Bestaat er dan toch een wortel uit 1?

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Bestaat er dan toch een wortel uit 1?"
  • Jan Smit
  • 9 maanden geleden
  • Aantal bezoeken:

Transcriptie

1 Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007

2 Wat zijn complexe getallen?

3 Wat zijn complexe getallen? Complexe getallen zijn paren reële getallen.

4 Wat zijn complexe getallen? Complexe getallen zijn paren reële getallen. Het zijn getallen omdat je ze kunt optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.

5 Wat zijn complexe getallen? Complexe getallen zijn paren reële getallen. Het zijn getallen omdat je ze kunt optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Nieuwe notatie: in plaats van (a, b) schrijven we a + b i of a + i b

6 Wat zijn complexe getallen? Complexe getallen zijn paren reële getallen. Het zijn getallen omdat je ze kunt optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Nieuwe notatie: in plaats van (a, b) schrijven we a + b i of a + i b Optellen en aftrekken ( coördinaatsgewijs ): (a 1 + b 1 i ) ± (a 2 + b 2 i ) = (a 1 ± a 2 ) + (b 1 ± b 2 ) i

7 Wat zijn complexe getallen? Complexe getallen zijn paren reële getallen. Het zijn getallen omdat je ze kunt optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Nieuwe notatie: in plaats van (a, b) schrijven we a + b i of a + i b Optellen en aftrekken ( coördinaatsgewijs ): (a 1 + b 1 i ) ± (a 2 + b 2 i ) = (a 1 ± a 2 ) + (b 1 ± b 2 ) i Dit is de gewone vectoroptelling in R 2.

8 Wat zijn complexe getallen? Vermenigvuldigen: (a 1 + b 1 i )(a 2 + b 2 i ) = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) i

9 Wat zijn complexe getallen? Vermenigvuldigen: (a 1 + b 1 i )(a 2 + b 2 i ) = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) i Korte schrijfwijzen: a + 0 i = a, 0 + b i = b i, 1 i = i, 1 i = i

10 Wat zijn complexe getallen? Vermenigvuldigen: (a 1 + b 1 i )(a 2 + b 2 i ) = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) i Korte schrijfwijzen: a + 0 i = a, 0 + b i = b i, 1 i = i, 1 i = i Dan geldt dus: Maar ook: i 2 = (0 + 1 i )(0 + 1 i ) = i = 1 ( i ) 2 = (0 1 i )(0 1 i ) = i = 1

11 Wat zijn complexe getallen? Vermenigvuldigen: (a 1 + b 1 i )(a 2 + b 2 i ) = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) i Korte schrijfwijzen: a + 0 i = a, 0 + b i = b i, 1 i = i, 1 i = i Dan geldt dus: Maar ook: i 2 = (0 + 1 i )(0 + 1 i ) = i = 1 ( i ) 2 = (0 1 i )(0 1 i ) = i = 1 Vermenigvuldigen is dus gewoon haakjes uitwerken en gebruiken dat i 2 = 1!

12 Wat zijn complexe getallen? Oplossingen van de vergelijking x 2 = 1 zijn blijkbaar x = i en x = i. Dit zijn de wortels uit 1.

13 Wat zijn complexe getallen? Oplossingen van de vergelijking x 2 = 1 zijn blijkbaar x = i en x = i. Dit zijn de wortels uit 1. Opgave: bewijs zelf dat er geen andere oplossingen zijn.

14 Wat zijn complexe getallen? Oplossingen van de vergelijking x 2 = 1 zijn blijkbaar x = i en x = i. Dit zijn de wortels uit 1. Opgave: bewijs zelf dat er geen andere oplossingen zijn. Evenzo zijn ±2 i de wortels uit 4, etc. Alle negatieve getallen hebben dus twee wortels.

15 Wat zijn complexe getallen? We kunnen nu elke reële vierkantsvergelijking oplossen, ook als de discriminant negatief is:

16 Wat zijn complexe getallen? We kunnen nu elke reële vierkantsvergelijking oplossen, ook als de discriminant negatief is: Voorbeeld: x 2 + 2x + 5 = 0

17 Wat zijn complexe getallen? We kunnen nu elke reële vierkantsvergelijking oplossen, ook als de discriminant negatief is: Voorbeeld: x 2 + 2x + 5 = 0 (x + 1) = 0

18 Wat zijn complexe getallen? We kunnen nu elke reële vierkantsvergelijking oplossen, ook als de discriminant negatief is: Voorbeeld: x 2 + 2x + 5 = 0 (x + 1) = 0 (x + 1) 2 = 4

19 Wat zijn complexe getallen? We kunnen nu elke reële vierkantsvergelijking oplossen, ook als de discriminant negatief is: Voorbeeld: x 2 + 2x + 5 = 0 (x + 1) = 0 (x + 1) 2 = 4 Dit geeft x + 1 = ±2 i oftewel x = i of x = 1 2 i.

