INLEIDING TOT DE HOGERE WISKUNDE

Transcriptie

1 INLEIDING TOT DE HOGERE WISKUNDE DEEL : Analyse van functies van één veranderlijke Arno KUIJLAARS Stefaan POEDTS Departement Wiskunde, Katholieke Universiteit Leuven, Celestijnenlaan 200 B, 300 Heverlee

2 Voorwoord Wiskunde speelt een vitale rol achter de schermen van de moderne samenleving. Vrijwel alle aspecten van onze samenleving worden er door bepaald: van zware industrie tot sport, van shuttle-lanceringen tot telefoonconversaties, van medische diagnoses tot beurstransacties. Voor al deze problemen bestaan wiskundige modellen, waarin feiten omgezet werden in getallen en verbanden in vergelijkingen. Hiervoor wordt een aparte taal gebruikt waarin een probleem nauwkeurig geformuleerd kan worden, zonder dubbelzinnigheden. Vervolgens worden deze correct geformuleerde problemen opgelost met behulp van wiskundige technieken. Het relatief beperkte aantal wiskundige technieken nodig om de meest uiteenlopende problemen op te lossen, demonstreert de kracht en het enorme potentieel van de wiskundige modellering. Het doel van deze cursus wiskunde voor de ste bachelor Fysica, Informatica en Wiskunde is geenszins een volledig overzicht te geven van alle wiskundige concepten en technieken. Deze cursus moet eerder als een inleiding worden beschouwd. De concrete doelstellingen van deze cursus wiskunde zijn de volgende: de studenten een aantal basisconcepten en technieken bijbrengen en leren gebruiken in een aantal concrete toepassingen; de studenten overtuigen van de noodzaak de taal van de wiskunde met zorg te hanteren om problemen nauwkeurig te formuleren en hen deze taal leren gebruiken; de studenten laten kennismaken met de kracht van de abstracte wiskundige aanpak van problemen door aan te tonen dat zeer uiteenlopende problemen vaak met dezelfde wiskundige technieken kunnen worden opgelost; de studenten leren redeneren, analyseren en technieken bijbrengen om een uitspraak te bewijzen. De cursus is opgedeeld in twee delen. In dit eerste deel bespreken we kenmerken en toepassingen van functies van één veranderlijke. In het tweede deel wordt een aantal concepten en technieken van deel veralgemeend en toegepast op functies van meerdere veranderlijken. Nieuwe concepten worden eerst intuïtief aangebracht en daarna pas wiskundig exact gedefinieerd. Eigenschappen en definities worden uitvoerig geïllustreerd met voorbeelden en figuren. Eigenschappen worden bewezen en niet zonder meer aanvaard. Deze bewijzen moeten gezien worden als oefeningen in redeneren en analyseren. Ook concrete toepassingen van de aangeleerde wiskundige concepten komen aan bod. Deze cursustekst is gebaseerd op een vergelijkbare tekst die ontwikkeld is door collega Stefaan Poedts voor de cursus wiskunde voor de ste Kan. Bio-ingenieurs. Ik ben hem zeer erkentelijk voor het ter beschikking stellen van zijn werk. Arno Kuijlaars Kessel-Lo, 2 maart 2004

3 Inhoudsopgave De Getallenverzamelingen. Verzamelingen Verzamelingen Natuurlijke getallen en het principe van volledige inductie De natuurlijke getallen, N Bewijs door volledige inductie Gehele getallen en rationale getallen De gehele getallen, Z De rationale getallen, Q De verzameling van reële getallen, R Het volledig en totaal geordend veld (R, +,, ) Het binomium van Newton Absolute waarde en intervallen Absolute waarde Open en gesloten intervallen Omgevingen Complexe getallen, C Oefeningen Functies, Rijen, Continuïteit en Limieten Functies Definitie en kenmerken Bewerkingen op functies Reële functies van één reële veranderlijke Complexe functies Rijen Definitie en voorbeelden Kenmerken van rijen Rekenregels voor limieten van rijen Deelrijen Het O symbool Continuïteit Definities en voorbeelden Continuïteit van scalaire veelvouden, sommen en producten van functies en van samengestelde functies Twee belangrijke stellingen Continuïteit van inverse functie Limieten van functies Definities en voorbeelden i

4 ii Inhoudsopgave Rekenregels voor limieten Oefeningen Differentiaalrekening Afgeleide en afgeleide functie Definities en meetkundige betekenis Hogere orde afgeleiden Differentieerbaarheid en continuïteit Rekenregels voor afgeleiden Afgeleide van som, verschil, product en quotiënt Afgeleide van samengestelde functies. Kettingregel Middelwaardestellingen van de differentiaalrekening Kritieke punten De stellingen van Rolle, Lagrange en Cauchy De regels van de l Hôpital Verloop van functies, stijgende en dalende functies Oefeningen Reeksen en Machtreeksen 7 4. Rijen Reeksen Definities en kenmerken Convergentie van reeksen met niet-negatieve termen Convergentie van reeksen met algemene termen Machtreeksen Taylorveeltermen en Taylorreeksen Taylorveeltermen en de formule van Taylor Convergentie van Taylorreeksen Oefeningen Transcendente Functies De exponentiële functie: exp Definitie en kenmerken Maclaurinreeks en Maclaurinveeltermen voor e x Hyperbolische functies De logaritmische functie: ln Definitie en kenmerken De inverse hyperbolische functies De algemene exponentiële en de algemene logaritmische functie De functies a x en log a x Algemene machtsfunctie De goniometrische functies De functies sin en cos De functies tan, cotan, cosec en sec Inverse functies van de goniometrische functies: cyclometrische functies De exponentiële functie in het complexe vlak Toepassing: Lineaire differentiaalvergelijkingen Lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten De homogene vergelijking De niet-homogene vergelijking

5 Inhoudsopgave iii Variatie van de constanten Methode der onbepaalde coëfficiënten Oefeningen Grafieken van Functies en Vergelijkingen Systematisch onderzoek van grafieken van functies Convexiteit en buigpunten Asymptoten Kegelsneden Poolcoördinaten en parametervergelijkingen Poolcoördinaten en krommen Geparametriseerde krommen in R Oefeningen Integraalrekening Bepaalde integralen Riemann-integralen: begripsbepaling Een continue functie is Riemann-integreerbaar Meetkundige interpretatie van bepaalde integraal Primitieve functies, onbepaalde integralen en de hoofdstellingen van de integraalrekening Eigenschappen van bepaalde integralen Integratietechnieken Substitutiemethode en partiële integratie Integratie van rationale functies Integralen van goniometrische functies Oneigenlijke integralen Definities en voorbeelden Convergentiekenmerken De integraaltest De gamma functie Toepassingen op berekening van lengte, oppervlakte en volume De lengte van een kromme Oppervlakte van een deel van het platte vlak in poolcoördinaten Oppervlakte en volume van een omwentelingslichaam Toepassing op differentiaalvergelijkingen: Scheiding van veranderlijken Lijnelementenveld van x = f(x, t) Scheidbare veranderlijken Logistiek model Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde Oefeningen Index 336

