a x 2 b x c a x p 2 q a x r x s

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "a x 2 b x c a x p 2 q a x r x s"

Michiel de Vries
6 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Kwadraat afsplitsen WISNET-HBO update juli 007 De bedoeling van deze les is het doorwerken met behulp van pen en papier. Inleiding In sommige gevallen kan het voordeel hebben om een kwadratische uitdrukking in x op een bepaalde manier te schrijven. De algemene vorm van een kwadratische uitdrukking in x is a x b x c Echter de volgende kwadratische uitdrukking in x kan voordelen bieden. Het is de kwadraat afgesplitste vorm. Je ziet dan een zuiver kwadraat met x en daarachter nog een term die geen x bevat. a x p q Nog een derde uitdrukking is de volgende die ook kwadratisch is in x. Dit is de ontbonden vorm. Je moet daarvoor kunnen ontbinden in factoren. a x r x s In de voorbeelden zal het duidelijk zijn welke voorbeelden elk van deze vormen zal bieden. Het is handig om van de ene vorm in de ander te kunnen overgaan. De eerste uitdrukking kun je altijd weer terugkrijgen door de haakjes weg te werken van de andere vormen. De weg terug is moeilijker. Voorkennis De voorkennis die je voor deze les nodig hebt is het haakjes wegwerken en het ontbinden in factoren. Het is beslist noodzakelijk dat je goed kunt ontbinden in factoren als je op een beetje niveau met breuken wilt leren omgaan. De omgekeerde bewerking is het wegwerken van haakjes. Daarover is ook oefenmateriaal beschikbaar. Een schema van de meest voorkomende ontbindingen is het volgende:

2 a 0 a = a a 5 (zoveel mogelijk buiten haakjes halen) a b = a b a b (het verschil van twee kwadraten) a a b b = a b a a b b = a b Verder hebben we nog het soort waarbij je twee getallen moet zien te vinden om het kloppend te maken. a 5 a 6= a a 3 Leer deze vier soorten in ieder geval uit het hoofd en oefen ermee om ze snel te kunnen herkennen. Leer het van achter naar voren en van voor naar achteren. De vorm met de haakjes (ontbonden in factoren) is het meest geschikt voor het wegstrepen van overeenkomstige factoren in teller en noemer van een breuk! of het oplossen van vergelijkingen. 3 Voorbeelden In de volgende voorbeelden kun je zien waar het kwadraatafsplitsen voor nodig kan zijn. De parabool Bekend is de parabool die de grafiek is van een kwadratische functie (in één variabele). Voer in de computer een kwadratische functie in. (Zorg ervoor dat er ook decimale getallen worden ingetikt, dan rekent het programma ook met decimale getallen.) f:=x^+*x-8.0; f := x x 8.0 plot(f,x=-5..3,thickness=);

3 x Nulpunten De nulpunten van de functie f zijn de waarden van x waarbij de parabool door de x-as gaat. f = x x 8 Ontbinden in factoren: f = x 4 x Door de kwadratische vorm te ontbinden in factoren kun je gemakkelijk de verkregen ontbonden vorm gelijk aan nul stellen en oplossen. De ontbonden vorm is dan ook de meest geschikte vorm om snel de nulpunten te bepalen van de kwadratische functie. Zie eventueel bij de a,b,c-formule om hiermee de vergelijking f x =0 op te lossen en ook de ontbinding te kunnen doen. solve(f=0,x);., 4. factor(f); x x Top van de parabool De functie f = x x 8 is ook te schrijven als f = x 9. Ga dit na door de haakjes weer weg te werken. Deze manier van schrijven heet kwadraat afsplitsen (complete square). Aan deze manier is snel te zien dat de top van de parabool zich bevindt in het punt, 9. Met de computer is daar een handig commando voor:

