De meetkunde van de. derdegraadsvergelijking
|
|
|
- Siebe Peeters
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Jan van de Craats De meetkunde van de derdegraadsvergelijking 22 februari 2007
2 Algemene (complexe) derdegraadsvergelijking met a 1, a 2, a 3 C z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = 0 Oplossingen z 1, z 2, z 3 Dan 3a 1 = z 1 + z 2 + z 3 3a 2 = z 1 z 2 + z 2 z 3 + z 3 z 1 a 3 = z 1 z 2 z 3 VRAAG: hoe bepaal je z 1, z 2 en z 3 als a 1, a 2, a 3 gegeven zijn?
3 Algemene (complexe) derdegraadsvergelijking met a 1, a 2, a 3 C z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = 0 Oplossingen z 1, z 2, z 3 Dan 3a 1 = z 1 + z 2 + z 3 3a 2 = z 1 z 2 + z 2 z 3 + z 3 z 1 a 3 = z 1 z 2 z 3 Hoe bepaal je z 1, z 2 en z 3 als a 1, a 2 en a 3 gegeven zijn?
4 Algemene derdegraadsvergelijking z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = 0 Makkelijk oplosbaar (via afgeleide) als er een meervoudige wortel is. Verder: z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = (z a 1 ) 3 + 3(a 2 a 2 1 )z (a 3 a 3 1 ) dus ook makkelijk oplosbaar als Stel daarom in het vervolg geen meervoudige wortel a 2 a 2 1 = 0 a 2 a 2 1 = 0
5 Algemene derdegraadsvergelijking z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = 0 Makkelijk oplosbaar (via afgeleide) als er een meervoudige wortel is. Verder: z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = (z a 1 ) 3 + 3(a 2 a 2 1 )z (a 3 a 3 1 ) dus ook makkelijk oplosbaar als Stel daarom in het vervolg geen meervoudige wortel a 2 a 2 1 = 0 a 2 a 2 1 = 0
6 Algemene derdegraadsvergelijking z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = 0 Makkelijk oplosbaar (via afgeleide) als er een meervoudige wortel is. Verder: z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = (z a 1 ) 3 + 3(a 2 a 2 1 )z (a 3 a 3 1 ) dus ook makkelijk oplosbaar als Stel daarom in het vervolg geen meervoudige wortel a 2 a 2 1 = 0 a 2 a 2 1 = 0
7 Algemene derdegraadsvergelijking z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = 0 Makkelijk oplosbaar (via afgeleide) als er een meervoudige wortel is. Verder: z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = (z a 1 ) 3 + 3(a 2 a 2 1 )z (a 3 a 3 1 ) dus ook makkelijk oplosbaar als Stel daarom in het vervolg geen meervoudige wortel a 2 a 2 1 = 0 a 2 a 2 1 = 0
8 De grote lijn: zoek p, q, h 1, h 2 zo, dat z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = p(z h 1 ) 3 + q(z h 2 ) 3 Dan is de vergelijking dus te schrijven als p(z h 1 ) 3 + q(z h 2 ) 3 = 0 en die is eenvoudig oplosbaar: ( ) z 3 h1 = q z h 2 p Noem voor het gemak even R = q, dan is p z h 1 z h 2 = 3 R en als we de drie wortels 3 R even r1, r 2, r 3 noemen, dan volgt z k = h 1 h 2 r k 1 r k (k = 1, 2, 3)
9 De grote lijn: zoek p, q, h 1, h 2 zo, dat z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = p(z h 1 ) 3 + q(z h 2 ) 3 Dan is de vergelijking dus te schrijven als p(z h 1 ) 3 + q(z h 2 ) 3 = 0 en die is eenvoudig oplosbaar: ( ) z 3 h1 = q z h 2 p Noem voor het gemak even R = q, dan is p z h 1 z h 2 = 3 R en als we de drie wortels 3 R even r1, r 2, r 3 noemen, dan volgt z k = h 1 h 2 r k 1 r k (k = 1, 2, 3)
10 De grote lijn: zoek p, q, h 1, h 2 zo, dat z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = p(z h 1 ) 3 + q(z h 2 ) 3 Dan is de vergelijking dus te schrijven als p(z h 1 ) 3 + q(z h 2 ) 3 = 0 en die is eenvoudig oplosbaar: ( ) z 3 h1 = q z h 2 p Noem voor het gemak even R = q, dan is p z h 1 z h 2 = 3 R en als we de drie wortels 3 R even r1, r 2, r 3 noemen, dan volgt z k = h 1 h 2 r k 1 r k (k = 1, 2, 3)
11 De grote lijn: zoek p, q, h 1, h 2 zo, dat z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = p(z h 1 ) 3 + q(z h 2 ) 3 Dan is de vergelijking dus te schrijven als p(z h 1 ) 3 + q(z h 2 ) 3 = 0 en die is eenvoudig oplosbaar: ( ) z 3 h1 = q z h 2 p Noem voor het gemak even R = q, dan is p z h 1 z h 2 = 3 R en als we de drie wortels 3 R even r1, r 2, r 3 noemen, dan volgt z k = h 1 h 2 r k 1 r k (k = 1, 2, 3)
12 Meetkundig intermezzo: Stel dat h 1, h 2 en R = q p al gevonden zijn. Wat betekent (met r 3 k = R) meetkundig? Omdat r k = 3 R e ( 1 3 z k h 1 z k h 2 = r k (k = 1, 2, 3) arg R+ 2k 3 π) i geldt r k = 3 R voor alle k, dus ook z k h 1 z k h 2 = 3 R (k = 1, 2, 3) Dit betekent dat z 1, z 2 en z 3 liggen op de cirkel van Apollonius van h 1 en h 2 met afstandsverhouding 3 R.
