Analyse I. 3. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.

Transcriptie

1 ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 8-9 ste semester januari 9 Analyse I. Formuleer en bewijs de formule van Leibniz voor de n-de afgeleide van het product van twee functies f en g.. Onderstel dat f : [a, b] R continu is, en dat f(a)f(b) <. Toon aan dat f minstens nulpunt heeft gelegen in het interval (a, b).. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville. 4. Formuleer en bewijs de stelling van het gemiddelde voor de integraal van een functie. Toon dan aan dat, voor een continue functie f : [a, b] R, de functie g(x) = x f(t)dt afleidbaar a is, en bereken de afgeleide. Leid hieruit de grondformule van de integraalrekening af. Tijd: 9 minuten; vraag : 8 punten; vragen en : punten; vraag 4: punten; totaal: 4 punten.

2 ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 8-9 ste semester januari 9 Oefeningen Analyse I. Bepaal de iet in functie van de parameter p >. ( ) p x p x x +. Bereken de McLaurinveelterm van graad van de functie f(x) = e ch x.. De knutselsmurf weet al lang dat het ideale woonhuis de vorm moet hebben van een paddestoel met als steel een cilinder met straal R en hoogte H en als hoed een halve bol met straal 5R/4. De grote smurf heeft een nieuw huis nodig met een totaal volume van m, omdat de Leerlingsmurf het vorige huis had laten ontplfen. De schildersmurf moet de buitenkant van het huis schilderen, maar wil hier zo weinig mogelijk verf voor gebruiken, m.a.w. het huis moet zo gemaakt worden dat de buitenoppervlakte minimaal is. Bepaal de straal R en de hoogte H zodanig dat de buitenoppervlakte minimaal is. 4. Bereken de oneigenlijke integraal I = + 6 dx x x 6x Bereken de lengte l van de ruimtekromme met parametervergelijkingen x = cos t y = sin t z = t/ Hierbij varieert de parameter t tussen en. Tijd: 8 minuten; vragen, en 4: punten; vraag : 7 punten; vraag 5: 8 punten. Totaal: 45 punten

3 Oplossingen. We berekenen Omdat is Geval : p >. Dan is ln p p en ln >, zodat Geval : < p <. Dan is ln p p en Geval : p =. Dan is ln p p ( ) p x p x = x + p x x + p ln p x x + x p ln p x x + <, zodat = p + p x + ( ) p x p x x + x p ln p x x + ln p = p = (+ )ln p p x p ln p x x +. = +. = (+ )ln p p ( ) p x p x =. x + = ln p p. = +, =, =, en we passen de regel van de l Hospital toe: en dus is, voor p =, ln ( ) x x = x + = H = ln x x+ /x ln(x ) ln(x + ) x x+ x /x = x (x + x + x ) x = x =, ( ) p x p x = x + e.

4 . We berekenen de afgeleiden tot op orde van f in het punt : f(x) = e ch x f() = e f (x) = sh xe ch x f () = f (x) = (ch x + sh x)e ch x f () = e f (x) = (sh x + sh x ch x + sh x)e ch x f () = Bijgevolg is de McLaurin veelterm van graad : P (x) = e( + x ).. We schrijven alle lengtes in meter. We berekenen de oppervlakte van het huis: Oppervlakte halve bol: π 5 6 R ; oppervlakte cilindermantel: πrh; oppervlakte onderkant halve bol buiten de cilinder: 5 6 πr πr De totale oppervlakte die moet geschilderd worden is dus Het totale volume van het huis is ( 5 S = πrh + πr ) = πrh πr. V = πr H + π 5 64 R =. We hebben dus πr H = 5 96 πr en πrh = R 5 48 πr. Hiermee hebben we de totale oppervlakte S in functie van R: S = R 5 48 πr πr = R + πr. Om S te minimaliseren berekenen we de afgeleide van S naar R en stellen die gelijk aan : als ds dr = R + 6 πr = R = π R = π.

