Inhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
|
|
- Marcella Boender
- 4 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
2 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft het stijgen en dalen van de functie f en is zelf ook een functie. Het domein D f is deel van D f. De afgeleide van f wordt met f aangegeven en beschrijft het stijgen en dalen van f. Ook f is een functie en D f is deel van D f. De afgeleide van f wordt met f aangegeven etc. Een andere notatie voor de hogere afgeleiden van f is f 1 = f, f 2 = f, f 3 = f etc. Dus f n is de n de afgeleide van f voor n = 1, 2, De functie f zelf wordt ook wel met f 0 aangegeven.
3 2.6 Faculteit Basiswiskunde_College_4.nb 3 Bij de afgeleiden speelt n-faculteit, n!, een grote rol. We definiëren 0! =1 1! =1 n! =n μ n - 1 μ μ 2 μ 1, n = 2, 3, 4, Merk op dat n! =n ÿ n - 1! voor n = 1, 2, 3,. Voorbeelden: 8! = 8 ÿ 7 = 56 6! 2 n! = 2 n ÿ 2 n-1 ÿ 2 n-2 n+3 n! 2 n n-1 n-2 3 n+2 2 n+1 1 2n
4 4 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Structuur hogere afgeleiden 1 Beschouw de functie f x = ln 2 + x. Geef een uitdrukking voor f n x voor algemene n in N. Geef een uitdrukking voor f n 0 voor algemene n in N. Via uitproberen: f 1 x = 2 + x -1 f 2 x = x -2 f 3 x = x -3 f 4 x = x -4 Vermoeden f n x = - n x n. n-1 factoren Dus f n x = -1 n-1 n - 1! 2 + x -n en f n 0 = -1 n-1 n-1! 2 n. Het vermoeden klopt voor n = 1, 2, 3, 4 Voor het bewijzen van dergelijke vermoedens bestaat een bewijstechniek die u niet hoeft te kennen. U moet wel in staat zijn om in eenvoudige gevallen een vermoeden uit te spreken over de vorm van f n.
5 2.6 Structuur hogere afgeleiden 2 Basiswiskunde_College_4.nb 5 Beschouw de functie f x = x x. Geef een uitdrukking voor f n x voor algemene n in N Via uitproberen: f 1 x = x + x x f 2 x = 2 x + x x f 3 x = 3 x + x x Vermoeden f n x = n x + x x. Het vermoeden is waar voor n = 0, 1, 2, 3.
6 6 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Structuur hogere afgeleiden 3 * Beschouw de functie f x = x 2 x. Geef een uitdrukking voor f n x voor algemene n. Via uitproberen: f 1 x = x 2 x + 2 x x f 2 x = x 2 x + 4 x x + 2 f 3 x = x 2 x + 6 x x + 6 f 4 x = x 2 x + 8 x x + 12 Vermoeden f n x = x 2 x + 2 nx x + n n - 1 x. Voor n = 0, 1, 2, 3, 4 is het vermoeden waar.
7 2.8 Middelwaardestelling 1 Basiswiskunde_College_4.nb 7 Stelling 11 De middelwaardestelling (The Mean-Value Theorem) Beschouw een functie f op een gesloten interval a, b met de eigenschappen dat de functie f continu is op het interval a, b en differentieerbaar is op het interval a, b. f b -f a Dan bestaat er c in a, b met = f c. b-a f b f a f x a x 1 x 2 b Hier staat een grafische toelichting voor een gekozen f. De grafiek van f is zonder sprongen en in ieder punt van a, b heeft de grafiek een raaklijn. De lijn { door de punten a, f a en b, f b heeft rc f b -f a b-a. Door { parallel te verschuiven vindt u punten op de grafiek met raaklijn parallel aan {. In dit plaatje zijn er twee punten. Zodoende is c = x 1 of c = x 2.
8 8 Basiswiskunde_College_4.nb 2.8 Middelwaardestelling 2 De stelling zegt niet hoeveel getallen c er zijn met De stelling zegt niets over de plaats van c. f b -f a b-a = f c. De stelling wordt op twee manieren gebruikt: f b -f a b-a = f c of f b - f a = f c b - a. Gevolg 1: Beschouw een functie f en een interval I zodanig dat f x = 0 voor alle x in I. Dan bestaat er een constante d zodanig dat f x = d voor alle x in I. Gevolg 2: Beschouw een functie f en een interval I zodanig dat f x > 0 voor alle x in I. Dan is de functie f monotoon stijgend op I.
