Examen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet. dinsdag 5 januari Vraag 1.1. Waar of vals (1pt) Het beginvoorwaardenprobleem

Transcriptie

1 Examen Wiskundige Analyse I ste bach ir wet dinsdag 5 januari 206 Vraag.. Waar of vals (pt) Het beginvoorwaardenprobleem 32x 3 y = (y ) 3, y() = 2, y () = 4 bezit een unieke oplossing, die geldig is in gans R. Vraag.. Waar of vals (pt) Het beginvoorwaardenprobleem x 2 y + xy = x 2 y 4, y( ) = bezit een unieke oplossing, die geldig is in ], 0[. Vraag.2. Waar of vals (.5pt) De oneigenlijke integraal + x β ( + x 4 5 ) dx is convergent als en slechts dan als β > 5, naar een waarde tussen 0 en 5 5β. Vraag.2. Waar of vals (.5pt) De oneigenlijke integraal is convergent. 0 ln(x 2 ) x 2 dx Vraag.3. Waar of vals (.5pt) De functie f(t) = (t 2 + 5)Y (t)y (9 t) is laplacetransformeerbaar in het volledige complexe vlak. Vraag.3. Waar of vals (.5pt) De functie f(t) = (t 2 5t + 6)Y (t 3) is laplacetransformeerbaar voor Re(z) > 0. Analyse I Examens /6

2 Vraag.3. Waar of vals (2pt) De reële functiereeks n=0 ( ) n+ x n+3 4 n (n + 2)(n + ) convergeert absoluut op [ 4, 4], naar de reekssomfunctie f(x) = 4x ( x (x + 4) ln ( x+4 4 )). Vraag.3. Waar of vals (2pt) De reële functiereeks n=0 ( 4) n (n + 2)(n + )x n+2 convergeert absoluut op ], 4] [4, + [, naar de reekssomfunctie f(x) = + x+4 ln ( ) x+4 4x 6 x x. Vraag.4. (.5pt) Bepaal een Z-origineel van de functie F (z) = z 2 (z + 5) 2 met behulp van eigenschappen van de Z-transformatie. Vraag.4. (2pt) Stel een fouriersinusreeks op voor de functie { α t 2 t [0, [ f(t) = t 2 4 t [, 2] op het interval [0, 2], en ga na voor welke t [0, 2] deze naar f(t) convergeert. Hierbij is α R vast, maar willekeurig. Vraag.4. (.5pt) Bepaal m.b.v. eigenschappen van fourier- en laplacetransformatie een fourier-origineel van de functie F (ω) = 2 + 5iω Analyse I Examens 2/6

3 Vraag 2 (op 8pt) Gegeven: de functie f(t) = t 2 t [0, ] (a) Bepaal handmatig de fouriersinusreeks van f(t); voor welke t R convergeert deze fourierreeks naar f(t)? (b) Bepaal handmatig de fouriercosinusreeks van f(t); voor welke t R convergeert deze fourierreeks naar f(t)? (c) Primitiveer handmatig de fouriercosinusreeks en bepaal haar reekssomfunctie. (d) Bepaal, m.b.v. (b)-(c), nu ook de reekssommen van de respectieve numerieke reeksen k= ( ) k k 2, k= k 4, + k= ( ) k (2k ), + 3 k= k 6 Merk op dat, hoewel handmatige methodes worden gevraagd, tussenstappen en controles wel degelijk met Maple mogen gebeuren. Vraag 2 (op 8pt) Gegeven: de functiereeks n= ( 3) n (n + 2)(n + )x n+ (a) Bepaal de intervallen van absolute en betrekkelijke convergentie van deze reeks. (b) Bepaal via termsgewijze afleiding of primitivering de reekssomfunctie. (c) Gegeven de rij van getallen (a n ), bepaald door a n+ = a n ( ) n+ (n + 2) 2, a 0 = Toon aan dat a n = 2 ( )n+ (n + )(n + 2) (d) Bepaal, m.b.v. (a)-(b)-(c), nu ook de reekssom van de numerieke reeks n= ( ) n+ (n + ) 2 Merk op dat, hoewel handmatige methodes worden gevraagd, tussenstappen en controles wel degelijk met Maple mogen gebeuren. Analyse I Examens 3/6