5 H vinden we dan met de formule 4. H = R π 5 96 R = 69 44π 5 96 π. I = = = dx x x 6x + 9 dx x (x ) dx x(x ). Splitsing in partiële breuken geeft x(x ) = ( x ), x zodat 5. en dus l = + I = ( 6 x x = [ln( x ] + ) ( ds ) = sin t + cos t + dt + t 4 dt = 4 6 ) dx = [ ln x ] + x 6 = ln = ln ( t ) t = + 4 [ ( + t ] 4 )/ = 8 ( ( 5 ) 4 )/ = (5 5 8)

6 ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 8-9 de semester 5 juni 9 Oefeningen Analyse II. Bepaal de extreme waarden van het volume van een balkvormige doos zonder deksel waarvan de oppervlakte 4 cm is.. Bereken de volgende lijnintegraal op twee manieren: waarbij Γ de rand van het het gebied is. Γ + (x + y )dx (x + y) dy G = {(x, y) R x + y } {(x, y) R y x}. Bereken de flux van het vectorveld v = x u + y u door het gedeelte van het oppervlak gelegen boven het vlak z =. 4. Is de volgende reeks convergent? a, b > en b a +. n=+ n= 5. Los de volgende differentiaalvergelijking op. x + y + (z ) = 9 a(a + )(a + )...(a + n) b(b + )(b + )...(b + n) (y )y + (y + )y = 6. Bepaal door middel van een reeksontwikkeling twee lineair onafhankelijke oplossingen in een omgeving van x = van de volgende differentiaalvergelijking. Bepaal ook het convergentiegebied. xy + (x )y 6y = Tijd: uur en 45 minuten; vragen en 4: 8 punten, vraag : punten, vragen,5,6: 9 punten; totaal: 55 punten.

7 Oplossingen. Zij x, y, z de ribben van de balk. Het volume is dan V = xyz, en de oppervlakte S = yz + xz + xy = 4. De hulpfunctie met multiplicator van Lagrange wordt Voorwaarden op de stationaire punten: V = xyz α(yz + xz + xy 4). V x V y V z = yz αz αy = () = xz αz αx = () = xy αx αy = () Als we deze drie voorwaarden substituëren in de nevenvoorwaarde vinden we 8αz + 4αy + 4αx = 4, Dit vullen we in (,,): Hieruit volgt ook: α(z + x + y) = 6, α = yz = xz = xy = 6 z + x + y. 6(y + z) x + y + z 6(x + z) x + y + z (x + y) x + y + z x + y + z = 6( z + y ) = 6( z + x ) = ( y + x ). Uit de tweede gelijkheid volgt dat x = y. Uit de derde volgt dan dat z = 4 x x = x, z = x. We besluiten dat x = y = z. Als we dit in de nevenvoorwaarde stoppen vinden we z =, x = y =, α = z =, V = 8.

8 We kunnen verwachten dat het volume maximaal wordt voor deze waarden. Maar dit kunnen we ook nagaan door de tweede differentiaal van V te berekenen. d V = zdxdy + ydxdz + xdydz + zdxdy + xdydz + ydxdz α(dxdz + dxdy + dydz + dxdy + dxdz + dydz) = (zdxdy + ydxdz + xdydz) αdxdy 4αdxdz 4αdydz = (z α)dxdy + (y α)dxdz + (x α)dydz = (dxdy + dxdz + dydz). Differentiëren van de nevenvoorwaarden geeft ydz + zdy + xdz + zdx + xdy + ydx = zodat 4dx + 4dy + 8dz = dz = dx dy, d V = (dxdy dx dxdy dy dydx = (dx + dxdy + dy ) <, omdat de discriminant van de kwadratische vorm dx + dxdy + dy gelijk is aan D = 4 = <. We besluiten dat V de maximale waarde V = 8 bereikt voor x = y = z =.. We gebruiken de formule van Green-Riemann: P dx + Qdy = Γ + Hierin is P = x + y, Q = (x + y), en dus Q x P y G ( Q x P y )dxdy. = x 4y. We berekenen eerst het rechterlid, door overgang naar poolcoördinaten. Het gebied G ligt binnen de eenheidscirkel, waarbij ϕ [ π/4, π/4]. We berekenen nu: ( Q x P π/4 y )dxdy = dϕ rdr( r cos ϕ 4r sin ϕ) G = π/4 π/4 π/4 [sin ϕ]π/4 cos ϕdϕ r dr 4 [cos ϕ]π/4 π/4 = π/4 + 4 = 4 =. π/4 π/4 sin ϕdϕ De rand Γ wordt is de unie van: - Γ, het deel van de tweede bissectrice y = x gelegen binnen de eenheidscirkel; r dr

