4051CALC1Y Calculus 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "4051CALC1Y Calculus 1"

Transcriptie

1 4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september

2 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI Slides op 2

3 Studiemateriaal Dictaat Complexe getallen (zie blackboard.leidenuniv.nl) Calculus, Early Transcendentals, 7 de editie (Edwards & Penney) 3

4 Werkvormen 8 uren colstructie per week 8 uren werkcollege per week 4

5 Toetsen 5

6 Programma Vanochtend Partieel differentiëren (12.4) Complexe getallen (C.1) Vanmiddag Complexe getallen (C.1 & C.2) 6

7 Differentiëren 7

8 Differentiëren Notatie afgeleide f x, df, f dx x 8

9 Differentiëren Als f x = ax n, dan f x = 9

10 Differentiëren Als f x = ax n, dan f x = n axn 1. Als f x = a x, dan f x = 10

11 Differentiëren Als f x = ax n, dan f x = n axn 1. Als f x = a x, dan f x = ax ln (a). Als f x = log a x, dan f x = 1 x ln a. 11

12 Differentiëren Als f x = ax n, dan f x = n axn 1. Als f x = a x, dan f x = ax ln (a). Als f x = log a x, dan f x = 1 x ln a. Als f x = sin (x), dan f x = cos (x). Als f x = cos (x), dan f x = sin (x). 12

13 Regels differentiëren Somregel Als f x = g x + h x, dan f x = g x + h x. Productregel Als f x = g x h x, dan f = g x x h x + h x g x. 13

14 Regels differentiëren Kettingregel Als f x = g h(x), dan f x = Quotiëntregel g h. h(x) x Als f x = g(x) g f, dan = h x h x x g(x). h(x) x h x 2 14

15 Partieel differentiëren Definitie De partiële afgeleiden (naar x en y) van de functie f x, y zijn de volgende twee functies: f x x, y = f x f y x, y = f y 15

16 Afgeleide bepalen Bereken f x x, y = f door y als een constante te zien en de x afgeleide naar x te nemen. Bereken f y x, y = f y afgeleide naar y te nemen. door x als een constante te zien en de 16

17 Partieel differentiëren Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 17

18 Partieel differentiëren Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y 18

19 Partieel differentiëren Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y 19

20 Partieel differentiëren Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y 20

21 Partieel differentiëren Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f y x, y = 4x + 6y 21

22 Partieel differentiëren Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f y x, y = 4x + 6y 22

23 Partieel differentiëren Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f y x, y = 4x + 6y 23

24 Partieel differentiëren Oefening Gegeven: f x, y = x 2 e y2. Bepaal f x x, y en f y x, y. 24

25 Partieel differentiëren Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 25

26 Partieel differentiëren Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 26

27 Partieel differentiëren Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 27

28 Partieel differentiëren Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 28

29 Meer dan twee variabelen De partiële afgeleiden van de functie f x 1,, x n zijn de volgende functies: f x1 x 1,, x n = f x 1 f x2 x 1,, x n = f x 2 f xn x 1,, x n = f x n 29

30 Hogere partiële afgeleiden Tweede orde partiële afgeleiden f x x = f xx = f x x = x f x = 2 f x 2 30

31 Hogere partiële afgeleiden Tweede orde partiële afgeleiden f x x = f xx = f x x = x f xy = 2 f y x f yx = 2 f x y f yy = 2 f y 2 f x = 2 f x 2 31

32 Tweede orde partiële afgeleiden Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f y x, y = 4x + 6y 32

33 Tweede orde partiële afgeleiden Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f xy x, y = 4 f y x, y = 4x + 6y 33

34 Tweede orde partiële afgeleiden Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f xy x, y = 4 f y x, y = 4x + 6y 34

35 Tweede orde partiële afgeleiden Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f xy x, y = 4 f y x, y = 4x + 6y f yx x, y = 4 35

36 Tweede orde partiële afgeleiden Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f xy x, y = 4 f y x, y = 4x + 6y f yx x, y = 4 36

37 Tweede orde partiële afgeleiden Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f xy x, y = 4 f x x, y = 2x 4y f xx x, y = 2 f y x, y = 4x + 6y f yx x, y = 4 f y x, y = 4x + 6y f yy x, y = 6 37

38 Tweede orde partiële afgeleiden Voorbeeld f x, y = x 2 4xy + 3y 2 f x x, y = 2x 4y f xy x, y = 4 f x x, y = 2x 4y f xx x, y = 2 f y x, y = 4x + 6y f yx x, y = 4 f y x, y = 4x + 6y f yy x, y = 6 38

39 Tweede orde partiële afgeleiden Oefening Gegeven: f x, y = x 2 e y2. Bepaal f xy x, y, f xx (x, y), f yx (x, y) en f yy (x, y). 39

40 Tweede orde partiële afgeleiden Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 40

41 Tweede orde partiële afgeleiden Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f xy x, y = 4xye y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 41

42 Tweede orde partiële afgeleiden Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f xy x, y = 4xye y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 42

43 Tweede orde partiële afgeleiden Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f xy x, y = 4xye y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 f yx x, y = 4xye y2 43

44 Tweede orde partiële afgeleiden Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f xy x, y = 4xye y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 f yx x, y = 4xye y2 44

45 Tweede orde partiële afgeleiden Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f xy x, y = 4xye y2 f x x, y = 2xe y2 f xx x, y = 2e y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 f yx x, y = 4xye y2 45

46 Tweede orde partiële afgeleiden Oefening f x, y = x 2 e y2 f x x, y = 2xe y2 f xy x, y = 4xye y2 f x x, y = 2xe y2 f xx x, y = 2e y2 f y x, y = 2x 2 ye y2 f yx x, y = 4xye y2 f yy x, y = 2x 2 e y2 + 4x 2 y 2 e y2 46

47 Opgaven maken Hoofdstuk 12.4 Opgaven: 1, 2, 3, 8, 9, 12, 15 47

48 Complexe getallen Wie weet waar N, Z, Q en R voor staan? 48

49 Complexe getallen N: verzameling natuurlijke getallen (0, 1, 2, 3, ) Z: verzameling gehele getallen (, -2, -1, 0, 1, 2, ) Q: verzameling rationele getallen a b : a, b Z, b 0 R: verzameling reële getallen (bijv. π, 2) 49

50 Complexe getallen Definitie Complexe getallen zijn getallen van de vorm z = a + bi waarbij a en b reële getallen zijn en i een nieuw (niet reëel) getal met i 2 = 1. 50

51 Complexe getallen Definitie Complexe getallen zijn getallen van de vorm z = a + bi a is het reële deel van het complexe getal z: a = Re z b is het imaginaire deel van het complexe getal z: b = Im z 51

52 Complexe getallen Definitie Complexe getallen zijn getallen van de vorm z = a + bi a is het reële deel van het complexe getal z: a = Re z b is het imaginaire deel van het complexe getal z: b = Im z C is de verzameling complexe getallen. 52

53 Complexe getallen Voorbeeld z = 8 4i 53

54 Complexe getallen Voorbeeld z = 8 4i Re z = 8 Im z = 4 54

55 Complexe getallen Voorbeeld z = 8 4i Re z = 8 Im z = 4 55

56 Complexe getallen Voorbeeld z = 8 4i Re z = 8 Im z = 4 56

57 Complexe getallen Voorbeeld z = 8 4i Re z = 8 Im z = 4 57

58 Optellen complexe getallen a + bi + c + di 58

59 Optellen complexe getallen a + bi + c + di = a + bi + c + di 59

60 Optellen complexe getallen a + bi + c + di a + bi + c + di = a + bi + c + di = a + c + bi + di 60

61 Optellen complexe getallen a + bi + c + di a + bi + c + di a + bi + c + di = a + bi + c + di = a + c + bi + di = a + c + b + d i 61

62 Vermenigvuldiging complexe getallen a + bi c + di 62

63 Vermenigvuldiging complexe getallen a + bi c + di = ac + adi + bic + bidi 63

64 Vermenigvuldiging complexe getallen a + bi c + di = ac + adi + bic + bidi a + bi c + di = ac + ad + bc i + bdi 2 64

65 Vermenigvuldiging complexe getallen a + bi c + di = ac + adi + bic + bidi a + bi c + di = ac + ad + bc i + bdi 2 a + bi c + di = ac + ad + bc i bd 65

66 Vermenigvuldiging complexe getallen a + bi c + di = ac + adi + bic + bidi a + bi c + di = ac + ad + bc i + bdi 2 a + bi c + di = ac + ad + bc i bd a + bi c + di = (ac bd) + ad + bc i 66

67 Vermenigvuldiging complexe getallen Oefening 1 3i 1 + 3i 67

68 Vermenigvuldiging complexe getallen Oefening 1 3i 1 + 3i = 1 + 3i 3i 9i 2 = = 10 68

69 Vermenigvuldiging complexe getallen Oefening 1 3i 1 + 3i = 1 + 3i 3i 9i 2 = = 10 69

70 Vermenigvuldiging complexe getallen Oefening 1 3i 1 + 3i = 1 + 3i 3i 9i 2 = = 10 70

71 Vermenigvuldiging complexe getallen Oefening 1 3i 1 + 3i = 1 + 3i 3i 9i 2 = = 10 71

72 Vermenigvuldiging complexe getallen Oefening 1 3i 1 + 3i = 1 + 3i 3i 9i 2 = = 10 72

73 Vermenigvuldiging complexe getallen Oefening 1 3i 1 + 3i = 1 + 3i 3i 9i 2 = = 10 73

74 Vermenigvuldiging complexe getallen Oefening 1 3i 1 + 3i = 1 + 3i 3i 9i 2 = = 10 74

75 Vermenigvuldiging complexe getallen Oefening 1 3i 1 + 3i = 1 + 3i 3i 9i 2 = = 10 75

76 Vermenigvuldiging complexe getallen Oefening 1 3i 1 + 3i = 1 + 3i 3i 9i 2 = = 10 In het algemeen geldt: a + bi a bi = a 2 + b 2 76

77 Delen complexe getallen Voorbeeld i 4 + 3i 77

78 Delen complexe getallen Voorbeeld i 4 + 3i = i 4 + 3i 4 3i 4 3i = i 4 3i = 28 21i + 96i 72i2 25 = i 25 = 4 + 3i 78

79 Delen complexe getallen Voorbeeld i 4 + 3i = i 4 + 3i 4 3i 4 3i = i 4 3i = 28 21i + 96i 72i2 25 = i 25 = 4 + 3i 79

80 Delen complexe getallen Voorbeeld i 4 + 3i = i 4 + 3i 4 3i 4 3i = i 4 3i = 28 21i + 96i 72i2 25 = i 25 = 4 + 3i 80

81 Delen complexe getallen Voorbeeld i 4 + 3i = i 4 + 3i 4 3i 4 3i = i 4 3i = 28 21i + 96i 72i2 25 = i 25 = 4 + 3i 81

82 Delen complexe getallen Voorbeeld i 4 + 3i = i 4 + 3i 4 3i 4 3i = i 4 3i = 28 21i + 96i 72i2 25 = i 25 = 4 + 3i 82

83 Delen complexe getallen Oefening 2 + 6i 4 + 2i 83

84 Delen complexe getallen Oefening 2 + 6i 4 + 2i = 2 + 6i 4 + 2i 4 2i 4 2i = 2 + 6i 4 2i = 8 4i + 24i 12i2 20 = i 20 = 1 + i 84

85 Delen complexe getallen Oefening 2 + 6i 4 + 2i = 2 + 6i 4 + 2i 4 2i 4 2i = 2 + 6i 4 2i = 8 4i + 24i 12i2 20 = i 20 = 1 + i 85

