Uitslag Instaptoets Analyse ( ) 1 d 12 c 2 b 13 b 3 c 14 c 4 a 15 a 5 d 16 a 6 b 17 b 7 b 18 d 8 c 19 d 9 c 20 a 10 a 21 a 11 d 22 c September

Transcriptie

1

2

3

4

5

6

7

8 Uitslag Instaptoets Analyse ( ) 1 d 12 c 2 b 13 b 3 c 14 c 4 a 15 a 5 d 16 a 6 b 17 b 7 b 18 d 8 c 19 d 9 c 20 a 10 a 21 a 11 d 22 c September 11,

9 Stelling (formule) van de Moivre Uit de eigenschappen van modulus en argument volgt: (cos φ + i sin φ) n = cos(nφ) + i sin(nφ) voor alle hoeken φ R en n Z. Abraham de Moivre ( ) September 4,

10 Formule van Euler Definitie e iφ = cos φ + i sin φ Eigenschappen e iφ = e iθ φ = θ + 2πk e iφ = 1. (k Z). Leonard Euler ( ) e iφ e iθ = e i(φ + θ). (e iφ ) n = e inφ voor alle n Z. September 4,

11 Er zijn dus drie verschillende schrijfwijzen voor een complex getal z. z = a + bi, a, b R z = r(cos φ + i sin φ) met r = z en φ = arg z ( mod 2π) z = re iφ met r = z en φ = arg z ( mod 2π) September 4,

12 Tenslotte definiëren we e z door : e z = e a e ib voor z = a + bi, a, b R. Eigenschappen e 0 = 1. e z = e a en arg(e z ) = b ( mod 2π) voor alle z = a + bi, a, b R. e z = e w z = w + 2kπi voor zekere k Z. e z e w = e z+w voor alle z, w C. September 4,

13 Het oplossen van vergelijkingen Binomiale vergelijkingen z n = c waarbij c C en n N {0}. Exponentiële vergelijkingen e z = c waarbij c C {0}. Polynomiale vergelijkingen a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 = 0 waarbij a 0, a 1,, a n 1, a n C, a n = 0. September 4,

14 Binomiaalvergelijkingen De binomiaalvergelijking z n = c (c C, n N {0}) heeft precies n verschillende oplossingen. Hiernaast zijn getekend de 6 verschillende oplossingen van z 6 = 1 + i. September 4,

15 Exponentiële vergelijkingen De exponentiële vergelijking e z = c (c C {0}) heeft oneindig veel verschillende oplossingen. Hiernaast zijn getekend 5 verschillende oplossingen van e z = 1 + i. September 4,

16 Polynomiale vergelijkingen p(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 waarbij a 0, a 1,, a n 1, a n C, a n = 0 heet een polynoom van graad n met complexe coëfficiënten. Wat is er bekend over de nulpunten van dit polynoom? Anders gezegd: Wat is er bekend over de oplossingen of wortels van de polynomiale vergelijking p(z) = 0? September 4,

17 Een reststelling Als p een polynoom is van de graad n 1 en α 1 C dan bestaat er een polynoom q van de graad n 1 en een r C zodat p(z) = (z α 1 )q(z) + r. Hoofdstelling van de algebra Als p een polynoom is van de graad n 1 dan heeft p minstens één nulpunt α 1 C. Stelling Als p een polynoom is van de graad n 1 en α 1 is een nulpunt van p dan bestaat er een polynoom q van de graad n 1 zodat p(z) = (z α 1 )q(z). September 4,

18 Herhaalde toepassing van deze stelling geeft : p(z) = c(z α 1 )(z α 2 ) (z α n ) voor zekere c, α 1, α 2,, α n C, c = 0. September 4,

19 Partieel breuksplitsen Als p een polynoom is met reële coëfficiënten en α is een nulpunt van dit polynoom dan is α ook een nulpunt van dit polynoom. (z α)(z α) = z 2 + 2Reα z + α 2 en dus p(z) = (z 2 2Reα z + α 2 ) q(z) waarbij q een polynoom is van de graad n 2 met reële coëfficiënten. Ieder polynoom met reële coëfficiënten kan ontbonden worden in lineaire en kwadratische factoren met reële coëfficiënten. September 4,

20 Appendices A, B en C De representatie van reële getallen. Het oplossen van (on-)gelijkheden. De absolute waarde van een getal. Eerste en tweede graads vergelijkingen en hun meetkundige interpretaties. September 10,

21 De representatie van reële getallen Ieder rationaal getal is te schrijven als een repeterende breuk. 1 8 = = 0.3 Ieder irrationaal getal is niet te schrijven als een repeterende breuk. 3 = September 10,

22 Het noteren van verzamelingen A = {x N 1 < x 4} = {2, 3, 4} (a, b) = {x R a < x < b} of a, b = {x R a < x < b} (Open interval) [a, b] = {x R a x b} (Gesloten interval) [a, ) = {x R a x} of [a, = {x R a x} (Halfopen interval) September 10,

23 Rekenregels voor ongelijkheden Laten a, b, c, d R. Als a < b dan a + c < b + c. Als a < b en c < d dan a + c < b + d. Als a < b en c > 0 dan a c < b c. Als a < b en c < 0 dan a c > b c. Als 0 < a < b dan 1 a > 1 b. September 10,

24 De absolute waarde van een getal Definitie De absolute waarde van een reeël getal is het getal zonder zijn teken. a = { a als a 0 a als a < 0 a = sign(a) a waarbij 1 als a > 0 sign(a) = 0 als a = 0 1 als a < 0 September 10,

25 Eigenschappen a = a 2 voor alle a R. a b = a b. a = a voor alle a, b R, b = 0. b b a n = a n voor alle a R {0} en n Z {0}. a + b a + b voor alle a, b R. (De driehoeksongelijkheid) September 10,