QuizAnalyseHoofdstuk2 - wv -Brackx

Transcriptie

1 QuizAnalyseHoofdstuk2 - wv -Brackx Voor de rij van reële getallen u n is gegeven dat: liminf u n = α < β = limsup u n Deze rij u n convergeert naar een limiet die tussen α en β in gelegen is. Een begrensde divergente rij van reële getallen heeft steeds een limsup en een liminf. Een divergente rij van reële getallen heeft steeds een limsup en een liminf. Onderstel dat de rij u n convergeert; er geldt: liminf u n < lim u n < limsup u n. Onderstel dat de rij u n convergeert; er geldt: liminf u n <= lim u n <= limsup u n. Opdat een begrensde rij van reële getallen zou convergeren is het nodig en voldoende dat haar limsup en liminf samenvallen. Bij een divergente rij kunnen liminf en limsup samenvallen. Er bestaat een divergente rij u n waarvoor : liminf(u n ) > limsup(u n ) Elke monotone begrensde rij is convergent. Er bestaan monotoon dalende rijen van reële getallen die niet convergeren. Als de rij ( a n ) convergeert naar α dan zal de rij (a n ) convergeren naar α. Als een rij van reële getallen convergeert naar L dan zal elke deelrij convergeren naar dezelfde limiet L. Elke monotoon stijgende rij van negatieve getallen is convergent. Als een rij van reële getallen divergeert dan zal elke deelrij ervan divergeren. Er bestaan monotoon dalende rijen van positieve getallen die niet naar nul convergeren.

2 Elke convergente rij van reële getallen is begrensd. Er bestaan monotoon stijgende rijen van negatieve getallen die niet naar nul convergeren. Voor elk reëel getal bestaat een monotoon dalende rij van rationale getallen die naar dit reëel getal convergeert. Als een rij van reële getallen convergeert dan zal elke deelrij naar dezelfde limiet convergeren. De rij van complexe getallen (z n ) convergeert voor alle complexe z Elke begrensde rij van reële getallen is convergent. Een divergente rij kan een convergente deelrij bezitten. De rij van complexe getallen (z n ) divergeert als z >1. De rij van complexe getallen (z n ) convergeert als z <1. Een dalende rij van rationale getallen is steeds convergent. Een rij van complexe getallen kan convergeren naar twee verschillende limieten. De limiet van een convergente monotoon stijgende rij van rationale getallen is een rationaal getal. Een dalende rij van reële getallen die niet naar beneden begrensd is, divergeert en streeft naar - oneindig. Als een rij van reële getallen convergeert naar L dan zal elke deelrij eveneens convergeren maar niet noodzakelijk naar L.

3 Als een rij convergeert dan is ze begrensd en monotoon. Als de rij ( a n ) convergeert naar 0 dan zal de rij (a n ) convergeren naar 0. Voor elk irrationaal getal bestaat een monotoon dalende rij van rationale getallen die naar dit irrationaal getal convergeert. De rij van complexe getallen (z n ) convergeert als z <1. Als de numerieke reeks Σ a n absoluut convergeert en voor alle n geldt dat 0 < a n < b n dan zal de reeks Σ b n convergeren. Σ c n convergeert voor alle complexe c waarvoor c < 1. Als de numerieke reeks Σ b n convergeert en de rij (a n /b n ) convergeert naar L, L verschillend van nul, dan zal de reeks Σ a n divergeren. Het is mogelijk dat de numerieke rij (a n ) naar nul convergeert terwijl de numerieke reeks Σ a n divergeert. Σ c n convergeert voor alle complexe c waarvoor c < = 1. Als de rij van reële getallen a k convergeert naar 0, dan zal de numerieke reeks betrekkelijk convergeren. Als alle termen van de rij (a n ) voldoen aan a n 1/n < 1, dan zal de reeks Σ a n convergeren. Beschouw twee rijen van positive getallen; als de numerieke reeks Σ b n convergeert en de rij (a n /b n ) convergeert naar L, L verschillend van nul, dan zal de reeks Σ a n convergeren. Als de numerieke rij (a n ) convergeert naar nul, dan zal de numerieke reeks Σ a n convergeren.

4 Als de numerieke reeks Σ a n convergeert en de rij (a n /b n ) convergeert naar nul dan zal de reeks Σ b n divergeren. Als een numerieke reeks convergeert, dan convergeert de rij van de termen naar 0. Als de numerieke reeks Σ a n absoluut convergeert en voor alle n geldt dat 0 < a n < b n dan zal de reeks Σ b n convergeren. Als alle termen van de rij (a n ) voldoen aan a n 1/n > 1, dan zal de reeks Σ a n divergeren. De rij (a n = (1 + 1/n) n ) divergeert en streeft naar + oneindig. Als alle termen van de rij (a n ) voldoen aan a n 1/n > 1, dan zal de reeks Σ a n divergeren. divergeert als α <= 1. De rij (a n = (1 + 1/n) n ) convergeert. Opdat de numerieke reeks zou convergeren is het nodig en voldoende dat convergeert. convergeert absoluut.

5 Als de rij van reële getallen a k convergeert naar 0, dan zal de numerieke reeks convergeren. Als (u n ) een stijgende rij van negatieve getallen is die naar nul convergeert, dan zal de wisselreeks Σ (-1) n u n convergeren. De rij van reële getallen (x 1/n ) convergeert naar 1 voor alle positieve x. De rij van reële getallen convergeert naar nul. convergeert als α > 1. De rij (1;-1; 1; -1; 1; -1;...; (-1) n-1 ;...) convergeert naar ½. Als (u n ) een dalende rij is dan zal de wisselreeks Σ (-1) n u n convergeren. convergeert als α >= 1. Opdat de rij u n =a n zou divergeren is het nodig en voldoende dat a > 1.

6 Als alle termen van de rij (a n ) voldoen aan a n+1 /a n > 1, dan zal de reeks Σ a n divergeren. convergeert absoluut. Als alle termen van de rij (a n ) voldoen aan a n+1 /a n < 1, dan zal de reeks Σ a n convergeren. De rij (a n = 1 + 1/2+ 1/ /n) divergeert. Als x>1 dan is de rij van reële getallen (x 1/n ) divergent. convergeert betrekkelijk. Een dalende rij van reële getallen die naar beneden begrensd is, convergeert naar haar infimum. Elke rij die naar boven begrensd is, convergeert naar haar supremum.