Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten"

Transcriptie

1 Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten 1 Differentiaalvergelijkingen Als we een functie y : t y(t) expliciet, in formulevorm, kennen, dan is het niet zo moeilijk hiervan de afgeleide te bepalen. Indien gewenst is deze afgeleide ook weer in de oorspronkelijke functie uit te drukken. Een eenvoudig, maar belangrijk voorbeeld is y(t) = e pt levert y (t) = p e pt = py(t). Meestal echter werken we in omgekeerde richting: we beginnen met een relatie tussen y en zijn afgeleide(n), en proberen dan de functie y = y(t) hieruit te vinden. Fysische en economische wetten zijn namelijk geformuleerd als algemeen geldige relaties tussen grootheden (bijv. positie, snelheid en versnelling). Een verband tussen een functie y en zijn afgeleiden y, y, y,...endeonafhankelijke variable t, noemen we een differentiaalvergelijking: F(t, y, y, y, y,...,y (n) ) = 0. De orde van de hoogste afgeleide (hier: n) heet de orde van de vergelijking. Eenvoudig voorbeeld: y t = 0 met als oplossing: y(t) = 1 2 t2 + C. We zien dat y nog een onbepaalde constante C bevat, genaamd een integratie-constante. Deze wordt bepaald door y op zeker tijdstip vast te leggen, zegge y(t 0 ) = y 0. Een ander voorbeeld: y y 2 + y = 0 met als oplossing (ga na!) 1 y(t) = 1 + C e t weer met een integratie-constante. Als we naar een hogere orde vergelijking gaan, bijvoorbeeld y 1 = 0 dan hebben we y(t) = 1 2 t2 + At + B met nu twee integratie-constanten. Om de oplossing y helemaal te bepalen moeten we y, en eventueel de afgeleiden, in een of meer punten geven. In het eerste voorbeeld is C = 0alswehetgegeven toevoegen dat y(0) = 0. In het tweede voorbeeld is C = 1alsy(0) = 1 2,eninhet derde voorbeeld zouden we hebben B = 0alsy(0) = 0enA = 1 als ook y (0) = 1. Maar we hadden ook A en B kunnen vastleggen door bijvoorbeeld y(0) en y(1) te geven. 1

2 In het algemeen heeft een n-de orde vergelijking n integratie-constanten. Dit betekent dat we n verschillende oplossingen hebben. Maak de integratie constanten maar allemaal gelijk aan 0 op beurtelings telkens één na. 2 Lineaire vergelijkingen De algemene vorm van een lineaire homogene vergelijking van n-de orde met constante coefficienten is a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 0 y = 0, (1) met a n = 0. De algemene oplossing vinden we door de probeer-oplossing y(t) = e λt hetgeen levert het zgn. karakteristiek polynoom vermenigvuldigd met e λt ( an λ n + a n 1 λ n a 0 ) e λt = 0. Omdat e λt = 0, moet het polynoom gelijk aan 0 zijn. Deze n-de graads vergelijking heeft n oplossingen zegge λ 1,λ 2 λ n, waarvan een aantal complex kunnen zijn, en een aantal mogelijk samenvallen. Omdat de vergelijking lineair is geldt het volgende. Als y 1 (t) en y 2 (t) oplossingen zijn, dan is een willekeurige lineaire combinatie y(t) = Ay 1 (t) + By 2 (t) ook een oplossing. De algemene oplossing (mits alle λ k verschillend zijn) van vergelijking (1) is dus y(t) = A 1 e λ 1t +A 2 e λ 2t + A n e λ nt. Deze vorm is uitstekend als geheugensteuntje, maar is nog iets te algemeen om direct te kunnen gebruiken. We werken dit uit voor 3 Lineaire homogene vergelijking van 2-de orde met constante coefficienten We beschouwen dus vergelijkingen van de vorm ay + by + cy = 0, met algemene oplossing y(t) = A e λ 1t +B e λ 2t waarbij λ 1 en λ 2 oplossing zijn van aλ 2 + bλ + c = 0 2