20 Wat zijn complexe getallen? We kunnen nu elke reële vierkantsvergelijking oplossen, ook als de discriminant negatief is: Voorbeeld: x 2 + 2x + 5 = 0 (x + 1) = 0 (x + 1) 2 = 4 Dit geeft x + 1 = ±2 i oftewel x = i of x = 1 2 i. Je kunt dus gewoon de abc-formule toepassen!

21 Het complexe vlak 6 i 5 i i b i α = a + b i i 2 i i α i i a i -2 i -3 i

22 Het complexe vlak 6 i 5 i i b i α = a + b i i i i i i -2 i -3 i α a i α = a 2 + b 2 (Pythagoras)

23 Complexe getallen op de eenheidscirkel i sin ϕ i cos ϕ + i sin ϕ ϕ 0 cos ϕ 1

24 Complexe getallen op de eenheidscirkel i cos ϕ + i sin ϕ i sin ϕ Korte notatie (Euler): ϕ 0 cos ϕ 1 e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ

25 Complexe getallen op de eenheidscirkel i cos ϕ + i sin ϕ i sin ϕ Korte notatie (Euler): ϕ 0 cos ϕ 1 e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ Wat gebeurt als je twee van zulke getallen met elkaar vermenigvuldigt?

26 Complexe getallen op de eenheidscirkel i cos ϕ + i sin ϕ i sin ϕ Korte notatie (Euler): ϕ 0 cos ϕ 1 e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ Wat gebeurt als je twee van zulke getallen met elkaar vermenigvuldigt? (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 )(cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 )

27 Complexe getallen op de eenheidscirkel i cos ϕ + i sin ϕ i sin ϕ Korte notatie (Euler): ϕ 0 cos ϕ 1 e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ Wat gebeurt als je twee van zulke getallen met elkaar vermenigvuldigt? (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 )(cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) = (cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 sin ϕ 2 ) + i (cos ϕ 1 sin ϕ 2 + sin ϕ 1 cos ϕ 2 )

28 Complexe getallen op de eenheidscirkel i cos ϕ + i sin ϕ i sin ϕ Korte notatie (Euler): ϕ 0 cos ϕ 1 e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ Wat gebeurt als je twee van zulke getallen met elkaar vermenigvuldigt? (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 )(cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) = (cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 sin ϕ 2 ) + i (cos ϕ 1 sin ϕ 2 + sin ϕ 1 cos ϕ 2 ) = cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )

29 Complexe getallen op de eenheidscirkel i cos ϕ + i sin ϕ i sin ϕ Korte notatie (Euler): ϕ 0 cos ϕ 1 e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ Wat gebeurt als je twee van zulke getallen met elkaar vermenigvuldigt? (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 )(cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) = (cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 sin ϕ 2 ) + i (cos ϕ 1 sin ϕ 2 + sin ϕ 1 cos ϕ 2 ) = cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 ) en dus geldt: e i ϕ 1 e i ϕ 2 = e i (ϕ 1+ϕ 2 )

30 Complexe getallen op de eenheidscirkel i e i ϕ ϕ 0 1

31 Complexe getallen op de eenheidscirkel i ϕ e i ϕ 0 1 Het getal e i ϕ is het punt op de eenheidscirkel met argument ϕ (in radialen). Dit is dus niet de gewone (reële) e-machtfunctie want de exponent is imaginair.

32 Complexe getallen op de eenheidscirkel i ϕ e i ϕ 0 1 Bijzondere gevallen: Het getal e i ϕ is het punt op de eenheidscirkel met argument ϕ (in radialen). Dit is dus niet de gewone (reële) e-machtfunctie want de exponent is imaginair.

33 Complexe getallen op de eenheidscirkel i ϕ e i ϕ 0 1 Bijzondere gevallen: e π i = 1 Het getal e i ϕ is het punt op de eenheidscirkel met argument ϕ (in radialen). Dit is dus niet de gewone (reële) e-machtfunctie want de exponent is imaginair.

34 Complexe getallen op de eenheidscirkel i ϕ e i ϕ 0 1 Bijzondere gevallen: e π i = 1 e π i = 1 Het getal e i ϕ is het punt op de eenheidscirkel met argument ϕ (in radialen). Dit is dus niet de gewone (reële) e-machtfunctie want de exponent is imaginair.