13 Meetkundig intermezzo: Stel dat h 1, h 2 en R = q p al gevonden zijn. Wat betekent (met r 3 k = R) meetkundig? Omdat r k = 3 R e ( 1 3 z k h 1 z k h 2 = r k (k = 1, 2, 3) arg R+ 2k 3 π) i geldt r k = 3 R voor alle k, dus ook z k h 1 z k h 2 = 3 R (k = 1, 2, 3) Dit betekent dat z 1, z 2 en z 3 liggen op de cirkel van Apollonius van h 1 en h 2 met afstandsverhouding 3 R.
14 Bewijs: stel z.b.d.a. h 1 = 1, h 2 = 1. Noem r = 3 R, dus r > 0. Dan geldt z + 1 = r z 1 d.e.s.d. als z = r 2 z 1 2 dus (z + 1)(z + 1) = r 2 (z 1)(z 1) zodat (1 r 2 )zz + (1 + r 2 )z + (1 + r 2 )z + (1 r 2 ) = 0 of, met m = (r 2 + 1)/(r 2 1) zz mz mz + 1 = 0 z met andere woorden (z m)(z m) = m oftewel z m = m 2 1
15 Bewijs: stel z.b.d.a. h 1 = 1, h 2 = 1. Noem r = 3 R, dus r > 0. Dan geldt z + 1 = r z 1 d.e.s.d. als z = r 2 z 1 2 dus (z + 1)(z + 1) = r 2 (z 1)(z 1) zodat (1 r 2 )zz + (1 + r 2 )z + (1 + r 2 )z + (1 r 2 ) = 0 of, met m = (r 2 + 1)/(r 2 1) zz mz mz + 1 = 0 z met andere woorden (z m)(z m) = m m oftewel z m = m 2 1
16 Cirkels van Apollonius van 1 en 1 en cirkels door 1 en 1 First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
17 Belangrijke eigenschap: elke cirkel van Apollonius van h 1 en h 2 snijdt elke cirkel door h 1 en h 2 loodrecht! Bewijs: Een cirkel door 1 en 1 heeft middelpunt t i en straal 1 + t 2. Voor het snijpunt z geldt dan z t i 2 = 1 + t 2 en (Apollonius, vorige sheet) z m 2 = m 2 1 t i z Verder is m t i 2 = m 2 + t m Volgens de omgekeerde stelling van Pythagoras is hoek (t i, z, m) dus recht. De twee cirkels snijden elkaar dus loodrecht omdat de stralen naar z elkaar loodrecht snijden.
18 Wegens en r k = 3 R e ( 1 3 z k h 1 z k h 2 = r k (k = 1, 2, 3) arg R+ 2k 3 π) i geldt dat arg(z k h 1 ) arg(z k h 2 ) = 1 3 arg R + 2k 3 π Dit impliceert dat de drie cirkels (h 1, z 1, h 2 ), (h 1, z 2, h 2 ) en (h 1, z 3, h 2 ) elkaar snijden onder hoeken van 2π 3 z 3 h 2 z 1 z 2 h 1
19 Wegens en r k = 3 R e ( 1 3 z k h 1 z k h 2 = r k (k = 1, 2, 3) arg R+ 2k 3 π) i geldt dat arg(z k h 1 ) arg(z k h 2 ) = 1 3 arg R + 2k 3 π Dit impliceert dat de drie cirkels (h 1, z 1, h 2 ), (h 1, z 2, h 2 ) en (h 1, z 3, h 2 ) elkaar snijden onder hoeken van 2π 3 z 3 h 2 z 1 z 2 h 1
20 Wegens en r k = 3 R e ( 1 3 z k h 1 z k h 2 = r k (k = 1, 2, 3) arg R+ 2k 3 π) i geldt dat arg(z k h 1 ) arg(z k h 2 ) = 1 3 arg R + 2k 3 π Dit impliceert dat de drie cirkels (h 1, z 1, h 2 ), (h 1, z 2, h 2 ) en (h 1, z 3, h 2 ) elkaar in h 1 en h 2 snijden onder hoeken van 2π 3 z 3 h 2 z 1 z 2 h 1
21 Wegens en r k = 3 R e ( 1 3 z k h 1 z k h 2 = r k (k = 1, 2, 3) arg R+ 2k 3 π) i geldt dat arg(z k h 1 ) arg(z k h 2 ) = 1 3 arg R + 2k 3 π Dit impliceert dat de drie cirkels (h 1, z 1, h 2 ), (h 1, z 2, h 2 ) en (h 1, z 3, h 2 ) elkaar in h 1 en h 2 snijden onder hoeken van 2π 3 z 3 h 2 z 1 z 2 h 1
