WPO Differentiaalmeetkunde I
|
|
- Filip Claessens
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 1 Vrije Universiteit Brussel Academiejaar Prof. Dr. R. Kieboom Dr. G. Sonck WPO Differentiaalmeetkunde I Krommen in R n 1. Neem R met een orthonormale basis en a R + 0. Voor elk punt p o, gelegen op de cirkel met middelpunt (0, a) en straal a, noem q het snijpunt van de rechte < o, p > met de horizontale y = a. Snijd de verticale door q met de horizontale door p. De verzameling van al deze snijpunten is een kromme in R, die de heks van Agnesi genoemd wordt. Als t ] π/, π/[ het maatgetal is van de hoek tussen de y-as en de rechte < o, p > en als t negatief genomen wordt indien p in het tweede kwadrant ligt, toon dan dat β :] π/, π/[ R : t (atgt, a cos t) een parametrisatie is van de kromme. Is β glad? Is β regulier? Maak een plot van de kromme met Maple.. Zijn volgende wegen in R regulier? Van welke klasse C k? Beschrijf hun banen. 3. Is (a) β 1 : R R : t (1 t, t) (b) β :]0, π[ R : t (cos t, sin t) (c) β 3 : R R : t (cos t, sin t ) (d) β 4 : R R : t (cosh t, sinh t) (t, t ) als t ] 1, 0[ (e) β 5 :] 1, 1[ R : t (t, t ) als t ]0, 1[ een reguliere, gladde weg? Toon dat γ : R R : t ( 1 t 1 + t, t 1 + t ) ϕ :] π, π[ R : t tg t een parameterverandering is en beschrijf de weg β = γ ϕ. 4. Welke van de volgende wegen in R 3 bepalen dezelfde gerichte kromme? (a) β : R R 3 : t (1/(t + t + 1), 1 (t+ t +1), 1/ log(t + t + 1)) (b) γ :]0, + [ R 3 : t ( 1 t, t, log t ) (c) δ : R R 3 : t ( et, e t, t ) (d) ɛ :]0, + [ R 3 : t ( t, 1 t, log t)
2 5. Zij (t, t sin π β : R R t ) als t 0 : t (0, 0) als t = 0 Toon dat β een weg is in R. Van welke klasse C k? Toon dat L(β [0,1] ) = Is de weg β uit opgave 4 een booglengteweg? 7. Bepaal een booglengteweg die dezelfde gerichte kromme bepaalt als (a) β :]0, + [ R 3 : t (t, 1 t, log t) (b) γ : R R 3 : t (e t cos t, e t sin t, e t ) 8. Zij α : G R n een booglengteweg van klasse C 1. Bewijs dat elke booglengteweg γ : H R n van klasse C 1, die equivalent is met α, van de vorm a + G R n : t α(t a) is voor een a R. 9. Indien β : J R 3 een reguliere weg is van klasse C en α = β S 1 een equivalente booglengteweg, toon dan κ S = β β β Indien β : J R 3 een reguliere weg is van klasse C 3 zodat β (t) en β (t) steeds lineair onafhankelijk zijn, en α = β S 1 een equivalente booglengteweg, toon dan 11. Toon dat α :] 1, 1[ R 3 : s ( τ S = det(β, β, β ) β β. (1 + s)3/, 3 (1 s)3/, 3 s ) een booglengteweg is. Bereken κ(s) en τ(s). Bepaal de basis van Frenet van α in s. 1. Beschouw de parametrisatie van een helix β : R R 3 : t (a cos t, a sin t, bt) met a, b R + 0. Bepaal een booglengteweg α, equivalent met β. Bepaal de basis van Frenet van α in s. Bepaal de intrinsieke vergelijkingen van (β). Bepaal L(β [0,π] ). 13. Beschouw α : R R 3 : s (4 cos s 5, 5 5 sin s 5, 3 cos s 5 ). (a) Is α een booglengteweg? (b) Bepaal het oskulatievlak V (α, s). (c) Is α(r) een vlakke kromme? Zo ja, in welk vlak ligt α(r)? 14. Zij α : G R 3 een booglengteweg van klasse C 3 met constante torsie τ 0, en zij (t(s), n(s), b(s)) de basis van Frenet van α in s. Stel, voor s 0 G vast, β : G R 3 : t 1 τ n(t) + t Bewijs dat (β) constante kromming heeft en bepaal deze. s 0 b(s)ds.
