Oefeningen Wiskundige Analyse I

Transcriptie

1 Oneigenlijke integralen Oefeningen Wiskundige Analyse I. Voor welke waarden van de reële parameters α en β is de oneigenlijke integraal x α ( + x β ) dx convergent? divergent? 2. Voor welke waarden van de positieve parameter a is de oneigenlijke integraal ln x x 2 a dx 2 convergent? divergent? 3. Onderzoek de convergentie van de oneigenlijke integraal x m en bepaal desgevallend haar waarde. 4. Druk het resultaat van de integraal uit m.b.v. de Γ-functie. π/2 exp ( ax n ) dx sin 2m t cos 2n t dt 5. Toon aan dat 2 2p Γ(p)Γ(p + 2 ) = π Γ(2p). Aanwijzing: gebruik de integralen π/2 sin 2p x dx en π/2 sin 2p 2x dx 6. (i) Toon aan dat de oneigenlijke integralen lim C(x) = x x + 2π convergeren en bepaal hun waarden. cos t dt en lim S(x) = x t x + 2π sin t t dt

2 (ii) Toon aan dat de oneigenlijke integraal exp (it) t dt convergeert en bepaal haar waarde. (iii) Toon aan dat de oneigenlijke integraal exp (ix 2 ) dx convergeert en bepaal haar waarde. (iv) Toon aan dat de oneigenlijke integraal x exp (i(x 2 + x)) dx divergeert. 7. Onderstel dat f fouriertransformeerbaar is en reëelwaardig (f : R R). Toon aan dat als f een even (respectievelijk oneven) functie is, haar fourierbeeld een reële (respectievelijk zuiver imaginaire) functie is. 8. Bepaal het fourierbeeld f(ω) van de functie f gegeven door: f(t) = max( t, ), t R. De functie w(ω) = 2π f( ω ) wordt de Fejér functie genoemd; toon aan 2π dat w(ω) dω = 2π. 9. Bepaal het fourierbeeld G(ω) van de functie g(t) = (+t 2 ) 2, t R. Antwoord: G(ω) = π ( + ω ) exp( ω ) 2

3 . Gegeven: F (ω) = Y (a ω ), ω R. (i) Bepaal een fourierorigineel f(t). (ii) Ga na of f aan de voorwaarden van de inversieformule voldoet. (iv) F is niet continu op R. Is dit in tegenspraak met de eigenschappen van een fourierbeeld?. Bepaal de laplacebeelden van de functies en f(t) = exp( t) (cos t sin t) Y (t), g(t) = exp( t) sin t Y (t), en geef telkens de absolute convergentie-abscis aan. Merk dan op dat g (t) = f(t) in R en controleer de stelling over de laplacegetransformeerde van een afgeleide. Antwoord: z F (s) = z 2 + 2z + 2 G(s) = z 2 + 2z + 2 in in Rz > Rz > 2. Bepaal het(de) origineel(elen) van het laplacebeeld: 3z 2 z 3 + z 2 4z 4 m.b.v. splitsing in partieelbreuken met gekende originelen. Antwoord: 3. Gegeven: Y (t) ( exp( t) + 3 exp( 2t) + exp(2t)) * de functie f(t) is laplacetransformeerbaar in Re z > γ f ; * f is periodiek met periode T : f(t + T ) = f(t), t >.

4 (i) Toon aan dat (ii) Bepaal γ f. F (z) = exp( T z) (iii) Pas dit toe op f(t) = sin t. T f(t) exp( zt) dt. (iv) Is het mogelijk een analoge formule op te stellen voor de fouriertransformatie? 4. Gegeven is de causale functie f met absolute convergentie-abscis γ f. (i) Toon aan dat voor x > γ f L[f(t)](z) = F[f(t) exp( xt)](y). (ii) Bepaal de fourieroriginelen van ( + iωτ) 2 en ( + iωτ) 3. (τ > ) Antwoord: t τ Y (t/τ) exp( t/τ) resp. t 2 Y (t/τ) exp( t/τ) 2 2τ 3 5. De causale functie f(t) is continu in [, + [ en bezit het laplacebeeld F (z) in {z C : Rez > }. Van welke causale functie(s), continu in R, is F (z) het laplacebeeld z en in welk deel van het complexe vlak bestaat dit beeld? 6. De causale functie f en haar afgeleide f zijn beide continu in [, + [, zijn beide laplacetransformeerbaar in {z C : Rez > }, en zijn beide fouriertransformeerbaar. We noteren het laplacebeeld van f als L(z), functie die wordt ondersteld gekend te zijn in {z C : Rez > }. Gevraagd:

5 (i) Toon aan dat de oneigenlijke integraal f (t) dt convergeert; bepaal haar waarde. (ii) Bepaal lim t + f(t). (iii) Bepaal het fourierbeeld van f. (iv) Bepaal het fourierbeeld van f. 7. Gegeven is de causale functie f die ondersteld wordt laplacetransformeerbaar te zijn in Re z > ; het laplacebeeld wordt L(z) genoteerd. Gevraagd: (i) Onderzoek de convergentie van de oneigenlijke integraal f(t) dt (ii) Onderzoek de convergentie van de oneigenlijke integraal f(t) dt (iii) Onderzoek de fouriertransformeerbaarheid van de functie f en, indien f fouriertransformeerbaar is, stel dan een formule op die het fourierbeeld van f uitdrukt als functie van L. (iv) Bepaal het laplacebeeld van de functie f(t) = exp ( t ) Y (t) (Y is de heavisidefunctie) en ook haar fourierbeeld met de behulp van de formule uit (iii). 8. Gegeven is de functie f die aan de volgende voorwaarden voldoet: (i) f is causaal; (ii) f is continu in ], a[ en in ]a, + [ en vertoont in a een sprongpunt; (iii)f is continu in ], a[ en in ]a, + [; (iv) lim t + f(t) = ; (v) f is fouriertransformeerbaar met fourierbeeld F (ω).

6 Onderzoek de fouriertransformeerbaarheid van f en stel desgevallend een formule op die het fourierbeeld van f uitdrukt met behulp van F. 9. Gegeven is de functie f die aan de volgende voorwaarden voldoet: (i) f is causaal; (ii) f is begrensd in [, + [; (iii) f is continu in ], a[ en in ]a, + [ en vertoont in a een sprongpunt; (iv)f is continu in ], a[ en in ]a, + [; (v) f is laplacetransformeerbaar in Re z > met laplacebeeld L(z). Onderzoek de laplacetransformeerbaarheid van f en stel desgevallend een formule op die het laplacebeeld van f uitdrukt met behulp van L.