35 Complexe getallen op de eenheidscirkel i ϕ e i ϕ 0 1 Bijzondere gevallen: e π i = 1 e π i = 1 e 1 2 π i = i Het getal e i ϕ is het punt op de eenheidscirkel met argument ϕ (in radialen). Dit is dus niet de gewone (reële) e-machtfunctie want de exponent is imaginair.

36 Complexe getallen op de eenheidscirkel i ϕ e i ϕ 0 1 Bijzondere gevallen: e π i = 1 e π i = 1 e 1 2 π i = i e 2π i = 1 Het getal e i ϕ is het punt op de eenheidscirkel met argument ϕ (in radialen). Dit is dus niet de gewone (reële) e-machtfunctie want de exponent is imaginair.

37 Complexe getallen op de eenheidscirkel i ϕ e i ϕ 0 1 Bijzondere gevallen: e π i = 1 e π i = 1 e 1 2 π i = i e 2π i = 1 e 2kπ i = 1 (k geheel) Het getal e i ϕ is het punt op de eenheidscirkel met argument ϕ (in radialen). Dit is dus niet de gewone (reële) e-machtfunctie want de exponent is imaginair.

38 Complexe getallen op de eenheidscirkel i ϕ e i ϕ 0 1 Het getal e i ϕ is het punt op de eenheidscirkel met argument ϕ (in radialen). Dit is dus niet de gewone (reële) e-machtfunctie want de exponent is imaginair. Bijzondere gevallen: e π i = 1 e π i = 1 e 1 2 π i = i e 2π i = 1 e 2kπ i = 1 (k geheel) Verder geldt: e i ϕ 1 e i ϕ 2 = e i (ϕ 1+ϕ 2 ) e i ϕ 1 e i ϕ = e i (ϕ 1 ϕ 2 ) 2 ( e i ϕ) k = e i k ϕ (k geheel)

39 De polaire notatie i y z = x + i y i r e iϕ ϕ 0 1 x

40 De polaire notatie i y z = x + i y z = x + i y = r e i ϕ i r e iϕ ϕ 0 1 x

41 De polaire notatie i y z = x + i y i r e iϕ met z = x + i y = r e i ϕ r = z = x 2 + y 2 ϕ 0 1 x

42 De polaire notatie i y z = x + i y i r e iϕ met z = x + i y = r e i ϕ r = z = x 2 + y 2 ϕ 0 1 x x = r cos ϕ, y = r sin ϕ

43 De polaire notatie i y z = x + i y i r e iϕ met z = x + i y = r e i ϕ r = z = x 2 + y 2 ϕ 0 1 x x = r cos ϕ, y = r sin ϕ tan ϕ = y/x

44 De polaire notatie Polaire notatie is handig voor vermenigvuldigen en delen:

45 De polaire notatie Polaire notatie is handig voor vermenigvuldigen en delen: Vermenigvuldigen: z 1 z 2 = r 1 r 2 e i (ϕ 1+ϕ 2 )

46 De polaire notatie Polaire notatie is handig voor vermenigvuldigen en delen: Vermenigvuldigen: z 1 z 2 = r 1 r 2 e i (ϕ 1+ϕ 2 ) Delen: z 1 z 2 = r 1 r 2 e i (ϕ 1 ϕ 2 )

47 De polaire notatie Polaire notatie is handig voor vermenigvuldigen en delen: Vermenigvuldigen: z 1 z 2 = r 1 r 2 e i (ϕ 1+ϕ 2 ) Delen: z 1 z 2 = r 1 r 2 e i (ϕ 1 ϕ 2 ) Bij vermenigvuldigen worden de absolute waarden met elkaar vermenigvuldigd en de argumenten bij elkaar opgeteld. Bij delen worden de absolute waarden gedeeld en de argumenten van elkaar afgetrokken.

48 De complexe e-machtfunctie Hoe wordt de functie w = e z gedefinieerd?

49 De complexe e-machtfunctie Hoe wordt de functie w = e z gedefinieerd? w = e z = e x+ i y = e x e i y = e x (cos y + i sin y)

50 De complexe e-machtfunctie Hoe wordt de functie w = e z gedefinieerd? w = e z = e x+ i y = e x e i y = e x (cos y + i sin y) Dan geldt

51 De complexe e-machtfunctie Hoe wordt de functie w = e z gedefinieerd? w = e z = e x+ i y = e x e i y = e x (cos y + i sin y) Dan geldt e z 1+z 2 = e z 1e z 2 voor elke z 1 en z 2

52 De complexe e-machtfunctie Hoe wordt de functie w = e z gedefinieerd? w = e z = e x+ i y = e x e i y = e x (cos y + i sin y) Dan geldt e z 1+z 2 = e z 1e z 2 voor elke z 1 en z 2 e x+ i y = e x

