Vectoranalyse voor TG

Transcriptie

1 college 2 Ruimte en oppervlakken collegejaar : college : 2 build : 5 september 2018 slides : 25 Vandaag Ruimte 1 Vectoren in R 3 recap 2 Oppervlakken 3 Ruimte 4 1 intro VA

2 Voorkennis uit Ruimtewiskunde herhaling Thomas Calculus : Coördinaten in R 2 en R 3. Vectoren. Optellen en scalair vermenigvuldigen van vectoren. Parametervoorstelling van lijn en vlak met vectoren. Vergelijkingen van een lijn of vlak. Lijn door twee punten. Lijnsegment. Inproduct (dot product) van twee vectoren. Lengte van een vector. Hoek tussen twee vectoren. Projecties. Vectorproduct (uit- of cross product). Oppervlakte van een parallellogram. Inhoud van een parallellepipedum. Ruimte VA Voorkennis uit Ruimtewiskunde Lijnen en vlakken herhaling Een lijn in R 2 wordt gedefinieerd met 1 vergelijking: ax + by = c, of met een parametrisatie met 1 parameter: p + tv, t R. Een vlak in R 3 wordt gedefinieerd met 1 vergelijking: ax + by + cz = d, of met een parametrisatie met 2 parameters: p + sv + tw, s, t R. Een lijn in R 3 wordt gedefinieerd met 2 vergelijkingen: { ax + by + cz = d, px + qy + rz = s, of met een parametrisatie met 1 parameter: p + tv, t R. Ruimte VA

3 Voorkennis uit Ruimtewiskunde Afstanden en bollen herhaling In R 2 is de afstand van een punt P = (x P, y P ) tot een punt Q = (x Q, y Q ) gelijk aan PQ #» = (x Q x P ) 2 + (y Q y P ) 2. In R 3 is de afstand van een punt P = (x P, y P, z P ) tot een punt Q = (x Q, y Q, z Q ) gelijk aan PQ #» = (x Q x P ) 2 + (y Q y P ) 2 + (z Q z P ) 2. De bol met middelpunt (a, b, c) en straal r wordt gegeven door de vergelijking (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 = r 2 De bal (bol met inhoud) met middelpunt (a, b, c) en straal r wordt gegeven door de ongelijkheid (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 r 2 Ruimte VA Kwadratische oppervlakken herhaling Definitie Section 12.6 Ruimte Een paraboloïde is een oppervlak gedefinieerd door de vergelijking x 2 a 2 + y2 b 2 = z, met a > 0, b > 0 en c > 0. c VA

4 Ellipsoïde Definitie herhaling Ruimte Een ellipsoïde is een oppervlak gedefinieerd door de vergelijking x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 = 1, met a > 0, b > 0 en c > 0. c VA Kwadratische oppervlakken Definitie Een kwadratisch oppervlak is een oppervlak gegeven door een vergelijking van de vorm Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dz = E, met A, B, C, D en E constanten. Ruimte en: Cilinder x 2 + y 2 = 1 Paraboloïde x 2 + y 2 = z Kegel x 2 + y 2 = z VA

5 Oppervlakken Een oppervlak in R 3 kan worden gegeven met een meetkundige beschrijving; een vergelijking in x, y en z; een parametrisatie met twee parameters. Drie definities: als de bovenste helft van de kegel met top in 0 en de positieve z-as als symmetrie-as; door de vergelijking z = x 2 + y 2 ; met de parametrisatie r(r, θ) = (r cos θ, r sin θ, r), r 0 en 0 θ < 2π. Ruimte VA Ruimte Een kromme in R 3 kan worden gegeven met een meetkundige beschrijving; een parametrisatie met één parameter; twee vergelijkingen in x, y en z; Drie definities: als de eenheidscirkel in het xy-vlak; door de vergelijkingen x 2 + y 2 = 1 en z = 0; met de parametrisatie r(t) = (cos t, sin t, 0), 0 t 2π. Ruimte VA