22 De bepaling van p, q, h 1, h 2 : Uit z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = p(z h 1 ) 3 + q(z h 2 ) 3 volgt (1) (3) (2) 2 levert 1 = p + q (1) a 1 = ph 1 + qh 2 (2) a 2 = ph qh2 2 (3) a 3 = ph qh3 2 (4) a 2 a 2 1 = (p + q)(ph2 1 + qh2 2 ) (ph 1 + qh 2 ) 2 = pq(h 1 h 2 ) 2 (1) (4) (2) (3) levert a 3 a 1 a 2 = (p + q)(ph qh3 2 ) (ph 1 + qh 2 )(ph qh3 2 ) = pq(h 1 h 2 ) 2 (h 1 + h 2 ) (2) (4) (3) 2 levert a 1 a 3 a 2 2 = (ph 1 + qh 2 )(ph qh3 2 ) (ph2 1 + qh2 2 )2 = pq(h 1 h 2 ) 2 h 1 h 2
23 De bepaling van p, q, h 1, h 2 : Uit z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = p(z h 1 ) 3 + q(z h 2 ) 3 volgt (1) (3) (2) 2 levert 1 = p + q (1) a 1 = ph 1 + qh 2 (2) a 2 = ph qh2 2 (3) a 3 = ph qh3 2 (4) a 2 a 2 1 = (p + q)(ph2 1 + qh2 2 ) (ph 1 + qh 2 ) 2 = pq(h 1 h 2 ) 2 (1) (4) (2) (3) levert a 3 a 1 a 2 = (p + q)(ph qh3 2 ) (ph 1 + qh 2 )(ph qh3 2 ) = pq(h 1 h 2 ) 2 (h 1 + h 2 ) (2) (4) (3) 2 levert a 1 a 3 a 2 2 = (ph 1 + qh 2 )(ph qh3 2 ) (ph2 1 + qh2 2 )2 = pq(h 1 h 2 ) 2 h 1 h 2
24 De bepaling van p, q, h 1, h 2 : Uit z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = p(z h 1 ) 3 + q(z h 2 ) 3 volgt (1) (3) (2) 2 levert 1 = p + q (1) a 1 = ph 1 + qh 2 (2) a 2 = ph qh2 2 (3) a 3 = ph qh3 2 (4) a 2 a 2 1 = (p + q)(ph2 1 + qh2 2 ) (ph 1 + qh 2 ) 2 = pq(h 1 h 2 ) 2 (1) (4) (2) (3) levert a 3 a 1 a 2 = (p + q)(ph qh3 2 ) (ph 1 + qh 2 )(ph qh3 2 ) = pq(h 1 h 2 ) 2 (h 1 + h 2 ) (2) (4) (3) 2 levert a 1 a 3 a 2 2 = (ph 1 + qh 2 )(ph qh3 2 ) (ph2 1 + qh2 2 )2 = pq(h 1 h 2 ) 2 h 1 h 2
25 De bepaling van p, q, h 1, h 2 : Uit z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = p(z h 1 ) 3 + q(z h 2 ) 3 volgt (1) (3) (2) 2 levert 1 = p + q (1) a 1 = ph 1 + qh 2 (2) a 2 = ph qh2 2 (3) a 3 = ph qh3 2 (4) a 2 a 2 1 = (p + q)(ph2 1 + qh2 2 ) (ph 1 + qh 2 ) 2 = pq(h 1 h 2 ) 2 (1) (4) (2) (3) levert a 3 a 1 a 2 = (p + q)(ph qh3 2 ) (ph 1 + qh 2 )(ph qh3 2 ) = pq(h 1 h 2 ) 2 (h 1 + h 2 ) (2) (4) (3) 2 levert a 1 a 3 a 2 2 = (ph 1 + qh 2 )(ph qh3 2 ) (ph2 1 + qh2 2 )2 = pq(h 1 h 2 ) 2 h 1 h 2
26 Noem nu A := a 2 a 2 ( 1 ( = pq(h1 h 2 ) 2) B := a 3 a 1 a 2 = pq(h1 h 2 ) 2 (h 1 + h 2 ) ) C := a 1 a 3 a 2 ( 2 = pq(h1 h 2 ) 2 ) h 1 h 2 Dan is volgens aanname A = 0 dus h 1 = h 2 en verder geldt B/A = h 1 + h 2 en C/A = h 1 h 2 en dus zijn h 1 en h 2 de oplossingen van h 2 B A h + C A = 0 oftewel, na vermenigvuldigen met A en terugsubstitueren, Merk op: de discriminant is (a 2 a 2 1 )h2 (a 3 a 1 a 2 )h + (a 1 a 3 a 2 2 ) = 0 D = B 2 4AC = (a 3 a 1 a 2 ) 2 4(a 2 a 2 1 )(a 1a 3 a 2 2 ) Rest nog p en q te vinden, of liever R = q/p.
27 Noem nu A := a 2 a 2 ( 1 ( = pq(h1 h 2 ) 2) B := a 3 a 1 a 2 = pq(h1 h 2 ) 2 (h 1 + h 2 ) ) C := a 1 a 3 a 2 ( 2 = pq(h1 h 2 ) 2 ) h 1 h 2 Dan is volgens aanname A = 0 dus h 1 = h 2 en verder geldt B/A = h 1 + h 2 en C/A = h 1 h 2 en dus zijn h 1 en h 2 de oplossingen van h 2 B A h + C A = 0 oftewel, na vermenigvuldigen met A en terugsubstitueren, Merk op: de discriminant is (a 2 a 2 1 )h2 (a 3 a 1 a 2 )h + (a 1 a 3 a 2 2 ) = 0 D = B 2 4AC = (a 3 a 1 a 2 ) 2 4(a 2 a 2 1 )(a 1a 3 a 2 2 ) Rest nog p en q te vinden, of liever R = q/p.
28 Noem nu A := a 2 a 2 ( 1 ( = pq(h1 h 2 ) 2) B := a 3 a 1 a 2 = pq(h1 h 2 ) 2 (h 1 + h 2 ) ) C := a 1 a 3 a 2 ( 2 = pq(h1 h 2 ) 2 ) h 1 h 2 Dan is volgens aanname A = 0 dus h 1 = h 2 en verder geldt B/A = h 1 + h 2 en C/A = h 1 h 2 en dus zijn h 1 en h 2 de oplossingen van h 2 B A h + C A = 0 oftewel, na vermenigvuldigen met A en terugsubstitueren, Merk op: de discriminant is (a 2 a 2 1 )h2 (a 3 a 1 a 2 )h + (a 1 a 3 a 2 2 ) = 0 D = B 2 4AC = (a 3 a 1 a 2 ) 2 4(a 2 a 2 1 )(a 1a 3 a 2 2 ) Rest nog p en q te vinden, of liever R = q/p.
29 De bepaling van R = q p Wegens 1 = p + q (1) a 1 = ph 1 + qh 2 (2) geldt en dus is h 1 a 1 = q(h 1 h 2 ) h 2 a 1 = p(h 2 h 1 ) R = q p = h 1 a 1 h 2 a 1 Merk op dat R = 1 omdat h 1 = h 2. Hiermee is de oplossingsmethode voor de algemene derdegraadsvergelijking volledig beschreven.
30 De bepaling van R = q p Wegens 1 = p + q (1) a 1 = ph 1 + qh 2 (2) geldt en dus is h 1 a 1 = q(h 1 h 2 ) h 2 a 1 = p(h 2 h 1 ) R = q p = h 1 a 1 h 2 a 1 Merk op dat R = 1 omdat h 1 = h 2. Hiermee is de oplossingsmethode voor de algemene derdegraadsvergelijking volledig beschreven.
31 Oplossingsrecept voor derdegraadsvergelijkingen: 1. Schrijf de vergelijking in de vorm z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = 0 2. Controleer of er meervoudige wortels zijn. Zo ja, los de vergelijking dan op met behulp van de afgeleide. = 0. Zo ja, los de vergelijking dan op via derde- 3. Controleer of a 2 a 2 1 machtafsplitsen. 4. Bepaal de wortels h 1 en h 2 van de vierkantsvergelijking (a 2 a 2 1 )h2 (a 3 a 1 a 2 )h + (a 1 a 3 a 2 2 ) = 0 5. Bereken de derdemachtswortels r 1, r 2, r 2 van het getal R = h 1 a 1 h 2 a De oplossingen zijn nu z k = h 1 h 2 r k 1 r k (k = 1, 2, 3).
32 De rol van de discriminant D = B 2 4AC D = (a 3 a 1 a 2 ) 2 4(a 2 a 2 1 )(a 1a 3 a 2 2 ) (5) = (pq) 2 (h 1 h 2 ) 6 (6) = 1 27 (z 1 z 2 ) 2 (z 2 z 3 ) 2 (z 3 z 1 ) 2 (7) De afleiding van (7) uit (5) is gemakkelijk na te gaan met computeralgebra. Gebruik dat 3a 1 = z 1 + z 2 + z 3, 3a 2 = z 1 z 2 + z 2 z 3 + z 3 z 1, a 3 = z 1 z 2 z 3. Hieruit blijkt: meervoudige wortel d.e.s.d. als D = 0. Hiermee kan stap (2) in het recept worden kortgesloten. Verder geldt bij reële derdegraadsvergelijkingen (d.w.z. a 1, a 2, a 3 reëel): als D > 0 dan h 1 en h 2 reëel en twee van de z k toegevoegd complex als D < 0 dan h 1 en h 2 toegevoegd complex en alle z k reëel Bewijs dit zelf! In deze observaties ligt de oorsprong van de complexe getallen (Italië, begin zestiende eeuw)!
33 De rol van de discriminant D = B 2 4AC D = (a 3 a 1 a 2 ) 2 4(a 2 a 2 1 )(a 1a 3 a 2 2 ) (5) = (pq) 2 (h 1 h 2 ) 6 (6) = 1 27 (z 1 z 2 ) 2 (z 2 z 3 ) 2 (z 3 z 1 ) 2 (7) De afleiding van (7) uit (5) is gemakkelijk na te gaan met computeralgebra. Gebruik dat 3a 1 = z 1 + z 2 + z 3, 3a 2 = z 1 z 2 + z 2 z 3 + z 3 z 1, a 3 = z 1 z 2 z 3. Hieruit blijkt: meervoudige wortel d.e.s.d. als D = 0. Hiermee kan stap (2) in het recept worden kortgesloten. Verder geldt bij reële derdegraadsvergelijkingen (d.w.z. a 1, a 2, a 3 reëel): als D > 0 dan h 1 en h 2 reëel en twee van de z k toegevoegd complex als D < 0 dan h 1 en h 2 toegevoegd complex en alle z k reëel Bewijs dit zelf! In deze observaties ligt de oorsprong van de complexe getallen (Italië, begin zestiende eeuw)!
34 De rol van de discriminant D = B 2 4AC D = (a 3 a 1 a 2 ) 2 4(a 2 a 2 1 )(a 1a 3 a 2 2 ) (5) = (pq) 2 (h 1 h 2 ) 6 (6) = 1 27 (z 1 z 2 ) 2 (z 2 z 3 ) 2 (z 3 z 1 ) 2 (7) De afleiding van (7) uit (5) is gemakkelijk na te gaan met computeralgebra. Gebruik dat 3a 1 = z 1 + z 2 + z 3, 3a 2 = z 1 z 2 + z 2 z 3 + z 3 z 1, a 3 = z 1 z 2 z 3. Hieruit blijkt: meervoudige wortel d.e.s.d. als D = 0. Hiermee kan stap (2) in het recept worden kortgesloten. Verder geldt bij reële derdegraadsvergelijkingen (d.w.z. a 1, a 2, a 3 reëel): als D > 0 dan h 1 en h 2 reëel en twee van de z k toegevoegd complex als D < 0 dan h 1 en h 2 toegevoegd complex en alle z k reëel Bewijs dit zelf! In deze observaties ligt de oorsprong van de complexe getallen (Italië, begin zestiende eeuw)!