3 3 15. Zij α : G R 3 een C 3 -booglengteweg met s G : τ(s) 0 zodat α(g) omvat is in een sfeer met middelpunt p en straal R. Bewijs en 16. Bepaal kromming en torsie van Beschrijf de kromme. α p = 1 κ n ( 1 κ ) 1 τ b R = ( 1 κ ) + (( 1 κ ) 1 τ ). α : R R 3 : s ( 1 1 cos s, sin s, cos s). 17. Zij β : J R een reguliere weg van klasse C en α = β S 1 een equivalente booglengteweg. Toon 18. Bepaal de intrinsieke vergelijking van (β) als κ S = det(β, β ) β 3. (a) β :]0, π[ R : t (a(t sin t), a(1 cos t)) met a > 0 (b) β : R R : t (e at cos t, e at sin t) met a > Welke zijn de krommen in R met intrinsieke vergelijking (a) κ(s) = 1 1+s (b) κ(s) = 1? 0. Beschouw de weg β :]0, π/[ R : t (cos t + t sin t, sin t t cos t). Bepaal een equivalente booglengteweg α : G R met G R open. Bepaal de intrinsieke vergelijking van (α). 1. Zij α : J R 3 een booglengteweg van klasse C 4 met J R een open interval. Onderstel s J, κ(s) 0. Bewijs voor de kromming κ σ en torsie τ σ van de reguliere weg σ : J R 3 : s α (s): κ σ = 1 + ( τ κ ), τ σ = ( τ σ ) (κ(1 + ( τ κ ) )) 1. Als s σ booglengteparameter is van σ, toon dan dsσ ds = κ.. Zij α : G R 3 een booglengteweg van klasse C 3 met constante kromming κ en met torsie τ = 0 op G. Bewijs dat α(g) omvat is in een cirkel; bepaal middelpunt en straal van de cirkel. Geldt het omgekeerde ook? 3. Zij J een open interval van R met 0 J en α : J R 3 een booglengteweg van klasse C k (k 5). Onderstel s J : κ(s) > 0 en ( 1 κ ) (s) > 0 en onderstel (α) een vlakke kromme. Als (t(s), n(s), b(s)) de Frenet basis is van α in s, toon dan voor de weg ɛ : J R 3 : s α(s) + 1 κ(s) n(s) :
4 4 (a) de booglengteparameter van ɛ t.o.v. 0 wordt voor s J gegeven door (b) (ɛ) is een vlakke kromme s ɛ (s) = 1 κ(s) 1 κ(0) (c) de krommingen κ(s) en κ ɛ (s ɛ ) van α en ɛ zijn verbonden door κ(s) = ( 1 κ ) (s)κ ɛ (s ɛ (s)). 4. (a) Zij α : J R 3 een booglengteweg van klasse C 3 met κ(s) 0, s J, toon dan de equivalentie van volgende voorwaarden: i. er bestaat een vector u R 3 \ {0} zodat het inproduct t(s).u constant is op J ii. de vector v(s) = τ(s) κ(s) t(s) + b(s) is constant op J iii. het getal τ(s) κ(s) is constant op J Een booglengteweg α : J R 3 van klasse C 3 met κ(s) 0, s J die aan vorige equivalente eigenschappen voldoet heet een veralgemeende helix. (b) Bepaal alle waarden van c R zodat de weg β : R R 3 : t (t, 3t, ct 3 ) een veralgemeende helix is. 5. Beschouw de reguliere weg β : R R 3 : t (3t, 3t, t 3 ) Zij R(β, t) de raaklijn van β in t en V (β, 1) het oskulatievlak van β in 1. (a) Is β een vlakke weg? (b) Toon dat door {γ(t)} = R(β, t) V (β, 1) als t 1 en γ(1) = β(1) een reguliere weg γ : R R 3 gedefinieerd wordt. (c) Bereken de kromming κ(t) voor de weg γ. (d) Is γ een vlakke weg? 6. Zij β : R R 3 een C 3 -weg en α = β S 1 een equivalente booglengteweg met s = S(t) booglengteparameter van β. Onderstel κ(s) 0 s, τ(s) = 1 s en b(s(t)) = (cos t, sin t cos t, sin t). (a) Bewijs dat S (t) = 1 + cos t t R. (b) Bepaal de Frenet-basis van α in s = S(0). 7. Zij α : G R 3 een C 3 -booglengteweg met κ(s) 0 en τ(s) 0 voor alle s G. Onderstel dat α(g) omvat is in een sfeer met middelpunt p en straal R. Toon dan: (a) α p = 1 κ n ( 1 κ ) 1 τ b (b) ( κ κ τ ) τ κ = 0
