Mathematical Modelling

Transcriptie

1 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date:

2 Overzicht 1 Inleiding 2

3 Overzicht 1 Inleiding 2

4 Bijeenkomsten Vrijdagmiddagen: 13:45 17:30 (tijden in benadering) 13:45-14:15: nabespreken huiswerk 14:15-15:15: nieuwe stof met gebruikelijke zelfwerkzaamheid tussendoor van vijfminutenvragen 15:15-15:30: pauze 15:30-17:00: sommen maken (hulp van Ellen, Maarten) 17:00-17:30: huiswerk maken (onder begeleiding) andere dag, één dagdeel: huiswerk zelf afmaken (inleveren op zijn laatst; direct afspreken met Ellen en Maarten) Dit is de eerste keer dat ik dit vak geef, dus timing is mogelijk niet altijd perfect...

5 Materiaal Materiaal bestaat uit (Deze) sheets op teletop Boek van Saff en Snider met véél sommen daaruit (misschien wat wiskundiger dan James, minder plaatjes en zo) Allen die al een (oud) boek hebben: ik doe mijn best om de link te leggen Teletop is het medium om dit soort info door te geven; daar komen in ieder geval alle sommen/huiswerk te staan (digitaal); scouts honor!

6 Beoordeling Doel 1 mijnerzijds: iedereen moet het halen die zijn huiswerk (zelf) maakt Doel 1 jullierzijds: huiswerk helpt je cijfer omhoog EN het helpt je bij het mken van het tentamen C final = min (10, C tentamen + 25 max ( C huiswerk 5, 0 )) Deze bonus wordt gehalveerd al je het echte tentamen niet haalt; dus bij de herkansing geldt... C final = min (10, C hertentamen + 15 max ( C huiswerk 5, 0 ))...elke poging daarna: C final = C herhertentamen

7 Overzicht 1 Inleiding 2

8 Getallen Een test op historisch perspectief: zet de leeftijd bij de volgende ontdekkingen N, gehele getallen: 1,2,3,... 0 Z, negatieve getallen: -1,-2,... Q, breuken: 1 3, 2 27 R, reële getalen: π = C, i = 1:...?...

9 Getallen Een test op historisch perspectief: zet de leeftijd bij de volgende ontdekkingen N, gehele getallen: 1,2,3, jaar, Afrika 0 Z, negatieve getallen: -1,-2,... Q, breuken: 1 3, 2 27 R, reële getalen: π = C, i = 1:...?...

10 Getallen Een test op historisch perspectief: zet de leeftijd bij de volgende ontdekkingen N, gehele getallen: 1,2,3, jaar, Afrika jaar, India Z, negatieve getallen: -1,-2,... Q, breuken: 1 3, 2 27 R, reële getalen: π = C, i = 1:...?...

11 Getallen Een test op historisch perspectief: zet de leeftijd bij de volgende ontdekkingen N, gehele getallen: 1,2,3, jaar, Afrika jaar, India Z, negatieve getallen: -1,-2, jaar, China Q, breuken: 1 3, 2 27 R, reële getalen: π = C, i = 1:...?...

12 Getallen Een test op historisch perspectief: zet de leeftijd bij de volgende ontdekkingen N, gehele getallen: 1,2,3, jaar, Afrika jaar, India Z, negatieve getallen: -1,-2, jaar, China Q, breuken: 1 3, jaar, Egypte R, reële getalen: π = C, i = 1:...?...

13 Getallen Een test op historisch perspectief: zet de leeftijd bij de volgende ontdekkingen N, gehele getallen: 1,2,3, jaar, Afrika jaar, India Z, negatieve getallen: -1,-2, jaar, China Q, breuken: 1 3, jaar, Egypte R, reële getalen: π = jaar, Egypte C, i = 1:...?...

14 Getallen Een test op historisch perspectief: zet de leeftijd bij de volgende ontdekkingen N, gehele getallen: 1,2,3, jaar, Afrika jaar, India Z, negatieve getallen: -1,-2, jaar, China Q, breuken: 1 3, jaar, Egypte R, reële getalen: π = jaar, Egypte C, i = 1: 500 jaar, Rafael Bombelli, Italië...?...

15 Rekenen Getallen kun je optellen: natuurlijke getallen Aftrekken: nul en negatieve getallen Delen: breuken zijn nodig 2: reële getallen (waarom?) 1: complexe getallen

16 Rekenen Optellen: a + b = b + a

17 Rekenen Optellen: Niet zonneklaar dat dat zo is a + b = b + a

18 Rekenen Optellen: a + b = b + a Niet zonneklaar dat dat zo is Vermenigvuldigen a b = b a

19 Rekenen Optellen: a + b = b + a Niet zonneklaar dat dat zo is Vermenigvuldigen a b = b a Niet zonneklaar dat dat zo is: voor matrices geldt dit niet!