35 Voorbeeld: z 3 3z 2 z + 3 = 0 dus a 1 = 1, a 2 = 1 3, a 3 = 3 en A = a 2 a 2 1 = 4 3, B = a 3 a 1 a 2 = 8 3, C = a 1a 3 a 2 2 = 28 9 De vierkantsvergelijking kan worden vereenvoudigd tot 3h 2 6h + 7 = 0 met als oplossingen h 1,2 = 1 ± i Hieruit volgt R = h 1 a 1 h 2 a 1 = 1 zodat r 1 = 1, r 2 = e π i /3, r 3 = e π i /3 en z 1 = h 1 h 2 r 1 1 r 1 = 1 z 2 = h 1 h 2 r 2 1 r 2 = 3 z 3 = h 1 h 2 r 3 1 r 3 = 1
36 Voorbeeld: z 3 3z 2 z + 3 = 0 dus a 1 = 1, a 2 = 1 3, a 3 = 3 en A = a 2 a 2 1 = 4 3, B = a 3 a 1 a 2 = 8 3, C = a 1a 3 a 2 2 = 28 9 De vierkantsvergelijking kan worden vereenvoudigd tot 3h 2 6h + 7 = 0 met als oplossingen h 1,2 = 1 ± i Hieruit volgt R = h 1 a 1 h 2 a 1 = 1 zodat r 1 = 1, r 2 = e π i /3, r 3 = e π i /3 en z 1 = h 1 h 2 r 1 1 r 1 = 1 z 2 = h 1 h 2 r 2 1 r 2 = 3 z 3 = h 1 h 2 r 3 1 r 3 = 1
37 z 3 3z 2 z + 3 = 0 h 1 z 3 0 z 1 z 2 h 2 h 1,2 = 1 ± i z 1 = 1, z 2 = 3, z 3 = 1
38 Voorbeeld: z 3 + 2z 2 + z + 2 = 0 dus a 1 = 2 3, a 2 = 1 3, a 3 = 2 en A = a 2 a 2 1 = 1 9, B = a 3 a 1 a 2 = 16 9, C = a 1a 3 a 2 2 = 11 9 h 2 16h 11 = 0 met als oplossingen h 1,2 = 8 ± 5 3. Hieruit volgt R = h 1 a = h 2 a = ( ) zodat (met dank aan Maple) z 1 = h 1 h 2 r 1 1 r 1 = 2 z 2 = h 1 h 2 r 2 1 r 2 = i z 3 = h 1 h 2 r 3 1 r 3 = i
39 z 3 + 2z 2 + z + 2 = 0 h 2 z 3 z 1 z 2 h 1 h 1,2 = 8 ± 5 3 z 1 = 2, z 2 = i, z 3 = i
40 Voorbeeld: z 3 ( i )z 2 z + ( i ) = 0 z 3 h 2 z 1 z 2 h 1 h i en h i z 1 = 1, z 2 = 1, z 3 = i
41 Voorbeeld: z 3 ( i )z 2 z + ( i ) = 0 z 3 h 2 z 1 z 2 h 1 h i en h i z 1 = 1, z 2 = 1, z 3 = i
42 Meer details in het internetboek Jan van de Craats: Complexe getallen voor wiskunde D, toegiften T3, T4 en T6 (zie pp ). Het is als pdf-file beschikbaar op mijn homepage: craats
Bestaat er dan toch een wortel uit 1?
Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn
Complexe e-macht en complexe polynomen
Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten
Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden
Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode:
16.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i
16.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op in 2x + 3i = 5x + 6i -3x = 3i x = -i Voorbeeld 2: Los op in 4x 2 + 12x + 15 = 0 4x 2 + 12x + 9 + 6 = 0 (2x + 3) 2 + 6 = 0 (2x + 3) 2 = -6 (2x + 3) 2 = 6i 2 2x + 3 =
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Bestaat er dan toch een wortel uit 1?
Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies voor beginners Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam Open Universiteit craats@science.uva.nl Complexe getallen worden
8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3
8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar
Morley s vijf-cirkelsstelling
Morley s vijf-cirkelsstelling Jan van de Craats Teken een ring van vijf cirkels (groen) met hun middelpunten op een gegeven cirkelomtrek (rood). Zorg ervoor dat elke groene cirkelomtrek zijn beide buren
Complexe getallen. José Lagerberg. November, Universiteit van Amsterdam. José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, / 30
Complexe getallen José Lagerberg Universiteit van Amsterdam November, 2017 José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, 2017 1 / 30 1 Complexe getallen en complexe e-machten Complexe getallen en complexe
Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen
Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk
Wiskundige Technieken
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 009-010 1ste semester 7 oktober 009 Wiskundige Technieken 1. Integreer de volgende differentiaalvergelijkingen: (a) y + 3x y = 3x (b) y + 3y + y = xe
4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i
COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche
2 Modulus en argument
Modulus en argument Verkennen Modulus en argument Inleiding Verkennen Probeer zelf te bedenken hoe je een complex getal kunt opschrijven vanuit de draaihoek en de lengte van de bijbehorende vector. Uitleg
Antwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen
1. Rekenen met complexe getallen 1.1 a. 9 b. 9 c. 16 d. i e. 1 1. a. 1 b. 3 c. 1 d. 4 3 e. 3 4 1.3 a. 3 i b. 3 i c. i d. 5 i e. 15 i 1.4 a. 33 i b. 7 i c. 4 3 i d. 3 5 i e. 5 3 i 1.5 a. 1 ± i b. ± i c.
