Bestaat er dan toch een wortel uit 1?
|
|
- Jan Smit
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007
2 Wat zijn complexe getallen?
3 Wat zijn complexe getallen? Complexe getallen zijn paren reële getallen.
4 Wat zijn complexe getallen? Complexe getallen zijn paren reële getallen. Het zijn getallen omdat je ze kunt optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.
5 Wat zijn complexe getallen? Complexe getallen zijn paren reële getallen. Het zijn getallen omdat je ze kunt optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Nieuwe notatie: in plaats van (a, b) schrijven we a + b i of a + i b
6 Wat zijn complexe getallen? Complexe getallen zijn paren reële getallen. Het zijn getallen omdat je ze kunt optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Nieuwe notatie: in plaats van (a, b) schrijven we a + b i of a + i b Optellen en aftrekken ( coördinaatsgewijs ): (a 1 + b 1 i ) ± (a 2 + b 2 i ) = (a 1 ± a 2 ) + (b 1 ± b 2 ) i
7 Wat zijn complexe getallen? Complexe getallen zijn paren reële getallen. Het zijn getallen omdat je ze kunt optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Nieuwe notatie: in plaats van (a, b) schrijven we a + b i of a + i b Optellen en aftrekken ( coördinaatsgewijs ): (a 1 + b 1 i ) ± (a 2 + b 2 i ) = (a 1 ± a 2 ) + (b 1 ± b 2 ) i Dit is de gewone vectoroptelling in R 2.
8 Wat zijn complexe getallen? Vermenigvuldigen: (a 1 + b 1 i )(a 2 + b 2 i ) = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) i
9 Wat zijn complexe getallen? Vermenigvuldigen: (a 1 + b 1 i )(a 2 + b 2 i ) = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) i Korte schrijfwijzen: a + 0 i = a, 0 + b i = b i, 1 i = i, 1 i = i
10 Wat zijn complexe getallen? Vermenigvuldigen: (a 1 + b 1 i )(a 2 + b 2 i ) = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) i Korte schrijfwijzen: a + 0 i = a, 0 + b i = b i, 1 i = i, 1 i = i Dan geldt dus: Maar ook: i 2 = (0 + 1 i )(0 + 1 i ) = i = 1 ( i ) 2 = (0 1 i )(0 1 i ) = i = 1
11 Wat zijn complexe getallen? Vermenigvuldigen: (a 1 + b 1 i )(a 2 + b 2 i ) = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) i Korte schrijfwijzen: a + 0 i = a, 0 + b i = b i, 1 i = i, 1 i = i Dan geldt dus: Maar ook: i 2 = (0 + 1 i )(0 + 1 i ) = i = 1 ( i ) 2 = (0 1 i )(0 1 i ) = i = 1 Vermenigvuldigen is dus gewoon haakjes uitwerken en gebruiken dat i 2 = 1!
12 Wat zijn complexe getallen? Oplossingen van de vergelijking x 2 = 1 zijn blijkbaar x = i en x = i. Dit zijn de wortels uit 1.
13 Wat zijn complexe getallen? Oplossingen van de vergelijking x 2 = 1 zijn blijkbaar x = i en x = i. Dit zijn de wortels uit 1. Opgave: bewijs zelf dat er geen andere oplossingen zijn.
14 Wat zijn complexe getallen? Oplossingen van de vergelijking x 2 = 1 zijn blijkbaar x = i en x = i. Dit zijn de wortels uit 1. Opgave: bewijs zelf dat er geen andere oplossingen zijn. Evenzo zijn ±2 i de wortels uit 4, etc. Alle negatieve getallen hebben dus twee wortels.
15 Wat zijn complexe getallen? We kunnen nu elke reële vierkantsvergelijking oplossen, ook als de discriminant negatief is:
16 Wat zijn complexe getallen? We kunnen nu elke reële vierkantsvergelijking oplossen, ook als de discriminant negatief is: Voorbeeld: x 2 + 2x + 5 = 0
17 Wat zijn complexe getallen? We kunnen nu elke reële vierkantsvergelijking oplossen, ook als de discriminant negatief is: Voorbeeld: x 2 + 2x + 5 = 0 (x + 1) = 0
18 Wat zijn complexe getallen? We kunnen nu elke reële vierkantsvergelijking oplossen, ook als de discriminant negatief is: Voorbeeld: x 2 + 2x + 5 = 0 (x + 1) = 0 (x + 1) 2 = 4
19 Wat zijn complexe getallen? We kunnen nu elke reële vierkantsvergelijking oplossen, ook als de discriminant negatief is: Voorbeeld: x 2 + 2x + 5 = 0 (x + 1) = 0 (x + 1) 2 = 4 Dit geeft x + 1 = ±2 i oftewel x = i of x = 1 2 i.