4 with(student): completesquare(f,x); x 9.0 De cirkel Een kwadratische uitdrukking in x én y kan een cirkel zijn maar ook een ellips of nog iets anders. Het is vaak snel te zien wat voor figuur het is als de kwadraten zijn afgesplitst in de uitdrukking. Algemene vorm van een cirkel door de Oorsprong met straal R is x y = R voorbeeld Gegeven is de kwadratische uitdrukking in x en y. Kwadraat afgesplitste vorm: x x y =5 x y =5 Getallen naar de rechterkant van het isgelijkteken: x y =6 Hierin is snel de "verschoven" cirkel te herkennen. Nu met middelpunt, 0 en met straal R =4. Zie voor deze grafiekmanipulaties in het overzicht grafiekmanipulaties. (Zoek op trefwoord in Wisnet) met de computer Hiervoor kun je verder kijken bij de les met grafiekmanipulaties *** (nog niet beschikbaar) restart; with(plots): with(student): C:=x^-3*x+5*x+y^=5; C := x x y =5 completesquare(c,{x,y}); x y =5 implicitplot(c,x=-6..6,y=-6..6);

5 3 y x 3 4 Oefeningen om zelf te doen Een kwadratische vorm die níet te ontbinden is in lineaire factoren, kun je ook anders schrijven met behulp van een afgesplitst kwadraat. s 4 s 0 = s 6 Ga na dat dit klopt door de haakjes weg te werken. oefening restart; f:=x^+4*x+5; f := x 4 x 5

6 with(student): f=completesquare(f,x); x 4 x 5= x oefening restart; f:=x^+4*x+5; f := x 4 x 5 with(student): f=completesquare(f,x); x 4 x 5 = x oefening 3 Schrijf de noemer met afgesplitst kwadraat. restart; with(student): g:=(s+)/(s^-*s+3); s g := s s 3 numer(g)/completesquare(denom(g)); s s andere schrijfwijze Ga na dat de volgende gelijkheid geldt: s s s = s s oefening 4 restart; with(student): f:=x^+4*x+5; f := x 4 x 5

7 anwoord completesquare(f,x); x aanwijzing Vul eerst aan tot een volledig kwadraat en kijk wat er over blijft. x 4 x 5 = x 4 x 4 Neem het volledig kwadraat bijelkaar (x 4 x 4 ) + = x oefening 5 restart; f:=x^+6*x+5; f := x 6 x 5 with(student): completesquare(f,x); x 3 4 aanwijzing Vul eerst aan tot een volledig kwadraat en kijk wat er over blijft. x 6 x 5 = x 6 x 9 4 Neem het volledig kwadraat bijelkaar ( x 6 x 9) - 4 = x 3 4 oefening 6 restart; f:=x^+0*x-4; f := x 0 x 4 tip Schrijf de kwadratische functie in x eerst op de volgende manier. nog een tip f = x 0 x 5 5 4

8 Een beetje verder zodat je ziet dat de eerste drie termen het kwadraat x 5 vormen. f = x 0 x 5 39 with(student): completesquare(f,x); x 5 39 oefening 7 restart; f:=x^-3/*x+/; f := x 3 x with(student): completesquare(f,x); x tip Werk de haakjes eens weg van het kwadraat x Verder is = 3 4 oefening 8 restart; f:=*x^-3*x+; f := x 3 x with(student): completesquare(f,x); x aanwijzing

9 Schrijf de functie eerst in de volgende vorm en kijk ook bij oefening 7. x 3 x oefening 9 restart; f:=x^/+5*x-7; f := x 5 x 7 with(student): completesquare(f,x); x 5 39 tip Schrijf de functie eerst in de volgende vorm en kijk dan ook bij oefening 6. x 0 x 4 5 Voorbeelden t.b.v. Laplace-transformatie Bij het onderwerp Laplace-transformatie kan het verhelderend zijn om kwadratische noemers in de vorm met de afgesplitste kwadraat te schrijven om herkenbaarheid van de tijdsfunctie groter te maken. Zie verder bij de cursus Laplace-transformaties.***(Nog niet beschikbaar.) voorbeeld Schrijf de noemer met afgesplitst kwadraat. restart; with(student): H:=(s+)/(s^+*s+5); s H := s s 5 numer(h)/completesquare(denom(h)); s s 4 andere schrijfwijze

10 Ga na dat de volgende gelijkheid geldt: s s s = 4 s 4 s 4 with(inttrans): h:=invlaplace(h,s,t); h := e t cos t sin t (In de tijdsfunctie h t is nu duidelijk de demping en de frequentie te herkennen.)

Vergelijkbare documenten

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013

Breuken met letters WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers