Voorbeeldopgaven Meetkunde voor B

Transcriptie

1 Voorbeeldopgaven Meetkunde voor B Hoofdstuk 2: Opgave 2 1 Gegeven zijn de vlakken U : x + y + z = 0 en V : x y + az = 0 waarbij a een parameter is. a) Bereken de cosinus van de hoek tussen de twee vlakken (je uitwerking levert een uitdrukking op die afhangt van a). b) Bepaal a zó dat de hoek tussen de twee vlakken gelijk is aan 60. c) Roteer het vlak U om de z as in positieve richting over 90. Hoofdstuk 2: Opgave 2 1 (uitwerking) a) We berekenen de cosinus van de hoek tussen de normaalvectoren (1, 1, 1) en (1, 1, a): cos α = (1, 1, 1) (1, 1, a) (1, 1, 1) (1, 1, a) = a a 2 b) We lossen op a a 2 = 1 2. Kwadrateren en noemers verdrijven levert 4a2 = 6 + 3a 2. Dus a 2 = 6 zodat a = 6 of a = 6. c) Bij de genoemde rotatie gaat (x, y, z) over in ( y, x, z). Ligt (u, v, w) op het geroteerde vlak, en roteren we deze vector terug, dan voldoet de teruggeroteerde vector aan de vergelijking van U. Bij terugroteren gaat (u, v, w) over in (v, u, w). Dus (u, v, w) moet voldoen aan v u + w = 0. Kortom, de vergelijking van het geroteerde vlak is x + y + z = 0. 1

2 Hoofdstuk 2/5: Opgave 2 2 De rechte l is gegeven door middel van de parametervoorstelling (1, 2, 3) + λ(2, 6, 7). Verder is het punt P = (5, 14, 11) gegeven. a) Laat zien dat P op l ligt. b) Bepaal een vectorvoorstelling van de rechte m door P en (10, 16, 12). c) Bepaal het snijpunt van m met het x 2, x 3 vlak. d) We projecteren de rechte l vanuit C = (2, 2, 0) op het x 2, x 3 vlak. Het resultaat is een rechte. Stel een vectorvoorstelling op van het vlak door C dat de rechte l bevat. Bepaal vervolgens de snijlijn met het vlak x 1 = 0. Hoofdstuk 2/5: Opgave 2 2 (uitwerking) a) We gaan op zoek naar een λ zodat (1, 2, 3) + λ(2, 6, 7) = (5, 14, 11). Dit leidt tot λ = 2. Omdat (1, 2, 3) + 2(2, 6, 7) = (5, 14, 11) ligt P op l. b) We gebruiken p = (5, 14, 11) als steunvector en (10, 16, 12) (5, 14, 11) = (5, 2, 1) als richtingsvector. Een vectorvoorstelling is dus (5, 14, 11) + µ(5, 2, 1). c) Het x 2, x 3 vlak heeft vergelijking x 1 = 0. Dus lossen we op (kijk naar de 1e coördinaat van een vector op m): 5 + 5µ = 0. Dit voert tot µ = 1 en dus tot (5, 14, 11) (5, 2, 1) = (0, 12, 10). d) We gebruiken (1, 2, 3) als steunvector, (2, 6, 7) als ene richtingsvector (beide van l overgenomen), (1, 2, 3) (2, 2, 0) = ( 1, 0, 3) als andere richtingsvector. Samen: (1, 2, 3) + λ(2, 6, 7) + µ( 1, 0, 3). Snijden met x 1 = 0 betekent dat we verder moeten met de conditie 1 + 2λ µ = 0. Hieruit volgt bijvoorbeeld µ = 1 + 2λ. Invullen in de vectorvoorstelling: (1, 2, 3) + λ(2, 6, 7) + (1 + 2λ)( 1, 0, 3) = (0, 2, 6) + λ(0, 6, 1). Kortom, de gevraagde rechte heeft vectorvoorstelling (0, 2, 6) + λ(0, 6, 1). 2