20 Wat zijn complexe getallen? We kunnen nu elke reële vierkantsvergelijking oplossen, ook als de discriminant negatief is: Voorbeeld: x 2 + 2x + 5 = 0 (x + 1) = 0 (x + 1) 2 = 4 Dit geeft x + 1 = ±2 i oftewel x = i of x = 1 2 i. Je kunt dus gewoon de abc-formule toepassen!
21 Het complexe vlak 6 i 5 i i b i α = a + b i i 2 i i α i i a i -2 i -3 i
22 Het complexe vlak 6 i 5 i i b i α = a + b i i i i i i -2 i -3 i α a i α = a 2 + b 2 (Pythagoras)
23 Complexe getallen op de eenheidscirkel i sin ϕ i cos ϕ + i sin ϕ ϕ 0 cos ϕ 1
24 Complexe getallen op de eenheidscirkel i cos ϕ + i sin ϕ i sin ϕ Korte notatie (Euler): ϕ 0 cos ϕ 1 e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ
25 Complexe getallen op de eenheidscirkel i cos ϕ + i sin ϕ i sin ϕ Korte notatie (Euler): ϕ 0 cos ϕ 1 e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ Wat gebeurt als je twee van zulke getallen met elkaar vermenigvuldigt?
26 Complexe getallen op de eenheidscirkel i cos ϕ + i sin ϕ i sin ϕ Korte notatie (Euler): ϕ 0 cos ϕ 1 e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ Wat gebeurt als je twee van zulke getallen met elkaar vermenigvuldigt? (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 )(cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 )
27 Complexe getallen op de eenheidscirkel i cos ϕ + i sin ϕ i sin ϕ Korte notatie (Euler): ϕ 0 cos ϕ 1 e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ Wat gebeurt als je twee van zulke getallen met elkaar vermenigvuldigt? (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 )(cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) = (cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 sin ϕ 2 ) + i (cos ϕ 1 sin ϕ 2 + sin ϕ 1 cos ϕ 2 )
28 Complexe getallen op de eenheidscirkel i cos ϕ + i sin ϕ i sin ϕ Korte notatie (Euler): ϕ 0 cos ϕ 1 e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ Wat gebeurt als je twee van zulke getallen met elkaar vermenigvuldigt? (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 )(cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) = (cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 sin ϕ 2 ) + i (cos ϕ 1 sin ϕ 2 + sin ϕ 1 cos ϕ 2 ) = cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )
29 Complexe getallen op de eenheidscirkel i cos ϕ + i sin ϕ i sin ϕ Korte notatie (Euler): ϕ 0 cos ϕ 1 e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ Wat gebeurt als je twee van zulke getallen met elkaar vermenigvuldigt? (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 )(cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) = (cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 sin ϕ 2 ) + i (cos ϕ 1 sin ϕ 2 + sin ϕ 1 cos ϕ 2 ) = cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 ) en dus geldt: e i ϕ 1 e i ϕ 2 = e i (ϕ 1+ϕ 2 )
30 Complexe getallen op de eenheidscirkel i e i ϕ ϕ 0 1
31 Complexe getallen op de eenheidscirkel i ϕ e i ϕ 0 1 Het getal e i ϕ is het punt op de eenheidscirkel met argument ϕ (in radialen). Dit is dus niet de gewone (reële) e-machtfunctie want de exponent is imaginair.
32 Complexe getallen op de eenheidscirkel i ϕ e i ϕ 0 1 Bijzondere gevallen: Het getal e i ϕ is het punt op de eenheidscirkel met argument ϕ (in radialen). Dit is dus niet de gewone (reële) e-machtfunctie want de exponent is imaginair.
33 Complexe getallen op de eenheidscirkel i ϕ e i ϕ 0 1 Bijzondere gevallen: e π i = 1 Het getal e i ϕ is het punt op de eenheidscirkel met argument ϕ (in radialen). Dit is dus niet de gewone (reële) e-machtfunctie want de exponent is imaginair.