6 iv Inhoudsopgave

7 Hoofdstuk De Getallenverzamelingen In dit eerste hoofdstuk wordt een aantal begrippen of termen ingevoerd die in het vervolg van deze basiscursus wiskunde frequent gebruikt zullen worden. We beschrijven eerst verzamelingen en relaties vanuit een algemeen gezichtspunt en maken daarbij een aantal notatieafspraken. Daarna komen de getallenverzamelingen aan bod die een vitale rol spelen bij het kwantitatief beschrijven van fenomenen. De reële getallen, die erg belangrijk zijn in dit deel van de cursus, worden zo in een context geplaatst en krijgen ook extra aandacht. In dit eerste deel van de cursus wiskunde worden immers reële functies van één reële veranderlijke bestudeerd. Het definitiegebied en het bereik van deze functies zijn beide deelverzamelingen van de verzameling van reële getallen. De reële getallen vormen dus de basis van de reële analyse en om deze reden worden in dit hoofdstuk de definities en de eigenschappen van reële getallen samengebracht die in het vervolg van deel worden gebruikt.. Verzamelingen.. Verzamelingen Definitie: Een verzameling is een geheel van aparte onderdelen, die men de elementen van die verzameling noemt. Hierbij dient de term onderdelen ruim opgevat te worden: het kunnen objecten zijn, maar ook dieren, mensen, enz. die één of meerdere gemeenschappelijke kenmerken hebben. Het betreft hier dus een zeer ruim begrip dat nauwkeurig beschreven dient te worden. Voor elk element moet het ondubbelzinnig vastliggen of het tot de verzameling behoort of niet. Hiertoe kan men de verzameling omschrijven door de eigenschappen waar haar elementen aan voldoen op te noemen, bv. A = {x x is een deler van 6}. Men kan ook haar elementen opnoemen, bv. A = {, 2, 3, 6}. We geven aan dat element x tot de verzameling A behoort met de symbolische notatie x A (lees: x is een element van A ) en we zeggen dan ook dat A het element x bevat. De notatie b / A daarentegen, geeft aan dat b niet tot A behoort ( b is geen element van A ). Het aantal elementen van verzameling A wordt genoteerd met #A (= 4 in het voorbeeld hierboven). De lege verzameling bevat geen elementen en wordt genoteerd met het symbool. Een verzameling die juist één element bevat, noemt men een singleton. Als alle elementen van A ook tot B behoren, noemt men A een deelverzameling van B, hetgeen men noteert met A B. We kunnen een aantal bewerkingen uitvoeren op verzamelingen die nieuwe verzamelingen opleveren: de doorsnede van twee verzamelingen A en B, A B, is de verzameling van objecten

8 2 Hoofdstuk die behoren tot A én B: A B = {x x A en x B}. De verzamelingen A en B zijn disjunct indien A B =. de unie, of ook wel vereniging van A en B, A B, is de verzameling van elementen die tot A of B behoren, waarbij de of niet exclusief wordt gebruikt (m.a.w. het element mag tot tot A of tot B of tot allebei behoren): A B = {x x A of x B}. het verschil van A en B, A \ B, is de verzameling van elementen van A die niet tot B behoren: A \ B = {x x A en x / B}. het cartesisch product van A en B, A B, is de verzameling van alle geordende tweetallen (koppels) (x, y) waarbij x tot A en y tot B behoort: A B = {(x, y) x A en y B}..2 Natuurlijke getallen en het principe van volledige inductie.2. De natuurlijke getallen, N De natuurlijke getallen worden gebruikt om te tellen. De verzameling van deze getallen wordt met N genoteerd: N = {0,, 2, 3, 4, 5,...}. Met de notatie N 0 bedoelt men de natuurlijke getallen zonder 0. (Let op dat in de internationale literatuur wordt meestal N gebruikt voor de natuurlijke getallen zonder 0 en N 0 voor de natuurlijke getallen met 0.) De verzameling N is oneindig groot. De natuurlijke getallen zijn op de gebruikelijke manier geordend. 0 is het kleinste element, dan komt, vervolgens 2, 3, enzovoorts. Elk natuurlijk getal n heeft ook een opvolger n +. De volgende eigenschap van de natuurlijke getallen is intuïtief duidelijk, maar we zullen ze hier niet bewijzen. Eigenschap.: Elke niet-lege deelverzameling van de natuurlijke getallen heeft een kleinste element..2.2 Bewijs door volledige inductie Nauw verwant met de natuurlijke getallen is het principe van volledige inductie. Deze bewijsvorm wordt vaak toegepast in de wiskunde. We geven er daarom eerst een algemene formulering van.

9 De Getallenverzamelingen 3 Stelling.2: Een uitspraak P (n) die afhangt van een natuurlijk getal n, geldt voor alle natuurlijke getallen indien aan de volgende twee voorwaarden voldaan is. De uitspraak P (0) is juist. Indien de uitspraak P (k) juist is voor zekere k 0, dan is de uitspraak P (k + ) eveneens juist. Bewijs: We geven een bewijs uit het ongerijmde. Dit wil zeggen dat we veronderstellen dat de stelling niet waar is. Uit deze (foute) veronderstelling gaan we vervolgens met een logische redenering tot een tegenspraak komen. De conclusie luidt dan dat de veronderstelling foutief moest zijn, en dus dat de stelling wel waar is. Veronderstel dus dat de stelling niet geldt. Er is bijgevolg een natuurlijke getal n 0 waarvoor P (n) niet geldt. De verzameling A = {n N P (n) is vals } is dus niet leeg. Uit Eigenschap. volgt dat A een kleinste element heeft. Het kleinste element van deze verzameling noteren we met n 0. Omdat P (0) juist is, is dan n 0 0. Dan is n 0 een natuurlijk getal en het is geen element van A. Dus is P (n 0 ) juist. Daar n 0 = (n 0 ) + volgt dat P (n 0 ) geldt. Dit is duidelijk in tegenspraak met n 0 A, zodat de veronderstelling fout is en de uitspraak P (n) geldt voor alle n. De eerste voorwaarde bij volledige inductie is dat P (0) juist is. Dit wordt de basisstap genoemd. De tweede voorwaarde is dat P (k) = P (k + ) voor elk natuurlijk getal k. Deze noemt men de inductiestap. In een bewijs dat gebaseerd is op het principe van volledige inductie zal men in de inductiestap aannemen dat P (k) juist is voor zekere k om daaruit P (k + ) te bewijzen. De aanname dat P (k) juist is noemt men de inductiehypothese. Het principe van volledige inductie kunnen we ook bij laten beginnen in plaats van bij 0. In dat geval is de basisstap dat P () juist is en de inductiestap is dat P (k) = P (k + ) juist is voor elke k N 0. Hieruit volgt dan dat de uitspraak P (n) juist is voor elke n N 0. Voorbeeld.: Als voorbeeld van het gebruik van het principe van volledige inductie bewijzen we dat voor elke n N 0 geldt n(n + ) n =. (.) 2 Bewijs: De uitspraak (.) noemen we P (n). Basisstap (P () is juist) P () is de uitspraak dat = 2 2 en dit is duidelijk juist. Inductiestap (Voor iedere k N 0 geldt P (k) P (k + )) Neem k N 0 en veronderstel dat P (k) juist is. Dat wil zeggen dat k = k(k + ). 2