3 Hoofdstuk 3/4: opgave 3/4 1 Gegeven is de rechte l : x = 0, y = z. In parametervoorstelling l : λ(0, 1, 1). a) Bepaal een vergelijking van het vlak dat loodrecht staat op l en de vector (0, 3, 5) bevat. Bepaal ook de vergelijking van de bol met middelpunt (0, 0, 0) dat (0, 3, 5) bevat. b) We wentelen de rechte m : x = 0, y = 3 om l. Elk punt (0, 3, t) van m levert dus een cirkel op. Laat zien dat als (x, y, z) op deze cirkel ligt, (x, y, z) voldoet aan x 2 + y 2 + z 2 = 9 + t 2 y + z = 3 + t c) Gebruik de tweede vergelijking om t uit te drukken in y en z. Substitueer dit resultaat in de eerste vergelijking en bepaal de vergelijking van het omwentelingsoppervlak. d) We snijden dit oppervlak met het vlak y = 0. Bepaal de vergelijking van de snijfiguur. Betreft het een rechte, een parabool, een ellips of een hyperbool? Hoofdstuk 3/4: opgave 3/4 1 (uitwerking) a) We gebruiken de vector (0, 1, 1) als normaalvector van het vlak. De vergelijking is dus van de vorm y + z = c met c een nader te bepalen constante. Vul in (0, 3, 5) om c te bepalen: = c. De vergelijking is dus y + z = 8. (Uiteraard zijn 2y + 2z = 16, y z = 8 enz. ook correct.) Voor de bol: De vergelijking is van de vorm x 2 + y 2 + z 2 =constant. De constante bepalen we door (0, 3, 5) in te vullen: x 2 + y 2 + z 2 = , dus x 2 + y 2 + z 2 = 34. b) De cirkel is de doorsnijding van de bol met middelpunt (0, 0, 0) die de cirkel bevat en het vlak loodrecht op l dat de cirkel bevat. De bol heeft vergelijking x 2 +y 2 +z 2 =constante. We bepalen de constante door (0, 3, t) in te vullen, een vector van de cirkel, dus op de bol: x 2 + y 2 + z 2 = 9 + t 2. Het vlak heeft vergelijking y + z =constante. Omdat (0, 3, t) op de cirkel en dus in het vlak ligt vinden we: y + z = 3 + t. c) Uit de 2e vergelijking: t = y + z 3. Substitueer dit in de 1e vergelijking en je vindt x 2 +y 2 +z 2 = 9+t 2 = 9+(y+z 3) 2. Herleiden: x 2 +y 2 +z 2 = 18+y 2 +z 2 +2yz 6y 6z. Vereenvoudigen: x 2 2yz + 6y + 6z = 18. d) Snijden met het vlak y = 0: x z z = 18, dus x 2 + 6z = 18 (en y = 0). Een parabool. 3

4 (In deze opgave mag je de formule voor de kromming van een oppervlak als gegeven beschouwen evenals de eerste termen van de Taylor reeks van 1 + t rond t = 0.) Hoofdstuk 3/4: Opgave 3/4 2 Gegeven is het kwadratische oppervlak Q (hyperboloïde) met vergelijking 2x 2 +2y 2 +z 2 = 1. a) Laat zien dat de snijrechte van de vlakken x + y = 0 en z = 1 op Q ligt. b) Er is nog een rechte op Q die door (0, 0, 1) gaat. Gebruik bijvoorbeeld 2(y + x)(y x) = (1 + z)(1 z) om deze te bepalen. Welke hoek maken de twee rechten door (0, 0, 1) met elkaar? c) Het punt (0, 0, 1) ligt op Q. Beschrijf het oppervlak in de buurt van (0, 0, 1) als grafiek van een functie z = f(x, y). Laat met behulp hiervan of anderszins zien dat het raakvlak aan Q te (0, 0, 1) horizontaal is. d) Bepaal de kromming van Q in het punt (0, 0, 1). Hoofdstuk 3/4: Opgave 3/4 2 (uitwerking) a) Manier 1: als (x, y, z) voldoet aan x + y = 0 en z = 1, dan voldoet (x, y, z) ook aan x 2 = y 2 en z = 1. Maar dan volgt: 2x 2 + 2y 2 + z 2 = = 1. Manier 2: Parametervoorstelling van de rechte is: (0, 0, 1) + λ(1, 1, 0). Substitutie in de vergelijking levert 2λ 2 + 2λ = = 1. b) Uit de schrijfwijze 2(y + x)(y x) = (1 + z)(1 z) haal je het systeem van rechten 2(y x) = µ(1 + z), µ(y + x) = 1 z (voor elke µ een doorsnijding van twee vlakken). Als de rechte door (0, 0, 1) gaat, dan volgt dat µ = 0. Dus vinden we: x = y, z = 1. c) z = 1 + 2x 2 2y 2, dus functie f(x, y) = 1 + 2x 2 2y 2. Een vectorvoorstelling van het deel van Q is dus (x, y, f(x, y)). Raakvlak wordt opgespannen door de twee vectoren (1, 0, f x ), en (0, 1, f y ) beide uitgerekend voor x = 0 en y = 0. Nu is f x = 2x 1 + 2x 2 2y 2, f y = 2y 1 + 2x 2 2y 2, Te x = 0, y = 0 zijn beide dus gelijk aan 0. Dus raakvlak: u(1, 0, 0) + v(0, 1, 0)en dat is een horizontaal vlak. Een andere manier is om uit 1 + 2x 2 2y 2 z = 0 een normaalvector van het raakvlak te bepalen. Hiervoor hebben we de drie partiële afgeleiden te (0, 0, 1) nodig van het linkerlid dat we even F (x, y, z) noemen: (F x, F y, F z ). Differentiëren en invullen levert (0, 0, 1). Kortom z = 0 is het gevraagde raakvlak en is dus horizontaal. d) Om de kromming te bepalen hebben we de 2e orde ontwikkeling van de uitdrukking uit c) nodig rond x = 0, y = 0. Hiertoe substitueren we 2x 2 2y 2 in de Taylor reeks t t2 van 1 + t rond t = 0: (2x2 2y 2 ) + hogere orde De kromming is dus gelijk aan 2 ( 2) = 4. Een alternatieve oplossingsroute maakt gebruik van de 2e orde partiële afgeleiden van de functie uit c). 4

5 Hoofdstuk 5/2: Opgave 5 1 Het vierkant K met hoekpunten (0, 0, 0), (6, 0, 0), (0, 6, 0) en (6, 6, 0) wordt scheef geprojecteerd op het vlak V : x + y + z = 0. De vector (1, 2, 3) geeft de projectierichting. a) Bepaal de scheve projecties van de vier hoekpunten. b) Het vlak V wordt getransleerd over de vector (2, 3, 1) (dus elke vector x gaat naar x + (2, 3, 1)). Bepaal de vergelijking van het getransleerde vlak V. c) Bepaal de scheve projectie van de vier hoekpunten van K op het vlak V. Hoofdstuk 5/2: Opgave 5 1 (uitwerking) a) (0, 0, 0) ligt al in V, dus projecteert op (0, 0, 0). Voor (6, 0, 0): snijd (6, 0, 0) + λ(1, 2, 3) met V, dus los eerst op 6 + λ + 2λ + 3λ = 0, dwz 6 + 6λ = 0. Voor λ = 1 krijgen we dus (5, 2, 3). Op soortgelijke wijze voor (0, 6, 0): projectie is (0, 6, 0) (1, 2, 3) = ( 1, 4, 3). Ten slotte voor (6, 6, 