86 Delen complexe getallen Oefening 2 + 6i 4 + 2i = 2 + 6i 4 + 2i 4 2i 4 2i = 2 + 6i 4 2i = 8 4i + 24i 12i2 20 = i 20 = 1 + i 86

87 Delen complexe getallen Oefening 2 + 6i 4 + 2i = 2 + 6i 4 + 2i 4 2i 4 2i = 2 + 6i 4 2i = 8 4i + 24i 12i2 20 = i 20 = 1 + i 87

88 Delen complexe getallen Oefening 2 + 6i 4 + 2i = 2 + 6i 4 + 2i 4 2i 4 2i = 2 + 6i 4 2i = 8 4i + 24i 12i2 20 = i 20 = 1 + i 88

89 Geometrische weergave Complexe vlak i i 89

90 Modulus complex getal Definitie De modulus van een complex getal is de afstand van dat getal tot de oorsprong. z = a 2 + b

91 Modulus complex getal Stelling Als z en w complexe getallen zijn, dan geldt zw = z w. 91

92 Modulus complex getal Stelling Als z en w complexe getallen zijn, dan geldt zw = z w. Voorbeeld 4 + 3i = = 25 = i 2 = 25 92

93 Modulus complex getal Stelling Als z en w complexe getallen zijn, dan geldt zw = z w. Voorbeeld 4 + 3i = = 25 = i 2 = 25 93

94 Modulus complex getal Stelling Als z en w complexe getallen zijn, dan geldt zw = z w. Voorbeeld 4 + 3i = = 25 = i 2 = 25 94

95 Modulus complex getal Stelling Als z en w complexe getallen zijn, dan geldt zw = z w. Voorbeeld 4 + 3i = = 25 = i 2 = 25 95

96 Geometrische weergave Complexe vlak bi = i z sin φ z = a + bi φ a = z cos φ 96

97 Argument Definitie Laat z = a + bi een complex getal ongelijk aan 0 zijn met modulus r. De hoofdwaarde van het argument Arg z van z is de unieke hoek φ die voldoet aan π φ π en waarvoor z = r cos φ + i sin φ. 97

98 Argument Definitie Laat z = a + bi een complex getal ongelijk aan 0 zijn met modulus r. De hoofdwaarde van het argument Arg z van z is de unieke hoek φ die voldoet aan π φ π en waarvoor z = r cos φ + i sin φ. Voorbeeld i

99 Argument Definitie Laat z = a + bi een complex getal ongelijk aan 0 zijn met modulus r. De hoofdwaarde van het argument Arg z van z is de unieke hoek φ die voldoet aan π φ π en waarvoor z = r cos φ + i sin φ. Voorbeeld i

100 Argument Definitie Laat z = a + bi een complex getal ongelijk aan 0 zijn met modulus r. De hoofdwaarde van het argument Arg z van z is de unieke hoek φ die voldoet aan π φ π en waarvoor z = r cos φ + i sin φ. Voorbeeld π 2 3i π

101 Modulus en argument Opmerking De getallen r en φ worden ook de poolcoördinaten van het punt a, b genoemd. Een punt is hierbij volledig vastgelegd door zijn afstand r tot de oorsprong en de hoek φ die zijn plaatsvector met de positieve x-as maakt. 101

102 Opgaven maken Hoofdstuk C.1 Opgaven: 1, 2, 3, 4, 5 102

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Kunnen we elke integraal oplossen? Z e x x dx Z e x2 dx

Nadere informatie

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk

Nadere informatie

WI1708TH Analyse 3. College 2 12 februari Challenge the future

WI1708TH Analyse 3. College 2 12 februari Challenge the future WI1708TH Analyse 3 College 2 12 februari 2015 1 Programma Vandaag Partiële afgeleiden (14.3) Hogere orde partiële afgeleiden (14.3) Partiële differentiaal vergelijkingen (14.3) 2 Functies van twee variabelen

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Analyse A, deeltentamen Uitwerkingen maandag 1 november 2010, 9 11 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan

Nadere informatie

Signalen en Transformaties

Signalen en Transformaties Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Complexe getallen z D a C bi We definiëren de complex

Nadere informatie

8.1 Rekenen met complexe getallen [1]

8.1 Rekenen met complexe getallen [1] 8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn

Nadere informatie

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1 WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We

Nadere informatie

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige

Nadere informatie

Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen

Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van Les Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen N = Natuurlijke getallen =,2,,.. Z

Nadere informatie

Bestaat er dan toch een wortel uit 1?

Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn

Nadere informatie

20 OKTOBER y 2 xy 2 = 0. x y = x 2 ± 1 2. x2 + 8,

20 OKTOBER y 2 xy 2 = 0. x y = x 2 ± 1 2. x2 + 8, UITWERKINGEN TENTAMEN DIFFERENTIËREN EN INTEGREREN 20 OKTOBER 2008. a) f(x) < is equivalt aan < f(x)

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

Complexe getallen. José Lagerberg. November, Universiteit van Amsterdam. José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, / 30

Complexe getallen. José Lagerberg. November, Universiteit van Amsterdam. José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, / 30 Complexe getallen José Lagerberg Universiteit van Amsterdam November, 2017 José Lagerberg (FNWI) Complexe getallen November, 2017 1 / 30 1 Complexe getallen en complexe e-machten Complexe getallen en complexe

Nadere informatie

Algemene informatie. Inhoudelijke informatie

Algemene informatie. Inhoudelijke informatie Informatie over Colloquium doctum Wiskunde niveau 2 voor Bedrijfskunde, Economie, Fiscale Economie en Mr.-Drs. Programma Economie en Recht ERASMUS UNIVERSITEIT ROTTERDAM Algemene informatie Tijdsduur:

Nadere informatie

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds

Nadere informatie

CALCULUS 2. najaar Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen

CALCULUS 2. najaar Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen 0 CALCULUS 2 najaar 2008 Wieb Bosma (naar aantekeningen van Arno van den Essen) Radboud Universiteit Nijmegen college 1: integratie Centrale vraag: hoe bereken je de bepaalde integraal Algemeen idee: b

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.

Technische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag

Nadere informatie

Paragraaf K.1 : Substitutiemethode

Paragraaf K.1 : Substitutiemethode Hoofdstuk K Voortgezette Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina van 8 Paragraaf K. : Substitutiemethode Stappenplan voor de substitutiemethode : () Neem y = formule (bij kettingregel noem je deze formule

Nadere informatie

Complexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen

Complexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde

Nadere informatie

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch) staan. Die

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Functies van één veranderlijke Als je alleen deelneemt

Nadere informatie

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10 FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Mathematical Modelling

Mathematical Modelling Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Overzicht 1 Inleiding 2 Overzicht 1 Inleiding 2 Bijeenkomsten Vrijdagmiddagen: 13:45 17:30 (tijden in benadering) 13:45-14:15: nabespreken

Nadere informatie

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

Mathematical Modelling

Mathematical Modelling 1 / 95 Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Last adapt: 30-08-09 2 / 95 Overzicht 1 Inleiding 2 Complexe getallen: rekenen 3 Complexe getallen: iets meer dan rekenen alleen 3 /

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

Op deze manier ligt φ exact vast (als we zouden zeggen 0 φ 2π zouden we de reële getallen dubbelop hebben, en dat willen wij als wiskundigen niet).