34 Complexe getallen op de eenheidscirkel i ϕ e i ϕ 0 1 Bijzondere gevallen: e π i = 1 e π i = 1 Het getal e i ϕ is het punt op de eenheidscirkel met argument ϕ (in radialen). Dit is dus niet de gewone (reële) e-machtfunctie want de exponent is imaginair.
35 Complexe getallen op de eenheidscirkel i ϕ e i ϕ 0 1 Bijzondere gevallen: e π i = 1 e π i = 1 e 1 2 π i = i Het getal e i ϕ is het punt op de eenheidscirkel met argument ϕ (in radialen). Dit is dus niet de gewone (reële) e-machtfunctie want de exponent is imaginair.
36 Complexe getallen op de eenheidscirkel i ϕ e i ϕ 0 1 Bijzondere gevallen: e π i = 1 e π i = 1 e 1 2 π i = i e 2π i = 1 Het getal e i ϕ is het punt op de eenheidscirkel met argument ϕ (in radialen). Dit is dus niet de gewone (reële) e-machtfunctie want de exponent is imaginair.
37 Complexe getallen op de eenheidscirkel i ϕ e i ϕ 0 1 Bijzondere gevallen: e π i = 1 e π i = 1 e 1 2 π i = i e 2π i = 1 e 2kπ i = 1 (k geheel) Het getal e i ϕ is het punt op de eenheidscirkel met argument ϕ (in radialen). Dit is dus niet de gewone (reële) e-machtfunctie want de exponent is imaginair.
38 Complexe getallen op de eenheidscirkel i ϕ e i ϕ 0 1 Het getal e i ϕ is het punt op de eenheidscirkel met argument ϕ (in radialen). Dit is dus niet de gewone (reële) e-machtfunctie want de exponent is imaginair. Bijzondere gevallen: e π i = 1 e π i = 1 e 1 2 π i = i e 2π i = 1 e 2kπ i = 1 (k geheel) Verder geldt: e i ϕ 1 e i ϕ 2 = e i (ϕ 1+ϕ 2 ) e i ϕ 1 e i ϕ = e i (ϕ 1 ϕ 2 ) 2 ( e i ϕ) k = e i k ϕ (k geheel)
39 De polaire notatie i y z = x + i y i r e iϕ ϕ 0 1 x
40 De polaire notatie i y z = x + i y z = x + i y = r e i ϕ i r e iϕ ϕ 0 1 x
41 De polaire notatie i y z = x + i y i r e iϕ met z = x + i y = r e i ϕ r = z = x 2 + y 2 ϕ 0 1 x
42 De polaire notatie i y z = x + i y i r e iϕ met z = x + i y = r e i ϕ r = z = x 2 + y 2 ϕ 0 1 x x = r cos ϕ, y = r sin ϕ
43 De polaire notatie i y z = x + i y i r e iϕ met z = x + i y = r e i ϕ r = z = x 2 + y 2 ϕ 0 1 x x = r cos ϕ, y = r sin ϕ tan ϕ = y/x
44 De polaire notatie Polaire notatie is handig voor vermenigvuldigen en delen:
45 De polaire notatie Polaire notatie is handig voor vermenigvuldigen en delen: Vermenigvuldigen: z 1 z 2 = r 1 r 2 e i (ϕ 1+ϕ 2 )
46 De polaire notatie Polaire notatie is handig voor vermenigvuldigen en delen: Vermenigvuldigen: z 1 z 2 = r 1 r 2 e i (ϕ 1+ϕ 2 ) Delen: z 1 z 2 = r 1 r 2 e i (ϕ 1 ϕ 2 )
47 De polaire notatie Polaire notatie is handig voor vermenigvuldigen en delen: Vermenigvuldigen: z 1 z 2 = r 1 r 2 e i (ϕ 1+ϕ 2 ) Delen: z 1 z 2 = r 1 r 2 e i (ϕ 1 ϕ 2 ) Bij vermenigvuldigen worden de absolute waarden met elkaar vermenigvuldigd en de argumenten bij elkaar opgeteld. Bij delen worden de absolute waarden gedeeld en de argumenten van elkaar afgetrokken.