53 De complexe e-machtfunctie Hoe wordt de functie w = e z gedefinieerd? w = e z = e x+ i y = e x e i y = e x (cos y + i sin y) Dan geldt e z 1+z 2 = e z 1e z 2 voor elke z 1 en z 2 e x+ i y = e x arg ( e x+ i y ) = y + 2kπ (k geheel)

54 De complexe e-machtfunctie Hoe wordt de functie w = e z gedefinieerd? w = e z = e x+ i y = e x e i y = e x (cos y + i sin y) Dan geldt e z 1+z 2 = e z 1e z 2 voor elke z 1 en z 2 e x+ i y = e x arg ( e x+ i y ) = y + 2kπ (k geheel) e z+2kπ i = e z voor elk geheel getal k,

55 De complexe e-machtfunctie Hoe wordt de functie w = e z gedefinieerd? w = e z = e x+ i y = e x e i y = e x (cos y + i sin y) Dan geldt e z 1+z 2 = e z 1e z 2 voor elke z 1 en z 2 e x+ i y = e x arg ( e x+ i y ) = y + 2kπ (k geheel) e z+2kπ i = e z voor elk geheel getal k, de e-machtfunctie is dus periodiek met periode 2π i.

56 De complexe e-machtfunctie in beeld gebracht z-vlak w-vlak 2π i w = e z w = e z = e x+ i y = e x e i y = e x (cos y + i sin y)

57 De complexe Ln-functie in beeld gebracht z-vlak w-vlak 2π i w = e z 0 1 z = Ln w 0

58 De complexe Ln-functie in beeld gebracht z-vlak w-vlak 2π i w = e z 0 1 z = Ln w 0 Gegeven: w = r e i ϕ. Voor welke z geldt w = e z?

59 De complexe Ln-functie in beeld gebracht z-vlak w-vlak 2π i w = e z 0 1 z = Ln w 0 Gegeven: w = r e i ϕ. Voor welke z geldt w = e z? z = Ln w =

60 De complexe Ln-functie in beeld gebracht z-vlak w-vlak 2π i w = e z 0 1 z = Ln w 0 Gegeven: w = r e i ϕ. Voor welke z geldt w = e z? z = Ln w = ln r + i ϕ + 2kπ i

61 De complexe Ln-functie in beeld gebracht z-vlak w-vlak 2π i w = e z 0 1 z = Ln w 0 Gegeven: w = r e i ϕ. Voor welke z geldt w = e z? z = Ln w = ln r + i ϕ + 2kπ i oftewel: Ln w = ln w + i arg w

62 Differentieerbaarheid Een complexe functie w = f (z) heet differentieerbaar in z 0 als w lim z 0 z = lim f (z 0 + z) f (z 0 ) z 0 z bestaat als eindig complex getal.

63 Differentieerbaarheid Een complexe functie w = f (z) heet differentieerbaar in z 0 als w lim z 0 z = lim f (z 0 + z) f (z 0 ) z 0 z bestaat als eindig complex getal. Wat betekent dat meetkundig gezien?

64 Differentieerbaarheid z-vlak w-vlak π i w = e z Voorbeeld: w = e z, z 0 = i.

65 Differentieerbaarheid z-vlak w-vlak π i w = e z Voorbeeld: w = e z, z 0 = i. z = 0.7

66 Differentieerbaarheid Inzoomen: z = 0.14 z-vlak w-vlak 0 w = e z π i

67 Differentieerbaarheid Inzoomen: z = 0.14 z-vlak w-vlak 0 w = e z π i Voor kleine z zijn de rozetjes in het z-vlak en het w-vlak (vrijwel) direct gelijkvormig want w w (z 0 ) z

68 Differentieerbaarheid Voor complexe functies w = f (z) is differentieerbaarheid dus een zware eis! (direct gelijkvormige rozetjes als w (z 0 ) = 0).

69 Differentieerbaarheid Voor complexe functies w = f (z) is differentieerbaarheid dus een zware eis! (direct gelijkvormige rozetjes als w (z 0 ) = 0). Meetkundig gezien betekent diffferentieerbaarheid conformiteit (gelijkvormigheid in het klein) in alle punten waar w (z) = 0.

