TW2040: Complexe Functietheorie

Transcriptie

1 TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32

2 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 2 / 32

3 Convergentie van rijen C is een metrische ruimte: definieert een metriek. d(z, w) = z w Dus we weten wat convergentie van rijen inhoudt: lim z n = z of z n z (n ) n betekent: voor elke ε > 0 bestaat een N N zó dat voor alle n N geldt z n z < ε. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 3 / 32

4 Convergentie van rijen Dit is gewoon de convergentie in R 2, dus volgt meteen Stelling lim n z n = z dan en slechts dan als lim n Re z n = Re z en lim n Im z n = Im z K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 4 / 32

5 Nuttige eigenschappen Stelling Als lim n z n = z en lim n w n = w dan z n ± w n z ± w z n w n z w z n z z n z z 1 n Stelling z 1 Als z < 1 dan lim n z n = 0. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 5 / 32

6 Convergentie van reeksen Gegeven een rij complexe getallen: z 0, z 1, z 2,... Maak de bijbehorende rij partiële sommen: s n = z 0 + z z n Als lim n s n bestaat, zeg lim n s n = s dan noemen we de rij z n n sommeerbaar, of de reeks n z n convergent, met som s. Notatie: z n = s n=0 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 6 / 32

7 Bekende voorbeelden n 1 n = (ondanks lim n 1 n = 0) ( 1) n n n = ln 2 n 1 = π2 n 2 6 (Euler) n 1 n! = e n 1 n convergeert desda p > 1 p K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 7 / 32

8 Meetkundige reeks Neem z vast en bekijk z n n. Partiële sommen: s n = 1 + z + + z n = 1 zn+1 1 z z < 1: n zn = 1 1 z z = 1 en z 1: begrensde partiële sommen, geen limiet z > 1 of z = 1: n zn = Tweede geval: s n = 1 z n+1 1 z 2 1 z K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 8 / 32

9 Absolute convergentie We noemen de reeks n z n absoluut convergent als de reeks n z n convergent is. Stelling Elke absoluut convergente reeks is convergent. Bewijs. Wegens z m + z m z n z m + z m z n volgt dat de partiële sommen een Cauchy-rij vormen. C is volledig, dus de rij van partiële sommen convergeert. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 9 / 32

10 de exponentiële functie, sinus, cosinus De volgende reeksen convergeren absoluut, voor elke z n z n n!, ( 1) n (2n + 1)! z2n+1, n n ( 1) n (2n)! z2n omdat we weten dat ze voor alle positieve reële z convergeren. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 10 / 32

11 de exponentiële functie, sinus, cosinus Definitie We definiëren z n exp z = n!, sin z = cos z = n=0 n=0 n=0 ( 1) n (2n + 1)! z2n+1, ( 1) n (2n)! z2n K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 11 / 32

12 de exponentiële functie, sinus, cosinus De reeksen convergeren uniform op elke schijf D R = {z : z R} (wegens: M-test van Weierstraß). Maar niet uniform op C. Waarom niet? K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 12 / 32

13 de exponentiële functie, sinus, cosinus De functies voldoen aan alle bekende formules: exp(z + w) = exp z exp w sin(z + w) = sin z cos w + cos z sin w cos(z + w) = cos z cos w sin z sin w Bewijs? K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 13 / 32

14 Vermenigvuldigingsstelling van Cauchy Stelling Stel n a n en n b n zijn absoluut convergent. Definieer c n = n a k b n k k=0 voor alle n. Dan geldt n c n is absoluut convergent, en c n = a n n=0 n=0 n=0 b n K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 14 / 32

15 Vermenigvuldigingsstelling van Cauchy (bewijs) Ten eerste c n d n = n a k b n k k=0 De stelling claimt ook dat n d n convergeert, en als dat is vastgesteld zien we dat n c n inderdaad absoluut convergent is. Dus: zonder verlies van algemeenheid: a n, b n 0 voor alle n. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 15 / 32

16 Vermenigvuldigingsstelling van Cauchy (bewijs) Schrijf a = n=0 a n en b = n=0 b n. Noem de partiële sommen van n a n, n b n en n c n respectievelijk s n, t n en u n. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 16 / 32

17 Vermenigvuldigingsstelling van Cauchy (bewijs) Stap 1: s n t n = n n k=0 l=0 a k b l (schrijf maar uit) Stap 2: u n = n n k k=0 l=0 a k b l (schrijf maar uit) Stap 3: u n s n t n a b (bij u n gebruik je een deel van de termen bij s n t n ) Conclusie: lim n u n bestaat. (Waarom ook al weer?) De reeks n c n convergeert (absoluut, want c n 0) en n=0 c n a b. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 17 / 32