48 De complexe e-machtfunctie Hoe wordt de functie w = e z gedefinieerd?
49 De complexe e-machtfunctie Hoe wordt de functie w = e z gedefinieerd? w = e z = e x+ i y = e x e i y = e x (cos y + i sin y)
50 De complexe e-machtfunctie Hoe wordt de functie w = e z gedefinieerd? w = e z = e x+ i y = e x e i y = e x (cos y + i sin y) Dan geldt
51 De complexe e-machtfunctie Hoe wordt de functie w = e z gedefinieerd? w = e z = e x+ i y = e x e i y = e x (cos y + i sin y) Dan geldt e z 1+z 2 = e z 1e z 2 voor elke z 1 en z 2
52 De complexe e-machtfunctie Hoe wordt de functie w = e z gedefinieerd? w = e z = e x+ i y = e x e i y = e x (cos y + i sin y) Dan geldt e z 1+z 2 = e z 1e z 2 voor elke z 1 en z 2 e x+ i y = e x
53 De complexe e-machtfunctie Hoe wordt de functie w = e z gedefinieerd? w = e z = e x+ i y = e x e i y = e x (cos y + i sin y) Dan geldt e z 1+z 2 = e z 1e z 2 voor elke z 1 en z 2 e x+ i y = e x arg ( e x+ i y ) = y + 2kπ (k geheel)
54 De complexe e-machtfunctie Hoe wordt de functie w = e z gedefinieerd? w = e z = e x+ i y = e x e i y = e x (cos y + i sin y) Dan geldt e z 1+z 2 = e z 1e z 2 voor elke z 1 en z 2 e x+ i y = e x arg ( e x+ i y ) = y + 2kπ (k geheel) e z+2kπ i = e z voor elk geheel getal k,
55 De complexe e-machtfunctie Hoe wordt de functie w = e z gedefinieerd? w = e z = e x+ i y = e x e i y = e x (cos y + i sin y) Dan geldt e z 1+z 2 = e z 1e z 2 voor elke z 1 en z 2 e x+ i y = e x arg ( e x+ i y ) = y + 2kπ (k geheel) e z+2kπ i = e z voor elk geheel getal k, de e-machtfunctie is dus periodiek met periode 2π i.
56 De complexe e-machtfunctie in beeld gebracht z-vlak w-vlak 2π i w = e z w = e z = e x+ i y = e x e i y = e x (cos y + i sin y)
57 De complexe Ln-functie in beeld gebracht z-vlak w-vlak 2π i w = e z 0 1 z = Ln w 0
58 De complexe Ln-functie in beeld gebracht z-vlak w-vlak 2π i w = e z 0 1 z = Ln w 0 Gegeven: w = r e i ϕ. Voor welke z geldt w = e z?
59 De complexe Ln-functie in beeld gebracht z-vlak w-vlak 2π i w = e z 0 1 z = Ln w 0 Gegeven: w = r e i ϕ. Voor welke z geldt w = e z? z = Ln w =
60 De complexe Ln-functie in beeld gebracht z-vlak w-vlak 2π i w = e z 0 1 z = Ln w 0 Gegeven: w = r e i ϕ. Voor welke z geldt w = e z? z = Ln w = ln r + i ϕ + 2kπ i
61 De complexe Ln-functie in beeld gebracht z-vlak w-vlak 2π i w = e z 0 1 z = Ln w 0 Gegeven: w = r e i ϕ. Voor welke z geldt w = e z? z = Ln w = ln r + i ϕ + 2kπ i oftewel: Ln w = ln w + i arg w
62 Differentieerbaarheid Een complexe functie w = f (z) heet differentieerbaar in z 0 als w lim z 0 z = lim f (z 0 + z) f (z 0 ) z 0 z bestaat als eindig complex getal.
63 Differentieerbaarheid Een complexe functie w = f (z) heet differentieerbaar in z 0 als w lim z 0 z = lim f (z 0 + z) f (z 0 ) z 0 z bestaat als eindig complex getal. Wat betekent dat meetkundig gezien?
64 Differentieerbaarheid z-vlak w-vlak π i w = e z Voorbeeld: w = e z, z 0 = i.
65 Differentieerbaarheid z-vlak w-vlak π i w = e z Voorbeeld: w = e z, z 0 = i. z = 0.7
66 Differentieerbaarheid Inzoomen: z = 0.14 z-vlak w-vlak 0 w = e z π i
67 Differentieerbaarheid Inzoomen: z = 0.14 z-vlak w-vlak 0 w = e z π i Voor kleine z zijn de rozetjes in het z-vlak en het w-vlak (vrijwel) direct gelijkvormig want w w (z 0 ) z
68 Differentieerbaarheid Voor complexe functies w = f (z) is differentieerbaarheid dus een zware eis! (direct gelijkvormige rozetjes als w (z 0 ) = 0).
69 Differentieerbaarheid Voor complexe functies w = f (z) is differentieerbaarheid dus een zware eis! (direct gelijkvormige rozetjes als w (z 0 ) = 0). Meetkundig gezien betekent diffferentieerbaarheid conformiteit (gelijkvormigheid in het klein) in alle punten waar w (z) = 0.
70 Differentieerbaarheid Voor complexe functies w = f (z) is differentieerbaarheid dus een zware eis! (direct gelijkvormige rozetjes als w (z 0 ) = 0). Meetkundig gezien betekent diffferentieerbaarheid conformiteit (gelijkvormigheid in het klein) in alle punten waar w (z) = 0. Voorbeelden van differentieerbare functies:
71 Differentieerbaarheid Voor complexe functies w = f (z) is differentieerbaarheid dus een zware eis! (direct gelijkvormige rozetjes als w (z 0 ) = 0). Meetkundig gezien betekent diffferentieerbaarheid conformiteit (gelijkvormigheid in het klein) in alle punten waar w (z) = 0. Voorbeelden van differentieerbare functies: polynomen
72 Differentieerbaarheid Voor complexe functies w = f (z) is differentieerbaarheid dus een zware eis! (direct gelijkvormige rozetjes als w (z 0 ) = 0). Meetkundig gezien betekent diffferentieerbaarheid conformiteit (gelijkvormigheid in het klein) in alle punten waar w (z) = 0. Voorbeelden van differentieerbare functies: polynomen rationale functies (mits noemer niet nul)
73 Differentieerbaarheid Voor complexe functies w = f (z) is differentieerbaarheid dus een zware eis! (direct gelijkvormige rozetjes als w (z 0 ) = 0). Meetkundig gezien betekent diffferentieerbaarheid conformiteit (gelijkvormigheid in het klein) in alle punten waar w (z) = 0. Voorbeelden van differentieerbare functies: polynomen rationale functies (mits noemer niet nul) e z, cos z = e i z + e i z 2, sin z = e i z + e i z 2 i
74 Differentieerbaarheid Voor complexe functies w = f (z) is differentieerbaarheid dus een zware eis! (direct gelijkvormige rozetjes als w (z 0 ) = 0). Meetkundig gezien betekent diffferentieerbaarheid conformiteit (gelijkvormigheid in het klein) in alle punten waar w (z) = 0. Voorbeelden van differentieerbare functies: polynomen rationale functies (mits noemer niet nul) e z, cos z = e i z + e i z 2 Ln z (mits z = 0), sin z = e i z + e i z 2 i
75 Differentieerbaarheid Voor complexe functies w = f (z) is differentieerbaarheid dus een zware eis! (direct gelijkvormige rozetjes als w (z 0 ) = 0). Meetkundig gezien betekent diffferentieerbaarheid conformiteit (gelijkvormigheid in het klein) in alle punten waar w (z) = 0. Voorbeelden van differentieerbare functies: polynomen rationale functies (mits noemer niet nul) e z, cos z = e i z + e i z 2 Ln z (mits z = 0)..., sin z = e i z + e i z 2 i
76 Differentieerbaarheid Verrassende eigenschappen: Als f (z) differentieerbaar is op een gebied G, dan geldt
77 Differentieerbaarheid Verrassende eigenschappen: Als f (z) differentieerbaar is op een gebied G, dan geldt f (z) is op G oneindig vaak differentieerbaar.
78 Differentieerbaarheid Verrassende eigenschappen: Als f (z) differentieerbaar is op een gebied G, dan geldt f (z) is op G oneindig vaak differentieerbaar. f (z) is analytisch op G, dat wil zeggen: bij elk punt z 0 G is er een getal R > 0 zo, dat f (z) in de cirkel z z 0 < R ontwikkeld kan worden in een convergente machtreeks f (z) = a k (z z 0 ) k k=0
79 Dank! Zie verder elk boek over complexe functietheorie, maar vooral ook mijn internetboek Complexe getallen voor wiskunde D dat gratis te downloaden is (in pdf) vanaf mijn homepage: craats
Bestaat er dan toch een wortel uit 1?
Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies voor beginners Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam Open Universiteit craats@science.uva.nl Complexe getallen worden
Nadere informatieAntwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen
1. Rekenen met complexe getallen 1.1 a. 9 b. 9 c. 16 d. i e. 1 1. a. 1 b. 3 c. 1 d. 4 3 e. 3 4 1.3 a. 3 i b. 3 i c. i d. 5 i e. 15 i 1.4 a. 33 i b. 7 i c. 4 3 i d. 3 5 i e. 5 3 i 1.5 a. 1 ± i b. ± i c.
Nadere informatieComplexe getallen. José Lagerberg. November, Universiteit van Amsterdam. José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, / 30
Complexe getallen José Lagerberg Universiteit van Amsterdam November, 2017 José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, 2017 1 / 30 1 Complexe getallen en complexe e-machten Complexe getallen en complexe
Nadere informatieAanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen
Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk
Nadere informatie4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i
COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche
Nadere informatie6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1
WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 18 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 31 Outline 1 Section I.1 Complex numbers K. P. Hart
Nadere informatie16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i
16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =
Nadere informatie10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden
10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn
Nadere informatie1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE
E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk
Nadere informatieLineaire algebra 1 najaar Complexe getallen
Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds
Nadere informatieCOMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats
COMPLEXE GETALLEN voor Wiskunde D Jan van de Craats Herziene versie, 3 augustus 007 Illustraties en LATEX-opmaak: Jan van de Craats Prof. dr. J. van de Craats is hoogleraar in de wiskunde aan de Universiteit
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.10, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 23 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline 1 2 3 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieComplexe e-macht en complexe polynomen
Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.3, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 34 Outline 1 Conforme afbeeldingen 2 K. P. Hart TW2040:
Nadere informatieComplexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen
Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder
Nadere informatieDe meetkunde van de. derdegraadsvergelijking
Jan van de Craats De meetkunde van de derdegraadsvergelijking 22 februari 2007 Algemene (complexe) derdegraadsvergelijking met a 1, a 2, a 3 C z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = 0 Oplossingen z 1, z 2, z 3 Dan
Nadere informatiePraktische opdracht Wiskunde B Complexe Getallen
Praktische opdracht Wiskunde B Complexe Get Praktische-opdracht door een scholier 1750 woorden 12 mei 2003 5,2 86 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Inleiding Deze praktische opdracht wiskunde heeft als onderwerp:
Nadere informatie5.1 Constructie van de complexe getallen
Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieAlgebra, Les 18 Nadruk verboden 35
Algebra, Les 18 Nadruk verboden 35 18,1 Ingeklede vergelijkingen In de vorige lessen hebben we de vergelijkingen met één onbekende behandeld Deze vergelijkingen waren echter reeds opgesteld en behoefden
Nadere informatie8.1 Rekenen met complexe getallen [1]
8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn
Nadere informatiez 1 z 2 r 2 r 1 z 2 z 1 r 1 r 2
Lesbrief 10 Complexe getallen 1 Het complexe vlak Zoals we ons reële getallen kunnen voorstellen als de punten van een lijn waarop 0 en 1 zijn vastgelegd, zo kunnen we ons de complexe getallen voorstellen
Nadere informatieWortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)
1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatieAanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran
Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige
Nadere informatieMathematical Modelling
Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Overzicht 1 Inleiding 2 Overzicht 1 Inleiding 2 Bijeenkomsten Vrijdagmiddagen: 13:45 17:30 (tijden in benadering) 13:45-14:15: nabespreken
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Nadere informatieProefToelatingstoets Wiskunde B
Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 30 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 33 Outline 1 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Kunnen we elke integraal oplossen? Z e x x dx Z e x2 dx
Nadere informatie4051CALC1Y Calculus 1
4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/
Nadere informatieLes 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen
Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van Les Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen N = Natuurlijke getallen =,2,,.. Z
Nadere informatieCOMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats
COMPLEXE GETALLEN voor Wiskunde D Jan van de Craats Voorlopige versie, 11 juni 007 Illustraties en LATEX-opmaak: Jan van de Craats Prof. dr. J. van de Craats is hoogleraar in de wiskunde aan de Universiteit
Nadere informatieWiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier
Wiskunde 2 voor kunstmatige intelligentie (BKI 316) Bernd Souvignier najaar 2004 Deel I Voortgezette Analyse Les 1 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat
Nadere informatieComplexe getallen: oefeningen
Complexe getallen: oefeningen Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (2Y480) op 22 november 1999,
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (Y480) op november 999, 4.00-7.00 uur Formuleer de uitwerkingen der opgaven duidelijk en schrijf ze overzichtelijk
Nadere informatieHoofdstuk 8 : Complexe getallen
1 Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen getallen : (1) N = Natuurlijke getallen = 1,2,3,.. (2) Z = Gehele
Nadere informatieBijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica
Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica T.Verhoeff@TUE.NL http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig ... Oneindig 2 Top tien
Nadere informatieWortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel)
Wortels met getallen 1 Inleiding WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht van de
Nadere informatie2 Modulus en argument
Modulus en argument Verkennen Modulus en argument Inleiding Verkennen Probeer zelf te bedenken hoe je een complex getal kunt opschrijven vanuit de draaihoek en de lengte van de bijbehorende vector. Uitleg
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 13 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 41 Outline III.6 The Residue Theorem 1 III.6 The
Nadere informatieKettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1
Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus C (WCB) op zaterdag 5 januari 04, 9:00 :00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op
Nadere informatieJe moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel
Nadere informatieComplex houdt dan weer in dat we op het complexe vlak werken, met complexe getallen.