4 Vraag 2 (op 8pt) Gegeven: de reële functiereeks n=2 ( ) n+ x n+ 5 n 2 n(n ) (a) Bepaal de intervallen van absolute en betrekkelijke convergentie van deze reeks. (b) Bepaal via termsgewijze afleiding of primitivering de reekssomfunctie. (c) Gegeven de rij van getallen (a n ), bepaald door a n+ = a n + ( ) n+ (2n) 2, a = 0 Toon aan dat a n = 2( ) n n(n ) (d) Bepaal, m.b.v. (a)-(b)-(c), nu ook de reekssom van de numerieke reeks n= ( ) n (n ) 2 Merk op dat, hoewel handmatige methodes worden gevraagd, tussenstappen en controles wel degelijk met Maple mogen gebeuren. Vraag 2 (op 8pt) Gegeven: de functie f(t) = t, t [0, 2] (a) Bepaal handmatig de fourierreeks met periode 2 van f(t); voor welke t R convergeert deze fourierreeks naar f(t)? (b) Bepaal handmatig de termsgewijze geprimitiveerde reeks en haar reekssomfunctie. (c) Primitiveer nogmaals termsgewijze en bepaal opnieuw de reekssomfunctie. (d) Bepaal, m.b.v. (a)-(b)-(c), nu ook de reekssommen van de respectieve numerieke reeksen k= ( ) k 2k, + k= ( ) k k 2, k= k 4, k= k 6 Merk op dat, hoewel handmatige methodes worden gevraagd, tussenstappen en controles wel degelijk met Maple mogen gebeuren. Analyse I Examens 4/6

5 Vraag 3 (op 6pt) Gegeven: Een voorwerp met een massa van 0kg rekt een veer uit over 9dm. Dit voorwerp wordt vanuit zijn evenwichtspunt in beweging gebracht met een neerwaarts gerichte snelheid van 2m/s in een middenstof die een weerstand uitoefent van 6, 4N op het moment dat het voorwerp een neerwaarts gerichte snelheid bezit van 8dm/s. (a) Bepaal handmatig de uitwijking van het voorwerp op elk tijdstip t > 0 in het geval er geen uitwendige kracht is. (b) Bepaal handmatig de uitwijking van het voorwerp op elk tijdstip t > 0 in het geval het systeem aangedreven wordt door de uitwendige kracht F (t) = sin(3t). (c) Bepaal in het geval met uitwendige kracht, het 8ste tijdstip waarop de snelheid van het voorwerp nul wordt, na loslaten. Ook hier mogen, hoewel handmatige methodes worden gevraagd, de tussenberekeningen met Maple gebeuren. Vraag 3 (op 6pt) Gegeven: Een vloeistoftank met een capaciteit van 600 liter waarin 30 kilogram zout is opgelost, is aanvankelijk volledig gevuld. Tijdens de eerste fase stroomt zuiver water de tank binnen aan een debiet van 6 liter per minuut. Het door roeren homogeen mengsel verlaat de tank met een debiet van 2 liter per minuut. De eerste fase stopt op het moment dat de tank nog slechts voor een kwart gevuld is. Tijdens de tweede fase bevat het instromend water zout met een concentratie van 0,9kg per liter. Het instroomdebiet blijft onveranderd, terwijl het uitstroomdebiet teruggebracht wordt op eveneens 6 liter per minuut. () Bepaal handmatig de hoeveelheid zout in de tank op elk ogenblik van de eerste fase. (2) Doe hetzelfde voor de tweede fase; hoelang moet die tweede fase duren opdat de hoeveelheid zout in de tank gedurende die fase met een factor 40 zou toenemen? (3) Teken de grafiek van het volledige verloop van de hoeveelheid zout in de tank; besteed aandacht aan het asymptotisch gedrag. Ook hier mogen, hoewel handmatige methodes worden gevraagd, de tussenberekeningen met Maple gebeuren. Analyse I Examens 5/6

6 Examen Wiskundige Analyse I ste bach ir wet woensdag 24 augustus 206 Vraag.2. (.5pt) Gegeven de functie met voorschrift π 5π f(x) = tan(4x), x ], ] 8 6 Bepaal dan (f ) ( 2) zonder de functie f expliciet te bepalen; leg uit. Vraag.3. (.5pt) De complexe functie met voorschrift f(z) = z ( i z)( i + z) is het Z beeld van een numerieke rij. Bepaal deze rij en het convergentiegebied van het beeld. Vraag.3. (.5pt) De complexe functie met voorschrift f(z) = z ( + i z)( + i + z) is het laplace-beeld van een causale functie. Bepaal deze functie en het convergentiegebied van de laplace-integraal. Vraag.4. (waar of vals?) (.5pt) Er bestaat geen enkele waarde van α R waarvoor de fouriersinusreeks van de functie { t 8 t [0, [ f(t) = t 2 α t [, 2] voor alle t [0, 2] naar f(t) convergeert. Vraag.4. (waar of vals?) (.5pt) Er bestaan een waarde voor α R en een waarde voor b > 2 waarvoor de fouriersinusreeks van de functie { t 4 t [0, 2[ f(t) = α t 2 t [2, b] voor alle t [0, b] naar f(t) convergeert. Analyse I Examens 6/6

7 Vraag 2 (op 7pt) Gegeven: We beschouwen de functiereeks n 0 ( ) n 9 n (n + )(n + 2) x n+ 2, x R () Bepaal de intervallen van absolute en betrekkelijke convergentie van deze reeks. (2) Onderzoek, zonder gebruik te maken van (), de convergentie van de numerieke reeks n 0 ( ) n+ (n + 2)(n + )3 n (3) Bepaal de reekssom van bovenstaande numerieke reeks via een handmatige methode. Hoewel handmatige methodes worden gevraagd, mogen tussenberekeningen met Maple gebeuren; het is vooral van belang de verschillende stappen in de methodes goed aan te geven. Vraag 2 (op 7pt) Gegeven: We beschouwen de functiereeks ( 4) n (n + )(n + 2)x n +, x R 2 n 0 () Bepaal de intervallen van absolute en betrekkelijke convergentie van deze reeks. (2) Onderzoek, zonder gebruik te maken van (), de absolute en betrekkelijke convergentie van de numerieke reeks ( ) n+ (n + 2)(n + )2 n n 0 (3) Bepaal de reekssom van bovenstaande numerieke reeks via een handmatige methode. Hoewel handmatige methodes worden gevraagd, mogen tussenberekeningen met Maple gebeuren; het is vooral van belang de verschillende stappen in de methodes goed aan te geven. Analyse I Examens 7/6