6 Verband tussen en oppervlakken Waarom heb je twee vergelijkingen nodig om een kromme te beschrijven? Eén vergelijking beschrijft een oppervlak. Twee vergelijkingen beschrijven twee oppervlakken waarvan de doorsnede een kromme is. Ruimte Waarom heeft een parametrisatie van een oppervlak twee parameters? Bij vaste s beschrijft r(s, t) een kromme. Door s te varieren krijg je een hele familie van die samen een oppervlak vormen VA Van parametrisatie naar vergelijking Stel een oppervlak wordt gegeven door de parametrisatie r(s, t) = ( f (s, t), g(s, t), h(s, t) ). Schrijf de parametrische vergelijkingen op: x = f (s, t) y = g(s, t) z = h(s, t) Als je uit deze drie vergelijkingen s en t elimineert houd je één vergelijking met x, y en z over. : als r(s, t) = (s, t, 1 s t), dan volgt uit x = s y = t z = 1 s t dat z = 1 x y, dus x + y + z = 1. Ruimte VA

7 Van vergelijking naar parametrisatie Vaak werkt het volgende: kies twee van de variabelen x, y en z als parameter, bijvoorbeeld: s = x en t = y. Druk de overgebleven variabele uit in s en t, dus schrijf bijvoorbeeld z = h(s, t). Een parametrisatie is dan r(s, t) = ( s, t, h(s, t) ). : een oppervlak wordt gegeven door de vergelijking x + y + z = 1, dan z = 1 x y = 1 s t, en een parametrisatie is r(s, t) = (s, t, 1 s t) Ruimte VA Ruimte Section 13.1 Een ruimtekromme wordt bij voorkeur beschreven met een parametrisatie. Section 13.1, example 1 De schroeflijn (Engels: helix) is een kromme beschreven door de parametrisatie r(t) = (a cos t, a sin t, bt), t R. De parameter a is de straal, en b bepaalt de spoed. Ruimte VA

8 Geef een parametrisatie van de ellips die is gedefinieerd als de doorsnede van de cilinder x 2 + y 2 = 1 en het vlak x + y + z = 1. Gebruik poolcoördinaten voor x en y: x = cos t, y = sin t. Gebruik de vergelijking van het vlak om z uit te drukken in t: z = 1 x y = 1 cos t sin t. De parametrisatie wordt nu: r(t) = ( cos t, sin t, 1 cos t sin t), 0 t 2π. Ruimte VA Lijnstukken Stelling Stel p = OP #» en q = OQ. #» De standaardparametrisatie van het lijnstuk PQ wordt gegeven door r(t) = (1 t)p + tq, 0 t 1. Ruimte Het functievoorschrift kan worden geschreven als r(t) = p + t(q p). : stel P = (1, 2, 3) en Q = (4, 5, 7), dan t r(t)=(1 t) 2 + t 5 = 2 7t, t [0, 1] t De parametrische vergelijkingen zijn x = 1 + 3t, y = 2 7t, z = 3 + 4t VA

9 De snelheidsvector Ruimte Stel r bevindt zich op tijd t in P en op tijd t + t in Q. De verplaatsing over het tijdsinterval (t, t + t) is gelijk aan r(t + t) r(t). De gemiddelde verplaatsing over (t, t + t) is gelijk aan r(t + t) r(t). t De snelheidsvector op tijdstip t is gelijk aan r r(t + t) r(t) (t) = lim. t 0 t VA De snelheidsvector Definitie Stel r: I R n is een vectorfunctie gedefinieerd op een open interval I in R. De snelheidsvector r is gedefinieerd door r r(t + t) r(t) (t) = lim t 0 t Ruimte voor alle t I, mits de limiet bestaat. De snelheidsvector is een vectorfunctie. De snelheid van r is r. De bewegingsrichting van r is de richting van r. De snelheidsvector kan componentsgewijs worden berekend: als r(t) = ( x 1 (t),..., x n (t) ), dan r (t) = ( x 1(t),..., x n(t) ) VA