The Fractal Project Inleiding: De opzet van dit project is het onderzoeken van de eigenschappen van de mandelbrot-fractal, meer bepaald de eigenschappen van de bollen die aan de buitenkant ervan zitten.
Nadere informatieCWI Syllabi. Editors. Centrum voor Wiskunde en Informatica (CWI) M. Bakker A.M.H. Gerards J.W. Klop
blanko CWI Syllabi Editors M. Bakker A.M.H. Gerards J.W. Klop Centrum voor Wiskunde en Informatica (CWI) P.O. Box 94079, 1090 GB Amsterdam, The Netherlands Telephone + 31-20 592 9333 Telefax + 31-20 592
Nadere informatieDe wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton
De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking
Nadere informatieComplexe getallen in context
Complexe getallen in context voor wiskunde D ( 5 VWO) R.A.C. Dames H. van Gendt Versie, november 006 Deze module is ontwikkeld in opdracht van ctwo. Copyright 006 R.Dames en H. van Gendt Inhoud Inhoud...3
Nadere informatie1 Rekenen met gehele getallen
1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9
Nadere informatieOneindig in Wiskunde & Informatica. Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft. Tom Verhoeff
Oneindig in Wiskunde & Informatica Lezing in de reeks Oneindig 3 oktober 2007 / Studium Generale TU Delft Tom Verhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica http://www.win.tue.nl/~wstomv/
Nadere informatieAanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran
Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch) staan. Die
Nadere informatieDe notatie van een berekening kan ook aangeven welke bewerking eerst moet = = 16
Rekenregels De voorrangsregels van de hoofdbewerkingen geven aan wat als eerste moet worden uitgerekend. Voorrangsregels 1. Haakjes 2. Machtsverheffen en Worteltrekken. Vermenigvuldigen en Delen 4. Optellen
Nadere informatieCopyright 2017 Gertjan Laan Versie 3.1. uitgeverij czarina
G E R T J A N L A A N A N A LY S E B O E K U I T G E V E R I J C Z A R I N A Copright 07 Gertjan Laan Versie. uitgeverij czarina www.uitgeverijczarina.nl www.gertjanlaan.nl tufte-late.github.io/tufte-late
Nadere informatieAppendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt
Bijlage bij Inversie Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt In dee paragraaf gaan we op een andere manier kijken naar inversie. We doen dat met behulp van de complexe getallen. We veronderstellen
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 De getallenverzameling C 1 2 Het complex vlak of het vlak van Gauss 7 3 Vierkantsvergelijkingen
Nadere informatieInhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft
Nadere informatieSamenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van
Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =
Nadere informatiee x x 2 cos 2 (sin t) cos(t) dt
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP3B 5 november, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boeken) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatieUitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatieSignalen en Transformaties
Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Complexe getallen z D a C bi We definiëren de complex
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatieDe wortel uit min één. Jaap Top
De wortel uit min één Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 20 maart 2007 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen
Nadere informatieMathematical Modelling
1 / 64 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 09-11-09 2 / 64 Niet overal analytisch: een rangschikking 2. De hoofdklasse A: rationale functies: f (z) = z5 + z 2 + 3z + 4 z 3 + 4z 2 + 5z
Nadere informatieTENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN ANALYSE. dinsdag april 2007, 4.00-7.00. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vijf opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op ,
1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op 25-11-1998, 9.00-12.00 uur Opgave 1 1. Formuleer de Cauchy-Riemann-vergelijkingen.