9 - Γ, het deel van de eenheidscirkel gelegen boven de tweede bissectrice. We berekenen nu / (x + y )dx (x + y) dy = x dx = [ x ] / Γ / = /. Een stel parametervergelijkingen van Γ is { x = cos ϕ y = sin ϕ waarbij ϕ [ π/4, π/4], zodat We besluiten dat Γ (x + y )dx (x + y) dy = π/4 π/4 d cos ϕ = + π/4 π/4 Γ + (x + y )dx (x + y) dy = d sin ϕ π/4 π/4 [ cos ϕ ] π/4 π/4 =. Een stel parametervergelijkingen van het oppervlak S is x = cos ϕ sin θ y = sin ϕ sin θ z = + cos θ sin ϕ cos ϕdϕ. =. waarbij ϕ [, π], θ [, bgcos ]. We berekenen nu v r ϕ r θ = cos ϕ sin θ sin ϕ sin θ sin ϕ sin θ cos ϕ sin θ cos ϕ cos θ sin ϕ cos θ sin θ = 7 sin θ Nu is (ε = ±) π Φ = 7ε = 54πε = 54πε bgcos bgcos dϕ [ cos θ cos θ sin θdθ ( cos θ)d cos θ = 54πε( 8 + ) ] bgcos 4. Aangezien b a + geldt voor alle i dat b + i a + i +, en dus a + i + b + i.

10 Hieruit volgt dat Aangezien a(a + )(a + )...(a + n) b(b + )(b + )...(b + n) + n= a b + n a b + n. divergent is, volgt uit het vergelijkend criterium dat de gegeven reeks ook divergent is. 5. We nemen y als onafhankelijke variabele en zoeken x in functie van y. Dan is De differentiaalvergelijking wordt nu Stel z = x. Dan vinden we Integreren geeft en Nogmaals integreren geeft nu x = c y = x ; y = x ; y = x x. (y ) x x + y + x = (y + )z + (y + )z = dz z = y + dy = ( + y y )dy. ln z = y + ln(y ) x = z = c(y ) e y (y ) de y = c(y ) e y c (y )e y dy e y dy = c(y ) e y c(y )e y + c = c((y ) (y ) + )e y + d = c((y ) + )e y + d Ook y = c is een oplossing van de differentiaalvergelijking. 6. We herschrijven de differentiaalvergelijking als x y + (x x )y 6xy =. We zien dat x = een regelmatig singulier punt is, en stellen als oplossing voor y = c n x n+ρ n= 4

11 y = y = (n + ρ)c n x n+ρ n= (n + ρ)(n + ρ )c n x n+ρ n= We subsitueren dit in de differentiaalvergelijking (n+ρ)(n+ρ )c n x n+ρ + (n+ρ)c n x n+ρ+ n= n= n= (n + ρ)(n + ρ )c n x n + (n + ρ)c n x n+ n= n= (n + ρ)(n + ρ )c n x n + (n + ρ )c n x n n= Als we kijken naar de constante coëfficënten: ρ(ρ ) ρ = ρ(ρ ) = ρ = ρ =. Als we kijken naar de coëffiënten in x n vinden we (n+ρ)c n x n+ρ 6 c n x n+ρ+ =. n= n= n= (n + ρ)c n x n 6 c n x n+ =. n= n= (n + ρ)c n x n 6 c n x n =. ((n + ρ)(n + ρ ) (n + ρ))c n = ( (n + ρ ) + 6)c n. 4(4 n ρ) c n = (n + ρ)(n + ρ ) c n. Eerste geval: ρ =. De recursiebetrekking wordt: 4(4 n) c n = n(n ) c n. Merk op dat c 4 =, zodat de oplossing een veelterm van graad is, namelijk y = x 48x 64 x. Convergentiegebied: R (uiteraard, we hebben een veelterm). Tweede geval: ρ = /. De recursiebetrekking wordt: (5 n) c n = n(n + ) c n. De convergentiestraal van de machtreeks is R = c n n c n = n(n + ) n (5 n) = +. Het convergentiegebied is dus weer R. 5 n=

12 ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 8-9 de zittijd 8 augustus 9 Oefeningen Analyse I en II. Bereken de volgende iet, indien hij bestaat (x,y) (,) x sin y y + x /. Bepaal de cosinus en de tangens van de hoek(en) waaronder de grafieken van de functies f (x) = x x + en f (x) = x elkaar snijden.. Een reisbureau richt een busreis in. Het minimum aantal deelnemers is 5. In dat geval kost een ticket voor de reis AC per persoon. Als er meer dan 5 deelnemers zijn, daalt de prijs per deelnemer met AC per extra deelnemer boven de 5 deelnemers (bij 5 deelnemers betaalt iedereen 98AC, bij 5 deelnemers betaalt iedereen 96AC,...). Het maximum aantal deelnemers is 8. De reis kost aan het reisbureau 6AC plus AC per deelnemer. Bij hoeveel reizigers is de winst maximaal? 4. Ga na voor welke waarden van a R de integraal convergent is. + x a dx (x + ) 5/ 5. Bepaal de algemene integraal van de volgende differentiaalvergelijking y x y + (x + x) y =. 6. Bepaal de algemene integraal van de volgende differentiaalvergelijking y y + y = sh x. 7. Onderzoek de convergentie van volgende positieve reeks + n= (n + ) n n n+. 8. S is het deel van het oppervlak met vergelijking z = x + y waarvoor z 4, en v is het vectorveld v = y u + x u + (xz + y) u. Gebruik de formule van Stokes om de integraal rot v ndo op twee manieren te berekenen. S Tijd: vier uur ; vragen,,, 6 en 7: punten; vraag 4: 5 punten; vraag 5: 7 punten; vraag 8: 8 punten; totaal: punten. Syllabus en oefeningenboek mogen gebruikt worden; zakrekenmachine en opgeloste oefeningen mogen niet gebruikt worden.

13 Oplossingen. Voor elke (x, y) (, ) hebben we x sin y y + x = x / x/ y + x sin y x/, aangezien x / y + x en sin y. Aangezien volgt uit de sandwichstelling dat (x,y) (,) x/ = (x,y) (,) x sin y y + x / =. We bepalen eerst de snijpunten van de krommen C en C : Methode Raaklijn l in (, ) aan C : x y = Raaklijn l in (, ) aan C : x y = Richtingsvector van l : r = ( u u )/ Richtingsvector van l : r = ( u u )/ Als α de hoek tussen l en l is, dan is Methode Zij α i de hoek tussen l i en de x-as. Dan is x = x x + x x + x = x (x ) + (x ) = (x + )(x ) = x =, y = cos α = r r = 5. tg α = f () = ; tg α = f () =. Dan is en dan is tg α = tg (α α ) = tg α tg α + tg α tg α = + = cos α = + tg α = 5.

14 . Stel x het aantal deelnemers aan de reis. Het reisbureau heeft volgende inkomsten uit de verkoop van de ticketten x( (x 5)) De uitgaven bedragen De winst die geboekt wordt is dus (in AC): Stationaire punten: 6 + x f(x) = x( (x 5)) x 6 = 68x x 6 f (x) = 68 4x =, x = 67. Omdat f (x) = 4 < bereikt f een maximum in x = 67. Merk tenslotte op dat x een natuurlijk getal tussen 5 en 8 is. 4. We onderzoeken eerst de convergentie van de oneigenlijke integraal van de tweede soort I = x a dx. (x + ) 5/ Zolang a is dit een gewone integraal van een continue functie op [, ], en stelt het probleem van convergentie zich niet We bekijken het geval a <. Aangezien x + (x + ) 5/ = bestaat er een δ > zodat < x < δ = < (x + ) 5/ <. Eerste geval: a (, ). < x < δ = x a (x + ) 5/ < xa. Omdat xa dx convergent is, convergeert dus ook I. Tweede geval: a (, ). < x < δ = Omdat xa dx divergent is, divergeert dus ook I. x a (x + ) 5/ > xa. Nu onderzoeken we de convergentie van de oneigenlijke integraal van de eerste soort I = + x a dx. (x + ) 5/ Eerste geval: α = 5/ a > a < /. Voor elke x > hebben we x a xa < (x + ) 5/ x = 5/ x. α