0): neem de som van (5, 2, 3) en ( 1, 4, 3), dus (4, 2, 6). b) Als (u, v, w) in het getransleerde vlak ligt, dan ligt (u, v, w) (2, 3, 1) in V, dus (u 2, v 3, w + 1) voldoet aan de vergelijking van V : (u 2) + (v 3) + (w + 1) = 0. Het getransleerde vlak heeft dus de vergelijking x + y + z = 4. c) We transleren elk van de in a) berekende projecties over (2, 3, 1). Dit levert: (2, 3, 1), (7, 1, 4), (1, 7, 4), (6, 5, 7). 5

6 Tien losse oefenonderdelen met uitwerkingen Opgaven 1. Bereken de lengte van de vector (2, 5, 4). 2. Bereken de cosinus van de hoek tussen de vectoren (1, 0, 1) en (1, 1, 3). 3. Bereken een parametervoorstelling van de rechte door (2, 1, 3) en (5, 1, 1). 4. Bepaal een vergelijking van het vlak door (1, 0, 1), (0, 2, 3) en (1, 1, 1). 5. Bepaal een parametervoorstelling van de snijlijn van de vlakken x + 2y 3z = 5 en 2x + 5y z = Bereken het snijpunt van de rechte (2, 3, 1) + λ(1, 0, 1) met het vlak x + 2y + 2z = Bepaal een parametervoorstelling van het vlak met vergelijking 2x + y 3z = We transleren het vlak V : x + 2y + 3z = 5 over (1, 0, 1). Geef een vergelijking van het getransleerde vlak. 9. Bepaal de afstand van (0, 0, 0) tot het vlak met vergelijking ax + 2y + 3z = 4 als functie van a. 10. Bepaal een rechte lijn op de hyperboloïde 4x 2 + y 2 z 2 = 4 die door het punt (1, 0, 0) gaat. Beknopte uitwerkingen Er zijn vaak meerdere oplossingsmanieren mogelijk; meestal is er slechts een aangegeven. 1. De lengte (2, 5, 4) is ( 4) 2 = 45. (Antwoord zo laten staan, geen numerieke benadering vereist.) 2. cos α = (1, 0, 1) (1, 1, 3) (1, 0, 1) (1, 1, 3) = 2 = Neem (2, 1, 3) als steunvector en (5, 1, 1) (2, 1, 3) als richtingsvector. Je krijgt dan (2, 1, 3) + λ(3, 0, 4). 4. Twee richtingsvectoren zijn (0, 2, 3) (1, 0, 1) = ( 1, 2, 2) en (1, 1, 1) (0, 2, 3) = (1, 1, 2). Een vector loodrecht op het vlak vinden we met behulp van het uitproduct (cross product): ( 1, 2, 2) (1, 1, 2) = ( 2, 0, 1). Dus ook (2, 0, 1) staat loodrecht op het gezochte vlak. Vergelijking van het vlak is dus van de vorm 2x + 0 y + 1 z = d. Vul nu bijvoorbeeld (1, 0, 1) in om d te bepalen: d = 3. Vergelijking is dus 2x + z = 3. (Controle: vul elk van de drie gegeven vectoren in.) 5. Trek de eerste vergelijking twee maal af van de tweede.je krijgt dan x + 2y 3z = 5 en y+5z = 8. Vervolgens de nieuwe tweede vergelijking twee maal van de eerste aftrekken: x 13z = 21 en y + 5z = 8. Herschrijf dit als x = 13z + 21 en y = 8 5z. Noem nu z = λ, dan vind je (x, y, z) = 13λ + 21, 5λ 8 en z = λ. Parametervoorstelling is dus (21, 8, 0)+λ(13, 5, 1). (Controle achteraf door substitutie in de beide vergelijkingen.) 6