10 4 Hoofdstuk Hieruit volgt Aangezien zien we dat k + (k + ) = k(k + ) 2 k(k + ) 2 + (k + ). ( ) k + k + = (k + ) 2 + (k + )(k + 2) = k + (k + ) = (k + )(k + 2) 2 en dit is precies de uitspraak P (k + ). Dus P (k + ) is juist. Conclusie Omdat de basisstap en de inductiestap bewezen zijn, geldt de uitspraak P (n) voor elke n N 0, vanwege het principe van volledige inductie. In (.) staat de som van de getallen, 2,..., n. Een kortere schrijfwijze hiervoor, die het gebruik van de puntjes + + vermijdt, maakt gebruik van het somteken Σ. Voor getallen a, a 2,..., a n noteren we n a k = a + a a n. (.2) k= De veranderlijke k die in deze notatie gebruikt wordt is de sommatieindex. Ze heeft zelf geen betekenis en kan door een andere letter vervangen worden op voorwaarde dat die letter ook zelf geen betekenis heeft. Zo is (.2) gelijk aan n j= a j waarbij we j als sommatieindex gebruiken. Het is echter niet mogelijk om n als sommatieindex te gebruiken. Het is niet noodzakelijk dat de sommatieindex begint bij. We kunnen (.2) ook bijvoorbeeld schrijven als n j=0 a j+. Gebruik makend van de somnotatie wordt de uitspraak (.) n k = k= n(n + ). 2 Op analoge wijze voeren we het productteken in voor het product van de getallen a, a 2,..., a n, n a j = a a 2 a n. j= Het speciale geval dat a j = j komt tamelijk veel voor en heeft daarom een aparte notatie n! = n j = 2 (n ) n. (.3) j= n! wordt uitgesproken als n-faculteit. (In het Engels: n-factorial.) We spreken ook af dat 0! =. (.4).3 Gehele getallen en rationale getallen Binnen N kunnen we twee getallen optellen en vermenigvuldigen. Het resultaat is weer een natuurlijk getal. We kunnen echter niet altijd aftrekken of delen. Zo zijn 2 5 en 5/4 niet gedefinieerd binnen N.

11 De Getallenverzamelingen 5.3. De gehele getallen, Z De verzameling Z van de gehele getallen is een uitbreiding van N met negatieve gehele getallen: Z = {..., 3, 2,, 0,, 2, 3,...}, en Z 0 = Z \ {0}. Binnen Z kunnen we nu optellen en aftrekken. Dus 2 5 bestaat in Z en is gelijk aan 3. Gehele getallen kunnen ook met elkaar vermenigvuldigd worden en het resultaat is weer een geheel getal. We kunnen echter niet delen in Z..3.2 De rationale getallen, Q De verzameling van de rationale getallen Q is op haar beurt een uitbreiding van Z. De verzameling van de breuken wordt gedefinieerd als: { m } Q = n m Z, n Z, n 0, m met (per definitie): n = p q als en slechts als mq = np. Een geheel getal n Z wordt geïdentificeerd met de breuk n in Q. Men noteert ook Q 0 = Q \ {0}. De optelling en vermenigvuldiging worden van Z uitgebreid tot Q door m n + p q mq + np =, nq m n p q = mp nq. In Q kan men goed rekenen. Naast optellen, aftrekken en vermenigvuldigen, kan men ook de deling x y uitvoeren van twee rationale getallen x, y Q als tenminste y 0. Het resultaat van de deling is weer een rationaal getal. Bovendien kan men elke vergelijking van de vorm ax + b = c met a, b, c Q, a 0 oplossen binnen Q. Toch zijn er bepaalde tekortkomingen van Q die het niet geschikt maken om mee te werken. Er zitten namelijk gaten in Q. Dit wordt geïllustreerd met volgende eigenschap. Eigenschap.3: Er bestaat geen rationaal getal a zodat a 2 = 2. Bewijs: We geven een bewijs uit het ongerijmde. Neem dus aan dat a een rationaal getal is dat de eigenschap heeft dat a 2 = 2. We schrijven a = m n met m, n N, waarbij we mogen aannemen dat m en n niet allebei even zijn. Immers, door vereenvoudiging van de breuk m n kunnen we dit altijd realiseren. Uit ( m ) 2 a 2 = = 2 n volgt dan dat m 2 = 2n 2. Het rechterlid is even, en bijgevolg is m 2 even. Hieruit volgt dat m even is. Immers het kwadraat van een oneven getal is altijd oneven. Schrijf m = 2k met k N. Dit invullen in de bovenstaande gelijkheid geeft 4k 2 = 2n 2 en dus n 2 = 2k 2. Hieruit volgt dat n 2 en dus ook n even is. We komen bijgevolg tot het resultaat dat m en n beide even zijn. Dit is in strijd met de aanname dat m en n niet allebei even zijn. We vinden een tegenspraak en de conclusie is dat er geen rationaal getal a bestaat met a 2 = 2.

12 6 Hoofdstuk Andere tekortkomingen van Q hebben te maken met volledigheid en het bestaan van supremum en infimum (zie verder). Er zijn dus redenen om Q nog verder uit te breiden. Dat doen we dan ook in de volgende paragraaf..4 De verzameling van reële getallen, R.4. Het volledig en totaal geordend veld (R, +,, ) In wat volgt wordt op axiomatische wijze door drie definiërende voorwaarden het volledige en totaal geordend veld van de reële getallen ingevoerd. De eerste definiërende eigenschap legt de algebraïsche eigenschappen vast. Dit gebeurt door op de verzameling R twee inwendige samenstellingswetten, optelling (+) en vermenigvuldiging ( ), te definiëren die aan een aantal eigenschappen voldoen. Dit zijn de algebraïsche eigenschappen van R en ze worden kort samengevat door te zeggen dat (R, +, ) een veld is. Door de tweede definiërende eigenschap wordt in dit veld een orderelatie ( ) bepaald die de ordeningseigenschappen van de reële getallen vastlegt. Deze orderelatie maakt het mogelijk om te spreken over kleinere en grotere reële getallen. (R, +,, ) is dan een totaal geordend veld. De derde definiërende eigenschap houdt verband met de volledigheid van de reële getallen. Ze is minder vanzelfsprekend dan de twee vorige definiërende eigenschappen, maar is cruciaal in de zin dat ze de reële getallen onderscheidt van bijvoorbeeld de rationale getallen. Deze drie definiërende eigenschappen en de daarmee samenhangende axioma s worden niet op hun consistentie onderzocht. We nemen het pragmatische standpunt in dat een systeem reële getallen bestaat dat aan de opgegeven axioma s voldoet, en in dit systeem van reële getallen worden de reële functies van één reële veranderlijke bestudeerd. De eigenlijke constructie van R vanuit Q is abstract en valt buiten de doelstellingen van deze cursus. De eerste definiërende eigenschap zorgt ervoor dat in R de algebraïsche bewerkingen optelling + en vermenigvuldiging kunnen worden uitgevoerd. We nemen aan dat de som x + y en het product x y (of kortweg xy) van twee reële getallen bestaat en weer een element van R is. De optelling en de vermenigvuldiging voldoen aan een aantal natuurlijke eigenschappen. De eerste eigenschappen (.5) (.8) hebben alleen betrekking op de optelling. De optelling is associatief: x, y, z R : (x + y) + z = x + (y + z). (.5) de optelling heeft een neutraal element dat we 0 noemen; dat wil zeggen: elk element heeft een tegengesteld element: x R : x + 0 = 0 + x = x. (.6) x R : y R : x + y = 0 = y + x. (.7) Het tegengesteld element van x wordt met x aangegeven. De optelling is commutatief: x, y R : x + y = y + x (.8) De eigenschappen (.5) (.8) worden wel samengevat door te zeggen dat (R, +) een commutatieve groep is. De eigenschappen (.9) (.2) hebben betrekking op de vermenigvuldiging.

13 De Getallenverzamelingen 7 de vermenigvuldiging is associatief: de vermenigvuldiging is commutatief: x, y, z R : (x y) z = x (y z). (.9) x, y R : x y = y x. (.0) de vermenigvuldiging heeft een neutraal element dat we noemen; er geldt: x R : x = x = x. (.) elk element in R 0 = R \ {0} heeft een invers element voor de vermenigvuldiging: x R 0 : y R 0 : x y = y x =. (.2) De laatste eigenschap geeft een verband tussen de optelling en de vermenigvuldiging. de vermenigvuldiging is distributief ten opzichte van de optelling: x, y, z R : x (y + z) = x y + x z. (.3) De eigenschappen (.5) (.3) worden kortweg samengevat door te zeggen dat (R, +, ) een veld is. Eerste definiërende eigenschap van de reële getallen: (R, +, ) is een veld De tweede definiërende eigenschap van de reële getallen hangt samen met de orderelatie die op R aanwezig is. Deze orderelatie heeft de volgende eigenschappen. de ordening is reflexief: x R : x x. (.4) de ordening is anti-symmetrisch: x, y R : x y én y x = x = y. (.5) de ordening is transitief: x, y, z R : x y én y z = x z. (.6) de ordening is totaal: x, y R : x y óf y x. (.7) Verder nemen we aan dat de ordening zich goed gedraagt ten opzichte van de optelling en de vermenigvuldiging, namelijk ordening blijft behouden bij optellen van reëel getal: x, y, a R : x y = x + a y + a. (.8)

14 8 Hoofdstuk ordening blijft behouden bij vermenigvuldigen met positief reëel getal: x, y, a R : x y en 0 a = x a y a. (.9) De eigenschappen (.4) (.9) worden kort samengevat door te zeggen dat (R, +,, ) een totaal geordend veld is. Dit is de tweede definiërende eigenschap van de reële getallen. Tweede definiërende eigenschap van de reële getallen: (R, +,, ) is een totaal geordend veld Als x y, dan zeggen we dat x kleiner dan of gelijk is aan y. Naast gebruiken we ook de andere bekende symbolen <, en >. Hierbij betekent x < y dat x y en x y, x y is hetzelfde als y x, en x > y is hetzelfde als y < x. Een reëel getal x is positief als x > 0 en negatief als x < 0. De verzameling van de positieve, respectievelijk negatieve, reële getallen duiden we aan met R + 0 en R 0 ; verder is R + = R + 0 {0} en R = R 0 {0}. Verdere eigenschappen van de ordening in R staan in de volgende lijst. Ze zijn eenvoudig af te leiden uit de definitie van een totaal geordend veld. Eigenschap.4: Voor elk tweetal x, y R geldt x y als en slechts als y x 0, als x en y beide positief zijn, dan zijn xy en x y positief, als x en y beide negatief zijn, dan zijn xy en x y positief, als x positief en y negatief is, dan zijn xy en x y negatief, als x negatief en y positief is, dan zijn xy en x y negatief, als x 0, dan is x 2 positief, is positief en is negatief, als x 0, dan zijn x en x beide positief of beide negatief, als 0 < x y, dan 0 < y x. We merken op dat Q voorzien van de gebruikelijke optelling, vermenigvuldiging en de orderelatie ook een totaal geordend veld is, net als (R, +,, ). Het onderscheid tussen Q en R zal gemaakt worden in de derde definiërende eigenschap waarin de volledigheid van R wordt vastgelegd. Om de derde definiërende eigenschap van de reële getallen te kunnen formuleren, moeten we de begrippen bovengrens en supremum, ondergrens en infimum invoeren.

15 De Getallenverzamelingen 9 Definitie: Zij W R. Een element b van R is een bovengrens van W indien x W : x b. Indien de deelverzameling W een bovengrens heeft, wordt ze naar boven begrensd genoemd. Analoog is een element c van R een ondergrens van W indien x W : c x. De verzameling W is dan naar onder begrensd. Een verzameling die zowel naar onder begrensd als naar boven begrensd is, wordt begrensd genoemd. Definitie: Een bovengrens s van W is de kleinste bovengrens of het supremum van W (sup W) indien voor elke bovengrens b van W geldt dat s b. Analoog is t de grootste ondergrens of infimum van W (inf W) indien t een ondergrens is van W en voor elke ondergrens c van W geldt dat c t. Natuurlijk geldt inf W sup W als het infimum en het supremum beide bestaan. Het supremum en infimum van een begrensde verzameling behoren niet steeds tot deze verzameling en moeten worden onderscheiden van het maximum en het minimum van de verzameling W. Inderdaad max W en min W zijn gedefinieerd door M = max W M W en x W : x M m = min W m W en x W : m x. We wijzen er op dat het maximum en minimum van een verzameling W niet noodzakelijk bestaan. Ook het supremum en infimum bestaan niet altijd. Een eigenschap in verband met het supremum die nog zal terug komen is: Eigenschap.5: Als s het supremum is van de verzameling W dan ε > 0 : x W : s ε < x. Bewijs: Neem een willekeurige ε > 0. Dan is s ε kleiner dan s. Omdat s de kleinste bovengrens is van W, is s ε geen bovengrens. Dan moet er dus een x W zijn met s ε < x. We hebben bijgevolg dat s het supremum is van W als en slechts als x W : x s én ε > 0 : x W : s ε < x. Analoog geldt dat t het infimum is van W als en slechts als x W : t x én ε > 0 : x W : x < t + ε. Een niet-lege en naar boven begrensde verzameling in een totaal geordend veld heeft niet altijd een supremum. Dit is bijvoorbeeld niet altijd het geval in Q. De verzameling W = {x Q x 2 < 2}