3 3.1 λ 1 en λ 2 reëel en verschillend De oplossing is dan gelijk aan bovenstaand, dus van de vorm y(t) = A e λ 1t +B e λ 2t. We leggen A en B vast door begin- of randvoorwaarden toe te voegen, bijvoorbeeld Hieruit zijn A en B op te lossen. y(0) = A + B = y 0, y (0) = λ 1 A + λ 2 B = y 1. y y 2y = 0, met y(t) = A e 2t +B e t. 3.2 λ 1 en λ 2 complex en verschillend Omdat a, b, enc reëel zijn, zijn λ 1 en λ 2 elkaars complex geconjugeerde, m.a.w. we kunnen schrijven λ 1 = α + iβ, λ 2 = α iβ. De twee basisoplossingen zijn nu in complexe vorm. Dat is niet altijd handig. Door combineren maken we er twee reële van. We krijgen y 1 (t) = 1 2 eλ 1t eλ 2t = e αt cos(βt), De algemene vorm wordt dan y 2 (t) = 1 2i eλ 1t 1 2i eλ 2t = e αt sin(βt), y(t) = A e αt cos(βt) + B e αt sin(βt). y 2y + 2y = 0, met y(t) = A e t cos t + B e t sin t. 3.3 λ 1 = λ 2 We hebben nu nog maar een van de twee onafhankelijke oplossingen. De tweede is kennelijk niet van de probeer-vorm e λt. We vinden de tweede door de limietovergang λ 2 λ 1 te nemen van een geschikte combinatie. We schrijven λ 1 = λ en λ 2 = λ + ε, met De algemene vorm wordt dan lim ε 0 e (λ+ε)t e λt ε = t e λt y(t) = A e λt +Bt e λt. y 2y + y = 0, met y(t) = A e t +Bt e t. 3

4 3.4 a = 0 In dit geval is de vergelijking niet meer van 2-de orde, en is er maar één onafhankelijke oplossing. De algemene oplossing wordt y(t) = A e λt, met λ = c b. y + y = 0, met y(t) = A e t. 4 Lineaire inhomogene vergelijking van 1-de orde met constante coefficienten We beschouwen vergelijkingen van de vorm by + cy = f (t). De algemene oplossing wordt samengesteld uit de algemene oplossing van het homogene probleem plus een oplossing van het inhomogene probleem: y(t) = A e λt +y p (t), met λ = c b. y p, een willekeurige oplossing van het inhomogene probleem, heet een particuliere oplossing. Methode 1. Het is betrekkelijk gemakkelijk om een algemene uitdrukking te vinden voor y p met behulp van de methode van variatie van constante. Hierbij wordt constante A in de oplossing van het homogene probleem vervangen door een nog te vinden functie van t: y p = C(t) e λt. Hiervoor moet dus gelden bc e λt +bλc e λt +cc e λt = f (t). Omdat bλ = c volgt dat C moet voldoen aan ofwel In totaal hebben we dus C = b 1 e λt f (t) t C(t) = b 1 e λτ f (τ) dτ. 0 t y(t) = A e λt +b 1 e λ(t τ) f (τ) dτ. 0 4

5 4.1 y + y = e t 1 + t 2 met oplossing A e t + arctan(t) e t. Methode 2. Een andere manier om y p te vinden, is door slim raden. Dit werkt alleen als f (t) van speciale en voldoende eenvoudige vorm is. We hebben (i) Als f (t) = t n, dan proberen we y p = q n t n + q n 1 t n (ii) Als f (t) = t n e µt, dan proberen we y p (t) = (q n t n + q n 1 t n )e µt als µ = λ; y p (t) = (q n+1 t n+1 + q n t n +...)e µt als µ = λ. 4.2 y + y = t 2 met probeeroplossing y p (t) = At 2 + Bt + C levert 2At + B + At 2 + Bt + C = t 2, dus A = 1, B = 2enC = y 2y = t e t heeft homogene oplossingen e 2t, zodat we de probeeroplossing y p (t) = (At + B) e t kiezen. Deze levert At + A B = t, dus A = B = y +y = t 2 e t heeft homogene oplossingen e t, zodat we de probeeroplossing y p (t) = (At 3 + Bt 2 + Ct) e t kiezen. Deze levert 3At 2 + 2Bt + C = t 2, dus A = 1,enB = C = Lineaire inhomogene vergelijking van 2-de orde met constante coefficienten We beschouwen dus vergelijkingen van de vorm ay + by + cy = f (t). De algemene oplossing wordt samengesteld uit de algemene oplossing van het homogene probleem plus een oplossing van het inhomogene probleem: y(t) = A e λ 1t +B e λ 2t +y p (t). y p, een willekeurige oplossing van het inhomogene probleem, heet een particuliere oplossing. De algemene oplossing voor y p is tamelijk ingewikkeld. We beperken ons tot slim raden : (i) Als f (t) = t n, dan proberen we y p = q n t n + q n 1 t n