Nadere informatie1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatie1.1 Rekenen met letters [1]
1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren
Nadere informatieTentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Nadere informatieComplexe functies. 2.1 Benadering door veeltermen
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, Les Complexe functies Nadat we de complexe getallen hebben leren kennen, is het een voor de hand liggende vraag of hiervoor net als voor de reële getallen ook functies
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieHoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen
Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, 9.00-12.00 uur. Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven. De uitwerkingen van deze opgaven dienen
Nadere informatiecollege 6: limieten en l Hôpital
126 college 6: ieten en l Hôpital In dit college herhalen we enkele belangrijke definities van ieten, en geven we belangrijke technieken om ieten van functies (eigenlijk en oneigenlijk) te bepalen. In
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
week 4.8, maandag Faculteit EWI TU Delft Delft, 6 juni, 2016 1 / 33 Outline 1 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz 2 2 / 33 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz Maximum-modulusprincipe Stelling
Nadere informatieStudiehandleiding Basiswiskunde cursus
Studiehandleiding Basiswiskunde cursus 2008 2009 Materiaal Bij dit college heb je nodig: Het boek Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch Isbn: 90 430 1156 8 De syllabus Aanvulling basiscursus
Nadere informatieComplexe getallen in context
Complexe getallen in context voor wiskunde D ( 5 VWO) R.A.C. Dames H. van Gendt Versie 4, juni 0 In deze vierde versie zijn alleen een aantal zetfouten verbeterd. Inhoudelijk is deze versie geheel gelijk
Nadere informatie1 Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...
Nadere informatiePolynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Nadere informatieWiskundige notaties. Afspraken. Associatie K.U.Leuven
Wiskundige notaties Afspraken Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D haeseleer Annemie Vermeyen Maart 2011 Waarom? Wiskundetaal gebruikt veel woordenschat, dat weet elke student. Het is niet altijd
Nadere informatieIndicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Indicatie van voorkennis per les Algemene relativiteitstheorie Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Dit document bevat niet alleen voorkennis in de zin dat moet u al gehad hebben en kennen, maar ook in de
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatieMETA-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen
META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek
Nadere informatieVoorbeeldtoets. Het gebruik van een rekenmachine of een formulekaart is niet toegestaan.
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Voorbeeldtoets Lees zorgvuldig onderstaande punten door Deze toets is bedoeld om een idee te krijgen van
Nadere informatieOp deze manier ligt φ exact vast (als we zouden zeggen 0 φ 2π zouden we de reële getallen dubbelop hebben, en dat willen wij als wiskundigen niet).
Moddergooien n.a.v. 31 augustus Allereerst: hartelijk dank voor de vragen; als dat zo doorgaat en als jullie zo blijven komen en ook nog eens huiswerk maken, dan weet ik zeker dat ik dicht bij 100% ga
Nadere informatie3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat.
92 Algebra 3.2 Basiskennis Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: 3.2.1 De getallenlijn... -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5... 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen Het=teken 5+2+3=10 = geeft aan dat wat links van = staat,
Nadere informatie1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14
INHOUD 1 De cirkel 9 1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen 11 1.2 Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 1.3 Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel 20 1.3.1 Aantal snijpunten van een rechte
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieParagraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal
Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal Les 1 : De eenheidscirkel Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ)
Nadere informatieNu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen
Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Ter inleiding: tellen Turven, maar: onhandig bij grote aantallen. Romeinse cijfers: speciale symbolen voor
Nadere informatiee jπ + 1 = 0 Complexe getallen β release Ing. C.H.A. Keyer voor de elektrotechniek. Hogeschool van Amsterdam Department of Electronic Engineering
e jπ + 1 = 0 Complexe getallen voor de elektrotechniek. β release Ing. C.H.A. Keyer Hogeschool van Amsterdam Department of Electronic Engineering 15 oktober 2007 2 Copyleft: c Cees Keyer, Hogeschool van
Nadere informatie1. Orthogonale Hyperbolen
. Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies
Nadere informatiekwadratische vergelijkingen
kwadratische vergelijkingen In deze paragraaf: 'exact berekenen van oplossingen', 'typen kwadratische vergelijkingen' en 'de abc-formule en de discriminant'. de abc-formule Voor een tweedegraads vergelijking
Nadere informatieSchooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048
Blz: 1/5 04 09 09 1.1 STELLING VAN PYTHAGORAS ouwregel tot Pythagoras: formulering. 07 09 09 11 09 09 14 09 09 18 09 09 21 09 09 22 09 09 25 09 09 29 09 09 01 10 09 02 10 09 06 10 09 08 10 09 09 10 09
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-a Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 f () = g () = sin h() = k () = log p () = m () = n () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D k
Nadere informatie