8 Vraag 3 (op 7pt) Gegeven: Een voorwerp met een massa van 2, 5kg rekt een veer uit over 9, 8cm. Dit voorwerp wordt vanuit zijn evenwichtspunt in beweging gebracht met een neerwaarts gerichte snelheid van 2dm/s in een middenstof die een weerstand uitoefent met wrijvingsconstante γ. (a) Bepaal handmatig de uitwijking van het voorwerp op elk tijdstip t > 0 in het geval er geen uitwendige kracht is; bespreek in functie van γ. (b) Bepaal handmatig de uitwijking van het voorwerp op elk tijdstip t > 0 in het geval het systeem kritisch gedempt is en aangedreven wordt door de uitwendige kracht F (t) = cos(5t). (c) Bepaal in het geval met uitwendige kracht, het 5de tijdstip waarop de snelheid van het voorwerp nul wordt, na loslaten. Hoewel handmatige methodes worden gevraagd, mogen tussenberekeningen met Maple gebeuren; het is vooral van belang de verschillende stappen in de methodes goed aan te geven. Vraag 3 (op 7pt) Gegeven: Een voorwerp met een massa van, 5kg hangt aan een veer met veerconstante k. Dit voorwerp wordt vanuit zijn evenwichtspunt in beweging gebracht met een neerwaarts gerichte snelheid van 2dm/s in een middenstof die een weerstand uitoefent van 54N op het moment dat het voorwerp een snelheid van 8dm/s heeft. () Bepaal handmatig de uitwijking van het voorwerp op elk tijdstip t > 0 in het geval er geen uitwendige kracht is; bespreek in functie van k. (2) Bepaal handmatig de uitwijking van het voorwerp op elk tijdstip t > 0 in het geval het systeem kritisch gedempt is en aangedreven wordt door de uitwendige kracht F (t) = sin(3t). (3) Bepaal in het geval met uitwendige kracht, het 4de tijdstip waarop een maximale uitwijking wordt bereikt, na loslaten. Hoewel handmatige methodes worden gevraagd, mogen tussenberekeningen met Maple gebeuren; het is vooral van belang de verschillende stappen in de methodes goed aan te geven. Analyse I Examens 8/6

9 Examen Wiskundige Analyse I ste bach ir wet dinsdag 0 januari 207 Vraag.. Waar of vals (.5pt) Het beginvoorwaardenprobleem x 3 y = (y ) 3, y() = 4, y () = bezit een unieke oplossing, die geldig is in gans R. Indien in de loop van het antwoord de oplossing expliciet wordt gebruikt, dient deze met de hand te worden bepaald. Vraag.. Waar of vals? (.5pt) Het beginvoorwaardenprobleem x 2 y + xy = x 2 y 6, y() = bezit een unieke oplossing, die geldig is in ]0, + [. Als in de loop van het antwoord de oplossing expliciet wordt gebruikt, dient deze handmatig te worden bepaald. Vraag.2. (.5pt) Onderzoek de convergentie van voor α > (x 2 4) α x 3 4 dx Vraag.2. (.5pt) Onderzoek de convergentie van voor α > 0. + x 7 (x 2 ) α dx Vraag.2. (.5pt) Onderzoek de convergentie van 0 ln( x) ln(2) x 2 4 dx Analyse I Examens 9/6

10 Vraag.3. Waar of vals (.5pt) Zij F (ω) het fourierbeeld van een stuksgewijze gladde, reëelwaardige functie. Dan is, voor elke a > 0 en voor elke t R, de integraal reëelwaardig. a a F (ω) exp( iωt) dω Vraag.3. Waar of vals (.5pt) Zij f, f en f causale functies die continu zijn in gans R en bovendien alledrie laplacetransformeerbaar voor Re(z) > γ met γ < 0, dan geldt er: L[f (t)](2iω) = 2ω 2 L [ f ( t 2 )] (iω), ω R Vraag.3. (.5pt) Los op in ]0, + [ met behulp van laplacetransformatie: y + 6y + 9y = exp( 3t), y(0) =, y (0) = Vermeld duidelijk de eigenschappen die hierbij gebruikt worden. Vraag.4. (.5pt) Bepaal -handmatig- de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking gegeven zijnde dat 0 < b < a. a 2 y + 2by + y = sin(2x) Vraag.4. (.5pt) Bepaal, zonder gebruik te maken van Maple, de numerieke rij waarvan het Z-beeld gegeven wordt door de functie Waar is dit Z-beeld geldig? f(z) = z2 z 2 4 Analyse I Examens 0/6

11 Vraag 2 (op 6pt) Gegeven: de functie met z een complexe variabele. f(z) = z 4z (a) Schrijf f(z) als een positieve machtenreeks in z; onderzoek de convergentie. (b) Gebruik het gevonden resultaat om de reële functie arctan( 2x ) te schrijven als een posi- 3 tieve machtenreeks in x; onderzoek opnieuw de convergentie. (c) Schrijf f(z) als een negatieve machtenreeks in z en en bepaal de numerieke rij waarvan f(z) het Z-beeld is; waar is dit Z-beeld geldig? (d) Schrijf f(z) als een Laurentreeks in z 3 i; waar is deze Laurentreeks geldig? 2 Vraag 2 (op 8pt) Gegeven: Het beginvoorwaardenprobleem x 2 y (x) + xy (x) + (x 2 4)y(x) = g(x), y(0) = α, y (0) = β (a) Stel g(x) = 0, los de differentiaalvergelijking op met Maple en beredeneer op basis van het gevonden resultaat voor welke α en β het beginvoorwaardenprobleem een oplossing heeft, die evenwel niet uniek is. (b) Neem opnieuw g(x) = 0, stel α = 0 en β = 0 en bepaal alle oplossingen van het corresponderende beginvoorwaardenprobleem onder de vorm van een positieve machtenreeks in x, m.a.w., stel y(x) = a n x n en bepaal de coëfficiënten a n. (c) Wat is het geldigheidsinterval van de gevonden oplossingen? (d) Stel nu g(x) = x 2 4, voeg de bijkomende voorwaarde y (0) = toe, beredeneer voor welke α en β het nieuwe beginvoorwaardenprobleem een unieke oplossing heeft en bepaal deze oplossing. n=0 Analyse I Examens /6

12 Vraag 3 (op 8pt) Gegeven: de functie f(t) = t 2, t [0, 2] (a) Bepaal de fouriercosinusreeks met periode 4 van f(t); voor welke t convergeert deze reeks naar f(t)? (b) Bepaal de fouriersinusreeks met periode 4 van f(t); voor welke t convergeert deze reeks naar f(t)? (c) Primitiveer beide reeksen termsgewijze en bepaal de respectieve reekssomfuncties. (d) Bepaal met behulp van de gevonden resultaten de reekssommen van de volgende numerieke reeksen: k= ( ) k+ (2k + ), + 3 k=0 (2k + ) 6 De berekening van de fouriercoëfficiënten mag met Maple gebeuren; geef wel voldoende uitleg bij hoe de fourierreeksen tot stand komen. Vraag 3 (op 6pt) Gegeven: De functie f(x) = sin ( x 4 ), op het interval [0, 2π]. (a) Bepaal de fouriersinusreeks van f met periode 4π; voor welke x convergeert deze reeks naar f(x)? (b) Bepaal de fouriercosinusreeks van f met periode 4π; voor welke x convergeert deze reeks naar f(x)? (c) Gebruik de gevonden resultaten om de reekssom van de volgende numerieke reeksen te bepalen: ( ) n+ + 4n 2, ( ) n 6n 2 n=0 De berekening van de fouriercoëfficiënten mag met Maple gebeuren; geef wel voldoende uitleg bij hoe de fourierreeksen tot stand komen. n= Analyse I Examens 2/6

13 Examen Wiskundige Analyse I ste bach ir wet vrijdag 25 augustus 207 Vraag.. (.5pt) Ga na voor welke waarden van k < 0 de functie f(x) = x k tanh(x) uitbreidbaar is tot een continue, respectievelijk afleidbare functie in x = 0. Vraag.. (.5pt) Gegeven de functie f(x) = cosh(x). Welke graad van Taylorpolynoom moet men gebruiken om deze functie in het interval [, ] tot op één honderdste correct te benaderen? Vraag.2. (.5pt) Onderzoek de convergentie van voor α > α (x 2 9) 2α x 3 dx Vraag.2. (.5pt) Onderzoek de convergentie van voor α > (x 2 25) 2α x 3 5 dx Vraag.3. (.5pt) Los op in ]0, + [ met behulp van laplacetransformatie (en zonder gebruik van Maple): y (t) 7y (t) 8y(t) = exp( t), y(0) = 0, y (0) = Vermeld duidelijk de eigenschappen die hierbij gebruikt worden. Vraag.3. (.5pt) Los op in ]0, + [ met behulp van laplacetransformatie: y (t) 6y (t) + 9y(t) = sinh(3t), y(0) = 0, y (0) = Vermeld duidelijk de eigenschappen die hierbij gebruikt worden. Analyse I Examens 3/6