Op deze manier ligt φ exact vast (als we zouden zeggen 0 φ 2π zouden we de reële getallen dubbelop hebben, en dat willen wij als wiskundigen niet). Moddergooien n.a.v. 31 augustus Allereerst: hartelijk dank voor de vragen; als dat zo doorgaat en als jullie zo blijven komen en ook nog eens huiswerk maken, dan weet ik zeker dat ik dicht bij 100% ga

Nadere informatie

2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE 2

2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE 2 2E HUISWERKOPDRACHT CONTINUE WISKUNDE 2 Inleverdatum 30 maart 207, uiterlijk :5 uur Je moet de hele uitwerking opschrijven en niet alleen het antwoord geven. Je mag de theorie gebruiken die op het college

Nadere informatie

Calculus. P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam

Calculus. P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam Calculus P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam 30 november 2006 Hoofdstuk 1 Complexe getallen 1.1 Introductie In dit hoofdstuk gaat het over complexe getallen. We voeren

Nadere informatie

K.1 De substitutiemethode [1]

K.1 De substitutiemethode [1] K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Differentieer de functie f() = ( + ) 5 Voor het differentiëren van deze functie gebruik je de kettingregel: Stap : Schrijf de functie f() als volgt: y = u 5 met

Nadere informatie

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele

Nadere informatie

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm college 3: differentiaalvergelijkingen Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we y = y (t) of y (1) = y (1) (t) voor de afgeleide dy dt, en y = y (t) of y (2) = y (2) (t) voor de tweede afgeleide

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

Differentiaalrekening. Elementaire techniek van het differentieren.

Differentiaalrekening. Elementaire techniek van het differentieren. Differentiaalrekening Elementaire techniek van het differentieren. Saxion Hogescholen Oktober 2008 Differentiaalrekening Een van de belangrijkste technieken in de wiskunde is differentiaalrekening. Deze

Nadere informatie

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van

Nadere informatie

college 2: partiële integratie

college 2: partiële integratie 39 college 2: partiële integratie Zoals de substitutieregel voor integratie de inverse van de kettingregel voor differentiatie genoemd zou kunnen worden, zo is partiële integratie de inverse van de productregel:

Nadere informatie

Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009

Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009 Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009 Inleiding In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boek Calculus, Early Transcendental Functions Robert T. Smith,

Nadere informatie

Studiehandleiding Basiswiskunde cursus

Studiehandleiding Basiswiskunde cursus Studiehandleiding Basiswiskunde cursus 2008 2009 Materiaal Bij dit college heb je nodig: Het boek Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch Isbn: 90 430 1156 8 De syllabus Aanvulling basiscursus

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Complexe getallen: oefeningen

Complexe getallen: oefeningen Complexe getallen: oefeningen Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015

Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 16 januari 2015 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Uitwerkingen tentamen Wiskunde B 6 januari 5 Vraag a f(x) = (x ) f (x) = (x ) = 6 (x ) Dit geeft f () = 6 = 6. y = ax + b met y =, a = 6 en x = geeft = 6 + b b

Nadere informatie

== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u

== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u == en Tentamen Analyse, WI6 == Maandag januari, 4.-7.u Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI. Gegeven is de functie + e + e arctan,, f = +, >. a Beargumenteer dat f continu is op R. b Bepaal de

Nadere informatie

De wortel uit min één. Jaap Top

De wortel uit min één. Jaap Top De wortel uit min één Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 20 maart 2007 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen

Nadere informatie

7.1 De afgeleide van gebroken functies [1]

7.1 De afgeleide van gebroken functies [1] 7.1 De afgeleide van gebroken functies [1] Regels voor het differentiëren: f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = 0 Algemeen geldt: f() = a n geeft f () = na n-1 Voorbeeld 1:

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 De getallenverzameling C 1 2 Het complex vlak of het vlak van Gauss 7 3 Vierkantsvergelijkingen

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid

Nadere informatie

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )

Nadere informatie

Convexe Analyse en Optimalisering

Convexe Analyse en Optimalisering Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam and Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott.htm Overzicht Boek: Optimization: Insights and Applications,

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch staan. Die

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback IJkingstoets 5 september 04 - reeks - p. /0 Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 5 september 04: algemene feedback In totaal namen 5 studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel

Nadere informatie

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 INHOUD 1 De cirkel 9 1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen 11 1.2 Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 1.3 Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel 20 1.3.1 Aantal snijpunten van een rechte

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De

Nadere informatie

Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie

Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie Inleiding In dit pakket wordt zeer kort de definitie van onbepaalde integralen herhaald evenals het verband tussen bepaalde en onbepaalde integralen.