5 5 Differentiaalvariëteiten in R 3 1. Is F : R + 0 R R3 : (x, y) (x + x + 3, 5 x, y) regulier resp. een immersie, een inbedding?. Toon dat F :]0, [ R : t (sin πt, sin πt) een injectieve immersie is die geen inbedding is. Bepaal een omgeving T van 1 zodat F T een inbedding is. 3. Zij F : R R : (x, y) (x cos y, x sin y). Bepaal een zo groot mogelijk open deel U R waarop F een immersie is. Is F U : U F (U) een diffeomorfisme? Zo ja, van welke klasse C k? 4. Zijn volgende delen van R 3 oppervlakken? Zo ja, bepaal de klasse. Bepaal voor elk oppervlak een globale familie van lokale parametrisaties en beschrijf de -kaarten. (a) {(x, y, z) R 3 ; z = x y } (b) {(x, y, z) R 3 ; x + y = 1} (c) t R < (0, 0, t), (a, t, 0) > met a R 0 (d) {(x, y, z) R 3 ; z = xy, y > 0, z > 0} 5. Ga na of de volgende afbeeldingen diffeomorfismen zijn: (a) F : R R : (x, y) (xe y + y, xe y y) (b) G : R 3 R 3 x : (x, y, z) ( y + + y3 e z x, y + y3 e z, ye z ) 6. Bepaal, voor F zoals in opgave 3, een open omgeving V van (1, 0) zodat F V : V F (V ) een diffeomorfisme is. 7. Voor welke waarden van λ R is een oppervlak? 8. Voor welke waarden van λ R is een oppervlak? 9. Toon dat {(x, y, z) R 3 ; z + 4z 3xy + λ = 4} {(x, y, z) R 3 ; xy + x = z λz + λ} M = {(x, y, z) R 3 ; x + y = e z } een oppervlak is en vind een globale familie van lokale parametrisaties. 10. Vind nodige en voldoende voorwaarden op C R opdat M = {(x, y, z) R 3 ; x sin y = z + C} een oppervlak zou zijn. Voor het geval C = 1, vind een globale familie van lokale parametrisaties. 11. Beschouw M = {(x, y, z) R 3 ; cos y = z x } Toon dat M een oppervlak is en bepaal een globale familie van lokale parametrisaties.
6 6 1. Toon dat M = {(x, y, z) R 3 ; y cos z = x sin z} een glad oppervlak is in R 3 en bepaal een globale familie van lokale parametrisaties van M. Stel de Cartesische vergelijking op van het raakvlak aan M in het punt (0, 1, π ). 13. Welke van de oppervlakken uit opgave 4 zijn elementaire oppervlakken? Welke zijn oriënteerbaar? 14. Beschouw F : R ] 1, 1[ R 3 (u, v) (( + v cos u ) cos u, ( + v cos u ) sin u, v sin u ). Bewijs dat F een immersie is, die geen inbedding is. Toon dat F ] π,π[ ] 1,1[ en F ]0,π[ ] 1,1[ inbeddingen zijn, die niet oriëntatie-verenigbaar zijn. Bepaal de Cartesische vergelijking in F ( π, 1 ) aan de Möbiusband F (R ] 1, 1[). 15. Onderzoek welke van de oppervlakken uit 9. oriënteerbaar zijn. 16. Bewijs dat een glad diffeomorfisme is. Φ : S S : (x, y, z) (x sin z + y cos z, x cos z y sin z, z) 17. Bepaal een diffeomorfisme tussen de cilinder x +y = 1 en de eenbladige hyperboloïde x +y z = 1. De meetkunde van de oppervlakken in R 3 1. De torus T wordt bekomen door de cirkel in het yz-vlak met middelpunt (0, a, 0) en straal r (0 < r < a) te wentelen om de z-as. Een cartesische vergelijking van T wordt gegeven door (a x + y ) + z = r. Bepaal, aan de hand van de metrische coëfficiënten, de oppervakte van deze torus.. Indien F : U M een lokale parametrisatie is van een oppervlak M in R 3, toon dan: (a) (b) l ij = det(d 1F, D F, D ij F ) D 1 F D F [L ij ] = [g ij ] 1 [l ij ] 3. Bepaal de eerste fundamentaalvorm in p van het zadeloppervlak M = {(x, y, z) R 3 ; z = xy} alsook de metrische coëfficiënten van M t.o.v. de Monge-parametrisatie. Bepaal de matrices [l ij ] en [L ij ]. 4. Beschouw de cilinder M = {(x, y, z) R 3 ; x + y = 1}. Beschrijf de Gaussafbeelding, de Weingartenafbeelding in p M; bepaal de tweede fundamentaalvorm in p, de hoofdkrommingen in p, de hoofdrichtingen in p, de Gausskromming in p en de gemiddelde kromming in p; klassificeer de punten van M.