9 2.8 Voorbeeld 1 Basiswiskunde_College_4.nb 9 Laat zien dat sin x sin x 1 voor alle x in R. Laat f x = sin x, b = x + 1 en a = x. Dan is f x = cos x Er geldt dat sin x sin x = cos c x x = cos c voor zekere c tussen x en x + 1. Dus sin x sin x = cos c 1.
10 10 Basiswiskunde_College_4.nb 2.8 Voorbeeld 2 Laat zien dat x x+1 < x ln x ln x < 1 voor alle x > 0. Op het verschil ln x ln x kan de middelwaardestelling worden toegepast. Laat f x = ln x, a = x en b = x + 1. Nu is f x = 1 x Dus ln x ln x = 1 c x x = 1 c voor zekere c met x < c < x + 1. Gevolg x ln x ln x = x c 1 Omdat x > 0 geldt dat < 1 < 1 en ook x < x < 1 x+1 c x x+1 c x Conclusie: < x ln x ln x < 1. x+1
11 2.8 Voorbeeld 3 Basiswiskunde_College_4.nb 11 Laat zien dat sin2 b -sin 2 a 1 voor alle a en b in R, a b. b-a Laat f x = sin 2 x. Dan is f x = 2 sin x cos x. Dus sin2 b -sin 2 a b-a = 2 sin c cos c met c tussen a en b. Gevolg sin2 b -sin 2 a = 2 sin c cos c. b-a Er moet worden aangetoond dat 2 sin c cos c 1. Merk op dat 2 sin c cos c = sin 2 c. Dus sin2 b -sin 2 a = sin 2 c 1. b-a
12 12 Basiswiskunde_College_4.nb 2.8 Voorbeeld 4 Laat zien dat tan x > x voor alle x in 0, p 2. Op een verschil van de functiewaarden kan de middelwaardestelling worden toegepast. Nu is tan x = tan x - tan 0. We kiezen f x = tan x. Dan is f x = Dus tan x = f x - f 0 = f c x - 0 met c tussen x en 0. 1 x Gevolg tan x = x - 0 = cos 2 c cos 2 c. Omdat 0 < x < p 2, is 0 < cos2 c < 1, Conclusie: tan x = 1 cos 2 c x > x. 1 cos 2 c > 1 en x cos 2 c > x. 1 cos 2 x.
13 2.8 Generalisatie * Basiswiskunde_College_4.nb 13 Deze slide valt buiten stof. Stelling 16 Generalisatie van middelwaardestelling Beschouw de functies f en g en een interval a, b met de volgende eigenschappen: f en g zijn continu op a, b, f en g zijn differentieerbaar op a, b, g x 0 voor alle x met a x b, Dan bestaat er c in a, b met f b -f a = f c g b -g a g. c Waarom heet deze stelling een generalisatie?
14 14 Basiswiskunde_College_4.nb 2.9 Inleiding impliciet differentiëren De grafiek van de functie f x = 4 - x 2 is de helft van een cirkel. De punten van de grafiek van f voldoen aan de vgl x 2 + y 2 = 4. Omgekeerd zijn niet alle punten van de cirkel x 2 + y 2 = 4 punten van de grafiek van f. In de buurt van het punt 1, 3 vallen cirkel en grafiek van f samen. Als we y als functie van x zien dan wordt door x 2 + y 2 = 4 en y 1 = 3 een functie vastgelegd, namelijk y x = 4 - x 2 = f x. Door f x = 4 - x 2 wordt de functie f expliciet gegeven. Door x 2 + y 2 = 4 en y 1 = 3 wordt de functie y impliciet gegeven. Een vergelijking met x en y is meestal niet oplosbaar, maar legt vaak een kromme in het vlak vast die locaal als de grafiek van een functie gezien kan worden. Als y x niet expliciet bepaald kan worden, dan kan men toch iets zeggen over y x.