70 Differentieerbaarheid Voor complexe functies w = f (z) is differentieerbaarheid dus een zware eis! (direct gelijkvormige rozetjes als w (z 0 ) = 0). Meetkundig gezien betekent diffferentieerbaarheid conformiteit (gelijkvormigheid in het klein) in alle punten waar w (z) = 0. Voorbeelden van differentieerbare functies:

71 Differentieerbaarheid Voor complexe functies w = f (z) is differentieerbaarheid dus een zware eis! (direct gelijkvormige rozetjes als w (z 0 ) = 0). Meetkundig gezien betekent diffferentieerbaarheid conformiteit (gelijkvormigheid in het klein) in alle punten waar w (z) = 0. Voorbeelden van differentieerbare functies: polynomen

72 Differentieerbaarheid Voor complexe functies w = f (z) is differentieerbaarheid dus een zware eis! (direct gelijkvormige rozetjes als w (z 0 ) = 0). Meetkundig gezien betekent diffferentieerbaarheid conformiteit (gelijkvormigheid in het klein) in alle punten waar w (z) = 0. Voorbeelden van differentieerbare functies: polynomen rationale functies (mits noemer niet nul)

73 Differentieerbaarheid Voor complexe functies w = f (z) is differentieerbaarheid dus een zware eis! (direct gelijkvormige rozetjes als w (z 0 ) = 0). Meetkundig gezien betekent diffferentieerbaarheid conformiteit (gelijkvormigheid in het klein) in alle punten waar w (z) = 0. Voorbeelden van differentieerbare functies: polynomen rationale functies (mits noemer niet nul) e z, cos z = e i z + e i z 2, sin z = e i z + e i z 2 i

74 Differentieerbaarheid Voor complexe functies w = f (z) is differentieerbaarheid dus een zware eis! (direct gelijkvormige rozetjes als w (z 0 ) = 0). Meetkundig gezien betekent diffferentieerbaarheid conformiteit (gelijkvormigheid in het klein) in alle punten waar w (z) = 0. Voorbeelden van differentieerbare functies: polynomen rationale functies (mits noemer niet nul) e z, cos z = e i z + e i z 2 Ln z (mits z = 0), sin z = e i z + e i z 2 i

75 Differentieerbaarheid Voor complexe functies w = f (z) is differentieerbaarheid dus een zware eis! (direct gelijkvormige rozetjes als w (z 0 ) = 0). Meetkundig gezien betekent diffferentieerbaarheid conformiteit (gelijkvormigheid in het klein) in alle punten waar w (z) = 0. Voorbeelden van differentieerbare functies: polynomen rationale functies (mits noemer niet nul) e z, cos z = e i z + e i z 2 Ln z (mits z = 0)..., sin z = e i z + e i z 2 i

76 Differentieerbaarheid Verrassende eigenschappen: Als f (z) differentieerbaar is op een gebied G, dan geldt

77 Differentieerbaarheid Verrassende eigenschappen: Als f (z) differentieerbaar is op een gebied G, dan geldt f (z) is op G oneindig vaak differentieerbaar.

78 Differentieerbaarheid Verrassende eigenschappen: Als f (z) differentieerbaar is op een gebied G, dan geldt f (z) is op G oneindig vaak differentieerbaar. f (z) is analytisch op G, dat wil zeggen: bij elk punt z 0 G is er een getal R > 0 zo, dat f (z) in de cirkel z z 0 < R ontwikkeld kan worden in een convergente machtreeks f (z) = a k (z z 0 ) k k=0

79 Dank! Zie verder elk boek over complexe functietheorie, maar vooral ook mijn internetboek Complexe getallen voor wiskunde D dat gratis te downloaden is (in pdf) vanaf mijn homepage: craats

Bestaat er dan toch een wortel uit 1?

Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies voor beginners Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam Open Universiteit craats@science.uva.nl Complexe getallen worden

Nadere informatie

Complexe getallen. José Lagerberg. November, Universiteit van Amsterdam. José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, / 30

Complexe getallen. José Lagerberg. November, Universiteit van Amsterdam. José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, / 30 Complexe getallen José Lagerberg Universiteit van Amsterdam November, 2017 José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, 2017 1 / 30 1 Complexe getallen en complexe e-machten Complexe getallen en complexe

Nadere informatie

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche

Nadere informatie

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk

Nadere informatie

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1 WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We

Nadere informatie

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds

Nadere informatie

COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats

COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats COMPLEXE GETALLEN voor Wiskunde D Jan van de Craats Herziene versie, 3 augustus 007 Illustraties en LATEX-opmaak: Jan van de Craats Prof. dr. J. van de Craats is hoogleraar in de wiskunde aan de Universiteit

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

Complexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen

Complexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

8.1 Rekenen met complexe getallen [1]

8.1 Rekenen met complexe getallen [1] 8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn

Nadere informatie

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige

Nadere informatie

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel) 1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht

Nadere informatie

Mathematical Modelling

Mathematical Modelling Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Overzicht 1 Inleiding 2 Overzicht 1 Inleiding 2 Bijeenkomsten Vrijdagmiddagen: 13:45 17:30 (tijden in benadering) 13:45-14:15: nabespreken

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Kunnen we elke integraal oplossen? Z e x x dx Z e x2 dx