6 (ii) Als f (t) = t n e µt, dan proberen we y p (t) = (q n t n + q n 1 t n )e µt als µ = λ 1,λ 2. y p (t) = (q n+1 t n+1 + q n t n +...)e µt als µ = λ 1, = λ 2. y p (t) = (q n+2 t n+2 + q n+1 t n )e µt als µ = λ 1 = λ 2. (iii) Als f (t) = t n sin(µt), f (t) = t n cos(µt), dan analoog aan (ii), met dien verstande dat altijd combinaties van sin(µt) en cos(µt) genomen moet worden. Namelijk, in sin(µt) en cos(µt) komen beide e-machten voor, dwz. zowel e iµt als e iµt. 5.1 y + y = t 2 met probeeroplossing y p (t) = At 2 + Bt + C levert 2A + At 2 + Bt + C = t 2, dus A = 1, B = 0enC = y y 2y = t e 2t heeft homogene oplossingen e t en e 2t, zodat we de probeeroplossing y p (t) = (At 2 + Bt) e 2t kiezen. Deze levert 3(2At + B)+2A = t, dus A = 1 3 en B = y + y = cos(t) heeft homogene oplossingen cos(t) en sin(t), zodat we de probeeroplossing y p (t) = At cos(t)+ct sin(t) kiezen. Deze levert 2A sin(t)+ 2C cos(t) = cos(t), dus A = 0enC = 1 2. Merk op: Als f (t) = e µt, dan ziet y p er dus uit als y p (t) = q 0 e µt en volgt dus de aandrijvende term f. Dit noemen we een aangedreven trilling. Als f (t) = e λ1t, dan ziet y p er dus uit als y p (t) = (q 1 t + q 0 ) e λ 1t (met een q 2 t 2 -term als λ 1 = λ 2 ) en groeit dus harder dan f. Dit noemen we resonantie. 6

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten Hoofdstuk 12 Sommen van kwadraten 12.1 Sommen van twee kwadraten In Hoofdstuk 11 hebben we gezien dat als p een oneven priemdeler van a 2 + b 2 is, en p deelt niet zowel a als b, dan is p gelijk aan 1

Nadere informatie

5 Niet-lineaire regressie

5 Niet-lineaire regressie 5 Niet-lineaire regressie Als laatste van de soorten regressie zullen we in dit hoofdstuk de niet-lineaire regressie bespreken. Dit zijn modellen waarin de modelparameters(meestal aangegeven met β i )

Nadere informatie

J A N D E Z I D E R K E E S K O O M E N - M A J E R N I K I N L E I D I N G T O T D E K W A N T U M M E C H A N I C A

J A N D E Z I D E R K E E S K O O M E N - M A J E R N I K I N L E I D I N G T O T D E K W A N T U M M E C H A N I C A J A N D E Z I D E R K E E S K O O M E N - M A J E R N I K I N L E I D I N G T O T D E K W A N T U M M E C H A N I C A 2 jan dezider kees koomen-majernik Fundamentele vergelijkingen De Schrödingervergelijking:

Nadere informatie

Inleiding tot de incidentiemeetkunde

Inleiding tot de incidentiemeetkunde HOOFDSTUK 3 Inleiding tot de incidentiemeetkunde Incidentiemeetkunde is een theoretisch kader waarin bijna elke vorm van meetkunde past. Wij zullen onder andere zien hoe affiene en projectieve meetkunde

Nadere informatie

Syllabus Algebra 3. Prof. Dr G. van der Geer

Syllabus Algebra 3. Prof. Dr G. van der Geer Algebra III 1 Syllabus Algebra 3 voorlopige versie Prof. Dr G. van der Geer Korteweg-de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam Science Park 904 1098 XH Amsterdam Versie: 2014 Algebra III 1 1. Symmetrische

Nadere informatie

3 Rekenen aan lijnen

3 Rekenen aan lijnen 3 Rekenen aan lijnen Dit is een bewerking van Meetkunde met coördinaten lok Lijnen, richtingen en waaiers van ad Goddijn ten behoeve van het nieuwe programma (015) wiskunde vwo. pgaven met dit merkteken

Nadere informatie

Wegen als correctie ctie voor non-respons0o

Wegen als correctie ctie voor non-respons0o 07 Wegen als correctie ctie voor non-respons0o s Jelke Bethlehem Statistische Methoden (08005) Voorburg/Heerlen, 2008 Verklaring van tekens. = gegevens ontbreken * = voorlopig cijfer x = geheim = nihil

Nadere informatie

ATTRIBUEREN OF TOESCHRIJVEN

ATTRIBUEREN OF TOESCHRIJVEN ATTRIBUEREN OF TOESCHRIJVEN De meeste mensen, en dus ook leerlingen, praten niet alleen met anderen, maar voeren ook gesprekken met en in zichzelf. De manier waarop leerlingen over, tegen en in zichzelf

Nadere informatie

Wat betekent Power Factor?