15 2.9 Opdrachten Basiswiskunde_College_4.nb 15 (1) Differentieer de uitdrukking x sin 3 x + ln 2 + x sin x naar x. (2) Differentieer de uitdrukking xy 3 x + ln 2 + xy x naar x (1) Antwoord: sin 3 x + 3 x sin 2 x cos x x sin x (2) Antwoord: y 3 x + 3 xy 2 x y x y x y x + xy x sin x + x cos x
16 16 Basiswiskunde_College_4.nb 2.9 Voorbeeld impliciete differentiatie * Beschouw de functie y impliciet gegeven door x2 + y y 2 = 5, 1 y 1 =-1, 2 (a) Druk y uit in x en y (b) Bepaal y 1 (c) Bepaal y 1 als dat kan. (a) Vgl (1) is eigenlijk x 2 + y 4 x + 3 y 2 x = 5. In Adams wordt het argument van y weggelaten. Aan beide kanten differentiëren geeft 2 x + 4 y 3 y + 6 yy = 0, vgl (3). Dus y = -2 x 4 y 3 +6 y. (b) Vul x = 1 in vgl 3. Dan 2-4 y 1-6 y 1 = 0; Dus y 1 = 1 5 (c) Vgl (3) herschrijven geeft 2 x + 4 y y y = 0. Differentiëren levert y 2 y + 6 y y + 4 y y y = 0. Invullen geeft y 1 = 0. Dus y 1 =
17 4.9 Inleiding linearisatie Basiswiskunde_College_4.nb 17 Er bestaat geen formule om alle functiewaarden sin x uit te rekenen. Voor speciale hoeken kan dit wel: sin 0 = 0, sin p = 1, sin p = 1 2 etc Een rekenmachine geeft de waarde voor sin 0.1. Dit is een benadering voor sin 0.1. Vaak zijn (functie)waarden niet exact te bepalen, maar wel te benaderen. Beschouw een differentieerbare functie f met een punt a in het domein D f. Als van de functie f de functiewaarde f a en de afgeleide f a bekend zijn, dan kan de waarde van f x rond x = a benaderd worden. Als x dicht bij a ligt dan zal f x -f a x-a º f a ofwel f x º f a + f a x - a.
18 18 Basiswiskunde_College_4.nb 4.9 Linearisatie Beschouw een functie f die differentieerbaar is in het punt a in D f. f x f a Y f x p 1 x p 0 x a x X De raaklijn in a, f a heeft vergelijking y = f a + f a x - a. De raaklijn is de grafiek van de functie p 1 met p 1 x = f a + f a x - a. De horizontale lijn door a, f a is de grafiek van de functie p 0 met p 0 x = f a. De functie p 1 x = f a + f a x - a heet de linearisatie van f rond a. Rond a zal p 1 x een betere benadering voor f x zijn dan p 0 x.\ De linearisatie wordt ook vaak met L x aangegeven. Een linerisatie past locaal bij een functie!
19 4.9 Voorbeeld 1 linearisatie Basiswiskunde_College_4.nb 19 Beschouw de functie f x = x. (1) Bepaal de linearisatie van f rond a = 1 en benader 1.1. (2) Bepaal de linearisatie van f rond a = 4 en benader 4.1. Er geldt f x = 1 2 x. (1) L x = f 1 + f 1 x - 1 = x - 1. Nu is 1.1 = f 1.1 º L 1.1 = μ 0.1 = (2) L x = f 4 + f 4 x - 4 = x - 4. Nu is 4.1 = f 4.1 º L 4.1 = μ 0.1 =
20 20 Basiswiskunde_College_4.nb 4.9 Voorbeelden linearisatie Voorbeeld 1 Benader met een linearisatie. Beschouw de functie f x = 1 x met afgeleide f x =- 1 x 2. Van deze functie is rond a = 10 de linearisatie L x = En = f 10.2 º L 10.2 = 1-1 μ 0.2 = Een rekenmachine geeft = x Voorbeeld 2 Beschouw de functie f x = sin x. Benader sin 0.1 met een linearisatie. Van deze functie is rond a = 0 de linearisatie L x = x. Nu is sin 0.1 = f 0.1 º L 0.1 = 0.1 Een rekenmachine geeft sin 0.1 = , dus de benadering is niet slecht. Voorbeeld 3 Benader 37 met een linearisatie. Omdat 36 = 6, kiezen we f x = 36 + x. Dan 37 = f 1. De linearisatie van f rond a = 0 is L x = x. 12 Dus 37 º L 1 = = Een rekenmachine geeft 37 =
21 4.9 Fout bij linearisatie Basiswiskunde_College_4.nb 21 Stelling 11 Fout bij linearisatie Gegeven functie f, getal a in D f en getal x in D f zodanig dat f 2 continu is op interval met eindpunten a en x. Dan geldt dat f x = f a + f a x - a + 1 f s x - a 2 voor zekere s tussen a en x. 2 De stelling zegt dat er een s bestaat en niet hoeveel het er zijn en hoe u ze kunt vinden. De term 1 2 f s x - a 2 wordt de fout van de linearisatie genoemd en met E 1 x aangegeven. Anders gezegd: f x = p 1 x + E 1 x Zeker als x dicht bij a ligt, zal de fout klein zijn ten opzichte van x - a. Het teken van E 1 x bepaalt of p 1 x onder of boven f x ligt.
