7.1 Het aantal inverteerbare restklassen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "7.1 Het aantal inverteerbare restklassen"

Transcriptie

1 Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo M zijn er? Laten we dit aantal om te beginnen maar een naam geven, ϕ(m). Deze funktie van M staat bekend als de ϕ-funktie van Euler, of ook Euler s totientfunktie. Verder definiëren we ϕ(1) = 1. Volgens Stelling kunnen we ϕ(m) nu ook omschrijven als het aantal gehele getallen n met 0 < n M en ggd(n, M) = 1. Om enigszins een idee te krijgen van het verloop van ϕ(n) volgt hier een tabel van ϕ(m) voor m = 1,..., 16, m ϕ(m) Een nogal grillige funktie dus. Merk echter op dat als p priem is, dan ϕ(p) = p 1. Dit is duidelijk. Alle getallen 1, 2,..., p 1 zijn relatief priem met p. Verder geldt ook dat ϕ(p k ) = p k p k 1 voor elk priemgetal p en elke k N. Dit is ook niet lastig. Immers ϕ(p k ) is gelijk aan p k min het aantal gehele getallen in het interval [1, p k ] dat een deler gemeen heeft met p k. Merk op dat een getal n een deler gemeen heeft met p k precies dan als n deelbaar is door p. Het aantal p-vouden in het interval [1, p k ] is gelijk aan p k 1. Dus ϕ(p k ) = p k p k 1. In het bijzonder volgt uit het voorgaande dat voor p priem, ϕ(1) + ϕ(p) + ϕ(p 2 ) + + ϕ(p k ) = 1 + p 1 + p 2 p + + p k p k 1 = p k. Dit is een speciaal geval van de algemenere eigenschap dat voor elke n N geldt, ϕ(d) = n. d n Dit kunnen we als volgt zien. Met V d geven we de verzameling van gehele getallen in het interval [1, n] aan waarvan het ggd met n precies gelijk is aan d. Als 46

2 7.1. HET AANTAL INVERTEERBARE RESTKLASSEN 47 ggd(m, n) = d dan weten we dat ggd(m/d, n/d) = 1. Het aantal elementen in de verzameling V d is dus gelijk aan ϕ(n/d). Verder is {1, 2,..., n} de vereniging van alle V d met d n. Dus n = d n V d = d n ϕ(n/d) = d n ϕ(d). Met de notatie V d bedoelen we hier het aantal elementen van V d. Tenslotte heeft de ϕ-funktie de volgende multiplicatieve eigenschap. Er geldt namelijk ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) zodra ggd(m, n) = 1. Voor het bewijs hiervan gebruiken we de chinese reststelling. Beschouw de verzameling A van alle gehele getallen a met 1 a mn die relatief priem zijn met mn. Zij B de verzameling van alle geordende paren (b, c) met 1 b m, 1 c n en ggd(b, m) = 1, ggd(c, n) = 1. Tussen A en B bestaat een 1-1-duidig verband. Immers met a A correspondeert het tweetal resten bij deling van a door m respectievelijk n. Dit tweetal resten vormt een element van B. Omgekeerd kunnen we met de chinese reststelling bij elk paar (b, c) B een element a A vinden zó dat a b (mod m) en a c (mod n). Tussen haakjes, aan de voorwaarde ggd(m, n) = 1 voor gebruik van de chinese reststelling is voldaan. Het aantal elementen in A is ϕ(mn). Het aantal elementen in B is ϕ(m)ϕ(n). Dus volgt uit het 1-1-duidig verband tussen beide verzamelingen dat ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). We vatten de aldus gevonden resultaten samen, Stelling Zij ϕ(m) het aantal gehele getallen k die voldoen aan 1 k m en ggd(m, k) = 1. Dan gelden de volgende eigenschappen 1. ϕ(p k ) = p k p k 1 voor elk priemgetal p en elke k N. 2. d n ϕ(d) = n voor elke n N. 3. ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) voor elk tweetal m, n N met ggd(m, n) = 1. Een belangrijk gevolg is een recept om ϕ(m) uit te rekenen, Gevolg Stel m = p k 1 1 p k 2 2 p kr r. Dan geldt ϕ(m) = (p k 1 1 p k ) (p kr r p kr 1 r ). Anders geschreven, ϕ(m) = m p m p priem ( 1 1 ). p

3 48 HOOFDSTUK 7. CONGRUENTIES IN ACTIE We kunnen dit aantonen door herhaald gebruik te maken van de multiplicatieve eigenschap van ϕ, ϕ(m) = ϕ(p k 1 1 )ϕ(p k 2 2 ) ϕ(p kr r ) = (p k 1 1 p k ) (p k r r p k r 1 r ) ) ) (1 (1 1p1 1pr = p k 1 1 p k r r = m p m p priem ( 1 1 p ) 7.2 De stelling van Euler De volgende stelling is één van de fundamentele stellingen in het congruentierekenen en heeft een groot aantal toepassingen. Aan deze toepassingen zullen we in de loop van dit boek ook aandacht besteden. Stelling Zij M Z 2. Dan geldt voor elke a Z met ggd(a, M) = 1 dat a ϕ(m) 1 (mod M) Het bewijs van deze stelling is van een bewonderenswaardige elegantie. Geef de restklassen van (Z/MZ) aan met b 1 (mod M), b 2 (mod M),..., b ϕ(m) (mod M) We vermenigvuldigen elk van deze restklassen met a. De verzameling restklassen ab 1 (mod M), ab 2 (mod M),..., ab ϕ(m) (mod M) is weer precies (Z/MZ). Alleen is door vermenigvuldiging met a de volgorde van de elementen door elkaar gegooid. De produkten van de elementen uit deze verzamelingen zijn echter wel gelijk, b 1 b 2 b ϕ(m) ab 1 ab 2 ab ϕ(m) (mod M) a ϕ(m) b 1 b 2 b ϕ(m) (mod M) Delen we aan beide zijden de inverteerbare restklassen b i weg dan houden we 1 a ϕ(m) (mod M) over. Een speciaal geval van deze stelling hebben we al eens eerder gezien. M = p priem nemen dan vinden we Als we

4 7.3. ORDES 49 Gevolg Zij p priem en a Z niet deelbaar door p. Dan geldt, a p 1 1 (mod p) Dit is de kleine stelling van Fermat die we al eerder tegenkwamen, zie Stelling Het bewijs berust nu echter op het elegante bewijs van de stelling van Euler, hetgeen bevredigender is dan het folkloristische bewijs dat we in Hoofdstuk 5 gaven. In verband met de kleine stelling van Fermat vermelden we hier het volgende, nog onopgeloste, probleem. We weten dat p een deler is van 2 p 2 voor elke priem p. Enig experimenteren leert dat voor p = 1093 en 3511 geldt dat p 2 een deler is van 2 p 2. Verder zoeken levert verrassend weinig op en het blijkt dat de twee genoemde waarden de enige waarden van p < zijn waarvoor geldt dat 2 p 2 (mod p 2 ). Grote vraag is uiteraard, bestaan er oneindig veel priemgetallen p zó dat 2 p 2 (mod p 2 )? Niemand heeft enig idee hoe dit probleem aan te pakken. Een nog onverwachter vraag zonder oplossing is de volgende. Omdat van alle priemgetallen kleiner dan er slechts twee zijn waarvoor geldt 2 p 2 (mod p 2 ) zou men kunnen vermoeden dat er oneindig veel priemgetallen p zijn zó dat 2 p 2 precies één factor p bevat. Hoewel dit wel zeer waarschijnlijk lijkt heeft ook hier niemand enig idee hoe men met een bewijs moet beginnen. Uiteraard kunnen we dergelijke vragen ook stellen voor andere getallen van de vorm a p a. 7.3 Ordes Kies nu M Z 2 even vast. De stelling van Euler zegt blijkbaar dat er bij elke a Z met ggd(a, M) = 1 een natuurlijk getal k bestaat zó dat a k 1 (mod M). Kies zo n a en beschouw de verzameling E = {k N a k 1 (mod M)} Het kleinste element uit E noemen we de orde van a (mod M). Notatie: ord M (a). Het is duidelijk dat E een verschillenverzameling is. Dus is volgend Stelling elk element van E veelvoud van ord M (a). We maken hier een Lemma van, Lemma Zij M Z 2 en a Z met ggd(a, M). Stel a k 1 (mod M). Dan geldt dat ord M (a) k. Dit Lemma heeft een aantal onmiddelijke gevolgen. Stel bijvoorbeeld dat p een priemdeler is van a m 1 en niet van a 1, a 2 1,..., a m 1 1. Dan is m = ord p (a). Als p ook een deler is van a n 1 dan impliceert bovenstaand Lemma dat m n. Maar dit is precies Stelling Verder volgt uit de kleine stelling van Fermat dat p deler is van a p 1 1. Dus m deelt p 1, hetgeen precies Stelling is. We

5 50 HOOFDSTUK 7. CONGRUENTIES IN ACTIE zien dus dat de resultaten uit Hoofdstuk 5 teruggevoerd worden tot elementaire eigenschappen van ordes van inverteerbare restklassen. Laten we ter nadere oriëntatie eens een paar tabellen van ord M (a) opschrijven voor M = 7, 15 a ord 7 (a) a ord 15 (a) Merk allereerst op dat de ordes van de elementen inderdaad delers zijn van ϕ(7) = 6 respectievelijk ϕ(15) = 8. Er is echter ook een verschilpunt tussen de twee gevallen. Modulo 7 bestaat er een element van orde 6, namelijk 3 (en ook 5). Dit betekent, dat de restklassen 3 1, 3 2,..., allen verschillend zijn. Met andere woorden, de machten van 3 geven modulo 7 alle elementen van (Z/7Z). In het geval van (Z/15Z) is dat niet geval, er bestaan geen elementen van orde 8 en (Z/15Z) bestaat dus niet uit de machten van een of ander element. Het verschil zit hem in het feit dat 7 priem is en 15 niet. Om dit wat beter te zien gaan we de stelling van Euler wat verscherpen. Definieer voor elke M Z 2 het getal λ(m) = kgv p M (p k p k 1 ). In plaats van het product van p k p k 1 over alle priemdelers p van M, zoals bij de berekening van ϕ(m), nemen we nu het kleinste gemene veelvoud van deze getallen. Merk op dat p k p k 1 even is, tenzij p k = 2. Als M dus twee primaire factoren, elk groter dan 2, bevat dan geldt λ(m) < ϕ(m). Een voorbeeld, λ(15) = kgv(2, 4) = 4 en is dus kleiner dan ϕ(15) = 8. De verscherping van Euler s stelling gaat nu als volgt, Stelling Zij M Z 2. Dan geldt voor elke a Z met ggd(a, M) = 1 dat a λ(m) 1 (mod M). Het bewijs volgt door de opmerking dat voor elke priemdeler p van M geldt a pk p k 1 1 (mod p k ), waarin p k het getal M precies deelt. Dit is Euler s stelling toegepast modulo p k. Automatisch volgt hieruit dat a λ(m) 1 (mod p k ). Anders gezegd, p k deelt a λ(m) 1 voor elke primaire factor p k van M. Dus deelt het product, dat wil zeggen M zelf, het getal a λ(m) 1 ook. Definitie Een geheel getal g zó dat {g, g 2,..., g ϕ(m) } = (Z/MZ), noemen we een primitieve wortel modulo M

6 7.4. PRIMITIEVE WORTELS 51 Uit de verfijning van de stelling van Euler hebben we gezien dat als M twee verschillende primaire factoren, elk groter dan 2 bevat, er geen primitieve wortel modulo M kan zijn, omdat altijd g λ(m) 1 (mod M), waarbij λ(m) < ϕ(m). De enige getallen M waarbij nog een primitieve wortel modulo M kan bestaan zijn de machten van priemgetallen en tweemaal de machten van priemgetallen. We zullen deze kwestie in de volgende paragraaf aanpakken en laten zien dat er altijd een primitieve wortel modulo een priemgetal bestaat. We gaan hier nog wat spelen met ordes van elementen modulo M. We willen uit elementen waarvan de orde bekend is, een nieuw element te maken waarvan de orde het kgv is van de oorspronkelijke ordes is. We doen dit met behulp van een tweetal Lemmas die ook in de volgende paragraaf goed van pas komen. Lemma Zij a, b (Z/MZ) en stel dat hun ordes A = ord M (a) en B = ord M (b) relatief priem zijn. Dan heeft ab orde AB. In ieder geval geldt dat (ab) AB a AB b AB 1 B 1 A 1 (mod M). Dus ord M (ab) deelt AB. Stel omgekeerd (ab) k 1 (mod M). Verhef aan beide zijden tot de macht A. Dan geldt a Ak b Ak 1 (mod M). Omdat a A 1 (mod M), volgt hieruit b Ak 1 (mod M). Gevolg, B deelt Ak en omdat ggd(a, B) = 1 geldt dat B k. Op dezelfde manier leiden we af dat A k. Omdat nog steeds ggd(a, B) = 1 volgt uit A k, B k dat AB k. In het bijzonder AB ord M (ab). We concluderen dat ord M (ab) = AB. Hier is nog een nuttige hulpstelling. Lemma Stel dat a 1, a 2,..., a m (Z/MZ). Stel A = kgv(ord M (a 1 ),..., ord M (a m )). Dan is er een element b (Z/MZ) zó dat ord M (b) = A. Stel dat A = p k 1 1 p kr r de priemontbinding van A is. Wij beweren dat er voor elke i = 1,..., r een element b i (Z/MZ) bestaat zó dat ord M (b i ) = p k i Omdat A een kleinste gemene veelvoud is, bestaat er immers een j zó dat p k i i deler is van A j = ord M (a j ). Maar dan heeft a A j/p k i i j precies orde p k i i waarmee we ons gewenste element b i gevonden hebben. Omdat de zo gevonden elementen b 1, b 2,..., b r de ordes p k 1 1,..., p k r r hebben en deze ordes relatief priem zijn, volgt uit het voorgaande lemma dat b 1 b 2... b r precies de orde p k 1 1 p k r r = A heeft. Hiermee is ons element b gevonden. 7.4 Primitieve wortels Hoofdresultaat van deze paragraaf is de volgende stelling. i.

7 52 HOOFDSTUK 7. CONGRUENTIES IN ACTIE Stelling Voor elk priemgetal p bestaat er een primitieve wortel modulo p. Het bewijs presenteren we aan het eind van deze paragraaf. Eerst geven we wat voorbeelden. Kies p = 71. Dank zij deze stelling weten we dat er een primitieve wortel is. Laten we er één bepalen. Probeer eerst 2. We weten dat ord 71 (2) een deler van 71 1 = 70 is. Merk op dat de priemdelers van 70 gegeven worden door 2, 5, 7. Test eerst 2 d (mod 71) voor de delers d = 70/2, 70/5, 70/7 = 35, 14, 10 van 71. We vinden dat (mod 71). Dus 2 is geen primitieve wortel modulo 71. We proberen vervolgens 3 als primitieve wortel. Wederom blijkt dat (mod 71). Daarom proberen we vervolgens 5 (waarom wordt 4 overgeslagen?). Het blijkt dat (mod 71) en ook (mod 71). Tenslotte blijkt dat 7 35, 7 14, 7 10 allen ongelijk 1 modulo 71 zijn en dus is 7 een primitieve wortel modulo 71. Hoewel deze methode om primitieve wortels te zoeken erg naïef is, is dit in feite de enige methode om primitieve wortels modulo een priemgetal te vinden. In de volgende tabel staan de kleinste primitieve wortels w modulo de priemgetallen p tot 100. p w p w Een korte blik hierop leert ons dat er geen enkel systeem zit in deze rij waarden. Men heeft wel enkele vermoedens. Als een diep vermoeden uit de analytische getaltheorie, de zogenaamde Gegeneraliseerde Riemann Hypothese, waar is dan kan men de volgende uitspraak aantonen. Vermoeden Voor elk priemgetal p bestaat er een natuurlijk getal g met g < 2(log(p)) 2 zó dat g primitieve wortel modulo p is. Het beste resultaat dat men tot dusver kan aantonen is dat er een primitieve wortel g < p 1/4 bestaat (Burgess, 1962). Bij het bekijken van tabellen als het bovenstaande zou men wellicht tot het volgende vermoeden kunnen komen, Vermoeden (E.Artin) Het getal 2 is een primitieve wortel modulo p voor oneindig veel priemgetallen p. Ook hier geldt dat dit vermoeden waar is als de gegeneraliseerde Riemann hypothese waar is. Uiteraard kunnen we soortgelijke vermoedens voor andere getallen dan 2 opstellen. Echter, bij gebrek aan concrete resultaten zullen we hier verder niet over uitweiden.

8 7.4. PRIMITIEVE WORTELS 53 Het belangrijkste ingredient in het bewijs van Stelling is het feit dat polynomen modulo p, met p priem niet meer nulpunten kunnen hebben dan hun graad bedraagt. Even ter herinnering, een polynoom is een uitdrukking van de vorm P = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 waarin a 0,, a n Z. We spreken van een polynoom modulo p als we de coëfficienten modulo p beschouwen. Als a n 0 (mod p) dan zeggen we dat P (mod p) graad n heeft. Als alle coëfficienten a i nul modulo p zijn dan noemen we het polynoom P (mod p) triviaal. Er geldt nu de volgende stelling. Stelling Zij P (mod p) een niet-triviaal polynoom van graad n. Dan heeft de congruentievergelijking P (x) 0 (mod p) hoogstens n restklassen x modulo p als oplossing. Als we met gehele of rationale coëfficienten zouden werken, dan komt deze stelling waarschijnlijk bekend voor, het aantal nulpunten van een polynoom kan niet groter dan de graad zijn. Het bewijs dat we voor Stelling geven gaat ook op voor polynomen met gehele of rationale coëfficienten. Merk op dat als n >= p deze stelling vanzelfsprekend is, omdat er niet meer dan p restklassen modulo p zijn. Een andere opmerking is dat alleen polynoomvergelijkingen modulo priemgetallen deze eigenschap hebben. Voor samengestelde getallen gaat het fout. Beschouw bijvoorbeeld de polynomiale congruentievergelijking x 2 1 (mod 24). Deze heeft de restklassen 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 (mod 24) als oplossing. Veel meer dan de graad 2 in dit geval. Het bewijs van de stelling gaat via volledige inductie naar de graad n. Als n = 0 dan is de stelling duidelijk. Polynomen van graad nul zijn de constante polynomen a 0 met a 0 0 en wat we ook voor x kiezen nooit zullen a 0 en 0 gelijk worden modulo p. Er zijn dus nul oplossingen. Stel nu n > 0 en neem aan dat de stelling geldt voor alle niet-triviale polynomen van graad kleiner dan n. Zij f(x) een polynoom van graad n en stel dat de coëfficient van X n gelijk is aan a 0 (mod p). Stel dat f(x) 0 (mod p) minstens n verschillende oplossingen heeft. Geef ze aan met x 1, x 2,..., x n. We laten eerst zien dat f(x) a(x x 1 ) (X x n ) (mod p). Merk namelijk op dat de graad van g(x) = f(x) a(x x 1 ) (X x n ) kleiner dan n is. Ga verder na dat g(x i ) 0 (mod p) voor i = 1, 2,..., n. Dus g heeft n nulpunten. Maar volgens onze induktiehypothese kan een polynoom van graad < n nooit n nulpunten modulo p hebben, tenzij dat polynoom triviaal is. Dus is g(x) triviaal modulo p. Gevolg f(x) a(x x 1 ) (X x n ) (mod p). Stel vervolgens, dat f nog een nulpunt ξ heeft. Dan geldt f(ξ) 0 (mod p) en dus, a(ξ x 1 ) (ξ x n ) 0 (mod p). Dus p deelt het produkt van de getallen ξ x i. Omdat p een priemgetal is moet p één van deze faktoren delen. Dit is het enige moment waarop we van de primialiteit van p gebruikmaken! Er is een i met 1 i n zó dat ξ x i (mod p). Dus elk nulpunt is modulo p gelijk aan één van de x i. Er kunnen dus niet meer dan n nulpunten van f modulo p zijn.

9 54 HOOFDSTUK 7. CONGRUENTIES IN ACTIE Het bewijs van Stelling is nu niet lastig meer. Zij E het kgv van alle ordes ord p (a) voor a = 1, 2,..., p 1. We weten dat E een deler is van p 1, want p 1 is een veelvoud van elke ord p (a). Dus E p 1. Anderzijds geldt a E 1 (mod p) voor a = 1, 2..., p 1. Dus heeft X E 1 precies p 1 verschillende nulpunten. Volgens onze stelling over polynomen modulo p moet dus gelden E p 1. We concluderen dat E = p 1. Pas nu Lemma toe, dat zegt dat er een element met orde E = p 1 bestaat. Er bestaan ook primitieve wortels modulo p k als p een oneven priem is. Stelling Zij p een oneven priemgetal en k N. Dan bestaat er een primitieve wortel modulo p k. Omdat we deze stelling later niet echt nodig zullen hebben geven we er hier ook geen bewijs voor. Merkwaardig genoeg bestaan er modulo 2 k geen primitieve wortels als k 3. Voor k = 3 zien we dit bijvoorbeeld uit het feit dat x 2 1 (mod 8) voor x = 1, 3, 5, 7. Modulo 2 en 4 zijn er wel primitieve wortels, namelijk 1 respectievelijk 1.

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1) Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen

Nadere informatie

Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties

Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties Hoofdstuk 6 Congruentierekening 6.1 Congruenties We hebben waarschijnlijk allemaal wel eens opgemerkt dat bij vermenigvuldigen van twee getallen de laatste cijfers als het ware meevermenigvuldigen. Stel

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal

Nadere informatie

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002 RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven

Nadere informatie

7 Deelbaarheid. 7.1 Deelbaarheid WIS7 1

7 Deelbaarheid. 7.1 Deelbaarheid WIS7 1 WIS7 1 7 Deelbaarheid 7.1 Deelbaarheid Deelbaarheid Voor geheeltallige d en n met d > 0 zeggen we dat d een deler is van n, en ook dat n deelbaar is door d, als n d een geheel getal is. Notatie: d\n k

Nadere informatie

Priemontbinding en ggd s

Priemontbinding en ggd s Hoofdstuk 3 Priemontbinding en ggd s 3.1 Priemgetallen Een getal > 1 dat alleen 1 en zichzelf als positieve deler heeft noemen we een priemgetal. De rij priemgetallen begint als volgt, 2, 3, 5, 7, 11,

Nadere informatie

Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element.

Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element. Hoofdstuk 5 Cyclische groepen 5.1 Definitie Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element. Als G wordt voortgebracht door a en a n = e, dan noteren we de groep als C n = a.

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

Hoofdstuk 18. Het abc-vermoeden Introductie

Hoofdstuk 18. Het abc-vermoeden Introductie Hoofdstuk 18 Het abc-vermoeden 18.1 Introductie In de gehele getallen zijn optelling en vermenigvuldiging de belangrijkste bewerkingen. Als we echter uitsluitend naar de optelstructuur van de gehele getallen

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2 Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van

Nadere informatie

cyclotomische polynomen

cyclotomische polynomen Coëfficiënten van cyclotomische polynomen Joris Luijsterburg Studentnummer: 0314137 Maart 2009 Bachelorscriptie Onder begeleiding van Dr. W. Bosma Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan

Nadere informatie

Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur

Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur Geef een goede onderbouwing van je antwoorden. Succes! 1. (a) (10 pt) Ontbindt het polynoom X 3 3X+3 in irreducibele factoren in Q[X] en in

Nadere informatie

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten Hoofdstuk 12 Sommen van kwadraten 12.1 Sommen van twee kwadraten In Hoofdstuk 11 hebben we gezien dat als p een oneven priemdeler van a 2 + b 2 is, en p deelt niet zowel a als b, dan is p gelijk aan 1

Nadere informatie

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,

Nadere informatie

Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie

Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste

Nadere informatie

Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002

Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 19.a) Laat zien dat 5 een voortbrenger is van F 37. b) In het sleuteldistributiesysteem van Diffie en Hellman (met G = F 37, α =

Nadere informatie

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen 46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:

Nadere informatie

Enkele valkuilen om te vermijden

Enkele valkuilen om te vermijden Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

6 Ringen, lichamen, velden

6 Ringen, lichamen, velden 6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is,

Nadere informatie

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave.

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Opgave 6 Lesbrief, opgave 4.5 De getallen m en n zijn verschillende positieve gehele getallen zo, dat de laatste drie cijfers van 1978 m en 1978 n overeenstemmen.

Nadere informatie

Hoofdstuk 4. Delers. 4.1 Delers (op)tellen

Hoofdstuk 4. Delers. 4.1 Delers (op)tellen Hoofdstuk 4 Delers 4. Delers (op)tellen Ieder getal heeft zijn delers. Van oudsher heeft het onvoorspelbare gedrag van delers van getallen een aantrekkingskracht uitgeoefend op mensen. Zozeer zelfs dat

Nadere informatie

Algoritmes en Priemgetallen. Hoe maak je een sleutelpaar voor RSA?

Algoritmes en Priemgetallen. Hoe maak je een sleutelpaar voor RSA? Algoritmes en Priemgetallen Hoe maak je een sleutelpaar voor RSA? Het recept van RSA Kies p q priemgetallen en bepaal N = pq Kies e Z N (publieke sleutel) Bepaal d e 1 mod φ N (privésleutel) x ed x kφ

Nadere informatie

V.4 Eigenschappen van continue functies

V.4 Eigenschappen van continue functies V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt

Nadere informatie

Getallen, 2e druk, extra opgaven

Getallen, 2e druk, extra opgaven Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in

Nadere informatie

IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 2017

IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 2017 IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Gegeven is cirkel ω met middellijn AK. Punt M ligt binnen de cirkel, niet op lijn AK. De lijn AM snijdt

Nadere informatie

Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos

Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos Wobien Doyer Lieke de Rooij Volgens de titel is deze puzzel zonder doel, dus zonder bekende toepassing. Het doel is echter nul en dat is zeker in de wiskunde niet niks.

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 2017, 14:00 17:00

Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 2017, 14:00 17:00 Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 207, 4:00 7:00 Je mocht zoals gezegd niet zonder uitleg naar opgaven verwijzen. Sommige berekeningen zijn hier weggelaten. Die moest je op je tentamen wel laten zien.

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 9 juni 2012

Uitwerkingen toets 9 juni 2012 Uitwerkingen toets 9 juni 0 Opgave. Voor positieve gehele getallen a en b definiëren we a b = a b ggd(a, b). Bewijs dat voor elk geheel getal n > geldt: n is een priemmacht (d.w.z. dat n te schrijven is

Nadere informatie

Mersenne- en Fermatgetallen

Mersenne- en Fermatgetallen Hoofdstuk 5 Mersenne- en Fermatgetallen 5.1 Mersennegetallen Uit Hoofdstuk 4 is naar voren gekomen dat getallen van de vorm 2 n 1 met n 2 en hun al of niet priem zijn van belang is voor de constructie

Nadere informatie

Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger

Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken Benne de Weger 28 aug. / 4 sept. RSA 1/38 asymmetrisch cryptosysteem versleutelen met de publieke sleutel ontsleutelen met de bijbehorende privé-sleutel gebaseerd

Nadere informatie

1 Kettingbreuken van rationale getallen

1 Kettingbreuken van rationale getallen Kettingbreuken van rationale getallen Laten we eens starten met een breuk bijvoorbeeld 37/3 Laten we hier ons kettingbreuk algoritme op los, We concluderen hieruit dat 37 3 3 + 3 + + 37 3 + + + hetgeen

Nadere informatie

Dossier 3 PRIEMGETALLEN

Dossier 3 PRIEMGETALLEN Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,

Nadere informatie

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

Public Key Cryptography. Wieb Bosma

Public Key Cryptography. Wieb Bosma Public Key Cryptography de wiskunde van het perfecte kopje koffie Wieb Bosma Radboud Universiteit Nijmegen Bachelordag 2 april 2011 Nijmegen, 6 november 2010 0 Nijmegen, 6 november 2010 1 cryptografie

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

2. Ga voor volgende relaties na of het al dan niet functies, afbeeldingen, bijecties, injecties, surjecties zijn :

2. Ga voor volgende relaties na of het al dan niet functies, afbeeldingen, bijecties, injecties, surjecties zijn : HOOFDSTUK. VERZAMELINGEN, RELATIES EN FUNCTIES Opgaven verzamelingen, relaties en functies. Toon aan : a) (A B) C = A (B C) b) A (B C) = (A B) (A C) c) (A B) c = A c B c d) A B B c A c. Ga voor volgende

Nadere informatie

Priemtesten en priemontbinding

Priemtesten en priemontbinding Hoofdstuk 8 Priemtesten en priemontbinding 8.1 Complexiteit We hebben het al in eerdere hoofdstukken gezegd, ontbinding van grote getallen in priemfactoren is moeilijk. Ontbinding van willekeurige getallen

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.

Cover Page. The handle  holds various files of this Leiden University dissertation. Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/20310 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Jansen, Bas Title: Mersenne primes and class field theory Date: 2012-12-18 Samenvatting

Nadere informatie

Algebra. voor Informaticastudenten Getallen. Ernic Kamerich. Jean Delville: de school van Plato

Algebra. voor Informaticastudenten Getallen. Ernic Kamerich. Jean Delville: de school van Plato Algebra voor Informaticastudenten Getallen Jean Delville: de school van Plato Ernic Kamerich januari 2007 Inhoud 1 De gehele getallen..........................................................................

Nadere informatie

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde

Nadere informatie

PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5

PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 2015-2015 PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 Inhoud Kenmerken van deelbaarheid (herhaling)...1 Ontbinden in factoren...1 Priemgetallen (herhaling)...2 Ontbinden in priemfactoren...2 KGV (Kleinste Gemene

Nadere informatie

REPRESENTATIES DOOR KWADRATISCHE VORMEN ERIK LEPPEN

REPRESENTATIES DOOR KWADRATISCHE VORMEN ERIK LEPPEN REPRESENTATIES DOOR KWADRATISCHE VORMEN ERIK LEPPEN 6 april 200 Abstract In deze scriptie wordt op zoek gegaan naar formules voor het aantal representaties van een getal n door een kwadratische vorm Q,

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

Extra oefeningen hoofdstuk 4: Deelbaarheid

Extra oefeningen hoofdstuk 4: Deelbaarheid Extra oefeningen hoofdstuk 4: Deelbaarheid 4.1 Delers en veelvouden 1 Bepaal door opsomming. a) del 84 =... b) del 13 =... c) del 44 =... d) del 89 =... e) del 1 =... f) del 360 =... 2 Bepaal de eerste

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De

Nadere informatie

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 3 De Nullstellensatz 1. De zwakke Nullstellensatz Stelling 1.1. Zij K een algebraïsch gesloten lichaam en zij I een ideaal in K[x] = K[x 1,...,

Nadere informatie

Groepen, ringen en velden

Groepen, ringen en velden Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 februari 2009 INDUCTIE & RECURSIE Paragrafen 4.3-4.6 Discrete Structuren Week 3:

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

1. REGELS VAN DEELBAARHEID.

1. REGELS VAN DEELBAARHEID. REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden

Nadere informatie

De Chinese reststelling

De Chinese reststelling De Chinese reststelling 1 Inleiding 1. De Chinese reststelling is een stelling binnen de getaltheorie. De stelling werd voor het eerst beschreven in de vierde eeuw na Chr. door de Chinese wiskundige Sunzi

Nadere informatie

Bewijs door inductie

Bewijs door inductie Bewijs door inductie 1 Bewijs door inductie Vaak bestaat een probleem erin aan te tonen dat een bepaalde eigenschap geldt voor elk natuurlijk getal. Als je wilt weten of iets waar is voor alle natuurlijke

Nadere informatie

De pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: [ H =

De pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: [ H = Oplossing examen TAI 11 juni 2008 Veel plezier :) Vraag 1 De pariteitstestmatrix van de (6,4) Hamming-code over GF(5) is de volgende: H = [ 1 0 1 2 3 ] 4 0 1 1 1 1 1 (a) Bepaal de bijhorende generatormatrix

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade

Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade Met uitwerkingen Birgit van Dalen, Julian Lyczak, Quintijn Puite Dit trainingsmateriaal is deels gebaseerd op materiaal

Nadere informatie

Lineaire recurrente rijen

Lineaire recurrente rijen Hilal Moussa Lineaire recurrente rijen Bachelorscriptie, 17 juni 2010 Scriptiebegeleider: J.-H. Evertse Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden 1 Inhoudsopgave Inleiding... 3 1. Lineaire recurrente

Nadere informatie

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra

4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra 4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra Positieve en niet-negatieve matrices komen veel voor binnen de stochastiek (zoals de PageRank matrix) en de mathematische fysica: temperatuur, dichtheid,

Nadere informatie

Irrationaliteit en transcendentie

Irrationaliteit en transcendentie Hoofdstuk 9 Irrationaliteit en transcendentie 9. Irrationale getallen In dit hoofdstuk zullen we aannemen dat de lezer weet wat reële getallen zijn, hoewel dat misschien niet helemaal gerechtvaardigd is.

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Heron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule

Heron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule Heron driehoek 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule = s(s a)(s b)(s c) met s = a + b + c 2 die gebruikt wordt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen in

Nadere informatie

Hoofdstuk 16. De vergelijking van Pell De oplossing. Stel dat N N geen kwadraat is. Beschouw de vergelijking. x 2 Ny 2 = 1

Hoofdstuk 16. De vergelijking van Pell De oplossing. Stel dat N N geen kwadraat is. Beschouw de vergelijking. x 2 Ny 2 = 1 Hoofdstuk 16 De vergelijking van Pell 16.1 De oplossing Stel dat N N geen kwadraat is. Beschouw de vergelijking x Ny = 1 in de onbekenden x, y Z 0. We noemen dit soort vergelijking de vergelijking van

Nadere informatie

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45 15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

Discrete Structuren voor Informatici

Discrete Structuren voor Informatici Discrete Structuren voor Informatici 1 Eenvoudige telproblemen Dit zijn aantekeningen voor het college Discrete Structuren voor Informatici, Blok A, herfst 2008. We behandelen een aantal telproblemen,

Nadere informatie

Grafieken van veeltermfuncties

Grafieken van veeltermfuncties (HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken

Nadere informatie

met gehele getallen Voer de volgende berekeningen uit: 1.1 a. 873 112 1718 157 3461 + 1.2 a. 9134 4319 b. 4585 3287 b. 1578 9553 7218 212 4139 +

met gehele getallen Voer de volgende berekeningen uit: 1.1 a. 873 112 1718 157 3461 + 1.2 a. 9134 4319 b. 4585 3287 b. 1578 9553 7218 212 4139 + I Getall 0 e π 8 9 Dit deel gaat over het rek met getall. Ze kom in allerlei soort voor: positieve getall, negatieve getall, gehele getall, rationale irrationale getall. De getall, π e zijn voorbeeld van

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID

Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID 1 H6. Deelbaarheid Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 203-230 ) 6.1 Delers en veelvouden Verklaren waarom een natuurlijk getal (wel of geen) deler is van een ander natuurlijk

Nadere informatie

De partitieformule van Euler

De partitieformule van Euler De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg

Nadere informatie

Spookgetallen. Jan van de Craats en Janina Müttel

Spookgetallen. Jan van de Craats en Janina Müttel Spookgetallen Jan van de Craats en Janina Müttel leadtekst In de serie Open Problemen deze keer drie beroemde onopgeloste raadsels. Je kunt er geen miljoen dollar mee winnen, maar wel onsterfelijke roem.

Nadere informatie

Perfecte getallen en Leinster groepen

Perfecte getallen en Leinster groepen Faculteit Wetenschappen Departement Wiskunde Perfecte getallen en Leinster groepen Bachelorproef 1 Lukas Boelens Promotor: Dr. Andreas Bächle 29 januari 2015 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Perfecte getallen

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID

Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID 1 H6. Deelbaarheid Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 203-230 ) 6.1 Delers en veelvouden Verklaren waarom een natuurlijk getal (wel of geen) deler is van een ander natuurlijk

Nadere informatie

handleiding ontbinden

handleiding ontbinden handleiding ontbinden inhoudsopgave inhoudsopgave de grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 4 Applets 4 1 met gegeven product 4 ontbinden van getallen 4 3 vergelijkingen 5 4 onderzoek 6 tijdpad 9 materialen

Nadere informatie

Katernen. regionale training. tweede ronde. Nederlandse Wiskunde Olympiade

Katernen. regionale training. tweede ronde. Nederlandse Wiskunde Olympiade Katernen voor de regionale training ten behoeve van de tweede ronde van de Nederlandse Wiskunde Olympiade NEDERLANDSE WISKUNDE OLYMPIADE Birgit van Dalen Julian Lyczak Quintijn Puite Inhoudsopgave Katern

Nadere informatie

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1 WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We

Nadere informatie

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl OP WEG NAAR WISKUNDE Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl Voor kinderen die iets meer willen weten en begrijpen van wiskunde, bijvoorbeeld als voorbereiding op de middelbare

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

PRIJEN en PRIPRIJEN Werkblad Rationale rechthoekige driehoeken

PRIJEN en PRIPRIJEN Werkblad Rationale rechthoekige driehoeken PRIJEN en PRIPRIJEN Werkblad Rationale rechthoekige driehoeken Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk

Nadere informatie

Het doel van dit Hoofdstuk is een inleiding te geven in de theorie van kettingbreuken,

Het doel van dit Hoofdstuk is een inleiding te geven in de theorie van kettingbreuken, Kettingbreuken Het doel van dit Hoofdstuk is een inleiding te geven in de theorie van kettingbreuken en enkele toepassingen daarvan te geven.. Eindige kettingbreuken Een aardige manier om kettingbreuken

Nadere informatie

Volledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen.

Volledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen. Hoofdstuk 7 Volledige inductie Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen we het volgende: (i) 0 V (ii) k N k V k + 1 V Dan is V = N. Men ziet dit als

Nadere informatie

De telduivel. Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen

De telduivel. Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen De telduivel Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen Een praktische opdracht voor leerlingen van 5VWO met wiskunde B DE TELDUIVEL Inleiding Wiskunde? Hou op zeg! Voor

Nadere informatie

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. . Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn

Nadere informatie

Constructie der p-adische getallen

Constructie der p-adische getallen Constructie der p-adische getallen Pim van der Hoorn Marcel de Reus 4 februari 2008 Voorwoord Deze tekst is geschreven als opdracht bij de cursus Kaleidoscoop 2007 2008 aan de Universiteit Utrecht. De

Nadere informatie

Op weg naar de Riemann Hypothese

Op weg naar de Riemann Hypothese R.C. Pollé Op weg naar de Riemann Hypothese Doctoraalscriptie, verdedigd op 7 april 2006 Scriptiebegeleider: Dr. H. Finkelnberg Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 5

Nadere informatie

Congruente getallen. Frans Oort. Kaleidoscoop voordracht Utrecht, 10 februari 2009

Congruente getallen. Frans Oort. Kaleidoscoop voordracht Utrecht, 10 februari 2009 Congruente getallen Frans Oort Kaleidoscoop voordracht Utrecht, 10 februari 2009 Inleiding In deze voordracht bestuderen we het probleem van de Congruente Getallen, dat in een 10-de eeuws Arabisch manuscript

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

Elliptische krommen en hun topologische aspecten

Elliptische krommen en hun topologische aspecten Elliptische krommen en hun topologische aspecten René Pannekoek 25 januari 2011 Dit is een korte introductie tot elliptische krommen voor het bachelorseminarium van de Universiteit Leiden. De bespreking

Nadere informatie