OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0"

Transcriptie

1 Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als: y = Φ(x, y) OF (vermits y = dy dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x, y) = R(x). S(y) en Q(x, y) = T (x). V (y), dan heet de differentiaalvergelijking een differentiaalvergelijking met gescheiden veranderlijken. We kunnen de vergelijking dan herschrijven als volgt: R(x). S(y) dy + T (x). V (y) dx = 0 S(y) T (x) V (y) dy + R(x) dx = 0 Merk op dat de veranderlijken ieder in een aparte term staan. Eenmaal we weten dat we te maken hebben met een diff.vgl. met gescheiden veranderlijken, kunnen we de veranderlijken afzonderen in de verschillende leden van de vergelijking: S(y) T (x) V (y) dy + S(y) V (y) R(x) dx = 0 T (x) dy = R(x) dx Nu kunnen we beide leden integreren: S(y) V (y) dy = T (x) R(x) dx Wanneer we beide integralen hebben berekend, dan zullen we de oplossing y in impliciete vorm: F (y) = G(x) + k of eventueel in expliciete vorm kunnen schrijven: y = Φ(x, k) waarbij k een willekeurige constante is. Oefening: y 2 dx ( x)dy = 0 y 2 dx = ( x)dy dx x = dy y 2 dx x = dy y 2 ln x = y + k met k een willekeurige constante y = ln x + k met k een willekeurige constante y = met k een willekeurige constante ln x + k

2 De standaardvorm voor we een eerste orde lineaire differentiaalvergelijking is: P (x) y + Q(x) y = R(x) Merk op dat dit een algebraïsche veelterm van de eerste graad in de onbekenden y en y is. We onderscheiden nu twee gevallen: P (x) y +Q(x) y = 0, waarbij R(x) = 0. Dit heet een homogene lineaire diff.vgl. P (x) y +Q(x) y = R(x), waarbij R(x) 0. Dit heet een niet-homogene lineaire diff.vgl. Eenmaal we weten dat we te maken hebben met een lineaire diff.vgl., lossen we de vergelijking op afhankelijk van onderstaande gevallen: HOMOGENE lineaire diff.vgl.: P (x) y +Q(x) y = 0 Dit is in feite een vergelijking met gescheiden veranderlijken: P (x) y +Q(x) y = 0 P (x) dy dx + Q(x) y = 0 P (x) dy + Q(x) y dx = 0 y y dy + Q(x) P (x) dx = 0 dy = Q(x) P (x) dx Wanneer we nu beide leden integreren, dan bekomen we de oplossing. Deze oplossing kan steeds geschreven worden onder de vorm y = k f(x) met k een willekeurige constante. NIET-HOMOGENE lineaire diff.vgl.: P (x) y +Q(x) y = R(x) en R(x) 0 Om een niet-homogene vergelijking op te lossen, lossen we eerst de geassocieerde homogene vergelijking P (x) y +Q(x) y = 0 op (methode zie hierboven) en daarna passen we de methode der veranderlijke constante toe: De oplossing van de homogene lineaire differentiaalvergelijking is y = k f(x). De constante k (afkomstig van de 0 uit de homogene vgl.) is echter geen constante meer wanneer we voor de algemene lineaire diff. vgl. ook de term R(x) beschouwen. We krijgen dus als oplossing: y = k(x) f(x), waarbij k een functie van x wordt. Omdat k(x) ongekend is, substitueren we de nieuwe uitdrukking voor y in de oorspronkelijke ( algemene) lineaire diff. vgl., maar berekenen eerst de eerste afgeleide y van y : y = k (x) f(x) + k(x) f (x) Substitutie van y en y in de niet-homogene differentiaalvergelijking geeft: P (x) y +Q(x) y = R(x) P (x) [ k (x) f(x) + k(x) f (x) ] + Q(x) k(x) f(x) = R(x) We zullen dan zien dat er twee termen tegenover elkaar wegvallen, zodat we opnieuw een diff.vgl. met gescheiden veranderlijken ( k(x) en x ): k (x) = R(x) P (x) f(x) bekomen die we oplossen. De verkregen k(x) vullen we in in y = k(x) f(x), opdat we uiteindelijk de oplossing y van de niet-homogene vergelijking verkrijgen. 2