16 0 Hoofdstuk is een voorbeeld van een begrensde deelverzameling van Q die geen supremum heeft. In R heeft wel elke niet-lege naar boven begrensde deelverzameling een supremum. Ook heeft elke niet-lege naar beneden begrensde deelverzameling een infimum. Deze eigenschap van R wordt de volledigheid van R genoemd. Derde definiërende eigenschap van de reële getallen: Het totaal geordend veld (R, +,, ) is volledig Het feit dat elke niet-lege en naar boven begrensde verzameling in R een supremum bezit in R, terwijl dit niet steeds het geval is voor een niet-lege en naar boven begrensde verzameling in Q, vormt het fundamenteel onderscheid tussen Q en R. Als eerste gevolg van de volledigheid van R bewijzen we de eigenschap van Archimedes en de dichtheid van Q in R. Eigenschap van Archimedes Stelling.6: Als a, b R en a > 0 dan bestaat er een natuurlijk getal n zodat b < na. Bewijs: We geven het bewijs uit het ongerijmde. Veronderstel dat er geen natuurlijk getal n bestaat met b < na. Omdat a > 0 geldt dan b a > n voor elke n N. Dan is b a een bovengrens van N. Omdat R volledig is, heeft N een supremum s in R. Noem dit supremum s. Dan is s geen bovengrens van N en bijgevolg is er een natuurlijk getal n met s < n. Dan volgt s < n +. Dit is evenwel in tegenspraak met het feit dat n + een natuurlijk getal is en dat s het supremum van N is. Deze tegenspraak leidt tot de conclusie dat er wel een natuurlijk getal n is met b < na. Dichtheid van Q in R Stelling.7: Tussen twee verschillende reële getallen x en y ligt steeds een rationaal getal. Bewijs: We veronderstellen dat x < y zodat y x > 0. Uit Stelling.6 (met b = en a = y x) volgt dat er een natuurlijk getal n N bestaat met < n(y x). Bijgevolg is n < y x, en dus x + n < y. Uiteraard geldt n 0. Zij m Z het kleinste gehele getal dat strikt groter is dan xn. Dan geldt m xn < m, en daaruit volgt m n x < m n. Dan is ook m n = m + n n x + n < y. Hieruit volgt x < m n < y. Daar m n Q ligt er inderdaad een rationaal getal tussen x en y. Merk op dat tussen elk tweetal verschillende reële getallen in feite oneindig veel rationale getallen liggen.

17 De Getallenverzamelingen.4.2 Het binomium van Newton Het is bekend dat (x+y) 2 = x 2 +2xy +y 2 en (x+y) 3 = x 3 +3x 2 y +3xy 2 +y 3. Het binomium van Newton is een uitbreiding hiervan. Het geeft een ontwikkeling voor (x + y) n voor elke n. We hebben hiervoor eerst nog de volgende definitie nodig. Definitie: Voor iedere n N en k {0,,..., n} wordt de binomiaalcoëfficiënt ( ) n k gegeven door ( ) n n! = (.20) k k!(n k)! Herinner u dat n! gelijk is aan n-faculteit, zie (.3) (.4). Het getal ( n k) geeft het aantal mogelijkheden om k objecten te kiezen uit n. Dit wordt ook wel het aantal combinaties van k uit n genoemd en ( n k) wordt ook wel een combinatiegetal genoemd. Stelling.8: Voor elke n N 0 geldt x, y R : (x + y) n = n j=0 ( ) n x j y n j. (.2) j Bewijs: We bewijzen (.2) door volledige inductie waarbij P (n) de uitspraak (.2) is. Basisstap P () is juist want voor n = zijn beide leden in (.2) gelijk aan x + y. Inductiestap Neem k N 0 en neem aan dat P (k) juist is. Dat wil zeggen dat (x + y) k = k j=0 ( ) k x j y k j. j We moeten aantonen dat P (k + ) juist is, hetgeen wil zeggen dat We hebben k+ ( ) k + (x + y) k+ = x j y k+ j. j j=0 (x + y) k+ = (x + y)(x + y) k = (x + y) k j=0 ( ) k x j y k j j waarbij we van de inductiehypothese gebruik hebben gemaakt. We werken dit verder uit tot (x + y) k+ = k j=0 ( ) k x j+ y k j + j k j=0 k ( ) k = x k+ + x j+ y k j + j = x k+ + j=0 k l= [( ) k + l ( ) k x j y k+ j j ( k l k j= ( ) k x j y k+ j + y k+ j )] x l y k+ l + y k+.

18 2 Hoofdstuk Er geldt ( ) k + =, k + zodat (x + y) k+ = = = ( ) k + =, 0 ( ) k + x k+ + k + l=0 l= k+ ( ) k + x l y k+ l l k+ ( ) k + x j y k+ j. j j=0 ( ) k + l ( ) k = l k ( ) k + x l y k+ l + l ( k + l ( k + 0 ), ) y k+ Dit is de uitspraak P (k + ) en bijgevolg geldt de inductiestap. Conclusie Met behulp van het principe van volledige inductie is de uitspraak P (n) nu bewezen voor elke n N 0..5 Absolute waarde en intervallen.5. Absolute waarde Definitie: De absolute waarde of modulus van een reëel getal x wordt voorgesteld door x en gedefinieerd door x indien x > 0, x = 0 indien x = 0, x indien x < 0. Het is eenvoudig in te zien dat x = max(x, x). Uiteraard geldt x 0 en x = 0 als en slechts als x = 0. De volgende eigenschappen van absolute waarde zullen frequent gebruikt worden. Het bewijs wordt aan de lezer overgelaten. Eigenschap.9: Voor iedere x, y R geldt. x r r x r, 2. x = x, 3. x 2 = x 2 = x 2, 4. x x x, 5. xy = x y, 6. x y = x y voor y 0.