14 Vraag.4. (.5pt) Schrijf, zonder gebruik te maken van Maple, de functie f(z) = z 9z als een Laurentreeks in z 4 i en ga expliciet na waar deze Laurentreeks geldig is. 3 Vraag.4. (.5pt) Bepaal, zonder gebruik te maken van Maple, de numerieke rij waarvan de functie f(z) = z + 5 z 2 9 het Z-beeld is en ga expliciet na waar dit Z-beeld geldig is. Vraag 2 (op 7pt) Gegeven: Het beginvoorwaardenprobleem ( x 2 )y (x) 2xy (x) + k(k + )y(x) = g(x), y(0) = 0, y (0) = waarin k een gegeven, positieve constante is, en g(x) een functie die overal continu is. () Stel g(x) = 0 en bepaal de unieke oplossing van het corresponderende beginvoorwaardenprobleem onder de vorm van een positieve machtenreeks in x, m.a.w., stel en bepaal de coëfficiënten a n. y(x) = a n x n (2) Bespreek de convergentie van de gevonden reeksoplossing als functie van k. (3) Stel nu g(x) = x en k = 2 en bepaal, zonder gebruik te maken van Maple, de unieke oplossing van het beginvoorwaardenprobleem en haar geldigheidsinterval. n=0 Analyse I Examens 4/6

15 Vraag 2 (op 7pt) Gegeven: Het beginvoorwaardenprobleem (x 2 )y (x) + xy (x) k 2 y(x) = g(x), y(0) =, y (0) = 0 waarin k een gegeven, positieve constante is, en g(x) een functie die overal continu is. () Stel g(x) = 0 en bepaal de unieke oplossing van het corresponderende beginvoorwaardenprobleem onder de vorm van een positieve machtenreeks in x, m.a.w., stel en bepaal de coëfficiënten a n. y(x) = + n=0 a n x n (2) Bespreek de convergentie van de gevonden reeksoplossing als functie van k. (3) Stel nu g(x) = x 2 en k = 3 en bepaal, zonder gebruik te maken van Maple, de unieke oplossing van het beginvoorwaardenprobleem en haar geldigheidsinterval. Vraag 3 (op 7pt) Gegeven: De functie f(x) = cos ( x 4 ), die we beschouwen op het interval [0, 3π]. () Bepaal de fouriersinusreeks van f met periode 6π; voor welke x convergeert deze naar f(x)? (2) Bepaal de fouriercosinusreeks van f met periode 6π; voor welke x convergeert deze naar f(x)? (3) Bepaal de fourierreeks van f met periode 3π; voor welke x convergeert deze naar f(x)? (4) Ilustreer voor de fouriercosinusreeks de wet van behoud van energie. De berekening van de fouriercoëfficiënten mag met Maple gebeuren; geef wel voldoende uitleg bij hoe de fourierreeksen tot stand komen. Analyse I Examens 5/6

16 Vraag 3 (op 7pt) Gegeven: De functie f(x) = exp ( x 9 ), die we beschouwen op het interval [0, 5π]. () Bepaal de fouriersinusreeks van f met periode 0π; voor welke x convergeert deze naar f(x)? (2) Bepaal de fouriercosinusreeks van f met periode 0π; voor welke x convergeert deze naar f(x)? (3) Bepaal de fourierreeks van f met periode 5π; voor welke x convergeert deze naar f(x)? (4) Leid de fouriercosinusreeks af en bepaal haar reekssomfunctie; conclusie? De berekening van de fouriercoëfficiënten mag met Maple gebeuren; geef wel voldoende uitleg bij hoe de fourierreeksen tot stand komen. Analyse I Examens 6/6