3 De standaardvorm voor we een eerste orde differentiaalvergelijking van Bernoulli is: P (x) y + Q(x) y + R(x) y n = 0 (n 0, n ) Merk dus op dat een diff.vgl. van Bernoulli zeker een term met y en een term met y n moet bevatten. METHODE : Eenmaal we weten dat we te maken hebben met een differentiaalvergelijking van Bernoulli kunnen we de vergelijking oplossen door middel van een substitutie. We kunnen in feite volgende methode voor ogen houden:. We hebben onze vergelijking in de standaardvorm: P (x) y +Q(x) y + R(x) y n = 0 (n 0, n ) 2. We delen dan door y n : P (x) y n y +Q(x) y n + R(x) = 0 3. Als substitutie nemen we z = y n, maar berekenen ook eerst z = ( n) y n y = ( n) y n y. De vergelijking wordt dan: P (x) n z +Q(x) z + R(x) = 0 4. Los nu deze lineaire differentiaalvergelijking in de onbekende z op. 5. Herwerk de oplossing z tot de oplossing y via de relatie z = y n. METHODE 2: We zouden de differentiaalvergelijking ook op een andere manier kunnen oplossen, namelijk tewerk gaan alsof het om een lineaire differentiaalvergelijking gaat. Voor de geassocieerde homogene diff. vgl. laten we dan de term Q(x) y n vallen. Nadien moet je ook weer de methode der veranderlijke constante toepassen, waar nu een kleine verandering is doorgevoerd maar voor de rest analoog is aan de vroegere toepassing van deze methode voor lineaire differentiaalvergelijkingen. Oefeningen:. x y x 2 y 2 = y 2. x y = y + x 3 y ln x 3. y +y + y 2 (sin x cos x) = 0 4. y y x y 2 + x = 0 5. y +y = y 4 e 2x 6. 3 y y x (2 + e x2 y 3 ) = 0 7. dy dx + 3 y = 3 ( 2x) y4 3

4 Een tweede orde homogene lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten heeft de volgende vorm: a y +b y +c y = 0 met a, b, c R. We gaan dus de volgende aspecten na: tweede orde? ( y ) homogeen? (tweede lid is 0 ) lineair? (term c y van vorm v y + w met v, w R ) constante coëfficiënten? ( a, b, c R ) Eenmaal we weten dat we te maken hebben met een tweede orde homogene lineaire diff.vgl. met constante coëfficiënten, kunnen we de volgende methode hanteren: Voor een tweede orde homogene lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten ( a y +b y +c y = 0 ) heeft de oplossing een vorm y = e r x. Om r te bekomen moeten we deze oplossing invullen in de vergelijking, maar daarvoor berekenen we eerst y en y : y = r e r x en y = (r e r x ) = r r e r x = r 2 e r x We substitueren deze uitdrukkingen dan in de vergelijking: a y +b y +c y=0 a r 2 e r x + b r e r x + c e r x = 0 a r 2 + b r + c = 0 (delen door e r x ) We krijgen dan de karakteristieke vergelijking (2de graadsvergelijking) a r 2 + b r + c = 0 die we oplossing naar r : De discriminant is: D = b 2 4. a. c Voor D > 0 zijn de wortels: r = b + D en r 2 = b D Als algemene oplossing krijgen we dan: y = α e r x + β e r2 x Voor D = 0 zijn de wortels: r = r 2 = b Als algemene oplossing krijgen we dan: y = α e r x + β x e r x Voor D < 0 zijn de wortels: r = b + D i = µ + γ i en r 2 = b D i = µ γ i Als algemene oplossing krijgen we dan: y = e µ x (α cos(γ x) + β sin(γ x)) Oefeningen y +6 y +0 y = 0 5 y +4 y y = 0 y +3 y +4 x y = 0 y 4 y = 0 y +8 y +6 y = 0 4

5 Een tweede orde algemene lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten heeft de volgende vorm: a y +b y +c y = R(x) met a, b, c R en R(x) 0. We gaan dus de volgende aspecten na: tweede orde? ( y ) niet-homogeen? ( R(x) 0 ) lineair? (term c y van vorm v y + w met v, w R ) constante coëfficiënten? ( a, b, c R ) Eenmaal we weten dat we te maken hebben met een tweede orde algemene lineaire diff.vgl. met constante coëfficiënten, kunnen we de volgende methode hanteren: Oplossen van de geassocieerde homogene diff.vgl. Toepassen van de Methode der veranderlijke constante UITWERKING ) Los de geassocieerde homogene differentiaalvergelijking op: Voor een tweede orde homogene lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten ( a y +b y +c y = 0 ) heeft de oplossing een vorm y = e r x. Om r te bekomen moeten we deze oplossing invullen in de vergelijking, maar daarvoor berekenen we eerst y en y : y = r e r x en y = (r e r x ) = r r e r x = r 2 e r x We substitueren deze uitdrukkingen dan in de vergelijking: a y +b y +c y=0 a r 2 e r x + b r e r x + c e r x = 0 a r 2 + b r + c = 0 (delen door e r x ) We krijgen dan de karakteristieke vergelijking (2de graadsvergelijking) a r 2 + b r + c = 0 die we oplossing naar r : De discriminant is: D = b 2 4. a. c Voor D > 0 zijn de wortels: r = b + D en r 2 = b D Als algemene oplossing krijgen we dan: y = α e r x + β e r2 x Voor D = 0 zijn de wortels: r = r 2 = b Als algemene oplossing krijgen we dan: y = α e r x + β x e r x Voor D < 0 zijn de wortels: r = b + D i = µ + γ i en r 2 = b D i = µ γ i Als algemene oplossing krijgen we dan: y = e µ x (α cos(γ x) + β sin(γ x)) 5

6 2) Pas de Methode der veranderlijke constante toe: De constanten van de algemene oplossingen van de homogene vergelijking worden vervangen door veranderlijken. De oplossingen worden dan respectievelijk ( naargelang de waarde van D ): y = α(x) e r x + β(x) e r2 x y = α(x) e r x + β(x) x e r x y = e µ x (α(x) cos(γ x) + β(x) sin(γ x)) Aan de nieuwe veranderlijken α en β wordt een bijkomende voorwaarde opgelegd: hun eerste afgeleiden mogen niet in y voorkomen, m.a.w. men stelt respectievelijk: α (x) e r x + β (x) e r2 x = 0 α (x) e r x + β (x) x e r x = 0 α (x) cos(γ x) + β (x) sin(γ x) = 0 Hiermee rekening gehouden levert de substitutie van y, y en y in de oorspronkelijke differentiaalvergelijking een lineaire vergelijking in α en β op, samen met de bijkomende voorwaarde dus een stelsel van 2 lineaire vergelijkingen in de onbekenden α en β. De oplossingen van dit stelsel, α en β, moeten dan nog slechts geïntegreerd worden om de te zoeken α(x) en β(x) zelf te vinden. Opmerking: soms kan je ook y op voorhand vereenvoudigen met de bijkomende voorwaarde. Oefeningen:. y 3 y +2 y = 6 e 3 x 2. y 3 y +2 x y = e 2 x 3. y 6 y +0 y = 4. y +y = sec x 5. y +5 y +4 y = 3 x 2 2 x 6

ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT

ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT Differentiaalvergelijkingen kunnen we ook oplossen met behulp van ICT. In dit geval zijn de oplossingen uitgewerkt met behulp van Derive. dy De differentiaalvergelijking = ky, met k een reëel getal Voorbeeld

Nadere informatie

Types differentiaal vergelijkingen

Types differentiaal vergelijkingen 1ste Bachelor Wiskunde/Natuurkunde Types differentiaal vergelijkingen Dit semester hebben we veel types differentiaalvergelijkingen gezien. In de WPO sessies was de rode draad: herken de type differentiaalvergelijking

Nadere informatie

Wiskundige Technieken

Wiskundige Technieken 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 009-010 1ste semester 7 oktober 009 Wiskundige Technieken 1. Integreer de volgende differentiaalvergelijkingen: (a) y + 3x y = 3x (b) y + 3y + y = xe

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen

Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen De inhoud van hoofdstuk 3 zou grotendeels bekende stof moeten zijn. Deze stof is terug te vinden in Stewart, hoofdstuk 17. Daar staat alles

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen Notities bij de nascholing Differentiaalvergelijkingen Eekhoutcentrum 11 mei 2005 Bart Windels Differentiaalvergelijkingen 1 1 Algemeenheden Zij I een open interval van R (eventueel onbegrensd) en y :

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft

Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi2030wbmt Roelof Koekoek (TU Delft Differentiaalvergelijkingen wi2030wbmt 1 / 14 Niet-lineaire diff. vgl. en stabiliteit Niet-lineaire

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

AANVULLINGEN WISKUNDE MET (BEDRIJFS)ECONOMISCHE TOEPASSINGEN: OEFENINGEN

AANVULLINGEN WISKUNDE MET (BEDRIJFS)ECONOMISCHE TOEPASSINGEN: OEFENINGEN AANVULLINGEN WISKUNDE MET (BEDRIJFS)ECONOMISCHE TOEPASSINGEN: OEFENINGEN Hieronder volgt een korte beschrijving van de vragen van het oefeningengedeelte met antwoord. We geven ook kort weer wat regelmatig

Nadere informatie

Lineaire gewone & partiele 1ste en 2de orde differentiaalvergelijkingen

Lineaire gewone & partiele 1ste en 2de orde differentiaalvergelijkingen Lineaire gewone & partiele 1ste en de orde differentiaalvergelijkingen Basisbegrippen Een differentiaalvergelijking is een vergelijking waarin minstens een afgeleide van een onbekende reeelwaardige functie

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde

Nadere informatie

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015, Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Overgangsverschijnselen

Overgangsverschijnselen Hoofdstuk 5 Overgangsverschijnselen Doelstellingen 1. Overgangsverschijnselen van RC en RL ketens kunnen uitleggen waarbij de wiskundige afleiding van ondergeschikt belang is Als we een condensator of

Nadere informatie

Calculus I, 23/11/2015

Calculus I, 23/11/2015 Calculus I, /11/015 1. Beschouw de functie met a, b R 0. f = a + b + lne a Benoem het domein van de functie f. b Bepaal a en b zodat de rechte y = 1 een schuine asymptoot is voor f. c Voor a = en b = 1,

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

De pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: [ H =

De pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: [ H = Oplossing examen TAI 11 juni 2008 Veel plezier :) Vraag 1 De pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: H = [ 1 0 1 2 3 ] 4 0 1 1 1 1 1 (a) Bepaal de bijhorende generatormatrix

Nadere informatie

1e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari y = u sin(vt) dt. wordt voorgesteld door de matrix

1e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari y = u sin(vt) dt. wordt voorgesteld door de matrix e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari 9. Opgave: Bereken dt ( q) als p = (, ), q = (, ) en p u+v x = e t dt T : (u, v) (x, y) : u y = u sin(vt) dt Oplossing:

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Inleiding

Hoofdstuk 1: Inleiding Hoofstuk 1: Inleiing 1.1. Richtingsvelen. Zie Stewart, 9.2. 1.2. Oplossingen van enkele ifferentiaalvergelijkingen. Zelf oorlezen. 1.3. Classificatie van ifferentiaalvergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.

Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle. De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.

Nadere informatie

Actief gedeelte - Maken van oefeningen

Actief gedeelte - Maken van oefeningen Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2

Nadere informatie

college 6: limieten en l Hôpital

college 6: limieten en l Hôpital 126 college 6: ieten en l Hôpital In dit college herhalen we enkele belangrijke definities van ieten, en geven we belangrijke technieken om ieten van functies (eigenlijk en oneigenlijk) te bepalen. In

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.

Technische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag

Nadere informatie

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm college 3: differentiaalvergelijkingen Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we y = y (t) of y (1) = y (1) (t) voor de afgeleide dy dt, en y = y (t) of y (2) = y (2) (t) voor de tweede afgeleide

Nadere informatie

toelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld.

toelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Wiskunde juli 2009 Laatste aanpassing: 29 juli 2009. Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Vraag 1 Wat is de top van deze parabool 2 2. Vraag

Nadere informatie

Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006

Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006 Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen 6 juni 6 i ii Inhoudsopgave Stelsels differentiaalvergelijkingen Opgaven Stelsels differentiaalvergelijkingen In deze paragraaf passen we onze kennis

Nadere informatie

2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica

2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica de Bachelor IR de Bachelor Fysica 6 augustus 05 Er worden 4 vragen gesteld. Vul op ieder blad je naam in. Motiveer of bewijs iedere uitspraak. Los alle vragen op, op een apart blad! Het examen duurt u30.