14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]
![14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]](/thumbs/27/12007257.jpg "14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]")
4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )
8.1 Rekenen met complexe getallen [1]
![8.1 Rekenen met complexe getallen [1]](/thumbs/57/40136599.jpg "8.1 Rekenen met complexe getallen [1]")
8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn
Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel.
Raaklijnen Verkennen Raaklijnen Inleiding Verkennen Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Uitleg Raaklijnen Uitleg Opgave 1 Bekijk de Uitleg. a) Wat is de vergelijking
Hierbij geven we de antwoorden en bewijzen we meteen ook hoe de constanten kunnen bepaald worden.
WISKUNDE IS (EEN BEETJE) OORLOG Onder dit motto nodigde de VVWL alle wiskundeleraren uit Vlaanderen en Nederland uit om deel te nemen aan een wiskundewedstrijd. De tien vragen van de eerste editie, waarbij
Analytische meetkunde. Les 4 Kwadratische vergelijkingen (Deze les sluit aan bij de paragraaf 3.1 van Analytische meetkunde van de Wageningse Methode)
Analytische meetkunde Les 4 Kwadratische vergelijkingen (Deze les sluit aan bij de paragraaf 3.1 van Analytische meetkunde van de Wageningse Methode) De vergelijking van een cirkel De cirkel heeft middelpunt
Op deze manier ligt φ exact vast (als we zouden zeggen 0 φ 2π zouden we de reële getallen dubbelop hebben, en dat willen wij als wiskundigen niet).
Moddergooien n.a.v. 31 augustus Allereerst: hartelijk dank voor de vragen; als dat zo doorgaat en als jullie zo blijven komen en ook nog eens huiswerk maken, dan weet ik zeker dat ik dicht bij 100% ga
Diagnostische toets. AMB stelling van de omtrekshoek AMB ˆ ANB. AQB ARB ˆ 180 koordenvierhoekstelling =
P Q M N R l M ˆ N M ˆ N 4M ˆ 4N ZZZ dus M ˆ N ˆ QP ˆ P ˆ M stelling van de omtrekshoek M ˆ N Q R ˆ 80 koordenvierhoekstelling R ˆ N stelling van de omtrekshoek Q PQ ˆ 80 gestrekte hoek Hieruit volgt dat
Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen
Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van Les Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen N = Natuurlijke getallen =,2,,.. Z
COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats
COMPLEXE GETALLEN voor Wiskunde D Jan van de Craats Herziene versie, 3 augustus 007 Illustraties en LATEX-opmaak: Jan van de Craats Prof. dr. J. van de Craats is hoogleraar in de wiskunde aan de Universiteit
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool. 16 september dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding
Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.
3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord
Ellips-constructies met Cabri
Ellips-constructies met Cabri 0. Inleiding De meest gebruikte definitie van de ellips luidt: Een ellips is de verzameling van punten () waarvoor de som van de afstanden tot twee vaste punten (F 1 en F,
1 Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...
Hoofdstuk 8 : Complexe getallen
1 Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen getallen : (1) N = Natuurlijke getallen = 1,2,3,.. (2) Z = Gehele
COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats
COMPLEXE GETALLEN voor Wiskunde D Jan van de Craats Voorlopige versie, 11 juni 007 Illustraties en LATEX-opmaak: Jan van de Craats Prof. dr. J. van de Craats is hoogleraar in de wiskunde aan de Universiteit
Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk
Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en
ProefToelatingstoets Wiskunde B
Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan
IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 2017
IMO-selectietoets III zaterdag 3 juni 017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Gegeven is cirkel ω met middellijn AK. Punt M ligt binnen de cirkel, niet op lijn AK. De lijn AM snijdt
héöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = =
héöéäëåéçéå~äëãééíâìåçáöééä~~íëéåãéí`~äêá hçéåpíìäéåë De algemene vergelijking van een kegelsnede is van de vorm : 2 2 ax by 2cxy 2dx 2ey f 0 met a, b, c, d, e, f + + + + +. Indien je vijf punten van een
WISKUNDE 5 PERIODEN DEEL B
EUROPEES BACCALAUREAAT 2012 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 3 september 2012, ochtend DUUR VAN HET EXAMEN : 3 uur (180 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Examen met technologisch hulpmiddel 1/5 NL VRAAG B1
Voorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran
Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige
Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen
Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds
z 1 z 2 r 2 r 1 z 2 z 1 r 1 r 2
Lesbrief 10 Complexe getallen 1 Het complexe vlak Zoals we ons reële getallen kunnen voorstellen als de punten van een lijn waarop 0 en 1 zijn vastgelegd, zo kunnen we ons de complexe getallen voorstellen
opdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF
lijnen en cirkels opdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF 0. voorkennis De vergelijking ax+by=c Stelsels lineaire vergelijkingen De algemene vorm van een lineaire vergelijkingen met de variabele
9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]
![9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]](/thumbs/63/50068506.jpg "9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]")
9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,
3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.
3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld
(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen!
Examen Wiskundige Basistechniek, reeks A 12 oktober 2013, 13:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven;
toelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld.
