Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica

Transcriptie

1 Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Oneindig

2 ... Oneindig 2

3 Top tien van getallen (Clifford Pickover, 200) π Archimedes, Ludolph 3. e Napier, Euler 4. i Gauss Pythagoras γ Euler, Mascheroni 9. Ω onberekenbaar Chaitin 0. ℵ 0 oneindig Cantor Oneindig 3

4 Getallen verzameld N Natuurlijke getallen: 0,, 2,... Z Gehele getallen:..., 2,, 0,, 2, 3,... Q Rationele getallen:..., 7 2 3,..., 2,..., 355 3,... R Reële getallen:..., γ,..., 2,..., e,..., π,..., Ω,... C Complexe getallen:..., i,..., +i 2,... Keten van uitbreidingen: N Z Q R C Oneindig 4

5 Geneste verzamelingen van getallen N Z Q R C γ?... Ω log 2 2 φ e π i +i 2... ℵ 0 Oneindig 5

6 Getallen als meetkundige punten: topologische structuur i +i γ 2 e π i i Oneindig 6

7 Bewerkingen op getallen: algebraïsche structuur N : a+b (optellen), a b (vermenigvuldigen), a b (machtsverheffen) Z : a b (aftrekken: a = x+b ) Q : a/b (delen: a = x b ) R : b a (worteltrekken: a = x b ), log b a (logaritme: a = b x ) C : nulpunten van polynomen, bijv. x 2 +=0 Oneindig 7

8 Potentieel oneindige processen (...) π 4 = π = e = = Oneindig 8

9 Oneindig bij limiet van rij (n ), 2, 3, 4, = lim n n ( + ), ( + 2) 2, ( + 3) 3,... e NIET: e = lim n ( + ) n n NIET: ( + ) Oneindig 9

10 Oneindig bij limiet van reeks ( k= ) n 2 n = k= 2 k = 2 n = k= 2 k = = k= k = Oneindig 0

11 Oneindige getallen Topologisch: limiet Algebraïsch: bestaat niet ( =?ofwel? + = ) Maat voor grootte van verzamelingen: kardinaalgetallen als ℵ 0 Maat voor ordeningen: ordinaalgetallen als ω en ɛ 0 Oneindig

12 Knikkerspel Pak telkens een knikker: Verwijder m Eindigt dit? Na hoeveel zetten? Oneindig 2

13 Knikkerspel 2 Pak telkens een knikker: Als blauw, dan verwijderen Als wit, dan vervangen door één blauwe Oneindig 3

14 Knikkerspel 3 Pak telkens een knikker: Als blauw, dan verwijderen Als wit, dan vervangen door willekeurig eindig aantal blauwen Oneindig 4

15 Knikkerspel analyse W witte knikkers B blauwe knikkers. Eindigt na W + B stappen 2. Eindigt na 2 W + B stappen 3. Eindigt na ten hoogste ω W + B stappen W B Oneindig 5

16 Lottobalspel Pak telkens een N-genummerde lottobal: Vervang door willekeurig aantal met kleinere waarden d.w.z. (n) vervangen door (<n) (<n)... (<n) Oneindig 6

17 Opvolger ( erbij): a Bewerkingen op natuurlijke getallen Optellen (herhaald erbij): a + b = a b {}}{... Vermenigvuldigen (herhaald optellen): a b = b {}}{ a a a 0=0 a =a a b = a b + a a (b + c) =a b + a c Machtsverheffen (herhaald vermenigvuldigen): a b = b {}}{ a... a a 0 = a = a a b = a b a a b+c = a b a c Oneindig 7

18 Decimale notatie Ieder natuurlijk getal is op unieke wijze te schrijven als som van machten van 0 met coëfficiënten < 0. Voorbeeld: 266 = = = Oneindig 8

19 Notatie in grondtal G 2 Ieder natuurlijk getal is op unieke wijze te schrijven als som van machten van G met coëfficiënten <G. Voorbeeld met G = 2(binair ): 266 = = Voorbeeld met G = 3(ternair ): 266 = = Oneindig 9

20 . Noteer in grondtal G. Super-G-notatie met grondtal G 2 2. Herhaal met de exponenten. 3. Stop zodra alle getallen G. Voorbeeld met G =2: 266 = = = Oneindig 20