22 22 Basiswiskunde_College_4.nb 4.9 Benadering met interval 1 Geef benadering voor sin 0.1 met een geschikt interval er omheen. Beschouw f x = sin x en a = 0. Dan is L x = x. Nu is x = 0.1 en sin 0.1 = L E Nu is E = 1 f s = sin s met 0 < s < 0.1. Merk op dat 0 < sin s < sin 0.1 < 0.1. Dus E 0.1 =-sin s ÿ is negatief. Er geldt dat -0.1 <-sin s < 0 ofwel < E < 0. Overal L 0.1 bij optellen levert < sin 0.1 < 0.1 De rekenmachine geeft sin 0.1 =
23 4.9 Benadering met interval 2 Basiswiskunde_College_4.nb 23 Geef benadering voor 1.04 met een geschikt interval er omheen. Beschouw f x = x en a = 1. Er geldt dat f 1 x = 1 en f 2 x = x 4 x x Nu is de linearisatie L x = f 1 + f 1 x - 1 = ÿ x Omdat 1.04 = f 1.04, 1.04 º L 1.04 = ÿ 0.04 = Er geldt f 1.04 = L E en E =- 1 8 c c met 1 < c < Omdat 0 < 1 < 1, vinden we < E < 0. c c Dus met optellen van L 1.04 vinden we < 1.04 < De rekenmachine geeft 1.04 =
24 24 Basiswiskunde_College_4.nb 4.9 Slotopmerkingen linearisatie * é In L x de haakjes van x - a laten staan! é De linearisatie L x is een polynoom in x van de graad hoogstens 1. é Grafiek van linearisatie L x is rechte. é Beschouw een functie f x met linearisatie L x rond a. Aan het teken van de tweede afgeleide van f is te zien aan welke kant van de functiewaarde f x de benadering L x ligt.
Basiswiskunde Week 3_ Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Basiswiskunde Week 3_2 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_Week_3_2.nb 2.8 Middelwaardestelling 1 Stelling 11 De middelwaardestelling (The Mean-Value
Nadere informatieInhoud college 5 Basiswiskunde Taylorpolynomen
Inhoud college 5 Basiswiskunde 4.10 Taylorpolynomen 2 Basiswiskunde_College_5.nb 4.10 Inleiding Gegeven is een functie f met punt a in domein D f. Gezocht een eenvoudige functie, die rond punt a op f lijkt
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Analyse A, deeltentamen Uitwerkingen maandag 1 november 2010, 9 11 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan
Nadere informatie== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u
== en Tentamen Analyse, WI6 == Maandag januari, 4.-7.u Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI. Gegeven is de functie + e + e arctan,, f = +, >. a Beargumenteer dat f continu is op R. b Bepaal de
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 1 oktober 2008, uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Basiswiskunde, DL3, woensdag oktober 8, 9.. uur. Geef op het eerste vel met uitwerkingen aan welk programma (Schakelprogramma
Nadere informatieInhoud college 6 Basiswiskunde
Inhoud college 6 Basiswiskunde 4.0 Taylorpolynomen (slot) Zie college 5: Vanaf 4.0 Voorbeeld 4 3. Inverse functies 3.2 Exponentiële en logaritmische functies 3.3 De natuurlijke logaritme en de exponentiële
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 3 oktober 2007.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Algemeen deel. Bij het vermenigvuldigen met van de ongelijkheid moet u rekening houden met twee gevallen, te weten > 0 en < 0 en u moet
Nadere informatieDefinitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:
Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatie== Hertentamen Analyse 1 == Dinsdag 25 maart 2008, u
== Hertentamen Analyse == Dinsdag 5 maart 8, 4-7u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent (S Hille, O van Gaans) en je studierichting Geef niet alleen antwoorden, leg elke
Nadere informatie13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.
Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus C (WCB) op zaterdag 5 januari 04, 9:00 :00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op
Nadere informatieTENTAMEN ANALYSE 1. dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN ANALYSE. dinsdag april 2007, 4.00-7.00. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste vijf opgaven gaan over de stof van het eerste gedeelte van het college. De laatste vijf opgaven gaan
Nadere informatieCentrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012
Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3
Nadere informatie1.1 Differentiëren, geknipt voor jou
1.1 Differentiëren, geknipt voor jou Je hebt leren omgaan met hellings of, wat hetzelfde is: s. We frissen de begrippen en rekenmethoden die hierbij horen nu wat op. Stel dat je met een (gewone) schaar
Nadere informatieOEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE 1 (COLLEGE NAJAAR 2006). (z + 2i) 4 = 16. y 4y + 5y = 0 y(0) = 1, y (0) = 2. { 1 + xc 1 voor x > 0.
OEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE (COLLEGE NAJAAR 6).. Bepaal alle oplossingen van de vergelijking (z + i) 4 = 6 in het complee vlak. a. Schrijf het getal i in poolcoördinaten. b. Bereken de rechthoekige
Nadere informatieP is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).
Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie
Nadere informatie1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Nadere informatieColleges. Woensdag 5 februari 2014, college 1. ã Stof. Tijdschema colleges Basiswiskunde 2DL00 Cursus , Semester 2 Avondonderwijs
Tijdschema colleges Basiswiskunde 2DL00 Cursus 2013-2014, Semester 2 Avondonderwijs Versie vrijdag 21 februari 2014 Na ieder avondcollege wordt een klein verslag van het college in dit document opgenomen.
Nadere informatie1. Orthogonale Hyperbolen
. Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies
Nadere informatie(g 0 en n een heel getal) Voor het rekenen met machten geldt ook - (p q) a = p a q a
Samenvatting wiskunde h4 hoofdstuk 3 en 6, h5 hoofdstuk 4 en 6 Hoofdstuk 3 Voorkennis Bij het rekenen met machten gelden de volgende rekenregels: - Bij een vermenigvuldiging van twee machten met hetzelfde
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Bekijken we de volgende vergelijking: x 2 C Œf.x/
Nadere informatie2 Lijn door P met gegeven richtingscoëfficiënt
Lineariseren Wisnet-HBO update april 008 Inleiding Hieronder zijn twee grafieken getekend van de zelfde functie f := x x x met de raaklijn in het punt x =. raaklijn_y = x+ 5 0 x f(x) The tangent at x=.0.05.00.95.90
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
5 bladzijde 9 ab f g h i j functie nr 5 Domein [ 0, 0, Bereik [ 0, [ 0, 0, c D k B k, 0 0, d Spiegelen in de -as geeft het tegengestelde bereik, dus, 0]. e u ( ) en yu ( ) u f D q, 0 0, ; B q 0, a [, b
Nadere informatie6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid.
6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. f(x) = x x Differentiequotiënt van f(x) op [0, 3] = y f (3) f (0) 60 x 30 30 y x 1 Algemeen: Het differentiequotiënt
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatiedx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π
Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)
Nadere informatieTussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde.
Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Dinsdag 9 maart 2010, 9.00-11.00. Het gebruik van een rekenmachine is toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een berekening of redenering.
Nadere informatieWeek 2_2. 1.2 Limieten 1.4 Continuïteit 2.2 De afgeleide 2.3 Differentiatieregels
Week 2_2 1.2 Limieten 1.4 Continuïteit 2.2 De afgeleide 2.3 Differentiatieregels 2 Basiswiskunde_Week_2_2.nb 1.2 Voorbeeld Beschouw de uitdrukking x2 +3 x in de buurt van x = 2. x-4 Als x op 2 lijkt, dan
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 3 november 0 Normering voor pt vragen andere vragen naar rato): pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieEERSTE AFGELEIDE TWEEDE AFGELEIDE
Lesrief EERSTE AFGELEIDE etreme waarden raaklijn normaal TWEEDE AFGELEIDE uigpunten 6/7Np GGHM03 Inleiding Met ehulp van de grafische rekenmachine kun je snel zien of de grafiek daalt of stijgt. Het horizontaal
Nadere informatieSignalen 4CA00 (1) Gedeelte Signalen, docent M.J.G. van de Molengraft. Gedeelte Wiskunde, docent F.J.L. Martens
Signalen 4CA00 (1) Gedeelte Signalen, docent M.J.G. van de Molengraft Gedeelte Wiskunde, docent F.J.L. Martens Inhoud wiskundedeel Functies van meer variabelen Partiële afgeleiden Extrema Eigenwaarden
Nadere informatieTussentoets Analyse 1
Tussentoets Analyse Maandag 0 oktober 008, 0.00 -.00u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent S. Hille, O. van Gaans en je studierichting. Geef niet alleen antwoorden, leg
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieChecklist Wiskunde B HAVO HML
Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten
Nadere informatieInleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid
Nadere informatien=0 en ( f(y n ) ) ) n=0 equivalente rijen zijn.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 8 juli 2011, 14.00 17.00 Het gebruik van een rekenmachine en/of telefoon is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis I. Geef
Nadere informatie3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.
Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieMachten, exponenten en logaritmen
Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde
Nadere informatieV.2 Limieten van functies
V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de
Nadere informatie6. Toon aan dat voor alle 2]0; ß [ geldt dat sin <<tan Onderstel dat de functie f afleidbaar in ]a; +1[ is en dat Toon aan dat!+1 f ) = A.!+1 f
Afleiden en primitiveren Oefeningen Wiskundige Analyse I 1. Toon aan dat de functie f gedefinieerd op [ß; 3ß 2 ] door 1 p 1 + sin2 ) een inverse ffi bezit. Wat kan men besluiten omtrent de monotoniteit,
Nadere informatieParagraaf 2.1 Toenamediagram
Hoofdstuk 2 Veranderingen (H4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 2.1 Toenamediagram Les 1 Interval / Getallenlijn / x-notatie Interval Getallenlijn x-notatie -------------
Nadere informatieVak Basiswiskunde 2DL00
Basiswiskunde_College_1.nb 1 Vak Basiswiskunde 2DL00 Cursus 2013-2014 Basis van wiskundige kennis en vaardigheden Kennismaking vooraf met wiskunde op TU/e Ook vak in allerlei schakelprogramma s Zie ook
Nadere informatie10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:
10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld
Nadere informatieBestaat er dan toch een wortel uit 1?
Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn
Nadere informatie2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2
.0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1
Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatieParagraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal
Hoofdstuk 7 Goniometrische functies (V5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 7.1 : Eenheidscirkel en radiaal Les 1 : De eenheidscirkel Definities Eenheidscirkel = { Cirkel met middelpunt O en straal 1 } cos(θ)
Nadere informatieTransformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 2. Willem van Ravenstein Haags Montessori Lyceum (c) 2016
Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 50075005 Haags Montessori Lyceum (c) 0 Inleiding In deze leerroute gaan we kijken naar goniometrische functies: De eenheidscirkel
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1
Les Talor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatiee x x 2 cos 2 (sin t) cos(t) dt
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP3B 5 november, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boeken) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering
Nadere informatieK.1 De substitutiemethode [1]
K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Differentieer de functie f() = ( + ) 5 Voor het differentiëren van deze functie gebruik je de kettingregel: Stap : Schrijf de functie f() als volgt: y = u 5 met
Nadere informatie1E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE
E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE Uiterste inleverdatum dinsdag oktober, voor het begin van het college N.B. Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je moet het huiswerk
Nadere informatieHoofdstuk 3 - Transformaties
Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 V-a f () = g () = sin h () = k () = log m () = n () = p () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D
Nadere informatieWI1708TH Analyse 3. College 2 12 februari Challenge the future
WI1708TH Analyse 3 College 2 12 februari 2015 1 Programma Vandaag Partiële afgeleiden (14.3) Hogere orde partiële afgeleiden (14.3) Partiële differentiaal vergelijkingen (14.3) 2 Functies van twee variabelen
Nadere informatieBasiswiskunde Week 4_2
Basiswiskunde Week 4_2 4.10 Taylorpolynomen, staan al in Basiswiskunde week 4_1 3.1 Inverse functies 3.2 Exponentiële en logaritmische functies Bestudeer de inhoud van de secties 3.1 en 3.2 in hun geheel
Nadere informatieWisnet-HBO. update maart. 2010
Wat is Differentiëren? 1 Wat is differentiëren? Wisnet-HBO update maart. 2010 Differentiëren is eigenlijk het differentiaalquotient bepalen. Je begint met het delen van uiterst kleine verschillen op elkaar.
Nadere informatieWiskunde met (bedrijfs)economische toepassingen
FACULTEIT TEW Wiskunde met (bedrijfs)economische toepassingen Oefenexamens 1ste Bachelor TEW Eerste deel (januari) Academiejaar 2013-2014 Het examen vindt voor iedereen plaats in twee delen : het eerste
Nadere informatieTWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE. donderdag 13 december 2007, 14.00-16.00
TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE donderdag 1 december 007, 14.00-16.00 Het gebruik van grafische of programmeerbare rekenmachines is niet toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een
Nadere informatieICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht
ICT in de lessen wiskunde van de 3de graad: een overzicht Dr Didier Deses KA Koekelberg - VUB wiskak@yahoo.com Inleiding Wat omvat ICT in de wiskunde? Rekenmachine Wetenschappelijk Grafisch Symbolisch
Nadere informatie2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE 2
2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE 2 Inleverdatum 30 maart 207, uiterlijk :5 uur Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je mag de theorie gebruiken die op het college
Nadere informatieNoordhoff Uitgevers bv
V-a Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 f () = g () = sin h() = k () = log p () = m () = n () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D k
Nadere informatie(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert).
Tussentijdse Toets Wiskunde I 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, donderdag 17 november 011, 8:30 10:00 uur
Nadere informatieAntwoordenboekje. Willem van Ravenstein
Antwoordenboekje Willem van Ravenstein 2006-2007 versie 2 herzien in 2010 1 Inhoudsopgave Inhoudsopgave... 2 Vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken... 3 Breuken en haakjes... 4 Machten en wortels...
Nadere informatie34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1.11 Vraagstukken Vraagstuk 1.11.1 Beschouw het beginwaardeprobleem = 2x (y 1), y(0) = y 0. Los dit beginwaardeprobleem op voor y 0 R en maak een
Nadere informatieVISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding
VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt
Nadere informatieG Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie. K Geologie, Informatica, Schakelprogramma s
Tussentijdse Toets Wiskunde I ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, Master Chemie donderdag 3 november 06, :00-3:00
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (15126) op dinsdag 4 januari 211, 8.45 11.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieK.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:
K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )
Nadere informatieAnalyse 1 Handout limieten en continuïteit
Analyse Handout ieten en continuïteit Rogier Bos Inhoudsopgave Limieten 2. Intuïtief ieten bepalen........................ 2.2 Rekenen aan ieten........................... 4.3 Limieten als spel.............................
Nadere informatieStudiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006
Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Inleiding In de cursus Wiskunde 1 voor B (2DB00) wordt gebruikt het boek Calculus, Robert T. Smith, Roland B. Minton, second edition, Mc Graw
Nadere informatieWeek 2. P.5 Combineren van functies P.6 Polynomen en rationale functies P.7 Goniometrische functies
Week 2 P.5 Combineren van functies P.6 Polynomen en rationale functies P.7 Goniometrische functies 2 Basiswiskunde_College_2.nb P.5 Combineren van functies Het combineren gaat op 3 manieren: é algebraïsch
Nadere informatieKorte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde
Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde voor B. 1 Eenvoudige operaties en functies. 1. De bewerkingen optellen aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen worden
Nadere informatieTentamen Wiskundige Technieken 1 Ma 6 nov 2017 Uitwerkingen
Tentamen Wiskundige Technieken Ma 6 nov 207 Uitwerkingen Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Nadere informatieCijfer = totaal punten/10 met minimum 1
VOORBLAD SCHRIFTELIJKE TOETSEN OPLEIDING TOETSCODE GROEP Me MeWIS1-T1 MeP1 TOETSDATUM 7 november 011 TIJD 13.00 14.30 uur AANTAL PAGINA S (incl. dit voorblad) 6 DEZE TOETS BESTAAT UIT (aantal) GEBRUIK
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieOver de functies arcsin, arccos en arctan
Over de functies arcsin, arccos en arctan Booglengte figuur figuur De grafiek van een functie f tussen twee punten P (met a) en Q (met b) kan worden opgedeeld in stukjes die kunnen worden opgevat als lijnstukken,
Nadere informatieAanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran
Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch) staan. Die
Nadere informatieCorrectievoorschrift HAVO. Wiskunde B (oude stijl)
Wiskunde B (oude stijl) Correctievoorschrift HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs 0 0 Tijdvak Inzenden scores Uiterlijk 6 juni de scores van de alfabetisch eerste vijf kandidaten per school op de daartoe
Nadere informatie1. (a) Formuleer het Cauchy criterium voor de convergentie van een reeks
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 7 augustus 2015, 16:30 19:30 (20:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek
Nadere informatied. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.
Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat
Nadere informatieMETA-kaart vwo5 wiskunde A - domein Afgeleide functies
META-kaart vwo5 wiskunde A - domein Afgeleide functies Wat heb ik nodig: GR of afgeleide? Hoe ziet de grafiek eruit? Moet ik de afgeleide berekenen? Kan ik bij deze functie de afgeleide berekenen? Welke
Nadere informatieCentrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013
Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 23 Voorlopige versie 29 januari 23 Opgave a Schrijf f ) g) met g) 9 2. g) 9 2 ) /2, dus g ) 2 9 2 ) /2 2 Dit geeft
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni Nummer vragenreeks: 1
IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni 206 Nummer vragenreeks: IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 29 juni 206 - reeks - p. /0 Oefening Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag
Nadere informatieVergelijkingen van cirkels en lijnen
Vergelijkingen van cirkels en lijnen Rechthoekig coördinatenstelsel! Cartesisch coördinatenstelsel! René Descartes (1596-1650) Van hem is de uitspraak: Ik denk, dus ik besta! September 12, 2009 1 Vergelijkingen
Nadere informatieV.4 Eigenschappen van continue functies
V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt
Nadere informatie16.1 De Afgeleide Functie [1] Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid.
16.1 De Afgeleide Functie [1] Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. Voorbeeld: f() = Differentiequotiënt van f() op [0, 3] = y f (3) f (0) 6 0 30 30 y 1 16.1
Nadere informatie7.1 De afgeleide van gebroken functies [1]
7.1 De afgeleide van gebroken functies [1] Regels voor het differentiëren: f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = 0 Algemeen geldt: f() = a n geeft f () = na n-1 Voorbeeld 1:
Nadere informatieExamen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen)
Examen havo wiskunde B 06-I (oefenexamen) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt (, ) p Stel een vergelijking op van c. De punten B(, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) C liggen
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.
Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag
Nadere informatie2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk
Nadere informatieOpmerking In de berekening mogen v = 0 en/of v = 187,5 zonder toelichting zijn weggelaten.
HAVO wb 00-I Weerstand De formules voor P rol en P lucht invoeren in de grafische rekenmachine (GR) en bepalen voor welke waarde van v deze gelijk zijn v,7 P lucht > P rol voor v > =,7 (km/uur) (v >,7
Nadere informatieGoniometrische functies
Goniometrische functies gonè (Grieks) = hoek metron (Grieks) = maat Goniometrie, afkomstig van de Griekse woorden voor hoek en maat, betekent letterlijk hoekmeetkunde. Daarmee wordt aangegeven dat het
Nadere informatie(iii) intervallen, bijvoorbeeld afgesloten intervallen zoals D = [0, 1] := {x en halfopen intervallen zoals D = (0, 1] := {x R 0 < x 1},
Hoofdstuk II Calculus Les Differentiatie van functies Waarscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervan wat een functie is, maar voor de duidelijkeid zal et andig zijn om de meest belangrijke begrippen na
Nadere informatie