Wat betekent Power Factor? Wat betekent Power Factor? Door: Wouter Ryckaert (Laboratorium voor Lichttechnologie/Groen Licht Vlaanderen), Koen Putteman (Eandis) en Dirk Van Kerckhoven (Infrax) Inleiding In de verlichtingswereld is

Nadere informatie

KRACHTEN - een inleiding

KRACHTEN - een inleiding KRACHTEN - een inleiding DEFINITIE EN BEDENKINGEN Als we over iets willen spreken, moeten we om te beginnen zo precies mogelijk proberen formuleren wat we bedoelen met de gebruikte begrippen. In het dagelijks

Nadere informatie

In het Besluit Gedragstoezicht financiële ondernemingen Wft wordt na artikel 81a een artikel ingevoegd, luidende:

In het Besluit Gedragstoezicht financiële ondernemingen Wft wordt na artikel 81a een artikel ingevoegd, luidende: Besluit van. houdende regels met betrekking tot het aanzetten van cliënten met een beleggingsverzekering tot het maken van een weloverwogen keuze met betrekking tot die beleggingsverzekering Op de voordracht

Nadere informatie

Inhoud hoofdstuk 9. Domeinmodellen. Introductie 89. Leerkern 90. Zelftoets 120. Terugkoppeling 121

Inhoud hoofdstuk 9. Domeinmodellen. Introductie 89. Leerkern 90. Zelftoets 120. Terugkoppeling 121 Inhoud hoofdstuk 9 Domeinmodellen Introductie 89 Leerkern 90 1 Wat is een domeinmodel? 90 2 De bouwstenen van een domeinmodel 91 2.1 Klassen en attributen 91 2.2 Afleidbare attributen 92 2.3 Attributen

Nadere informatie

Handleiding focusgroep onderzoek

Handleiding focusgroep onderzoek Handleiding focusgroep onderzoek In deze handleiding komt aan de orde: 1. wat een focusgroep is; 2. wanneer een focusgroep onderzoek bruikbaar is; 3. plaats van het focusgroep onderzoek in de verbeter

Nadere informatie

Eerste Hulp Bij Kopen op Internet Rechtswinkel de Clinic clinic.nl

Eerste Hulp Bij Kopen op Internet Rechtswinkel de Clinic clinic.nl + van De Clinic is in licentie gegeven volgens een Creative Commons Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie. Daarmee staan we je toe om dit werk te kopiëren, distribueren, vertonen, en op te voeren, en

Nadere informatie

Zaken die niet meer zo zeker zijn

Zaken die niet meer zo zeker zijn Een goed gesprek over Zaken die niet meer zo zeker zijn Met u praten wij vaak over zekerheid. Dat is namelijk ons vak: het organiseren van uw zekerheid. Dat kan op vele manieren. Bijvoorbeeld door verstandig

Nadere informatie

U bent aan zet! Zorg, welzijn en wonen zoals u dat wilt. het gevoel van samen

U bent aan zet! Zorg, welzijn en wonen zoals u dat wilt. het gevoel van samen U bent aan zet! Zorg, welzijn en wonen zoals u dat wilt het gevoel van samen Zorg, welzijn en wonen zoals u dat wilt U bent aan zet! Als cliënt van Archipel kunt u zelf aangeven op welke punten u ondersteuning

Nadere informatie

Techniekkaart: Het houden van een interview

Techniekkaart: Het houden van een interview WAT IS EEN INTERVIEW? Een interview is een vraaggesprek. Wat een interview speciaal maakt, is dat je met een interview aan informatie kunt komen, die je niet uit boeken kunt halen. Als je de specifieke

Nadere informatie

Alles wat mogelijk waar is, is kenbaar Het modaal-epistemisch argument

Alles wat mogelijk waar is, is kenbaar Het modaal-epistemisch argument Alles wat mogelijk waar is, is kenbaar Het modaal-epistemisch argument Emanuel Rutten In ons dagelijks leven doen we allerlei beweringen. We zeggen dingen als In Nederland is de binnenlandse consumptie

Nadere informatie

Wat moet ik weten als ik een hypotheek kies?

