Oneindig in Wiskunde & Informatica. Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft. Tom Verhoeff

Transcriptie

1 Oneindig in Wiskunde & Informatica Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft Tom Verhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica c 2007, T. TUE.NL /39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

2 Eindige en oneindige getallen c 2007, T. TUE.NL 2/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

3 Top tien van getallen (Clifford Pickover, 200) π Archimedes, Ludolph 3. e Napier, Euler 4. i Gauss Pythagoras γ Euler, Mascheroni 9. Ω onberekenbaar Chaitin 0. ℵ 0 oneindig Cantor c 2007, T. TUE.NL 3/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

4 Getallen verzameld N Natuurlijke getallen: 0,, 2,... Z Gehele getallen:..., 2,, 0,, 2, 3,... Q Rationale getallen:..., 7 2 3,..., 2,..., 355 3,... R Reële getallen:..., γ,..., 2,..., e,..., π,..., Ω,... C Complexe getallen:..., i,..., +i 2,... Keten van uitbreidingen: N Z Q R C c 2007, T. TUE.NL 4/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

5 Geneste verzamelingen van getallen N Z Q R C Ω γ? log 2 2 φ e π i +i 2... ℵ 0 c 2007, T. TUE.NL 5/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

6 Getallen als meetkundige punten: topologische structuur i +i γ 2 e π i i c 2007, T. TUE.NL 6/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

7 Punt(en) op oneindig toevoegen + O O c 2007, T. TUE.NL 7/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

8 Bewerkingen op getallen: algebraïsche structuur N : a+b (optellen), a b (vermenigvuldigen), a b (machtsverheffen) Z : a b (aftrekken: a = x+b ) Q : a/b (delen: a = x b ) R : b a (worteltrekken: a = x b ), log b a (logaritme: a = b x ) C : nulpunten van polynomen, bijv. x 2 + = 0 c 2007, T. TUE.NL 8/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

9 Potentieel oneindige processen (...) π 4 = ± 2 π = e = = c 2007, T. TUE.NL 9/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

10 Oneindig bij limiet van rij (n ), 2, 3, 4, = lim n n ( + ), ( + 2) 2, ( + 3) 3,... e NIET: e = lim n ( + ) n n NIET: ( + ) c 2007, T. TUE.NL 0/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

11 Oneindig bij limiet van reeks ( k= ) n 2 n = k= 2 k = 2 n = k= 2 k = = k= k = c 2007, T. TUE.NL /39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

12 Fictieve oneindige getallen Topologisch: limiet Al dan niet onderscheid tussen en + Algebraïsch: bestaat niet =? ofwel? + = c 2007, T. TUE.NL 2/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

13 Echte oneindige getallen Kardinaalgetallen als maat voor grootte van verzamelingen: 0,, 2, 3,..., ℵ 0,... Gelijkmachtigheid : correspondentie Ordinaalgetallen als maat voor rangorde: eerste, tweede,..., ω,..., ɛ 0,... Wel-geordende rij : lineair, elke deelrij heeft minimum c 2007, T. TUE.NL 3/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

14 Kardinaalgetallen: aftelbaarheid N = { } N + = { } N even = { } Z = { } Q + = { } N = ℵ 0 c 2007, T. TUE.NL 4/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

15 Kardinaalgetallen: overaftelbaarheid a V deelverzameling S a V ? complement van diagonaal V < 2 V = 2 V ℵ 0 = N = Z = Q < R = C = 2 ℵ 0 = c c 2007, T. TUE.NL 5/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

16 Informatica: Eindiging van reken processen Termherschrijfsysteem: Begin met eindig rijtje over { a, b, c } Vervang herhaaldelijk deelrijtjes: aa bc bb ac cc ab Voorbeeld: bbaa bbbc bacc baab bbcb accb aabb aaac abcc abab Eindigt dit voor elk beginrijtje? c 2007, T. TUE.NL 6/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

17 Knikkerspel Pak telkens een knikker: Verwijder m Eindigt dit? Na hoeveel zetten? c 2007, T. TUE.NL 7/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

18 Knikkerspel Pak telkens een knikker: Als blauw, dan verwijderen Als wit, dan vervangen door één blauwe c 2007, T. TUE.NL 8/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

19 Knikkerspel Pak telkens een knikker: Als blauw, dan verwijderen Als wit, dan vervangen door willekeurig eindig aantal blauwe c 2007, T. TUE.NL 9/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

20 Knikkerspel analyse W witte knikkers B blauwe knikkers Spel. Eindigt na W + B stappen Spel 2. Eindigt na 2 W + B stappen Spel 3. Eindigt na ten hoogste ω W + B stappen 2. W B c 2007, T. TUE.NL 20/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

21 Lottobalspel Pak telkens een N-genummerde lottobal: Vervang door willekeurig aantal met kleinere waarden d.w.z. (n) vervangen door (<n) (<n) (<n) c 2007, T. TUE.NL 2/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

22 Opvolger ( erbij): a Bewerkingen op natuurlijke getallen Optellen (herhaald erbij): a + b = a b {}}{ Vermenigvuldigen (herhaald optellen): a b = b {}}{ a + + a a 0 = 0 a = a a b = a b + a a (b + c) = a b + a c Machtsverheffen (herhaald vermenigvuldigen): a b = a 0 = a = a a b = a b a a b+c = a b a c b {}}{ a a c 2007, T. TUE.NL 22/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

23 Decimale notatie Ieder natuurlijk getal is op unieke wijze te schrijven als som van machten van 0 met coëfficiënten < 0. Voorbeeld: 266 = = = c 2007, T. TUE.NL 23/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