Wiskunde juli 2009 Laatste aanpassing: 29 juli 2009. Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Vraag 1 Wat is de top van deze parabool 2 2. Vraag
10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden
![10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden](/thumbs/91/105289633.jpg "10.0 Voorkennis. cos( ) = -cos( ) = -½ 3. [cos is x-coördinaat] sin( ) = -sin( ) = -½ 3. [sin is y-coördinaat] Willem-Jan van der Zanden")
10.0 Voorkennis 5 1 6 6 cos( ) = -cos( ) = -½ 3 [cos is x-coördinaat] 5 1 3 3 sin( ) = -sin( ) = -½ 3 [sin is y-coördinaat] 1 Voorbeeld 1: Getekend is de lijn k: y = ½x 1. De richtingshoek α van de lijn
Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1)
Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Trainingsdag 3, april 009 Driehoeksongelijkheid Driehoeksongelijkheid Voor drie punten in het vlak A, B en C geldt altijd dat AC + CB AB. Gelijkheid geldt precies
Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier
6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1
WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We
Selectietoets vrijdag 10 maart 2017
Selectietoets vrijdag 10 maart 2017 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Zij n een even positief geheel getal. Een rijtje van n reële getallen noemen we volledig als voor elke gehele
Uitwerkingen voorbeeldtentamen 1 Wiskunde B 2018
Uitwerkingen voorbeeldtentamen 1 Wiskunde B 2018 Vraag 1a 4 punten geeft ; geeft dus in punt A geldt ;, dus en Dit geeft Vraag 1b 4 punten ( ) ( ) ( ) Vraag 1c 4 punten ( ). Dit is de normaalvector van
Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4
Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen
H28 VIERKANTSVERGELIJKINGEN
H8 VIERKANTSVERGELIJKINGEN vwo 8.0 INTRO - - 8. TERUGBLIKKEN 3 a x = 3½ b x + 7 = x + 7 = x + 6 = x Dus x = 3 c x = of x = - d x + 6 = of x + 6 = - x= - of x = -0 e Er is geen olossing, want het kwadraat
De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.
Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 995 996 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 30 punten
Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van
Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =
Noordhoff Uitgevers bv
Vlak en kegel bladzijde a Als P ( x,, ) de projectie van P op het Ox-vlak is, dan is driehoek OP P een gelijkbenige rechthoekige driehoek met OP P = Dan is OP = x + en is PP = z Met de stelling van Pthagoras
Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: juli 00 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening
Praktische opdracht Wiskunde B Complexe Getallen
Praktische opdracht Wiskunde B Complexe Get Praktische-opdracht door een scholier 1750 woorden 12 mei 2003 5,2 86 keer beoordeeld Vak Wiskunde B Inleiding Deze praktische opdracht wiskunde heeft als onderwerp:
Samenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde
Samenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde Getal & Ruimte editie 11 Goniometrie in rechthoekige driehoeken Stap 1: Zoek de rechthoekige driehoeken Figuur 1: Ga na dat in dit voorbeeld alleen ADC en DBC
Eindexamen havo wiskunde B pilot 2013-I
Beoordelingsmodel Tornadoschalen maximumscore 80 km/u komt overeen met 77,8 m/s v = 77,8 invullen in de formule geeft F, Dus de intensiteit op de Fujita-schaal is maximumscore 4 De waarde van F is dan
Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening
Hoofdstuk 8 : De Cirkel
- 163 - Hoofdstuk 8 : De Cirkel Eventjes herhalen!!!! De cirkel met middelpunt O en straal r is de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten die op een afstand r van O liggen. De schijf met middelpunt
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les : Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist verzicht colleges. College. Goniometrie 2. Vectoren 2. College 2. Matrixen
Meetkundige ongelijkheden Groep A
Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor
Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen)
Examen havo wiskunde B 06-I (oefenexamen) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt (, ) p Stel een vergelijking op van c. De punten B(, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) C liggen
Selectietoets vrijdag 21 maart 2014
Selectietoets vrijdag 21 maart 2014 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Vind alle niet-negatieve gehele getallen n waarvoor er gehele getallen a en b bestaan met n 2 = a + b en
7.1 Grafieken en vergelijkingen [1]
![7.1 Grafieken en vergelijkingen [1]](/thumbs/64/51895221.jpg "7.1 Grafieken en vergelijkingen [1]")
7.1 Grafieken en vergelijkingen [1] Voorbeeld: Getekend zijn de grafieken van y = x 2 4 en y = x + 2. De grafieken snijden elkaar in de punten A(-2, 0) en B(3, 5). Controle voor x = -2 y = x 2 4 y = x
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 15 september dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 15 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)
Over de construeerbaarheid van gehele hoeken
Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:
De wortel uit min één. Jaap Top
De wortel uit min één Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 20 maart 2007 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen
Wiskunde oefentoets hoofdstuk 10: Meetkundige berekeningen
Wiskunde oefentoets hoofdstuk 0: Meetkundige berekeningen Iedere antwoord dient gemotiveerd te worden, anders worden er geen punten toegekend. Gebruik van grafische rekenmachine is toegestaan. Succes!