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

Stelsels van vergelijkingen

Stelsels van vergelijkingen Module 5 Stelsels van vergelijkingen 5.1 Definitie en voorbeelden Een verzameling van vergelijkingen in een aantal onbekenden waarvan men de gemeenschappelijke oplossing(en) zoekt, noemt men een stelsel

Nadere informatie

Rakende cirkels. We geven eerst wat basiseigenschappen over rakende cirkels en raaklijnen aan een cirkel.

Rakende cirkels. We geven eerst wat basiseigenschappen over rakende cirkels en raaklijnen aan een cirkel. Rakende cirkels Inleiding We geven eerst wat basiseigenschappen over rakende cirkels en raaklijnen aan een cirkel. De raaklijn staat, in het raakpunt T, loodrecht op de straal. Bij uitwendig rakende cirkels

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit

Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

Complexe getallen: oefeningen

Complexe getallen: oefeningen Complexe getallen: oefeningen Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de

Nadere informatie

Wiskunde met (bedrijfs)economische toepassingen

Wiskunde met (bedrijfs)economische toepassingen FACULTEIT TEW Wiskunde met (bedrijfs)economische toepassingen Oefenexamens 1ste Bachelor TEW Eerste deel (januari) Academiejaar 2013-2014 Het examen vindt voor iedereen plaats in twee delen : het eerste

Nadere informatie

Analyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.

Analyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville. Academiejaar 006-007 1ste semester februari 007 Analyse I 1. Toon aan dat elke begrensde rij een convergente deelrij heeft. Geef de definitie van een Cauchy rij, en toon aan dat elke Cauchy rij begrensd

Nadere informatie

Buiging van een belaste balk

Buiging van een belaste balk Buiging van een belaste balk (Modelbouw III) G. van Delft Studienummer: 0480 E-mail: gerardvandelft@email.com Tel.: 06-49608704 4 juli 005 Doorbuigen van een balk Wanneer een men een balk op het uiteinde

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Machtreeksoplossingen van tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen

Hoofdstuk 5: Machtreeksoplossingen van tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen Hoofdstuk 5: Machtreeksoplossing van tweede orde lineaire differtiaalvergelijking 5.1. Machtreeks. In deze paragraaf word de belangrijkste eigschapp van machtreeks op e rijtje gezet. Zelf doorlez! Zie

Nadere informatie

Wiskunde voor informatici 2 Oefeningen

Wiskunde voor informatici 2 Oefeningen Wiskunde voor informatici Oefeningen Reinout Stevens resteven@vub.ac.be Prof: Ann Dooms Assistent: Arnout Van Messem 5 Juni 8 Gedachtenstroom In dit document staan de meeste oplossingen van de cursus Wiskunde

Nadere informatie

6 Ringen, lichamen, velden

6 Ringen, lichamen, velden 6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is,

Nadere informatie

Hoofdstuk 12 : Vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden.

Hoofdstuk 12 : Vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden. - 239 - Naam:... Klas:... Hoofdstuk 12 : Vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden. Eventjes herhalen!!! Voor een vergelijking van de eerste graad, herleid op nul, is het linkerlid een veelterm

Nadere informatie

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n

Nadere informatie

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Tussentijdse Toets Wiskunde 2 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april 2011

Tussentijdse Toets Wiskunde 2 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april 2011 Tussentijdse Toets Wiskunde ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april Deze toets is bedoeld om u vertrouwd te maken met de wijze van ondervraging op het

Nadere informatie

Small Sample Emission Computer Tomography. G.P. Leendertse. ECN-Energie Engineering

Small Sample Emission Computer Tomography. G.P. Leendertse. ECN-Energie Engineering Small Sample Emission Computer Tomography G.P. Leendertse ECN-Energie Engineering Maart 1994 Chapter 1 Inleiding Bij de borium therapie is het van belang om vast te stellen hoe de concentratieverdeling

Nadere informatie

Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten

Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten 1 Differentiaalvergelijkingen Als we een functie y : t y(t) expliciet, in formulevorm, kennen, dan is het niet zo moeilijk hiervan de afgeleide