Nadere informatie

COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats

COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats COMPLEXE GETALLEN voor Wiskunde D Jan van de Craats Voorlopige versie, 11 juni 007 Illustraties en LATEX-opmaak: Jan van de Craats Prof. dr. J. van de Craats is hoogleraar in de wiskunde aan de Universiteit

Nadere informatie

4051CALC1Y Calculus 1

4051CALC1Y Calculus 1 4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/

Nadere informatie

Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen

Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van Les Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen N = Natuurlijke getallen =,2,,.. Z

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica

Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica T.Verhoeff@TUE.NL http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig ... Oneindig 2 Top tien

Nadere informatie

Wortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel) Wortels met getallen 1 Inleiding WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht van de

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Complexe getallen: oefeningen

Complexe getallen: oefeningen Complexe getallen: oefeningen Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

CWI Syllabi. Editors. Centrum voor Wiskunde en Informatica (CWI) M. Bakker A.M.H. Gerards J.W. Klop

CWI Syllabi. Editors. Centrum voor Wiskunde en Informatica (CWI) M. Bakker A.M.H. Gerards J.W. Klop blanko CWI Syllabi Editors M. Bakker A.M.H. Gerards J.W. Klop Centrum voor Wiskunde en Informatica (CWI) P.O. Box 94079, 1090 GB Amsterdam, The Netherlands Telephone + 31-20 592 9333 Telefax + 31-20 592

Nadere informatie

Complex houdt dan weer in dat we op het complexe vlak werken, met complexe getallen.

Complex houdt dan weer in dat we op het complexe vlak werken, met complexe getallen. The Fractal Project Inleiding: De opzet van dit project is het onderzoeken van de eigenschappen van de mandelbrot-fractal, meer bepaald de eigenschappen van de bollen die aan de buitenkant ervan zitten.

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

Oneindig in Wiskunde & Informatica. Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft. Tom Verhoeff

Oneindig in Wiskunde & Informatica. Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft. Tom Verhoeff Oneindig in Wiskunde & Informatica Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft Tom Verhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica http://www.win.tue.nl/~wstomv/

Nadere informatie

Complexe getallen in context

Complexe getallen in context Complexe getallen in context voor wiskunde D ( 5 VWO) R.A.C. Dames H. van Gendt Versie, november 006 Deze module is ontwikkeld in opdracht van ctwo. Copyright 006 R.Dames en H. van Gendt Inhoud Inhoud...3

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus C (WCB) op zaterdag 5 januari 04, 9:00 :00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op

Nadere informatie

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking

Nadere informatie

Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt

Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt Bijlage bij Inversie Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt In dee paragraaf gaan we op een andere manier kijken naar inversie. We doen dat met behulp van de complexe getallen. We veronderstellen

Nadere informatie

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch) staan. Die

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 De getallenverzameling C 1 2 Het complex vlak of het vlak van Gauss 7 3 Vierkantsvergelijkingen

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

Mathematical Modelling

Mathematical Modelling 1 / 64 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 09-11-09 2 / 64 Niet overal analytisch: een rangschikking 2. De hoofdklasse A: rationale functies: f (z) = z5 + z 2 + 3z + 4 z 3 + 4z 2 + 5z

Nadere informatie

De wortel uit min één. Jaap Top

De wortel uit min één. Jaap Top De wortel uit min één Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 20 maart 2007 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen

Nadere informatie

Signalen en Transformaties

Signalen en Transformaties Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Complexe getallen z D a C bi We definiëren de complex

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Complexe getallen in context

Complexe getallen in context Complexe getallen in context voor wiskunde D ( 5 VWO) R.A.C. Dames H. van Gendt Versie 4, juni 0 In deze vierde versie zijn alleen een aantal zetfouten verbeterd. Inhoudelijk is deze versie geheel gelijk

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan

Nadere informatie

college 6: limieten en l Hôpital

college 6: limieten en l Hôpital 126 college 6: ieten en l Hôpital In dit college herhalen we enkele belangrijke definities van ieten, en geven we belangrijke technieken om ieten van functies (eigenlijk en oneigenlijk) te bepalen. In

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Ter inleiding: tellen Turven, maar: onhandig bij grote aantallen. Romeinse cijfers: speciale symbolen voor

Nadere informatie

Wiskundige notaties. Afspraken. Associatie K.U.Leuven

Wiskundige notaties. Afspraken. Associatie K.U.Leuven Wiskundige notaties Afspraken Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D haeseleer Annemie Vermeyen Maart 2011 Waarom? Wiskundetaal gebruikt veel woordenschat, dat weet elke student. Het is niet altijd

Nadere informatie

Op deze manier ligt φ exact vast (als we zouden zeggen 0 φ 2π zouden we de reële getallen dubbelop hebben, en dat willen wij als wiskundigen niet).