10 Ruimte Beschouw de helix r(t) = (a cos t, a sin t, bt). De raakvector (of snelheidsvector) is r (t) = ( a sin t, a cos t, b). Merk op dat de z-component constant is. De snelheid is ook constant: r (t) = a 2 sin 2 t + a 2 cos 2 t + b 2 = a 2 + b VA Rekenregels voor vectorfuncties Stelling Stel r en s zijn vectorfuncties, en stel f (t) is een functie van één variabele. Stel α en β zijn constanten. d ( ) 1 αr(t) + βs(t) = αr (t) + βs (t). d t d ( ) f (t)r(t) = f (t)r(t) + f (t)r (t). d t d ( r(t) s(t) ) = r (t) s(t) + r(t) s (t). d t d ( ) r(t) s(t) = r (t) s(t) + r(t) s (t). d t d d t r( f (t) ) = f (t) r ( f (t) ). Regels 1, 2, 3 en 5 gelden ook in R 2. kettingregel Ruimte VA

11 Equidistante beweging Blz. 731 Stel een punt beweegt zich voort over de oppervlakte van de bol x 2 + y 2 + z 2 = 1, dan staat de snelheidsvector loodrecht op de positievector. Ruimte Stel de positie van het punt wordt gegeven door de vectorfunctie r(t), dan geldt r(t) r(t) = r(t) 2 = 1 2 = 1 voor alle t. Gebruik de productregel voor het inproduct: 0 = d 1 d t = d d t (r(t) r(t)) = r (t) r(t) + r(t) r (t) = 2r (t) r(t), dus r (t) r(t) = VA Versnelling Definitie Stel r: I R n is een vectorfunctie gedefinieerd op een open interval I in R. De versnellingsvector is de tweede afgeleide van r(t): r (t) = d d t r (t) Ruimte De versnelling is de lengte van r (t): a(t) = r (t) De versnellingsvector kan componentsgewijs worden berekend: als r(t) = ( x 1 (t),..., x n (t) ), dan r (t) = ( x 1 (t),..., x n(t) ) VA

12 Ruimte Beschouw de helix r(t) = (a cos t, a sin t, bt). De raaklijnvector (of snelheidsvector) is r (t) = ( a sin t, a cos t, b). De versnellingsvector is r (t) = ( a cos t, a sin t, 0) = (a cos t, a sin t, 0). De versnelling is r (t) = a VA Section 13.3 Definitie De booglengte van een gladde kromme gedefinieerd met de parametrisatie r(t) = ( x(t), y(t), z(t) ) (met a t b) is b L = r (t) b (d ) x 2 ( ) d y 2 ( ) d z 2 dt = + + dt a a d t d t d t Ruimte De parametrisering r(t) moet differentieerbaar zijn of uit delen bestaan die differentieerbaar zijn ( stuksgewijs glad ). Een punt op de kromme mag niet meerdere keren doorlopen worden (behalve het begin- en eindpunt). b De formule L = r (t) dt geldt in R 2 en in R 3. a VA

13 Lengte van de helix Zie ook section 13.3, example 1 Bepaal de lengte van één cykel van de helix r(t) = (a cos t, a sin t, bt) met 0 t 2π. Merk op en r (t) = ( a sin t, a cos t, b) r (t) = a 2 sin 2 t + a 2 cos 2 t + b 2 = a 2 + b 2. Ruimte L = = 2π 0 2π 0 r (t) dt a 2 + b 2 dt = 2π a 2 + b VA Bepaal de lengte van de kromme C gedefinieerd door r(t) = ( 3t, 3t 2, 2t 3) met 0 t 1. Er geldt r (t) = (3, 6t, 6t 2 ) = 3(1, 2t, 2t 2 ) en r (t) = t 2 + 4t 4 = 3 (1 + 2t 2 ) 2 = 3 + 6t 2. Ruimte L = = 1 r (t) 1 dt = 3 + 6t 2 dt 0 0 (3t + 2t 3) 1 = VA