20 Rekenen met complexe getallen Complex getal: standaardvorm x C x = a + b i met a, b R. We schrijven ook: a = Re(x), b = Im(x). Optellen (a + b i ) + (c + d i ) = (a + c) + (b + d) i Aftrekken (a + b i ) (c + d i ) = (a c) + (b d) i

21 Rekenen met complexe getallen Vermenigvuldigen (a + b i ) (c + d i ) = ac + ad i + b i c + b i d i Delen (met een truc): a + i b c + i d = = ac + ad i + bc i bd = (ac bd) + (ad + bc) i ( ) ( ) a + b i c d i c + d i c d i = (ac + bd) + (bc ad) i c 2 + d 2

22 Rekenen met complexe getallen Vermenigvuldigen (a + b i ) (c + d i ) = ac + ad i + b i c + b i d i Delen (met een truc): a + i b c + i d = = Niets uit je hoofd leren, hé! = ac + ad i + bc i bd = (ac bd) + (ad + bc) i ( ) ( ) a + b i c d i c + d i c d i (ac + bd) + (bc ad) i c 2 + d 2

23 Vijf minuten vragen NB: alle vijfminutenvragen die niet gedaan zijn tijdens college gaan naar het tweede deel van de middag. Schrijf de volgende expressies in de standaardvorm: x = (8 + i ) (5 + 2 i ), y = 2 i 1 3, z = 4 i + i 4 t = (8 + 2 i ) (1 i ) (2 + i ) 2, u = i i i 3, v = 1 i

24 Vijf minuten vragen Een weerstand R en condensator C zijn parallel geschakeld. Bereken het reële en imaginaire deel van de totale impedantie bij frequentie ω Schrijf de volgende expressies in de standaardvorm: x = i 23, y = i 403, Laat zien dat 1 + i een oplossing van de vergelijking: Wat is andere wortel? z 2 + 2z + 2 = 0

25 Vijf minuten vragen Los de volgende vergelijking volledig op naar z i C: i z 1 = 3 z 1 i, z = 0, z = 0 Schrijf de volgende vergelijking in z C uit in twee vergelijkingen in twee onbekenden a, b R waarin z = a + b i : z 3 + z i = i Bewijs dat 2 niet geschreven kan worden als breuk, zeg p q, p, q N

26 C R 2 Als z = a + b i kunnen we dit complexe getal visualiseren als punt in de R 2

27 C R 2 Als z = a + b i kunnen we dit complexe getal visualiseren als punt in de R 2

28 C R 2 Als z = a + b i kunnen we dit complexe getal visualiseren als punt in de R 2

29 C R 2 Als z = a + b i, y = c + d i kunnen we deze optellen als in de R 2

30 C R 2 Als z = a + b i kunnen we de lengte van een getal definiëren (de norm): z = a 2 + b 2

31 Vijf-minuten-vragen Bepaal alle punten z C waarvoor geldt (plaatje!!) z = 2 Bepaal alle punten z C waarvoor geldt z + 1 = z 1

32 Complex toegevoegde Als z = a + b i : complex toegevoegde : z = a b i

33 Vijf-minuten-vragen Bepaal als z = i z, z z, z z, z 2, (z) 2, (z) 2 Bepaal als w = 3 + i, z = i w z, wz, ( w z ), ( ) w, w z Valt hier iets op?

34 Vijf-minuten-vragen Bepaal als z = i z, z z, z z, z 2, (z) 2, (z) 2 Bepaal als w = 3 + i, z = i w z, wz, ( w z ), ( ) w, w z Valt hier iets op? Bijna alles mag: z z = z z, w z = wz, z 2 z z z 2 en ook (!!) z 2 = z z

35 Polaire coördinaten In R 2 zijn poolcoördinaten soms handig; zo ook hier. Er geldt r = z, tan φ = Im(z) Re(z)

36 Polaire coördinaten In C zijn poolcoördinaten soms handig: z = [ r cos φ, r sin φ ] met r = Re(z) 2 + Im(z) 2, φ = arctan(im(z)/re(z)) Weer: onthouden hoe je het uitrekent (plaatje), geen formules onthouden!

37 Vijf minuten vragen Bepaal voor een aantal complexe waarden van z het kwadraat van z; en teken elke keer deze beide vectoren in een plaatje. Wat valt je op?

38 Vijf minuten vragen Bepaal voor een aantal complexe waarden van z het kwadraat van z; en teken elke keer deze beide vectoren in een plaatje. Wat valt je op? De lengte van z 2 is het kwadraat van de lengte van z; de hoek van z is twee keer zo groot als die van z!

39 Kwadrateren In C zijn poolcoördinaten soms handig. Als dan is: z = [ r cos φ, r sin φ ] = r(cos φ + i sin φ) z 2 = r 2 (cos 2 φ sin 2 φ)+ i r 2 2 cos φ sin φ = r 2 (cos 2φ+ i sin 2φ)

40 Vermenigvuldigen Nog algemener z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ), z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) dan geldt met de zelfde gonio: z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(φ 1 + φ 2 ) + i sin(φ 1 + φ 2 ))

41 Vijf-minuten-vragen Bepaal als z 1 = i, z 2 = i bepaal y = z 1 z 2 en ga in een figuur na dat z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(φ 1 + φ 2 ) + i sin(φ 1 + φ 2 )) inderdaad klopt! Zo ook voor z 1 = 1, z 2 = 3.

42 Vijf-minuten-vraag In C zijn poolcoördinaten soms handig. Als z = [ r cos φ, r sin φ ] = r(cos φ + i sin φ) dan is: z 2 = r 2 (cos 2φ + i sin 2φ) Wat is dus (?) worteltrekken? Hoeveel wortels heeft bijvoorbeeld de vergelijking z 2 = i eigenlijk? En wat is z 3 uitgedrukt in z?

43 De belangrijkste functie (??) is de exponent-functie: f (z) = e z Voor z reeel kennen we de functie al. Een belangrijke eigenschap f (z 1 ) f (z 2 ) = e z1 e z 2

44 De belangrijkste functie (??) is de exponent-functie: f (z) = e z Voor z reeel kennen we de functie al. Een belangrijke eigenschap f (z 1 ) f (z 2 ) = e z1 e z 2 = e z 1+z 2

45 De belangrijkste functie (??) is de exponent-functie: f (z) = e z Voor z reeel kennen we de functie al. Een belangrijke eigenschap f (z 1 ) f (z 2 ) = e z1 e z 2 = e z 1+z 2 Dus als z = x + i y dan geldt f (z) = e z = e x+iy = e x e iy

46 De belangrijkste functie (??) is de exponent-functie: f (z) = e z Voor z reeel kennen we de functie al. Een belangrijke eigenschap f (z 1 ) f (z 2 ) = e z1 e z 2 = e z 1+z 2 Dus als z = x + i y dan geldt f (z) = e z = e x+iy = e x e iy Een andere belangrijke eigenschap: f (z) = e z d dz ez

47 De belangrijkste functie (??) is de exponent-functie: f (z) = e z Voor z reeel kennen we de functie al. Een belangrijke eigenschap f (z 1 ) f (z 2 ) = e z1 e z 2 = e z 1+z 2 Dus als z = x + i y dan geldt f (z) = e z = e x+iy = e x e iy Een andere belangrijke eigenschap: f (z) = e z d dz ez = e z

48 Wat is een complexe e-macht? We weten dat als z = x + i y: Dan geldt f (z) = e x+iy = e x e iy, f (z) = e z en dus, als z = i y: f (z) = e λz d dz eλz = λe λz d dz ez = e z d dy e i y = i e i y d2 dy 2 e i y = e i y Echter e i y is oplossing van de vergelijking d 2 g(y) = g(y) g(y) = A cos y + B sin y = e i y dy 2

49 Wat is een complexe e-macht? Conclusie: voor zekere A, B geldt: A cos y + B sin y = e i y Vul in y = 0: A 1 + B 0 = 1, Vul in na differentiëren, A 0 + B 1 = i ofwel en e i y = cos y + i sin y e z = e x (cos y + i sin y)

50 Wat is een complexe e-macht? Als z = x + i y (Euler, ) e z = e x (cos y + i sin y) Gevolg (en dit is veel moeilijker te bewijzen op de gewone manier, een manier die geen gebruik maakt van complexe functies): (DeMoivre, ) cos ny + i sin ny = e i ny = ( e i y) n = (cos y + i sin y) n

51 Vijf-minuten-vraag Bewijs de (allermooiste?) vergelijking in de wiskunde: e i π + 1 = 0. Daarin komen alle belangrijke getallen voor: i, e, π, 1, 0. Schrijf de volgende expressies in de standaardvorm z k = a k + b k i z 1 = e i π/4, z 2 = 2 exp(3 + i π/6), z 3 = exp(4 exp( i π/3)) z 4 = ( cos 2π 9 + i sin 2π ) 3 9, z5 = ( sin 2π 7 + i cos 2π ) 7 7

52 Vijf-minuten-vraag Gebruik de stelling van De Moivre om de volgende waarheden te bewijzen: (a) : sin 3θ = 3 cos 2 θ sin θ sin 3 θ, (b) : sin 2 θ + cos 2 θ = 1 Bereken I 1 = 2π 0 exp( i nθ) dθ Onderscheid het geval n = 0 en n 0. Bereken nu: I 2 = 2π 0 cos nθ dθ, I 3 = Onderscheid ook nu: n = 0 en n 0. 2π 0 sin nθ dθ,

53 Vijf-minuten-vraag Bereken alle oplossingen van de vergelijkingen a = ( 16) 1/2, b 3 = 1, c 5 = 1