19 De Getallenverzamelingen 3 Van groot belang is de driehoeksongelijkheid van de absolute waarde. Stelling.0: Voor iedere x, y R geldt x + y x + y. (.22) Bewijs: Er geldt x x x en y y y. Als we deze ongelijkheden optellen, bekomen we Dit wil zeggen x y x + y x + y. ( x + y ) x + y x + y. Volgens onderdeel. van Eigenschap.9 (toegepast met r = x + y ) geldt dan (.22). De driehoeksongelijkheid wordt in verschillende vormen gebruikt. Zo geldt bijvoorbeeld ook x y x + y. Een andere vorm van de driehoeksongelijkheid staat bekend als de omgekeerde driehoeksongelijkheid. Eigenschap.: Voor iedere x, y R geldt x y x y. (.23) Bewijs: Uit x = x y +y en de driehoeksongelijkheid volgt x x y + y en dus x y x y. Door x en y van rol te laten wisselen vinden we ook y x y x = x y en dus x y x y. We hebben dan x y x y x y. Vanwege Eigenschap.9. volgt dan (.23). Met behulp van de absolute waarde wordt de afstand tussen twee reële getallen x en y gedefinieerd. Definitie: De afstand tussen twee reële getallen x en y wordt gedefinieerd door x y. De afstand tussen twee reële getallen voldoet aan volgende eigenschappen. De afstand is positief definiet, dit wil zeggen x y 0 én x y = 0 x = y. De afstand is symmetrisch, dit is x y = y x. Voor de afstand geldt de driehoeksongelijkheid, namelijk: x z x y + y z.

20 4 Hoofdstuk.5.2 Open en gesloten intervallen Definitie: Voor twee reële getallen a en b waarvoor geldt dat a < b wordt het open interval ]a, b[ gedefinieerd als de verzameling {x a < x < b}: ]a, b[ = {x a < x < b}. Voor twee reële getallen a en b waarvoor geldt dat a b wordt het gesloten interval [a, b] gedefinieerd door: [a, b] = {x a x b}. In de internationale literatuur wordt meestal (a, b) in plaats van ]a, b[ gebruikt om een open interval te noteren. Het gesloten interval bevat de eindpunten, het open interval bevat de eindpunten niet. Op analoge wijze worden de half-open intervallen ]a, b] en [a, b[ gedefinieerd als ]a, b] = {x a < x b} en [a, b[ = {x a x < b}. De lengte van het open interval ]a, b[, het half-open interval [a, b[ of ]a, b] en het gesloten interval [a, b] is b a. Wanneer voor het gesloten interval a gelijk is aan b wordt het gesloten interval gedegenereerd genoemd. Dan is [a, a] = {a}. Meetkundige voorstelling De meetkundige voorstelling van intervallen steunt op de klassieke voorstelling van de reële getallen op een rechte. Elk reëel getal correspondeert met juist één beeldpunt op de reële rechte. Het beeldpunt op de reële rechte dat correspondeert met het reële getal a ligt links van het beeldpunt van b als en slechts als a < b. De meetkundige voorstelling van ]a, b[, [a, b], ]a, b], [a, b[ is dan een lijnstuk dat de beeldpunten van a en b verbindt. Oneindig: + en Het open interval ]a, b[ bevat noch zijn infimum a, noch zijn supremum b, maar kan uitgebreid worden tot de verzameling ]a, b[ {a, b} = [a, b] die zowel zijn infimum als supremum bevat. De verzameling R bezit in R geen supremum en geen infimum. Om deze reden voegen we aan R twee elementen + en (dit zijn géén reële getallen) toe en we definiëren de uitgebreide verzameling R als met R = R {, + } x R : < x < +. We noemen + wel plus oneindig en min oneindig. Als we gewoon schrijven, dan bedoelen we +. Voor de elementen en + definieert men de bewerkingen x R : x + (± ) = (± ) + x = ±, x R + 0 : x(± ) = (± )x = ±, x R 0 : x(± ) = (± )x =, (+ ) + (+ ) = +,

21 De Getallenverzamelingen 5 ( ) + ( ) =, (+ )(+ ) = ( )( ) = +, (+ )( ) = ( )(+ ) =. Met behulp van deze definities worden de algemene orderelatie en de tekenregels van de bewerkingen in R behouden. De bewerkingen (+ ) + ( ), ( ) + (+ ), 0 (± ) en (± ) 0 worden niet gedefinieerd. Een niet naar onder begrensde verzameling in R heeft als infimum en een niet naar boven begrensde verzameling in R heeft + als supremum. Oneindige intervallen Definitie: De verzameling {x x > a} wordt een open oneindig interval genoemd en voorgesteld door ]a, + [, ]a, + [ = {x x > a}. De verzameling {x x a} wordt een gesloten oneindig interval genoemd en voorgesteld door [a, + [, [a, + [ = {x x a}. Op dezelfde wijze definiëren we ], a[ en ], a] als ], a[ = {x x < a}, en ], a] = {x x a}..5.3 Omgevingen Speciale intervallen zijn δ-omgevingen van een reëel getal a. Definitie: Beschouw een positief reëel getal δ en a R. De verzameling {x x a < δ} wordt een δ-omgeving van a genoemd en wordt genoteerd als B(a, δ): B(a, δ) = {x R x a < δ}. B(a, δ) is het open interval ]a δ, a + δ[ met middelpunt a en straal δ. Het bevat alle punten waarvan de afstand tot a kleiner is dan δ. Met behulp van δ-omgevingen voeren we nu de begrippen randpunt en inwendig punt in. Definitie: Zij V een deelverzameling van R en a R. (a) a is een inwendig punt van V als er een δ > 0 bestaat zodat B(a, δ) V. (b) a is een randpunt van V als voor elke δ > 0 geldt dat B(a, δ) V en B(a, δ) (R \ V).

22 6 Hoofdstuk Een inwendig punt van V is een element van V waarvoor er een δ-omgeving bestaat die helemaal tot V behoort. Een randpunt van V is een punt waarvoor geen enkele δ-omgeving helemaal tot V behoort, en ook niet helemaal tot R \ V. Elke δ-omgeving van een randpunt bevat dus zowel punten van V als punten buiten V. Merk op dat een inwendig punt altijd tot V behoort. Een randpunt van V kan tot V behoren, maar het hoeft niet. Zo zijn a en b randpunten van zowel het gesloten interval [a, b] als ook van het open interval ]a, b[. Definitie: Een deelverzameling V van R noemen we gesloten indien elk randpunt van V tot V behoort. We noemen V open indien elk randpunt van V niet tot V behoort. Volgens deze definitie is [a, b] dus een gesloten verzameling en ]a, b[ is open. Tenslotte voeren we het algemene begrip omgeving van een punt in. Definitie: Een deelverzameling V R wordt een omgeving van a genoemd indien a een inwending punt van V is..6 Complexe getallen, C We hebben in de vorige paragraaf de reële getallen ingevoerd en besproken. Voor heel wat problemen volstaat R. Met andere woorden, heel wat problemen kunnen wiskundig vertaald en opgelost worden in het volledig en totaal geordend veld (R, +,, ). De functies die het onderwerp vormen van dit eerste deel van de cursus, zijn reële functies die gedefinieerd worden op R. Toch heeft ook R nog een aantal tekortkomingen vanuit algebraïsch standpunt. Eenvoudige vergelijkingen, zoals bv. x 2 + = 0, hebben namelijk geen oplossing in R. Ondermeer om deze reden wordt de verzameling van complexe getallen, C, ingevoerd. Definitie: De verzameling van de complexe getallen wordt voorgesteld door C en wordt gedefinieerd door C = R 2 = {(a, b) a, b R}. De optelling + wordt als volgt gedefinieerd op C: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Dit komt overeen met de optelling in R 2. De definitie van de vermenigvuldiging is echter minder triviaal in C: (a, b)(c, d) = (ac bd, ad + bc). Men kan controleren dat de vermenigvuldiging associatief en commutatief is en dat (, 0) het neutraal element is voor de vermenigvuldiging. Elk complex getal (a, b) (0, 0) heeft ook een invers element voor de vermenigvuldiging, namelijk ( ) a a 2 + b 2, b a 2 + b 2. De verzameling C is met deze twee bewerkingen een veld. Dit veld kan opgevat worden als een uitbreiding van het veld van de reële getallen. We kunnen immers elk reëel getal a identificeren met een complex getal (a, 0). We noemen a dan ook het reëel deel van het complex getal (a, b). Het andere deel, b, wordt het imaginair deel van (a, b) genoemd.

23 De Getallenverzamelingen 7 Alternatieve notatie Het complex getal (0, ) wordt doorgaans met i genoteerd, i = (0, ). De i staat voor imaginaire eenheid en leidt tot de volgende gebruikelijke notatie voor (a, b): (a, b) = (a, 0) + (0, )(b, 0) a + ib. Deze schrijfwijze wordt de cartesiaanse vorm genoemd. Als z = a + ib dan noteren we Re z = Re (a + ib) = a, Im z = Im (a + ib) = b voor het reële en imaginaire deel van z. Het complexe getal a + i0 wordt gewoon met a genoteerd, zoals het reëel getal a dus. Het complexe getal 0 + ib wordt ook kortweg met ib genoteerd. Complexe getallen waarvan het reëel deel nul is, worden zuiver imaginair genoemd. De som van twee complexe getallen z = a + ib en w = c + id is in deze notatie en het product is z + w = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) zw = (a + ib) (c + id) = ac + iad + ibc + i 2 bd = (ac bd) + i(ad + bc). We kunnen nu ook machten nemen van een complex getal door het herhaald met zichzelf te vermenigvuldigen: z 2 = z z, z 3 = z z z, z 4 = z z z z, enzovoorts. We stellen ook z 0 =, en z = z. Definitie: Het complex toegevoegde van een complex getal a + ib wordt genoteerd als a + ib, en wordt als volgt gedefinieerd: a + ib = a ib. De modulus (of absolute waarde) van een complex getal a + bi wordt genoteerd als a + ib en is gedefinieerd door a + ib = a 2 + b 2. Merk op dat (a + ib)(a + ib) = a 2 + b 2 0 zodat de modulus van z C gelijk is aan z = zz. Het complex toegevoegde is handig te gebruiken bij het delen van twee complexe getallen. Een quotiënt w/z kan namelijk in standaardvorm gebracht worden door teller en noemer te vermenigvuldigen met z. Zij namelijk z = a + ib en w = c + id met z 0. Dan w z = c + id a + ib = c + id a + ib a ib (c + id)(a ib) = a ib (a + ib)(a ib) = ac ibc + iad i2 bd a 2 + b 2 ac + bd bc = a 2 + iad + b2 a 2 + b 2.

24 8 Hoofdstuk R b = z sin θ z = a + bi = z (cos θ + i sin θ) r = z θ a = z cos θ R Figuur.: Meetkundige interpretatie van reëel en imaginair deel en van modulus en argument van een complex getal. Cartesiaanse en goniometrische voorstelling We hebben C gedefinieerd als C = R 2. Aangezien R 2 het vlak beschrijft, kan het complexe getal z = (a, b) = a + ib voorgesteld worden als een punt in het vlak met (rechthoekig cartesische) coördinaten a en b (zie Figuur.). Dit heet de cartesiaanse voorstelling van z. De horizontale as wordt de reële as genoemd, en de verticale de imaginaire as. De modulus a + ib = a 2 + b 2 stemt overeen met de afstand van het punt (a, b) tot de oorsprong. Het punt z = (a, b) kan ook met poolcoördinaten bepaald worden, nl. met de afstand r van z tot 0 in het vlak én de hoek θ die de overeenkomstige vector maakt met de horizontale as. Uiteraard is r = z (zie Figuur.). Het complex getal z kan bijgevolg ook geschreven worden als z = r(cos θ + i sin θ). Deze voorstelling in termen van r en θ noemt men de goniometrische voorstelling. De hoek θ wordt het argument van z genoemd, notatie θ = arg z. Het argument is slechts op een veelvoud van 2π na bepaald. De goniometrische voorstelling is vooral handig om het product van complexe getallen uit te rekenen en te interpreteren. Neem bv. z = r (cos θ + i sin θ ) en z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ). Dan is z z 2 = r r 2 (cos θ + i sin θ )(cos θ 2 + i sin θ 2 ) = r r 2 [(cos θ cos θ 2 sin θ sin θ 2 ) + i(sin θ cos θ 2 + cos θ sin θ 2 )] = r r 2 [cos (θ + θ 2 ) + i sin (θ + θ 2 )]. Dus z z 2 = z z 2, en arg z z 2 = arg z + arg z 2. Afstand in het complexe vlak Met behulp van de modulus kan ook de afstand tussen twee complexe getallen gedefinieerd worden:

25 De Getallenverzamelingen 9 Definitie: De afstand tussen twee complexe getallen z en z 2 wordt gedefinieerd door z z 2. Als z = a + ib en z 2 = a 2 + ib 2 dan is z z 2 = (a a 2 ) 2 + (b b 2 ) 2. De afstand tussen complexe getallen voldoet aan dezelfde eigenschappen als de afstand tussen reële getallen, namelijk De afstand is positief definiet, dit wil zeggen De afstand is symmetrisch: z z 2 0, en z z 2 = 0 z = z 2. z z 2 = z 2 z. De afstand voldoet aan de driehoeksongelijkheid Tweede-graadsvergelijkingen in C z z 3 z z 2 + z 2 z 3. De vergelijking x 2 + = 0 heeft wél een oplossing in C, nl. i = (0, ), want i 2 = (0, )(0, ) =. Negatieve getallen hebben dus een vierkantswortel in C. Merk overigens op dat ook (0, )(0, ) =. De vergelijking x 2 + = 0 heeft dus twee oplossingen in C en we kunnen de veelterm x 2 + ontbinden in factoren: x 2 + = (x i)(x + i). Dit resultaat kan makkelijk veralgemeend worden tot veeltermen van de tweede graad met reële coefficienten: ax 2 + bx + c, met a, b, c R en a 0. Want ( ax 2 + bx + c = a x 2 + b a x + c ) a ( = a x b ( ) b 2 ( ) ) b 2 2a x + + c 2a 2a a ( ( = a x + b ) ) 2 b2 4ac 2a 4a 2. De vergelijking ax 2 + bx + c = 0 heeft dus twee wortels x en x 2, nl. x = b + d 2a en x 2 = b d, 2a waarbij d = b 2 4ac als b 2 4ac 0, en d = i (b 2 4ac) als b 2 4ac < 0. Men noemt = b 2 4ac de discriminant van de vergelijking. Merk op dat als < 0 de wortels complex zijn en bovendien elkaars complex toegevoegde. De vergelijking heeft twee reële wortels als en slechts als 0 (wanneer = 0 vallen ze samen).

26 20 Hoofdstuk Hoofdstelling van de algebra Het vorige resultaat kan veralgemeend worden tot tweede-graadsvergelijkingen met complexe coëfficiënten en zelfs tot veeltermen en veeltermvergelijkingen van willekeurige graad n. De hoofdstelling van de algebra zegt dat elke veelterm van de n-de graad met complexe coëfficiënten kan ontbonden worden in n factoren van de eerste graad. In wiskundige taal wordt dit als volgt geformuleerd. Stelling.2: Zij x n +a n x n +a n 2 x n 2 + +a 2 x 2 +a x+a 0 een veelterm met coëfficiënten a i C. Dan bestaan er z, z 2,..., z n C zó dat x n + a n x n + a n 2 x n a 2 x 2 + a x + a 0 = (x z )(x z 2 ) (x z n ). Het bewijs van de stelling valt buiten het bereik van deze cursus. De veeltermvergelijking x n + a n x n + a n 2 x n a 2 x 2 + a x + a 0 = 0, heeft dus n oplossingen in C, namelijk z, z 2,..., z n (eventueel samenvallend). We hebben in dit hoofdstuk de getallenverzamelingen ingevoerd en besproken. We vertrokken van de natuurlijke getallen en hebben deze verzameling steeds verder uitgebreid teneinde steeds moeilijkere problemen die tot meer ingewikkelde vergelijkingen leiden, te kunnen oplossen. Bijgevolg geldt: N Z Q R C. In dit eerste deel van de cursus beschouwen we verder hoofdzakelijk de reële getallen. In het volgende hoofdstuk voeren we een aantal begrippen in die het overzetten van praktische problemen naar wiskundige problemen mogelijk maken.

27 De Getallenverzamelingen 2.7 Oefeningen Oefening. Bewijs de volgende uitspraken met het principe van volledige inductie. (a) n k 2 = k= n(n + )(2n + ) 6 (c) n k= k(k + ) = n n + (b) n ( n(n + ) k 3 = 2 k= ) 2 (d) n i=0 x i = xn+ x Oefening.2 Bewijs met volledige inductie dat voor elke x > en voor elke n N geldt ( + x) n + nx. Oefening.3 Bewijs dat voor iedere n N het getal n(n 2 + 5) deelbaar is door 6. Oefening.4 Bewijs met volledige inductie dat 2 n (n + )!. Oefening.5 Oefening.6 Bereken ( ) 6 en 4 ( ) 8. 7 Laat zien dat voor elke n N geldt ( ) n = 0 ( ) n =. n Oefening.7 Laat zien dat voor iedere n N en k {0,,..., n} geldt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n + = en + =. k n k k k k Oefening.8 (a) Bereken de coëfficiënt van x 4 in (2x + 5) 0. (b) Bereken de coëfficiënt van x 3 in ( 2x 2 + 3x) 5. Oefening.9 Laat zien dat ( 2n n ) 4 n voor elke n N. Oefening.0 Geef het supremum, infimum, maximum en minimum (voor zover ze bestaan) van de volgende deelverzamelingen van R. (a) { n+ n n N 0} (b) N (c) [0, [ (d) {( ) n (3 n ) n N 0} (e) { x x ]0, [ } (f) Oefening. Veronderstel dat A en B niet-lege naar boven begrensde deelverzamelingen van R zijn. Toon aan dat max(sup A, sup B) = sup(a B)

28 22 Hoofdstuk Oefening.2 x y < b a. Oefening.3 Neem aan dat x en y allebei behoren tot het interval ]a, b[. Laat zien dat Schrijf als een interval (a) {x R x < 3} (b) {x R x 2 2} (c) {x R x + 4 < 3} (d) {x R x + 3 x + } Oefening.4 Bepaal alle x R die voldoen aan (a) x 2 3 (b) x > x + (c) x + x < 2 (d) x 2 2x + 2 Oefening.5 Laat zien dat voor elke x, y R geldt x 2 + y 2 2xy. Oefening.6 Zij z = + i en z 2 = 2i. Bereken het reële en imaginare deel van de volgende complexe getallen en teken ze in het complexe vlak. (a) z (b) z 2 (c) z + z 2 (d) z z 2 (e) z 2 z (f) z Oefening.7 Los de volgende vergelijkingen op in C. (a) z 2 + 2z + 5 = 0 (b) 2z 3 3z 2 + 2z = 0 (c) z 4 = Oefening.8 (a) + i (b) 3 Bereken de modulus en het argument van (c) 2i (d) i 3 (e) ( + i)( i 3) + i (f) i 3 Oefening.9 (a) Re z > 0 (b) Im z < 2 Schets de volgende verzamelingen in het complexe vlak (e) arg z < π/3 (f) π/2 < arg z < π (c) z > (d) z = z + (g) 0 < arg(z 2 ) < π/2. (h) < z i < 2.

29 Hoofdstuk 2 Functies, Rijen, Continuïteit en Limieten In dit hoofdstuk behandelen we vooral continuïteit en limieten van functies van één veranderlijke. Eerst worden de nodige basisbegrippen over functies ingevoerd. Vervolgens worden rijen bestudeerd als functies van N naar R. Naast het feit dat rijen op zich van belang zijn, zijn eigenschappen van rijen ook nodig om de hoofdeigenschap van continue functies te bewijzen. We voeren eerst het begrip limiet van een rij in, vervolgens continuïteit en limiet van functies. 2. Functies 2.. Definitie en kenmerken Definitie: Een functie of afbeelding f van de verzameling A naar de verzameling B is een verband tussen elementen van A en elementen van B waarbij aan elk element x van A juist één element y van B toevoegt. De verzameling A is het domein of definitiegebied van f en wordt ook aangegeven met A = dom f. We noteren de functie f door f : A B : x f(x). We noemen f(x) het beeld van x onder f, of de waarde van de functie in x. De verzameling van alle beelden {y B x A : f(x) = y} = bld f, wordt het bereik of beeld van A onder f genoemd. Het bijzondere van een functie is dus dat bij ieder element uit A precies één element van B hoort, niet meer en ook niet minder. Het pijlendiagram van een functie f van A naar B is aangegeven in Figuur 2.. Merk op dat vanuit elk element van A precies één pijl vertrekt. Het aantal pijlen dat in een element van B toekomt is niet vast bepaald. Voor elke deelverzameling X A is f(x) = {y B x X : f(x) = y} 23