Steunpunt TU/e-Fontys

Transcriptie

1 Steunpunt TU/e-Fontys Activiteiten en ervaringen 5 Hans Sterk (sterk@win.tue.nl) Where innovation starts

2 Inhoud 2/17 Steunpunt Wiskunde D Cursussen voor docenten Complexe getallen (Analytische) Meetkunde Dynamische modellen Leerlingenactiviteiten Practica Gastlessen

3 Steunpunt Wiskunde D 3/17 Kerngroep Wiskunde D: groep docenten, komt aantal keren per jaar bij elkaar Draagt bij aan ontwikkeling spullen Becommentarieert lesmateriaal Bereidt regionale bijeenkomsten voor Website Spullen rondom wiskunde D zijn hier te vinden: Syllabi Aanvullingen Aankondigingen

4 Cursussen 4/17 We verzorgen cursussen die met name vakinhoudelijke achtergronden bieden bij diverse onderwerpen. Analytische meetkunde: met name vakinhoudelijke cursus die verbanden legt op een hoger niveau dan de schoolstof; en soms ingaan op schoolstof. Historische aspecten (Diophantus, Fermat, Descartes, MO A,...) Met welke takken van moderne wiskunde is AM verwant? Invalshoeken: vectormeetkunde, klassieke meetkunde, projectieve meetkunde Relatie met klassieke meetkunde (waar is de een sterker dan de ander?), diophantische vergelijkingen,... Verzoeken van deelnemers

5 Lineaire diophantische vergelijkingen 5/17 Voorbeeld: de vergelijking 3x + 2y = 5, op te lossen in gehele getallen of rationale getallen. Rationale oplossingen Voor elke rationale y vinden we precies één rationale x via x = 5/3 2y/3. Gehele oplossingen Uitgaande van x = 5/3 2y/3 zien we: y van de vorm y = 1 + 3t. Daaruit: x = 1 2t, y = 1 + 3t Er zijn oneindig veel geheeltallige oplossingen. Gehele oplossingen en modulorekenen Als je modulo 3 rekent reduceert de vergelijking tot 2y 5 (mod 3) ofwel 2y 2 (mod 3) Modulo 3 heeft deze vergelijking precies één oplossing: y y = 1 + 3t. (mod 3). Zo kom je weer bij

6 Kwadratische diophantische vergelijkingen 6/17 Een meetkundige manier om Pythagoreïsche drietallen te vinden, de geheeltallige oplossingen van x 2 + y 2 = z 2 : x = m 2 n 2, y = 2mn, z = m 2 + n 2 ( 1,0) y=m(x+1) Herformulering: i.p.v. x 2 + y 2 = z 2 de vergelijking x 2 + y 2 = 1 oplossen in rationale getallen. Achterliggend idee: heb je één rationale oplossing en gaat de rechte ax + by = c met rationale a, b, c door deze oplossing, dan is de tweede oplossing ook rationaal. Toepassing: voor elke rationale r gaat y = r(x + 1) door ( 1, 0). Snijden met de cirkel: Dus x 2 + r 2 (x + 1) 2 = 1, of (1 + r 2 )x 2 + 2r 2 x + r 2 1 = 0. x = 2r2 ± 4r 4 4(r 2 + 1)(r 2 1) 2 + 2r 2 = 2r2 ± r 2 zodat x = 1 of: x = 1 r2 2r en y =. Via r = n/m kom je op bovenstaande drietallen. 1 + r2 1 + r2

7 Cursussen: AM en bouwkundige ontwerpen Gegeven: rechte l : x = s(0, 1, 1) en rechte m : x = (1, 0, 0) + t(0, 1, 1). Constructie regeloppervlak S: rechten van S evenwijdig met x, z-vlak en snijden l als m. 7/17 Parametervoorstelling x = (0, s, s) + λ(1, 0, 2s); vergelijking z = y 2xy. Uitstapje differentiaalmeetkunde: S is de grafiek van de functie f(x, y) = y 2xy. De kromming is in elk punt van S negatief. f xx f yy f 2 xy (1 + f 2 x + f 2 y ) 2 Er is ook een formule voor de kromming in termen van een parametervoorstelling. Daaraan kun je zien dat in het algemeen de kromming van een regeloppervlak niet-positief is.

8 Cursussen 8/17 Complexe getallen: een soortgelijk lijstje, met ook bijv Wat zijn manieren om complexe getallen in te voeren? Wat is er voor/tegen om te beginnen met i = 1? Wel of niet beginnen met het complexe vlak? Zijn er andere getalsystemen waarin je zoiets als een i kunt maken? Een bewijs van de hoofdstelling van de algebra: elk polynoom van graad 1 met complexe coëfficiënten heeft een nulpunt. Nut van de complexe getallen: bij signaalanalyse (Fourierreeksen) Verbanden: uit (2 + i)(3 + i) = 5 + 5i volgt arctan arctan 1 3 = π 4 Nu reeks voor arctan x = x2n+1 n=0 ( 1)n 2n+1 = x x3 3 + x5 5 inzetten: π 4 = ( 1) n 1 (2n + 1)2 2n+1 + ( 1) n 1 (2n + 1)3 2n+1 n=0 Nog snellere convergentie met (5 + i) 4 ( i) = i... n=0

9 Practica: Complexe getallen 9/17 Een practicum dat we geregeld verzorgen: complexe getallen. Voorkennis leerlingen: tot en met meetkundige voorstelling van complexe getallen (polaire notatie, meetkundige betekenis van vermenigvuldigen). Hoeft niet per se uit TU/e-materiaal. Practicum uur 1: wennen aan complexe getallen met software Rekenkundige bewerkingen Vergelijkingen oplossen Tekenen van complexe getallen Practicum uur 2 + 3: werken aan de eindopdracht Figuren manipuleren in het vlak Werken aan de eindopdracht: een logo van de school of sectie wiskunde ontwerpen.

10 Practica: Complexe getallen 10/17

11 Practica: Crypto 11/17 Een practicum dat we (= Ernst Lambeck) net gereed hebben en op meerdere manieren in te vullen is, bijvoorbeeld: Deel 1: Diffie-Hellman (door Benne de Weger), over een moderne techniek voor een geheimschrift Voor vwo 5; weinig voorkennis vereist Ook in de vorm van een gastles mogelijk (maar wel een lokaal met computers benodigd) Deel 2: Cryptosysteem RSA en de ontbindingsmethode van Fermat Voorkennis: Deel van (bijvoorbeeld TU/e-)module crypto. Gaat in op mogelijke zwakheden van RSA-systeem naar aanleiding van het merkwaardig product m 2 n 2 = (m + n)(m n) waarmee je in sommige gevallen gericht naar ontbindingen van getallen kunt zoeken.

12 Gastlessen: Complexe getallen Gastlessen: voor het geval een practicum lastig te organiseren is. Onderwerp: Complexe transformaties Nu niet alleen transleren, roteren, schalen en spiegelen, maar bijvoorbeeld ook kwadrateren en worteltrekken. Nut?: zo maakte James Maxwell al bepaalde berekeningen eenvoudiger. Zo kun je begrijpen hoe Leidse wiskundigen een plaat van Escher hebben ingevuld. 12/17

13 Uit gastles: Kwadrateren 13/17

14 Uit gastles, inverteren: z 1 z 14/17 Wat gebeurt er met de cirkel met straal 2 om 0? De punten 2 cos t + 2i sin t? doorlopen precies de cirkel. Dus onderzoeken we f(2 cos t + 2i sin t): 1 2 cos t + 2i sin t 2 cos t 2i sin t = 4 cos 2 t + 4 sin 2 t = 1 (cos( t) + i sin( t)), 2

15 Uit gastles: Toepassing inverteren /k 5 15/17

16 Gastlessen: Beslissen 16/17 Module Beslissen (Jan Essers, Fontys Lerarenopleiding Tilburg), met name voor havo Gastles op Fontys

17 Tenslotte... 17/17 Meedoen met de kerngroep? Activiteiten van uw school met ons gestalte geven. Nieuwe ideeën uitwerken.