De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton
De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking
9.0 Voorkennis [1] Definitie bissectrice: De bissectrice van een hoek is de lijn die de hoek middendoor deelt. Willem-Jan van der Zanden
![9.0 Voorkennis [1] Definitie bissectrice: De bissectrice van een hoek is de lijn die de hoek middendoor deelt. Willem-Jan van der Zanden](/thumbs/93/111797186.jpg "9.0 Voorkennis [1] Definitie bissectrice: De bissectrice van een hoek is de lijn die de hoek middendoor deelt. Willem-Jan van der Zanden")
9.0 Voorkennis [1] Definitie middelloodlijn: De middelloodlijn van een lijnstuk is de lijn door het midden van dat lijnstuk die loodrecht op dat lijnstuk staat. Definitie bissectrice: De bissectrice van
Passermeetkunde een bewijs van de stelling van Mohr-Mascheroni. Mascheroni DICK KLINGENS. aaaaa
- 1 Passermeetkunde een bewijs van de stelling van Mohr-Mascheroni Mascheroni DICK KLINGENS 1. Probleemstelling Stelling. Iedere constructie in het euclidische vlak die met passer en liniaal mogelijk is,
4 a x x + 36 = 16 x x + 20 = 0 b x x + 20 = (x + 2)(x + 10) c x = -2 of x = -10
H8 VIERKANTSVERGELIJKINGEN VWO 8.0 INTRO - - 8. TERUGBLIKKEN a x = b x + 7 = x + 7 = x + 6 = x x = c x = of x = - d x + 6 = of x + 6 = - x = - of x = -0 e Er is geen olossing, want het kwadraat van een
4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
4051CALC1Y Calculus 1
4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/
Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken
Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier y =
Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden
Lesbrief 6 Meetkunde 1 Hoektransversalen in een driehoek ABC is een driehoek. Een lijn l door een hoekpunt A van de driehoek heet een hoektransversaal van A. We zullen onderzoeken onder welke voorwaarden
De arbelos. 1 Definitie
De arbelos 1 Definitie De arbelos is een meetkundige figuur die bestaat uit drie aan elkaar rakende halve cirkels. De raakpunten liggen op een lijn. In onderstaande tekening is de arbelos de paarse figuur.
De vergelijking van Antoine
De vergelijking van Antoine Als een vloeistof een gesloten ruimte niet geheel opvult, dan verdampt een deel van de vloeistof. De damp oefent druk uit op de wanden van de gesloten ruimte: de dampdruk. De
IMO-selectietoets I woensdag 5 juni 2013
IMO-selectietoets I woensdag 5 juni 201 NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Uitwerkingen Opgave 1. Vind alle viertallen (a, b, c, d) van reële getallen waarvoor geldt ab + c + d =, bc + d + a = 5, cd
4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Mathematical Modelling
1 / 95 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Last adapt: 30-08-09 2 / 95 Overzicht 1 Inleiding 2 Complexe getallen: rekenen 3 Complexe getallen: iets meer dan rekenen alleen 3 /
III.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Pascal en de negenpuntskegelsnede
Pascal en de negenpuntskegelsnede De zijden van driehoek ABC hierboven vatten we op als lijnen en niet als lijnstukken. De middens van de lijnstukken AB, BC en CA zijn D, E en F. De middens van de lijnstukken
We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College
OEFENTOETS VWO B DEEL 3
OEFENTOETS VWO B DEEL 3 HOOFDSTUK 0 MEETKUNDE MET VECTOREN OPGAVE Gegeven zijn de vectoren a, b en c die vanuit O de hoekpunten van driehoek ABC aanwijzen. Het punt P is het midden van AB, het punt Q is
11.1 De parabool [1]
![11.1 De parabool [1]](/thumbs/51/28339750.jpg "11.1 De parabool [1]")
11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:
wiskunde B pilot havo 2016-I
De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt ( 1, 1 ) 3p 1 Stel een vergelijking op van c. De punten B( 3, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) 2 2 C liggen op c. Punt Q is het midden van
EEN OUDE STELLING UIT DE MEETKUNDE
www.raves.nl ton@raves.nl EEN OUDE STELLING UIT DE MEETKUNDE LUIDT: Als drie cirkels elkaar onderling snijden, dan zullen de drie koorden (*) ofwel precies in e e n punt snijden, ofwel evenwijdig zijn
11. Eenvoudige programma s schrijven in Maxima
11. Eenvoudige programma s schrijven in Maxima We zullen in dit hoofdstuk een aantal eenvoudige Maxima programma s laten zien. 11.1. Aantal wortels van een vierkantsvergelijking Het onderstaande programma
12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]
![12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]](/thumbs/56/38183601.jpg "12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]")
12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde
Complex houdt dan weer in dat we op het complexe vlak werken, met complexe getallen.
The Fractal Project Inleiding: De opzet van dit project is het onderzoeken van de eigenschappen van de mandelbrot-fractal, meer bepaald de eigenschappen van de bollen die aan de buitenkant ervan zitten.
Uitwerkingen toets 9 juni 2012
Uitwerkingen toets 9 juni 0 Opgave. Voor positieve gehele getallen a en b definiëren we a b = a b ggd(a, b). Bewijs dat voor elk geheel getal n > geldt: n is een priemmacht (d.w.z. dat n te schrijven is
Analytische Meetkunde
Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs
Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011
Examen Wiskundige Basistechniek 15 oktober 2011 vraag 1: Gegeven is het complex getal ω = exp(i π 5 ). vraag 1.1: Als we in het complexe vlak het punt P met cartesiaanse coördinaten (x, y) vereenzelvigen
7.0 Voorkennis. Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden.
7.0 Voorkennis Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden. Voorbeeld definitie: Een gestrekte hoek is een hoek van 180 ; Een rechte hoek is een hoek van 90 ; Een parallellogram is een vierhoek
Ongelijkheden groep 1
Ongelijkheden groep 1 Cauchy-Schwarz Trainingsdag (Transtrend, 6 maart 009 Cauchy-Schwarz Voor reële getallen x 1,, x n en y 1,, y n geldt: x i y i met gelijkheid dan en slechts dan als er een reëel getal