Op deze manier ligt φ exact vast (als we zouden zeggen 0 φ 2π zouden we de reële getallen dubbelop hebben, en dat willen wij als wiskundigen niet). Moddergooien n.a.v. 31 augustus Allereerst: hartelijk dank voor de vragen; als dat zo doorgaat en als jullie zo blijven komen en ook nog eens huiswerk maken, dan weet ik zeker dat ik dicht bij 100% ga

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal

Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal Les 1 : De eenheidscirkel Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ)

Nadere informatie

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 INHOUD 1 De cirkel 9 1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen 11 1.2 Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 1.3 Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel 20 1.3.1 Aantal snijpunten van een rechte

Nadere informatie

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat.

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat. 92 Algebra 3.2 Basiskennis Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: 3.2.1 De getallenlijn... -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5... 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen Het=teken 5+2+3=10 = geeft aan dat wat links van = staat,

Nadere informatie

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom 8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer

Nadere informatie

kwadratische vergelijkingen

kwadratische vergelijkingen kwadratische vergelijkingen In deze paragraaf: 'exact berekenen van oplossingen', 'typen kwadratische vergelijkingen' en 'de abc-formule en de discriminant'. de abc-formule Voor een tweedegraads vergelijking

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats

COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats COMPLEXE GETALLEN voor Wiskunde D Jan van de Craats Voorlopige versie, 21 mei 2006 Illustraties en LATEX-opmaak: Jan van de Craats Prof. dr. J. van de Craats is hoogleraar in de wiskunde aan de Universiteit

Nadere informatie

Studiehandleiding Basiswiskunde cursus

Studiehandleiding Basiswiskunde cursus Studiehandleiding Basiswiskunde cursus 2008 2009 Materiaal Bij dit college heb je nodig: Het boek Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch Isbn: 90 430 1156 8 De syllabus Aanvulling basiscursus

Nadere informatie

Vectorruimten en deelruimten

Vectorruimten en deelruimten Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie

Nadere informatie

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2 Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van

Nadere informatie

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek

Nadere informatie

K.1 De substitutiemethode [1]

K.1 De substitutiemethode [1] K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Differentieer de functie f() = ( + ) 5 Voor het differentiëren van deze functie gebruik je de kettingregel: Stap : Schrijf de functie f() als volgt: y = u 5 met

Nadere informatie

e jπ + 1 = 0 Complexe getallen β release Ing. C.H.A. Keyer voor de elektrotechniek. Hogeschool van Amsterdam Department of Electronic Engineering

e jπ + 1 = 0 Complexe getallen β release Ing. C.H.A. Keyer voor de elektrotechniek. Hogeschool van Amsterdam Department of Electronic Engineering e jπ + 1 = 0 Complexe getallen voor de elektrotechniek. β release Ing. C.H.A. Keyer Hogeschool van Amsterdam Department of Electronic Engineering 15 oktober 2007 2 Copyleft: c Cees Keyer, Hogeschool van

Nadere informatie

== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u

== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u == en Tentamen Analyse, WI6 == Maandag januari, 4.-7.u Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI. Gegeven is de functie + e + e arctan,, f = +, >. a Beargumenteer dat f continu is op R. b Bepaal de

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

TW2040: Complexe Functietheorie

TW2040: Complexe Functietheorie TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 16 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline III.7 Applications of the Residue Theorem

Nadere informatie

Genererende Functies K. P. Hart

Genererende Functies K. P. Hart genererende_functies.te 27--205 Z Hoe kun je een rij getallen zo efficiënt mogelijk coderen? Met behulp van functies. Genererende Functies K. P. Hart Je kunt rijen getallen op diverse manieren weergeven

Nadere informatie

Uitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman

Uitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Uitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen Inleiding Deze reeks opgaven is bedoeld voor de werkcolleges van de vakantiecursus Wiskunde in Wording,

Nadere informatie

Standaardfuncties. x c

Standaardfuncties. x c Standaards Constante Parameter We geven in dit document een overzicht van een aantal veelvoorkomende s. We geven steeds het voorschrift en de grafiek. (Ter herinnering: het domein vermelden we niet, het

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 f () = g () = sin h() = k () = log p () = m () = n () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D k

Nadere informatie

De wortel uit min één. Jaap Top

De wortel uit min één. Jaap Top De wortel uit min één Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 19 april 2011 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30

Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30 Tentamen WISN11 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov 16 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken). Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie

Nadere informatie

WolframAlpha gratis op internet

WolframAlpha gratis op internet WolframAlpha gratis op internet Jan van de Craats Nog steeds worden leerlingen op havo en vwo verplicht om voor de wiskundelessen een grafische rekenmachine aan te schaffen. Zo n apparaat is duur, zeer

Nadere informatie

Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009

Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009 Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009 Inleiding In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boek Calculus, Early Transcendental Functions Robert T. Smith,

Nadere informatie

1.3 Rekenen met pijlen

1.3 Rekenen met pijlen 14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij

Nadere informatie

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch staan. Die

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

A = b c. (b) Bereken de oppervlakte van het parallellogram dat opgespannen wordt door b en c. Voor welke p is deze oppervlakte minimaal?