18 Vermenigvuldigingsstelling van Cauchy (bewijs) Stap 4: s n t n u 2n (bij s n t n gebruik je een deel van de termen bij u 2n ) Dus: a b = lim n s n t n n=0 c n. Conclusie: de reeks n c n is altijd absoluut convergent en als de termen niet-negatief zijn klopt de som ook. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 18 / 32

19 Vermenigvuldigingsstelling van Cauchy (bewijs) Ten slotte: klopt de som voor willekeurige reeksen? Ja. En dat ga ik nu op het bord uitschrijven. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 19 / 32

20 Vermenigvuldigingsstelling De stelling geldt ook als beide reeksen convergent worden verondersteld en alleen één van de twee absoluut convergent. Nog beter: als je verondersteld dat alledrie convergeren dan kun je bewijzen dat de sommen kloppen. Onderzoek het product van met zichzelf. n ( 1) n n + 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 20 / 32

21 De exponentiële functie Er geldt dus exp(z + w) = exp z exp w. Dus exp(z) exp( z) = exp(0) = 1 voor alle z. Dus exp n = exp(1) n voor alle n Z. Voor reële x hebben we exp x = e x ; we schrijven ook vaak e z = exp z voor complexe z, maar daar moeten we mee oppassen (zullen we later zien). K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 21 / 32

22 De exponentiële functie, sinus en cosinus Als we exp iz uitschrijven vinden we exp iz = cos z + i sin z en omgekeerd en cos z = sin z = exp(iz) + exp( iz) 2 exp(iz) exp( iz) 2i K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 22 / 32

23 De exponentiële functie, sinus en cosinus De definities uit Caleidoscoop zijn nu stellingen. Als z = x + iy dan e z = e x (cos y + i sin y), dus Re e z = e x cos y, Im e z = e x sin y, en e z = e x. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 23 / 32

24 De exponentiële functie, sinus en cosinus De gonioformules volgen door uitschrijven. Voor reële getallen hebben we de echte sinus en cosinus, dus e 2kπi = 1 (k Z) Dat zijn ook de enige oplossingen van e z = 1: dankzij de poolcoördinaten weten we e z = 1, dus x = 0, en y = arg e z = 2kπ voor een k Z. e z is periodiek met periode 2πi. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 24 / 32

25 De exponentiële functie, sinus en cosinus De sinus en cosinus krijgen geen nieuwe nulpunten: sin z = 0 desda exp(2iz) = 1 en dus z = kπ (k Z). cos z = 0 desda exp(2iz) = 1 en dus z = (k )π (k Z). K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 25 / 32

26 Definitie Laat S = {w C : π < Im w π}. De afbeelding w e w is bijectief van S naar C. De inverse afbeelding noemen we de hoofdtak van de logaritme. We schrijven w = Log z als z = e w en w S K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 26 / 32

27 Eigenschappen We hebben Log : C C. Deze functie voldoet aan en is bepaald door exp(log z) = z, en π < Im Log z π K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 27 / 32

28 Formule Er geldt Log z = ln z + i Arg z NB ln gebruik ik alleen voor positieve reële getallen. De oplossingen van e w = z zijn dus te schrijven als Log z + 2kπi met k Z. Ik schrijf soms log z voor een willekeurige logaritme van z. K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 28 / 32

29 Machtsverheffen Als a en b willekeurige complexe getallen zijn, wat is dan a b? Antwoord a b = exp(b log a) en dat zijn in principe oneindig veel verschillende uitkomsten. Soms kiest men voor exp(b Log a) als Hoofdwaarde De andere waarden zijn dan exp(b Log a + 2bkπi) = exp(b Log a) exp(2bkπi) (k Z) K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 29 / 32

30 Machtsverheffen, speciale gevallen Als b Z dan is a b algebraïsch eenduidig af te spreken. In dat geval geldt exp(2bkπi) = 1 en dus geeft de nieuwe definitie gewoon de algebraïsche: exp(b Log a) = exp(log a) b = a b Als b Q, zeg b = t n, met ggd(t, n) = 1 dan krijgen we n waarden: exp(b Log a) exp(2bkπi) (k = 0, 1,..., n 1) K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 30 / 32

31 Machtsverheffen, oppassen We hebben nu eigenlijk oneindig veel waarden voor e z : exp(z) exp(2zkπi) (k Z) Maar we houden toch vast aan e z = exp(z) (macht der gewoonte). De regel a b 1 a b 2 = (a 1 a 2 ) b gaat heel vaak mis. a 1 = a 2 = 1, b = 1 2. Dan (a 1 a 2 ) 1 2 = = 1 (hoofdwaarde) en a a = i i = 1 (ook hoofdwaarde) K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 31 / 32

32 Opgaven Voor vrijdag: Nuttige opgaven: I.2: 4, 5, 6, 7, 8, 18, 19, 20 Verdiepende opgaven: I.2: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 32 / 32