Nadere informatie

Een korte beschrijving van de inhoud

Een korte beschrijving van de inhoud Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige toepassingen op

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

Toepassingen op discrete dynamische systemen

Toepassingen op discrete dynamische systemen Toepassingen op discrete dynamische systemen Een discreet dynamisch systeem is een proces van de vorm x k+ Ax k k met A een vierkante matrix Een Markov-proces is een speciaal geval van een discreet dynamisch

Nadere informatie

College 1. Complexe getallen Tijd en Plaats: Het tijdstip waarop het college gegeven wordt is maandagochtend van 10.45 tot 12.30. De colleges zijn in

College 1. Complexe getallen Tijd en Plaats: Het tijdstip waarop het college gegeven wordt is maandagochtend van 10.45 tot 12.30. De colleges zijn in College 1. Complexe getallen Tijd en Plaats: Het tijdstip waarop het college gegeven wordt is maandagochtend van 10.45 tot 12.30. De colleges zijn in de weken 37-42 in zaal S 209, in de weken 44-49 in

Nadere informatie

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen):

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Deel C Lineaire Algebra Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Seymour Lipschutz, Marc L. Lipson: (Schaum s Outline of Theory and Problems of) Linear Algebra. McGraw-Hill Companies,

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor E (VKO)

Lineaire Algebra voor E (VKO) Lineaire Algebra voor E (VKO) dr. G.R. Pellikaan Studiewijzer voor het studiejaar 2006/2007 College 2DE01 Faculteit Wiskunde en Informatica, Capaciteitsgroep Wiskunde, Leerstoelgebied Coderingstheorie

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen. Overzicht bestaande content. Deliverable 3.6. Hans Cuypers. ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen. Overzicht bestaande content. Deliverable 3.6. Hans Cuypers. ONBETWIST Deliverable 3. Overzicht bestaande content Deliverable 3.6 Hans Cuypers Inleiding Binnen het ONBETWIST project worden toetsen en items voor verschillende deelgebieden van de wiskunde gemaakt. In voorgaande projecten,

Nadere informatie

13 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.

13 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde. 13 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1999-000: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt

Nadere informatie

Meetkunde en Algebra Een korte beschrijving van de inhoud

Meetkunde en Algebra Een korte beschrijving van de inhoud Meetkunde en Algebra Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige

Nadere informatie

Wiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes

Wiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes Wiskunde D vwo Lineaire algebra Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 9 november 205 Harm Houwing en John Romkes Vwo D Lineaire algebra Harm Houwing John Romkes Hoofdstuk 4 Onderwerpen Rekenen

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

Deel 2. Basiskennis wiskunde

Deel 2. Basiskennis wiskunde Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de functie f : R R : 7 cos(2 ). Bepaal de afgeleide van de functie f in het punt 2π/2. (A) f 0 ( 2π/2) = π (B) f 0 ( 2π/2) = 2π (C) f 0 ( 2π/2) = 2π (D)

Nadere informatie

Matrixgroepen. SL n (K) = S GL n (K)

Matrixgroepen. SL n (K) = S GL n (K) B Matrixgroepen De lineaire algebra is niet alleen een theorie waar de functionaalanalyse op voort bouwt, omgekeerd hebben sommige resultaten uit de hoofdtext ook consequenties voor de lineaire algebra.

Nadere informatie

1 Verzamelingen en afbeeldingen

1 Verzamelingen en afbeeldingen Samenvatting Wiskundige Structuren, 2010 Aad Offerman, www.offerman.com 1 1 Verzamelingen en afbeeldingen Notaties: A = {1,2,3},, x A, y / A, A = B A B en B A, N = {0,1,2,...}, Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,...},

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan

Nadere informatie

Niveau 1. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan. 1p. x + 6. 4x + 3. 4x 2 + 3. x 2 + 3x + 3. x 2 + 27

Niveau 1. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan. 1p. x + 6. 4x + 3. 4x 2 + 3. x 2 + 3x + 3. x 2 + 27 1p. Opgave 1. Als x 2 = x + 3, dan is x 3 gelijk aan x + 6 4x + 3 4x 2 + 3 x 2 + 3x + 3 Niveau 1 1p. 1p. 1p. x 2 + 27 Opgave 2. Als a log b = 64, dan is a2 log (b 3 ) gelijk aan 6 48 28/3 96 512 Opgave

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Inhoudsopgave. I Theorie 1

Inhoudsopgave. I Theorie 1 Inhoudsopgave I Theorie 1 1 Verzamelingen 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Bewerkingen met verzamelingen........................... 6 1.2.1 Vereniging (unie) van twee verzamelingen.................

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Schoolagenda klas 5d GWi8-WWi8

Schoolagenda klas 5d GWi8-WWi8 Schoolagenda klas 5d GWi8-WWi8 Koen De Naeghel Onze-Lieve-Vrouwecollege Assebroek schooljaar 2014-2015 Eerste trimester Toetsen 6 repetities en enkele kleine, aangekondigde testen (75% TTE) dag en datum

Nadere informatie

Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002

Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 19.a) Laat zien dat 5 een voortbrenger is van F 37. b) In het sleuteldistributiesysteem van Diffie en Hellman (met G = F 37, α =

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

3.2 Kritieke punten van functies van meerdere variabelen

3.2 Kritieke punten van functies van meerdere variabelen Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 007/008 Als in een kritiek punt x 0 ook de tweede afgeleide f (x 0 ) = 0 is, kunnen we nog steeds niet beslissen of de functie een minimum, maximum of een zadelpunt

Nadere informatie

Onderwerpen en kwaliteitscriteria VWO-WISKUNDE. Deliverable 3.2. Hans Cuypers en Henk van der Kooij

Onderwerpen en kwaliteitscriteria VWO-WISKUNDE. Deliverable 3.2. Hans Cuypers en Henk van der Kooij Onderwerpen en kwaliteitscriteria VWO-WISKUNDE Deliverable 3.2 Hans Cuypers en Henk van der Kooij Inleiding In deze deliverable zullen we voor het domein van de VWO-WISKUNDE de onderwerpen vaststellen

Nadere informatie

N. Haelvoet, V. Lippens, D. Luyckx, C. Tonesi

N. Haelvoet, V. Lippens, D. Luyckx, C. Tonesi Examen Wiskunde I Eerste zittijd 24-25 professor C. Thas e bachelor biochemie en biotechnologie, biologie, geografie en geomatica, geologie N. Haelvoet, V. Lippens, D. Luyckx, C. Tonesi Gelieve vraag op

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994-1995 : Tweede Ronde De Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

Vectorrekening voor Wiskundige Technieken I & II 2015-16. dr. S. A. Wepster Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht

Vectorrekening voor Wiskundige Technieken I & II 2015-16. dr. S. A. Wepster Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Vectorrekening voor Wiskundige Technieken I & II 2015-16 dr. S. A. Wepster Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Inhoudsopgave Voorwoord 2 1 Vectoren en scalairen 3 1.1 Notatie.....................................

Nadere informatie

Ijkingstoets 4 juli 2012

Ijkingstoets 4 juli 2012 Ijkingtoets 4 juli 2012 -vragenreeks 1 1 Ijkingstoets 4 juli 2012 Oefening 1 In de apotheek bezorgt de apotheker zijn assistent op verschillende tijdstippen van de dag een voorschrift voor een te bereiden

Nadere informatie