A = b c. (b) Bereken de oppervlakte van het parallellogram dat opgespannen wordt door b en c. Voor welke p is deze oppervlakte minimaal? Oplossing Tussentijdse toets Wiskunde II Vraag Zij A de matrix met kolomvectoren met p een vast reëel getal A = a b c a =, b =, c = p a Voor welke p R zijn de vectoren lineair afhankelijk? b Bereken de

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen

Nadere informatie

Voorkennis. Hoekmeting

Voorkennis. Hoekmeting Hoekmeting Hoeken meten we in graen of in raialen. Hiernaast zie je e eenheiscirkel in het vlak (e cirkel met straal en e oorsprong als mielpunt) waarop e beie verelingen zijn aangegeven. Een volleige

Nadere informatie

9.1 Recursieve en directe formules [1]

9.1 Recursieve en directe formules [1] 9.1 Recursieve en directe formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is een getallenrij. De getallen in de rij zijn de termen. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is

Nadere informatie

Uitwerkingen van de opgaven uit Pi

Uitwerkingen van de opgaven uit Pi Uitwerkingen van de opgaven uit Pi Frits Beukers January 3, 2006 Opgave 2.3. Bedoeling van deze opgave is dat we alleen een schatting geven op grond van de gevonden tabel. Er worden geen bewijzen of precieze

Nadere informatie

Combinatoriek groep 1

Combinatoriek groep 1 Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in

Nadere informatie

Optelling en scalaire vermenigvuldiging zijn weer plaatsgewijs gedefinieerd, bijvoorbeeld: 7 (x 1, x 2, x 3,...)

Optelling en scalaire vermenigvuldiging zijn weer plaatsgewijs gedefinieerd, bijvoorbeeld: 7 (x 1, x 2, x 3,...) 5. Lineaire ruimten Tot nu toe hebben we ons uitsluitend met de R n bezig gehouden. We gaan de behandelde theorie nu uitbreiden tot verzamelingen die een sterke overeenkomst met een R n vertonen. Een dergelijke

Nadere informatie

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214 Open Inhoud Universiteit Appendix A Wiskunde voor milieuwetenschappen Voorkennis getallenverzamelingen en algebra Introductie Leerkern Natuurlijke getallen Gehele getallen 8 Rationele getallen Machten

Nadere informatie

3 Meetkundige voorstelling van complexe getallen

3 Meetkundige voorstelling van complexe getallen 3 Meetkudige voorstellig va complexe getalle 31 Complexe getalle als pute va ee vlak Complexe getalle zij geïtroduceerd als pute va ee vlak tov ee orthoormaal assestelsel Ee dergelijk assestelsel is odig

Nadere informatie

Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.

Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle. De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.

Nadere informatie

Domeinbeschrijving rekenen

Domeinbeschrijving rekenen Domeinbeschrijving rekenen Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal auteur: Jan van de Craats 11 december 2007 Inleiding Dit document bevat een beschrijving van

Nadere informatie

Calculus. P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam

Calculus. P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam Calculus P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam 30 november 2006 Hoofdstuk 1 Complexe getallen 1.1 Introductie In dit hoofdstuk gaat het over complexe getallen. We voeren

Nadere informatie

Analyse 1 Handout limieten en continuïteit

Analyse 1 Handout limieten en continuïteit Analyse Handout ieten en continuïteit Rogier Bos Inhoudsopgave Limieten 2. Intuïtief ieten bepalen........................ 2.2 Rekenen aan ieten........................... 4.3 Limieten als spel.............................

Nadere informatie

Complexe getallen. Jaap Top

Complexe getallen. Jaap Top Complexe getallen Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 16 december 2014 (studiedag voor leraren wiskunde) 1 ( er verwijst naar Leopold Kronecker), uit een tekst (1893) na diens overlijden geschreven

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )

Nadere informatie

Wiskundige Technieken

Wiskundige Technieken 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 009-010 1ste semester 7 oktober 009 Wiskundige Technieken 1. Integreer de volgende differentiaalvergelijkingen: (a) y + 3x y = 3x (b) y + 3y + y = xe

Nadere informatie