21 Goodstein-rij van N>0 en G 2 N =8 G =2. Schrijf N in super-g-notatie. 8= Vervang hierin elke G door G =8 3. Verlaag nieuwe N met. N =80 4. Verhoog G met. G =3 5. Stop als N =0,anders vanaf stap herhalen. Oneindig 2

22 Goodstein-rij bij N = 266 en G =2 Volgnr. N G (39 cijfers) (67 cijfers) (> cijfers) Oneindig 22

23 Stelling van Goodstein (944) Elke Goodstein-rij eindigt met N = 0. t Kan even duren: N = 3,G = 2 eindigt na 5 stappen N =4,G =2eindigt na stappen Oneindig 23

24 Bewijsbaarheid van Stelling van Goodstein Stelling van Kirby en Paris (982): De Stelling van Goodstein volgt niet uit de Peano Axioma s. Gewone inductie is niet toereikend, Goodstein rij groeit te snel. Elk bewijs van de Stelling van Goodstein vergt (een vorm van) transfiniete inductie zoals met ordinaalgetallen. Oneindig 24

25 Ordinaalgetallen t/m ω Ordinaalgetal is verzameling van al zijn voorgangers : 0 = {} = { 0 } 2 = { 0, } 3 = { 0,, 2 }. N = { 0,, 2,..., N }. ω = { 0,, 2,...} ω is kleinste oneindige ordinaalgetal: N < ω voor alle N N Oneindig 25

26 Rekenen met ordinaalgetallen Opvolger ( erbij): α = α {α } Limiet : α A α, 2,..., ω Optellen (herhaald erbij) Vermenigvuldigen (herhaald optellen) Machtsverheffen (herhaald vermenigvuldigen) Oneindig 26

27 Meer oneindige ordinaalgetallen ω, ω +, ω +2, ω 2+, ω 2+2,..., ω + ω = ω 2..., ω 2+ω = ω 3..., ω 4,..., ω 5, 2..., ω ω = ω 2 ω 2 +,..., ω 2 + ω, 2..., ω 2 + ω 2 = ω , ω 2 3, 2..., ω 2 4, 3..., ω 2 ω = ω , ω 4, 5..., ω 5, ω..., ω ω Oneindig 27

28 Normaalvorm voor ordinaalgetallen <ω ω Normaalvorm van α<ω ω : α = ω k c k + ω k c k ω 2 c 2 + ω c + c 0 waarbij k en alle c i eindig zijn. Vergelijk met decimale notatie : N = 0 k c k +0 k c k c 2 +0 c + c 0 waarbij 0 c i < 0, maar nu onbegrensde coëfficiënten. Zelfde structuur als een lijst natuurlijke getallen: [c k,c k,...c,c 0 ]. Oneindig 28

29 Op naar epsilon nul 0,,..., ω,..., ω 2,..., ω 2,..., ω ω ω ω +,..., ω ω 2..., ω ω ω = ω ω+..., ω ω 2,..., ω ω2,..., ω ωω..., ω ωωω,..., ω ωωω... }{{} ω = ɛ 0 ɛ 0 is kleinste oplossing van α = ω α Oneindig 29

30 Normaalvorm voor ordinaalgetallen <ɛ 0 Normaalvorm van α<ɛ 0 : α = ω β k c k + ω β k c k ω β 0 c 0 waarbij k en alle c i eindig zijn en c i 0,en α>β k >β k >...>β 0 Vergelijk met super-g-notatie, maar nu onbegrensde coëfficiënten. Zelfde structuur als een boom met positieve natuurlijke getallen. Oneindig 30

31 Schrijf N in super-g-notatie. Bewijs van Stelling van Goodstein Vervang hierin iedere G door ω. Het resultaat ϕ(n, G) iseen ordinaalgetal <ɛ 0. Bijvoorbeeld: ϕ(266, 2) = ω ωω+ + ω ω+ + ω Claim: Als N,G de opvolger in de Goodstein-rij bij N, G is, dan is ϕ(n,g ) <ϕ(n, G) Ordinaalgetallen zijn welgeordend : elke dalende rij eindigt. Oneindig 3

32 Slot is geen getal (algebra), wel limiet (topologie) Ordinaalgetallen (rangorde): 0,, 2, ω, ω +, ω 2, ω 2, ω ω, ω ωω... = ɛ 0,... Kardinaalgetallen (aantal): 0,, 2, ℵ 0,2 ℵ 0 = c, ℵ,... Oneindig 32