Wat moet ik weten als ik een hypotheek kies? Wat moet ik weten als ik een hypotheek kies? Ga niet over één nacht ijs... 1 Hoeveel kan ik lenen?... 2 Vaste of variabele rente?... 3 Rente kort of lang vastzetten?... 4 Hoogte van de rente... 4 Hoe zit

Nadere informatie

Het belang van een goed beoordelingsmodel

Het belang van een goed beoordelingsmodel Door Aniek Geelen en Karen Heij Toets! wordt uitgegeven door Bureau ICE, de nieuwe generatie toetsen en examens Waarom heb ik een onvoldoende en hij niet? Het belang van een goed beoordelingsmodel Een

Nadere informatie

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)

Nadere informatie

WISKUNDIGE OPGAVEN MET DE OPLOSSINGEN

WISKUNDIGE OPGAVEN MET DE OPLOSSINGEN WISKUNDIGE OPGAVEN MET DE OPLOSSINGEN DOOR LEDEN VAN MET WISKUNDIG GENOOTSCMAP TER SPREUKE VOERENDE LEN ONVERMOEIDE ARBEID KOMT ALLES TB BOVEN Ia~~;o_ IO~~4 NEGENTIENDE DEEL BOEKBINDERrJ K I ~ V I T ST

Nadere informatie

Wat je moet weten als je een hypotheek kiest?

Wat je moet weten als je een hypotheek kiest? Wat je moet weten als je een hypotheek kiest? Als je een hypotheek af gaat sluiten, moet je aan een heleboel dingen denken. We hebben een aantal vragen voor je op een rijtje. Klik op de doorlinks hiernaast

Nadere informatie

Formules in Word 1032

Formules in Word 1032 032 Formules in Word Colofon: Uitgave.0 : M.M. Witkam, december 2000 Nummer : 032 Auteur : drs. M.M. Witkam Profieldeel : Profiel : Wiskunde Prijs : Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of openbaar

Nadere informatie

Einstein s Relativiteits theorie Een uitleg met middelbare school wiskunde Andrré van der Hoeven Docent natuurkunde Emmauscollege Rotterdam

Einstein s Relativiteits theorie Een uitleg met middelbare school wiskunde Andrré van der Hoeven Docent natuurkunde Emmauscollege Rotterdam Einstein s Relativiteits theorie Een uitleg met middelbare school wiskunde André van der Hoeven Docent natuurkunde Emmauscollege Rotterdam Einstein s speciale relativiteitstheorie, maarr dan begrijpelijk

Nadere informatie

Onderzoek. naar storing op kabeltelevisie door mobiel gebruik in het Digitaal Dividend

Onderzoek. naar storing op kabeltelevisie door mobiel gebruik in het Digitaal Dividend Onderzoek naar storing op kabeltelevisie door mobiel gebruik in het Digitaal Dividend Colofon 2010 Agentschap Telecom ISBN 978 908 15 7321 4 Opdrachtgever Ministerie van Economische Zaken Uitgevoerd door

Nadere informatie

Handen en voeten aan beoordelen. handreiking invoering beoordelingssysteem in het hbo

Handen en voeten aan beoordelen. handreiking invoering beoordelingssysteem in het hbo Handen en voeten aan beoordelen handreiking invoering beoordelingssysteem in het hbo Inleiding In de cao voor het Hoger Beroepsonderwijs hebben cao partijen afspraken vastgelegd over de invoering van

Nadere informatie

Tekst mr. ing. J.C. (Jacco) Huijzer

Tekst mr. ing. J.C. (Jacco) Huijzer 10 Verandering brandcompartiment: mogelijk zónder omgevingsvergunning? brandveiligheid Tekst mr. ing. J.C. (cco) Huijzer Veel bestaande gebouwen hebben te kampen met problemen op het gebied van brandveiligheid.

Nadere informatie

De rente stijgt: welke gevolgen heeft dat voor u?

De rente stijgt: welke gevolgen heeft dat voor u? De rente stijgt: welke gevolgen heeft dat voor u? Onafhankelijke informatie voor consumenten Wat is renterisico? Als u geld nodig heeft, kunt u een lening afsluiten. U moet het geleende geld wel terugbetalen.

Nadere informatie

Wat is OTS? (Onder ToezichtStelling)

Wat is OTS? (Onder ToezichtStelling) Wat is OTS? (Onder ToezichtStelling) Deze folder is voor ouders van cliënten van de Welkom 2 OnderToezichtStelling Graag stellen wij ons voor. Wij zijn de William Schrikker Jeugdbescherming. Wij geven

Nadere informatie