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

Nadere informatie

Examenvragen Hogere Wiskunde I

Examenvragen Hogere Wiskunde I 1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie

Hoofdstuk 11: Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie Hoofdstuk : Randwaardeproblemen en Sturm-Liouville theorie.. Tweepunts randwaardeproblemen. Bij het oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van scheiden van variabelen

Nadere informatie

Aanwijzingen bij vraagstukken distributies

Aanwijzingen bij vraagstukken distributies Aanwijzingen bij vraagstukken distributies Vraagstuk 9.7 Voor het eerste deel, test x x + iε 1 met een testfunctie. Voor het laatste deel: vind eerst bijzondere oplosssingen door de gesuggereerde procedure

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening 307 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http:users.telenet.betoelating) . Inleiding Dit oefeningenoverzicht

Nadere informatie

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op dinsdag 26 augustus 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

Eliminatie van parameters en substitutie met computeralgebra

Eliminatie van parameters en substitutie met computeralgebra Eliminatie van parameters en substitutie met computeralgebra Guido Herweyers, KHBO Campus Oostende Dirk Janssens, K.U.Leuven 1. Inleiding Uitgaande van parametervergelijkingen van rechten en vlakken illustreren

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke 191512600

Functies van één veranderlijke 191512600 Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Partieel Breuksplitsen a0 x m C a x m C C a m x C a m

Nadere informatie

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )

Nadere informatie

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom 8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer

Nadere informatie

Numerieke Analyse. Prof. Dr. Guido Vanden Berghe

Numerieke Analyse. Prof. Dr. Guido Vanden Berghe Numerieke Analyse Prof. Dr. Guido Vanden Berghe Chapter 7 Numeriek berekenen van afgeleiden Doelstelling De topics behandeld in dit hoofdstuk zullen vooral van belang zijn voor de paragrafen over randwaarde

Nadere informatie

Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30

Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30 Tentamen WISN11 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov 16 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen Analyse Differentiaalvergelijkingen Jens Bossaert 2013 Gottfried Leibniz Isaac Newton Inhoudsopgave 1 Terminologie 4 2 Algemene technieken 5 2.1 Factorisatie..............................................

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

college 2: partiële integratie

college 2: partiële integratie 39 college 2: partiële integratie Zoals de substitutieregel voor integratie de inverse van de kettingregel voor differentiatie genoemd zou kunnen worden, zo is partiële integratie de inverse van de productregel:

Nadere informatie

Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002

Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 19.a) Laat zien dat 5 een voortbrenger is van F 37. b) In het sleuteldistributiesysteem van Diffie en Hellman (met G = F 37, α =

Nadere informatie

A = b c. (b) Bereken de oppervlakte van het parallellogram dat opgespannen wordt door b en c. Voor welke p is deze oppervlakte minimaal?

A = b c. (b) Bereken de oppervlakte van het parallellogram dat opgespannen wordt door b en c. Voor welke p is deze oppervlakte minimaal? Oplossing Tussentijdse toets Wiskunde II Vraag Zij A de matrix met kolomvectoren met p een vast reëel getal A = a b c a =, b =, c = p a Voor welke p R zijn de vectoren lineair afhankelijk? b Bereken de

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

6. Lineaire operatoren

6. Lineaire operatoren 6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire

Nadere informatie

K.1 De substitutiemethode [1]

K.1 De substitutiemethode [1] K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Differentieer de functie f() = ( + ) 5 Voor het differentiëren van deze functie gebruik je de kettingregel: Stap : Schrijf de functie f() als volgt: y = u 5 met

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I Eindexamen wiskunde B - vwo - I Beoordelingsmodel Oppervlakte en inhoud bij f(x) = e x maximumscore e Lijn AB heeft richtingscoëfficiënt = (e ) Voor lijn AB geldt de formule y = (e ) x + De oppervlakte

Nadere informatie

2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen?