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

Dictaat Rekenvaardigheden. Loek van Reij

Dictaat Rekenvaardigheden. Loek van Reij Dictaat Rekenvaardigheden Loek van Reij 0 maart 006 i ii Voorwoord In het middelbaar onderwijs hebben zich de laatste jaren grote veranderingen voltrokken: de tweede fase met de daaraan verbonden profielkeuze

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

Tentamen: Kwantitatieve methoden 1.2(wiskundige methoden) Opleiding: Bacheloropleiding Economie Vakcode: 60121110

Tentamen: Kwantitatieve methoden 1.2(wiskundige methoden) Opleiding: Bacheloropleiding Economie Vakcode: 60121110 Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie Tentamen: Kwantitatieve methoden.2(wiskundige methoden) Opleiding: Bacheloropleiding Economie

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30

Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30 Tentamen WISN11 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov 16 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /37 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Newton s method Hoe vinden we een nulpunt: f.x/ D 0 Stel

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 201300130 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/57 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Horizontale asymtoten Gedrag van de functie voor grote

Nadere informatie

Wiskunde Module! Basisprogramma Psychologische Methodenleer! Alexander Ly (en Raoul Grasman)!

Wiskunde Module! Basisprogramma Psychologische Methodenleer! Alexander Ly (en Raoul Grasman)! Wiskunde Module! Basisprogramma Psychologische Methodenleer! Alexander Ly (en Raoul Grasman)! Inhoudsopgave! Wiskunde en psychologie! Doelstelling van de module! Opzet van de module! Algebra: reken regels!

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde.

Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Dinsdag 9 maart 2010, 9.00-11.00. Het gebruik van een rekenmachine is toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een berekening of redenering.

Nadere informatie

INLEIDING TOT DE HOGERE WISKUNDE

INLEIDING TOT DE HOGERE WISKUNDE INLEIDING TOT DE HOGERE WISKUNDE DEEL : Analyse van functies van één veranderlijke Arno KUIJLAARS Stefaan POEDTS Departement Wiskunde, Katholieke Universiteit Leuven, Celestijnenlaan 200 B, 300 Heverlee

Nadere informatie

Wiskunde I voor Scheikunde en Medische Natuurwetenschappen

Wiskunde I voor Scheikunde en Medische Natuurwetenschappen Wiskunde I voor Scheikunde en Medische Natuurwetenschappen Dr. A.C.M. Ran najaar 00 (gewijzigde druk Voorwoord Dit dictaat is bedoeld voor twee groepen studenten: de eerstejaars studenten scheikunde en

Nadere informatie

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak

2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/38 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Bekijken we de volgende vergelijking: x 2 C Œf.x/

Nadere informatie

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde voor B. 1 Eenvoudige operaties en functies. 1. De bewerkingen optellen aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen worden

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015, Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke 191512600

Functies van één veranderlijke 191512600 Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /40 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Partieel Breuksplitsen a0 x m C a x m C C a m x C a m

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Wiskundige Technieken

Wiskundige Technieken 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 009-010 1ste semester 7 oktober 009 Wiskundige Technieken 1. Integreer de volgende differentiaalvergelijkingen: (a) y + 3x y = 3x (b) y + 3y + y = xe

Nadere informatie

Signalen 4CA00 (1) Gedeelte Signalen, docent M.J.G. van de Molengraft. Gedeelte Wiskunde, docent F.J.L. Martens

Signalen 4CA00 (1) Gedeelte Signalen, docent M.J.G. van de Molengraft. Gedeelte Wiskunde, docent F.J.L. Martens Signalen 4CA00 (1) Gedeelte Signalen, docent M.J.G. van de Molengraft Gedeelte Wiskunde, docent F.J.L. Martens Inhoud wiskundedeel Functies van meer variabelen Partiële afgeleiden Extrema Eigenwaarden

Nadere informatie

Huiswerk Hints&Tips Analyse 2, College 26

Huiswerk Hints&Tips Analyse 2, College 26 Huiswerk Hints&Tips Analyse, College 6 [K..]. Tip : Toon aan dat er punten (x, y ) en (x, y ) en scalars m, M R bestaan zo dat m = f(x, y ) f(x, y) f(x, y ) = M. Laat dan zien dat m(b a)(d c) = m f M =

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R - 229 - Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R Definitie: Een eerstegraadsfunctie in R is een functie met een voorschrift van de gedaante y = ax + b (met a R 0 en b R ) Voorbeeld 1: y = 2x Functiewaardetabel

Nadere informatie

Calculus I, 20/10/2014

Calculus I, 20/10/2014 Calculus I, 20/0/20. Gegeven e kromme yx waarvoor arctan y x = 2 lnx2 + y 2 a Bereken e afgeleie y voor een punt x,y at voloet aan het functievoorschrift. b Gebruik e gevonen uitrukking voor e afgeleie

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

1 Continuïteit en differentieerbaarheid.

1 Continuïteit en differentieerbaarheid. 1 1 Continuïteit en differentieerbaarheid. In dit hoofdstuk bekijken we continuiteit en differentieerbaarheid voor functies van meerdere variabelen. Ter orientatie repeteren we eerst hoe het zat met functies

Nadere informatie

Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Machten en differentiëren

Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Machten en differentiëren Uitwerkingen bij _0 Voorkennis: Machten en differentiëren 3(x ) 6 3 6 (x ) 6 6-3 x 3 5 x - 6 43 x 6 x 3x 4 3 x 4 x 6 " $% & ' " $% & (& &( & ' " $% &( &&(& ' ) * '*, *-, *-, *-,, - VWO B deel 3 Analyse_

Nadere informatie

Differentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11

Differentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11 Differentiaalvergelijkingen Hoorcollege 11 Partiële differentiaalvergelijkingen: De Eendimensionale Golfvergelijking; De Tweedimensionale Laplacevergelijking A. van der Meer DV HC11 p. 1/17 De eendimensionale

Nadere informatie

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat

Nadere informatie

12. Uitwerkingen van de opgaven

12. Uitwerkingen van de opgaven 12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);

Nadere informatie

Paragraaf 2.1 : Snelheden (en helling)

Paragraaf 2.1 : Snelheden (en helling) Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf.1 : Snelheden (en helling) Les 1 Benadering van de helling tussen twee punten Definities Differentiequotiënt = { Gemiddelde helling }

Nadere informatie

Analyse met infinitesimalen

Analyse met infinitesimalen Analyse met infinitesimalen Hans Vernaeve Universiteit Gent (Hans Vernaeve) 1 / 15 Infinitesimalen in de 17de en 18de eeuw Infinitesimalen = oneindig kleine getallen. Fysisch hulpmiddel om eigenschappen

Nadere informatie

Dit vak bestaat uit een werk- en instructiecollege, verplicht en vrijwillig huiswerk, één tussentoets op blackboard en één tentamen aan het eind.

Dit vak bestaat uit een werk- en instructiecollege, verplicht en vrijwillig huiswerk, één tussentoets op blackboard en één tentamen aan het eind. Wiskunde 1A - groep 3 (Gabor Wiese) 16/09/2003 Wat informatie: Dit vak bestaat uit een werk- en instructiecollege, verplict en vrijwillig uiswerk, één tussentoets op blackboard en één tentamen aan et eind.

Nadere informatie

V.2 Limieten van functies

V.2 Limieten van functies V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de

Nadere informatie

Wiskundige notaties. Afspraken. Associatie K.U.Leuven

Wiskundige notaties. Afspraken. Associatie K.U.Leuven Wiskundige notaties Afspraken Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D haeseleer Annemie Vermeyen Maart 2011 Waarom? Wiskundetaal gebruikt veel woordenschat, dat weet elke student. Het is niet altijd

Nadere informatie