7 6. Eerst bepalen we λ: substitueer (2, 3, 1) + λ(1, 0, 1) in de vergelijking. Dat levert: (2 + λ) + 2(3 + 0λ) + 2( 1 + λ) = 12 ofwel 3λ = 6 zodat λ = 2. Het snijpunt is dus (2, 3, 1) + 2 (1, 0, 1) = (4, 3, 1). (Controle achteraf door invullen in de vergelijking.) 7. We lossen de vergelijking op: herschrijf als x = y/2 + 3z/2 + 5/2. Met y = λ en z = µ vinden we voor x: λ/2 + 3µ/2 + 5/2. Dus (x, y, z) = ( λ/2 + 3µ/2 + 5/2, λ, µ) = (5/2, 0, 0) + λ( 1/2, 1, 0) + µ(3/2, 0, 1). De richtingsvectoren mogen we ook door veelvouden vervangen, bijvoorbeeld ( 1, 2, 0) en (3, 0, 2) (dan zijn we van de breuken af). Samen (5/2, 0, 0) + λ( 1, 2, 0) + µ(3, 0, 2). Je kunt ook zo te werk gaan: bekijk de vergelijking en construeer één oplossing, bijvoorbeeld 0, 5, 0). Deze gebruiken we als steunvector. Zoek vervolgens twee vectoren loodrecht op (2, 1, 3): bijvoorbeeld (1, 2, 0) en (0, 3, 1) (deze mogen geen veelvoud van elkaar zijn, ze moeten in echt andere richtingen wijzen). Samen krijgen we (0, 5, 0) + λ(1, 2, 0) + µ(0, 3, 1). 8. Met deze vragen is het altijd oppassen: begin met een punt (u, v, w) uit het getransleerde vlak. Transleer dit punt terug: (u, v, w) (1, 0, 1) = (u 1, v, w + 1). Dan voldoet (u 1, v, w + 1) aan de vergelijking van V, dus (u 1) + 2v + 3(w + 1) = 5, d.w.z. u + 2v + 3w = 3. Vergelijking (weer in x, y, z coördinaten): x + 2y + 3z = De kortste verbinding krijgen we door de rechte lijn door (0, 0, 0) en loodrecht op het vlak te snijden het vlak en de afstand tussen het snijpunt en (0, 0, 0) te bepalen. De rechte is λ(a, 2, 3). Invullen in de vergelijking: a(λa) + 2 2λ + 3 3λ = 4.Dus λ(a ) = 4, zodat λ = 4 a a. Het snijpunt is dus ( a , 8 a , 12 a 2 ). De afstand is dus a a a 2 = a = 4 a Herschrijf de vergelijking als 4(x + 1)(x 1) = (z + y)(z y). Voor elke waarde van u krijgen we een rechte als doorsnijding van twee vlakken. Er zijn vier mogelijkheden: 4u(x + 1) = z + y en x 1 = u(z y), 4(x + 1) = u(z + y) en u(x 1) = z y, 4u(x + 1) = z y en x 1 = u(z + y), 4(x + 1) = u(z y) en u(x 1) = z + y. We gaan verder met de eerste: 4u(x + 1) = z + y en x 1 = u(z y). Vullen we (1, 0, 0) in dan volgt 4u 2 = 0 en 0 = u 0. We moeten dus u = 0 nemen. We vinden dan y + z = 0 en x = 1. Een parametervoorstelling is dus (1, 0, 0) + λ(0, 1, 1). Enkele kanttekeningen: Had je de factor u als volgt gebruikt: 4(x + 1) = u(z + y) en u(x 1) = z y, dan had je geen waarde van u kunnen vinden. Dat is een teken dat er geen u is waarvoor je met deze vlakken een rechte zult vinden. Je had ook kunnen werken met 4u(x + 1) = z y en x 1 = u(z + y) of 4(x + 1) = u(z y) en u(x 1) = z + y. In dit geval levert de eerste mogelijkheid weer een rechte op: (1, 0, 0) + µ(0, 1, 1). Het tweede geval levert geen rechte op. In totaal zijn er dus twee goede antwoorden bij deze vraag. 7