2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen? Vraag Een vloeistoftank met onbeperkte capaciteit, bevat aanvankelijk V liter zuiver water. Tijdens de eerste faze stroomt water, dat zout bevat met een concentratie van k kilogram per liter, de tank binnen

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Analyse A, deeltentamen Uitwerkingen maandag 1 november 2010, 9 11 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De

Nadere informatie

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006 1ste semester 31 januari 2006 Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R continu is, en dat f(a)f(b) < 0. Toon aan dat f minstens 1 nulpunt heeft gelegen in het interval (a, b). 2. Gegeven is een functie

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /37 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Newton s method Hoe vinden we een nulpunt: f.x/ D 0 Stel

Nadere informatie

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat

Nadere informatie

Examenvragen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet, eerste examenperiode

Examenvragen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet, eerste examenperiode Examenvragen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet, eerste examenperiode 2008-2009 Een vloeistoftank met een capaciteit van 500 liter bevat aanvankelijk 100 liter water, waarin 30 kilogram zout is opgelost.

Nadere informatie

Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie

Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie Inleiding In dit pakket wordt zeer kort de definitie van onbepaalde integralen herhaald evenals het verband tussen bepaalde en onbepaalde integralen.

Nadere informatie

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2 Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van

Nadere informatie

Stelsels differentiaalvergelijkingen

Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +

Nadere informatie

BIOFYSICA: WERKZITTING 08 en 09 (Oplossingen) ELEKTRISCHE KRINGEN

BIOFYSICA: WERKZITTING 08 en 09 (Oplossingen) ELEKTRISCHE KRINGEN 1ste Kandidatuur ARTS of TANDARTS Academiejaar 2002-2003 Oefening 11 (p29) BIOFYSICA: WERKZITTING 08 en 09 (Oplossingen) ELEKTRISCHE KRINGEN Bereken de stromen in de verschillende takken van het netwerk

Nadere informatie

Oplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van Leibniz-MacLaurin

Oplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen met behulp van de methode van Leibniz-MacLaurin Oplossen van lineaire differentiaalvergelijingen met behulp van de methode van Leibniz-MacLaurin Calculus II voor S, F, MNW 7 november 2005 1 De n-de afgeleide van het product van twee functies Voor we

Nadere informatie

Toegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 7.

Toegepaste wiskunde. voor het hoger beroepsonderwijs. Deel 2 Derde, herziene druk. Uitwerking herhalingsopgaven hoofdstuk 7. Drs. J.H. Blankespoor Drs.. de Joode Ir. A. Sluijter Toegepaste wiskunde voor het hoger beroepsonderwijs Deel Derde, herziene druk herhalingsopgaven hoofdstuk 7 augustus 009 HBuitgevers, Baarn Toegepaste

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen voor WbMT. wi2051wbmt. Dr. Roelof Koekoek

Differentiaalvergelijkingen voor WbMT. wi2051wbmt. Dr. Roelof Koekoek Differentiaalvergelijkingen voor WbMT wi25wbmt Dr Roelof Koekoek Het boek William E Boyce & Richard C DiPrima Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems Tenth Edition, Wiley, 22, ISBN

Nadere informatie

5 Lineaire differentiaalvergelijkingen

5 Lineaire differentiaalvergelijkingen 5 Lineaire differentiaalvergelijkingen In veel toepassingen in de techniek en de exacte wetenschappen wordt gewerkt met differentiaalvergelijkingen om continue processen te modelleren. Het gaat dan meestal

Nadere informatie

Tweede graadsfuncties

Tweede graadsfuncties CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Tweede graadsfuncties Deel 1: kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden Tweede-graadsfuncties 1 Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalen als er 20

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening juli 05 dr. Brenda Castelen Met dank aan: Atheneum van Veurne (http:www.natuurdigitaal.begeneeskundefsicawiskundewiskunde.htm),

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

OPPERVLAKTEBEREKENING MET DE TI83

OPPERVLAKTEBEREKENING MET DE TI83 WERKBLAD OPPERVLAKTEBEREKENING MET DE TI83 Gevraagd de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de X as 3 grafiek f : x x 4x + x + x = en x = Oplossing Vermits we hier te doen hebben met een willekeurige

Nadere informatie

Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4501CALC1Y donderdag 20 oktober 2016; 13:30-15:30 uur

Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4501CALC1Y donderdag 20 oktober 2016; 13:30-15:30 uur Toets 3 Calculus voor MST, 450CALCY donderdag 20 oktober 206; 3:30-5:30 uur Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Volgt de lessen bij: (Leids) studentnummer: A (Keijzer)

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie