6 - Geschiedenis van het getal Pi

Transcriptie

1 6 - Geschiedenis van het getal Pi De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: F1 - Lees de hoofdstukken 1 t/m 4 en 9 uit het Zebra-boekje Pi. Maak uit de hoofdstukken 2 t/m 4 van het Zebra-boekje Pi 5 van de 9 opgaven. Zorg voor nette uitwerkingen. Kies de 5 verspreid over de 9. F2 - Maak een A4 met allerlei wetenswaardigheden over π. Zorg dat je A4 zodanig is dat je die gemakkelijk kunt uitvergroten tot posterformaat. De poster kun je dan ophangen in je wiskundelokaal. Voor het eerste deel hebben we de volgende opgave gekozen 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3, en In de poster zijn verschillende weetjes en schattingen van Pi verwerkt. Maar ook recentere eerbetonen aan Pi in de vorm van een mini computer de Raspberry Pi en aan de Archimedes in de vorm van de Acorn Archimedes. Deze laatste is de eerste RISC computer voor commerciële toepassingen Opgaven Opgave De tabel op pagina 10 is overgenomen en uitgebreid met kolommen voor Q N -π en een factor tussen de verschillende stappen van N. Dit geeft de onderstaande tabel: N Pn Qn Qn-π Factor Qn-π 6 3, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , gemiddelde factor 4,07 Elke volgende stap van N leert ons dat het verschil een factor 4 kleiner wordt. Bij de 4 e stap is Q 48 -π ongeveer 0,0045. Hieruit volgt dat bij stap 4+k het verschil ongeveer 0,0045*4 -k bedraagt. Om onder het verschil van te komen, kunnen we dus de volgende vergelijking oplossen: = 0,0045*4 -k. We kunnen de waarde van k bepalen via, 54. Dus k is 54 waar we nog 4 stappen bij op moeten tellen. Dus de conclusie is dat Ludolph van Ceulen minimaal 58 stappen nodig had om een nauwkeurigheid van de 35 e decimaal te bereiken. Geschiedenis van de Wiskunde 70

2 Opgave Uit de figuur op pagina 12, blijkt dat de overstaande gelijk is aan sin. Echter deze lengte is slecht de helft van de ingesloten lengte bij hoek N dus moeten we deze met 2 vermenigvuldigen zodat de ingeschreven zijde 2 sin sin. Voor de halve omschreven zijde geldt: tan dan tan.. Dus de omschreven zijde is Omdat we de complete cirkel opdelen in N hoeken is voor de omtrek van de ingeschreven zijden sin en voor de omgeschreven zijden tan Opgave Deel a Gegeven: sin 2 2 sin cos en cos 2 1 2cos. Bewijs ontstaan het volgende. Voor het bewijs van deze invullen in de te bewijzen stelling ontstaat: hiervan staat hierboven beschreven. substitueren we hierin de gegeven vergelijking dan na uitwerken en wegstrepen blijft dan uiteindelijk over weten we dat tan. Wanneer we en de verdere uitwerking Deel b Gegeven: Bewijs en 2 Als eerste de gegeven stelling substitueren en delen. Dit geeft dan: delen door 2N geeft dan: en dan Ook weten we dat sin tan en dit substitueren in het bovenstaande resultaat geeft dan: Geschiedenis van de Wiskunde 71

3 Voor het bewijs van waarbij gegeven: sin, tan, 2 tan Door invullen van de gegevens ontstaat de volgende vergelijking: 2 tan 2 2 sin tan sin tan 2 tan 2 2 sin 2 tan tan 2 sin 2 sin cos cos sin cos N sin 2 tan 2 2 sin sin sin cos N sin 2 tan 2 2 tan sin 2 cos 2 tan 2 tan en hiermee is het bewijs geleverd. Deel c Gegeven: sin 2 2 sin cos Bewijs: sin. Als eerste gaan we substitueren en dat geeft sin dan sin. sin sin. door verstrepen krijgen we Deel d Gegeven:sin. en 2 Als eerste de gegeven stelling substitueren en vermenigvuldigen. Dit geeft dan: 2 sin. deze laatste geeft ons ook 2 tan Ook weten we dat sin tan en. Hieruit volgt dan: Geschiedenis van de Wiskunde 72

4 2 sin en Hieruit volgt dan uiteindelijk. sin daarnaast 2 tan Opgave Uit de figuur op pagina 19 blijkt dat de afstand tussen het vlak door de 30 e breedtegraad en de Noordpool te berekenen is met. sin 30. De inhoud van de bol tussen deze 2 vlakken is gelijk aan de inhoud van de cilinder tussen deze vlakken minus de kegel tussen deze vlakken. De inhoud van de cilinder is.. De inhoud van het kegeldeel is de inhoud van de totale kegel minus het deel onder de 30 e breedtegraad. Het grondvlak van de laatste deelkegel heeft een straal van. De inhoud is nu... De inhoud van de gehele kegel is Het deel tussen de vlakken wordt hiermee De inhoud van de bol wordt nu zijaanzichten van de doorsnijdingen op pagina 19) (doelend op het bovenste deel van de bol op het linkerplaatje van de Opgave Gegeven de volgende reeks: 2, 2 2, 2 2 2, Deze reeks convergeert naar 2. Dit is de limiet van 2. Wanneer we deze proberen op te lossen kunnen we beide zijden kwadrateren en dan via de ABC formule de nulpunten bepalen. Dit geeft dan het volgende: Bij x=2 deze vergelijking waar. Het zelfde kunnen we ook doen met de reeks: 1, 1 1, 1 1 1, De limiet van 1 is via dezelfde methode op te lossen en geeft dan het volgende: en de ABC formule geeft hier de oplossing, geeft,...., is een negatief getal en dat kan dus niet. De limiet is dus Geschiedenis van de Wiskunde 73

5 6.2 Poster De poster is in groot formaat te zien in bijlage. Hieronder een sneak-preview. Geschiedenis van de Wiskunde 74