24 Notatie in grondtal G 2 Ieder natuurlijk getal is op unieke wijze te schrijven als som van machten van G met coëfficiënten < G. Voorbeeld met G = 2 (binair ): 266 = = Voorbeeld met G = 3 (ternair ): 266 = = c 2007, T. TUE.NL 24/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

25 Super-G-notatie met grondtal G 2. Noteer in grondtal G. 2. Herhaal met de exponenten. 3. Stop zodra alle getallen G. Voorbeeld: G = 2 G = = = = = = c 2007, T. TUE.NL 25/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

26 Goodstein-rij van N > 0 en G 2 N = 8 G = 2. Schrijf N in super-g-notatie. 8 = Vervang hierin elke G door G = 8 3. Verminder met ; geeft nieuwe N. N = Verhoog G met. G = 3 5. Stop als N = 0, anders vanaf stap herhalen. c 2007, T. TUE.NL 26/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

27 Goodstein-rij bij N = 266 en G = 2 Volgnr. N G (39 cijfers) (67 cijfers) (> cijfers) c 2007, T. TUE.NL 27/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

28 Stelling van Goodstein (944) Elke Goodstein-rij eindigt met N = 0. t Kan even duren: N = 3, G = 2 eindigt na 5 stappen N = 4, G = 2 eindigt na stappen c 2007, T. TUE.NL 28/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

29 Bewijsbaarheid van Stelling van Goodstein Stelling van Kirby en Paris (982): De Stelling van Goodstein volgt niet uit de Peano Axioma s. Gewone inductie is niet toereikend, Goodstein rij groeit te snel. Elk bewijs van de Stelling van Goodstein vergt (een vorm van) transfiniete inductie zoals met ordinaalgetallen. c 2007, T. TUE.NL 29/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

30 Ordinaalgetallen t/m ω Ordinaalgetal is verzameling van al zijn voorgangers : 0 = { } = { 0 } 2 = { 0, } 3 = { 0,, 2 }. N = { 0,, 2,..., N }. ω = { 0,, 2,... } ω is kleinste oneindige ordinaalgetal: N < ω voor alle N N c 2007, T. TUE.NL 30/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

31 Rekenen met ordinaalgetallen Opvolger ( erbij): α = α { α } Limiet : α A α, 2,... ω = α ω α Optellen (herhaald erbij) Vermenigvuldigen (herhaald optellen) Machtsverheffen (herhaald vermenigvuldigen) c 2007, T. TUE.NL 3/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

32 Meer oneindige ordinaalgetallen ω, ω +, ω + 2, ω 2 +, ω 2 + 2,..., ω + ω = ω 2..., ω 2 + ω = ω 3..., ω 4,..., ω 5, 2..., ω ω = ω 2 ω 2 +,..., ω 2 + ω, 2..., ω 2 + ω 2 = ω , ω 2 3, 2..., ω 2 4, 3..., ω 2 ω = ω , ω 4, 5..., ω 5, ω..., ω ω c 2007, T. TUE.NL 32/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

33 Normaalvorm voor ordinaalgetallen < ω ω Normaalvorm van α < ω ω : α = ω k c k + ω k c k + + ω 2 c 2 + ω c + c 0 waarbij k en alle c i eindig zijn. Vergelijk met decimale notatie : N = 0 k c k + 0 k c k c c + c 0 waarbij 0 c i < 0, maar nu onbegrensde coëfficiënten. Zelfde structuur als eindige lijst natuurlijke getallen: [c k, c k,... c, c 0 ]. c 2007, T. TUE.NL 33/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

34 Op naar epsilon nul 0,,..., ω,..., ω 2,..., ω 2,..., ω ω ω ω +,..., ω ω 2..., ω ω ω = ω ω+..., ω ω 2,..., ω ω2,..., ω ωω..., ω ωωω,..., ω ωωω... }{{} ω = ɛ 0 ɛ 0 is kleinste oplossing van α = ω α c 2007, T. TUE.NL 34/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

35 Normaalvorm voor ordinaalgetallen < ɛ 0 Normaalvorm van α < ɛ 0 : α = ω β k c k + ω β k c k + + ω β 0 c 0 waarbij k en alle c i eindig zijn en c i 0, en α > β k > β k > > β 0 Vergelijk met super-g-notatie, maar nu onbegrensde coëfficiënten. Zelfde structuur als een boom met positieve natuurlijke getallen. c 2007, T. TUE.NL 35/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

36 Bewijs van Stelling van Goodstein Schrijf N in super-g-notatie. Vervang hierin iedere G door ω. Het resultaat f(n, G) is een ordinaalgetal < ɛ 0. Bijvoorbeeld: f(266, 2) = ω ωω+ + ω ω+ + ω Claim: Als N, G de opvolger in de Goodstein-rij bij N, G is, dan is f(n, G ) < f(n, G) Ordinaalgetallen zijn welgeordend : elke dalende rij eindigt. c 2007, T. TUE.NL 36/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

37 Samenvattend is geen getal (algebra), wel limiet (topologie) Kardinaalgetallen (aantal): 0,, 2, ℵ 0, ℵ, 2 ℵ 0 = c,... Ordinaalgetallen (rangorde): 0,, 2, ω, ω +, ω 2, ω 2, ω ω, ω ωω... = ɛ 0, ɛ 0 +,... c 2007, T. TUE.NL 37/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

38 Filosofische (na)beschouwingen Grootte van het wiskundige universium van Brouwer : eindig met specifieke bovengrens Baire : eindig zonder specifieke bovengrens Borel : aftelbaar oneindig (ℵ 0, d.w.z. met heel N) Lebesgue : c = 2 ℵ 0, gelijkmachtig met het continuum R Zermelo : alomvattend c 2007, T. TUE.NL 38/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica

39 Vragen? c 2007, T. TUE.NL 39/39 Oneindig in Wiskunde & Informatica