15 Omdat + dx x α convergent is, vinden we dat ook I convergent is. Tweede geval: α = 5/ a < a > /. Voor elke x > hebben we x a (x + ) 5/ > xa = 5/ (x) 5/ x. α Omdat + divergent is, vinden we dat ook I divergent is. De gegeven integraal I = + dx x α x a dx (x + ) 5/ convergeert als en alleen als I en I convergeren. Uit bovenstaande berekeningen volgt dat dit het geval is als en alleen als a (, /). 5. Dit is een vergelijking van Bernoulli. Substitutie: De vergelijking wordt: We integreren eerst de homogene vergelijking: z = y, z = y. z x z = x x. z z = x ln z = x + ln c z h = ce x. Om een particuliere integraal te vinden passen we de methode van de variatie van de constante toe: Subsitutie in de vergelijking levert: z p = c(x)e x. xc (x)e x = x x c(x) = ( + x x )e dx

16 Substitutie: u = x, x = u, dx = udu. c(x) = ( + u )e u udu = (u + u )de u = (u + u )e u ( + u)e u du = (u + u )e u + ( + u)e u e u du = (u + 4u + 4)e u z p = x + 4 x + 4 y = (x + 4 x Ce x ) 6. We integreren eerst de homogene vergelijking. De karakteristieke vergelijking is (λ ) =. λ = is een dubbele wortel en de integraal van de homogene vergelijking is y h = (Ax + B)e x. We zoeken een particuliere integraal van de vorm Invullen in de vergelijking geeft Tenslotte y p = Ax e x + Be x y p = (Ax + Ax )e x Be x y p = ((A + 4Ax + Ax )e x + Be x Ae x + 4Be x = e x e x A = ; B = 4 y = ( x + Ax + B)ex 4 e x 7. We passen het vergelijkend criterium toe. De harmonische reeks n= is divergent, en n We besluiten dat divergent is. n (n+) n n n+ n = n (n + ) n n n n= = n ( + n )n = e (, + ). (n + ) n n n+ 4

17 8. De vergelijking van de rand C van S is x = 4 cos θ y = 4 sin θ z = 4 waarbij θ loopt van tot π. Uit de kurketrekkerregel volgt dan dat de eenheidsnormaal n op S naar boven gericht moet zijn. De formule van Stokes luidt dan als volgt: v d r = rot v ndo We berekenen eerst het linkerlid: v d r = C C π = 6 θ= π S ydx + x dy = 6π + 64 π sin θdθ + 64 π De vergelijking van S is, in parametervorm, x = r cos θ y = r sin θ z = r cos θd sin θ ( sin θ)d sin θ = 6π waarbij θ loopt van tot π, en r van tot 4. We berekenen u u u rot v = x y z y x xz + y = u z u + (x ) u en rot v r r r z x = θ cos θ sin θ r sin θ r cos θ = r(x ) + (rz sin θ r cos θ) Uit de rechterhandregel volgt dat de normaal naar boven gericht is, en dus rot v ndo = S = 4 4 = r cos θ r + r sin θ r cos θ π dr dr π r r r θ dθrot v r r r θ dθ(r cos θ r + r sin θ r cos θ) We splitsen de integraal op in de som van vier integralen. Omdat π cos θdθ = π sin θdθ = zijn drie van de vier integralen gelijk aan, en vinden we 4 π rot v ndo = rdr dθ = 6π. S 5