7 7 5. klassificeer de punten van volgende oppervlakken: (a) de hyperbolische cilinder M = {(x, y, z) R 3 ; z = x y }, (b) de catenoïde (het omwentelingsoppervlak bekomen door wenteling om de z-as van de grafiek x = cosh z, (c) de torus {((a + r cos v) cos u, (a + r cos v) sin u, r sin v); u, v R}. 6. Beschouw de omwentelingsparaboloïde M = {(x, y, z) R 3 ; z = x + y }. (a) Bepaal de punten van M waarin beide hoofdkrommingen gelijk zijn. (b) Bepaal het beeld in S van de Gauss-afbeelding van M. 7. Klassificeer de punten van het oppervlak M = {(x, y, z) R 3 ; z = x + y }. Bepaal hoofdkrommingen en hoofdrichtingen in alle punten van M. 8. Beschouw het glad oppervlak M = {(x, y, z) R 3 ; z = (y x) } (a) Bepaal de verzameling P van alle parabolische punten van M. (b) Geef een reguliere weg β : R M met β(r) = P. (c) Bepaal het beeld van P door de Gaussafbeelding van M. (d) Bepaal de hoofdkrommingen en hoofdrichtingen in (1, 1, 0). 9. Beschouw het glad oppervlak M = {(x, y, z) R 3 ; x + y = z 3 } (a) Vind alle punten van M waarin het raakvlak loodrecht staat op de rechte x = z, y = 3 + x. (b) Klassificeer de punten van M. (c) Bepaal alle punten (x, y, z) R 3 die voldoen aan z 0 en die tevens behoren tot het beeld van de Gaussafbeelding van M. 10. Beschouw M = {(x, y, z) R 3 ; cos y = z x } (a) Toon dat M een oppervlak is en bepaal een globale familie van lokale parametrisaties. (b) Klassificeer de punten van M. 11. Zij M = F (R ) waarbij F (u, v) = (cosh v cos u, cosh v sin u, v). (a) Bewijs dat M een glad oppervlak is. (b) Is M oriënteerbaar? (c) Bepaal de hoofdrichtingen, hoofdkrommingen, Gausskromming en gemiddelde kromming van M in p M. (d) Klassificeer de punten van M.
Samenvatting theorie Meetkunde I
Meetkunde I Tweede bachelor wiskunde Samenvatting theorie Meetkunde I Auteurs: Stijn CAMBIE 1 samenvatting bewijzen (stelling 17) Zij p, q 2 punten van A n, zij {v 1, v 2 v n } een basis van T p A n en
Nadere informatieOefenzitting 2: Parametrisaties.
Oefenzitting : Parametrisaties. Modeloplossingen Oefening.5:. Beschouw vooreerst de cirkel C in het xz-vlak met straal r en middelpunt (x, y, z) = (R,, ) (zie Figuur ). De parametrisatie van C wordt dan
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 2 Ruimte en oppervlakken collegejaar : 18-19 college : 2 build : 5 september 2018 slides : 25 Vandaag Ruimte 1 Vectoren in R 3 recap 2 Oppervlakken 3 Ruimte 4 1 intro VA Voorkennis uit Ruimtewiskunde
Nadere informatie2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk
Nadere informatieOefeningen Wiskundige Analyse III
Oefeningen Wiskundige Analyse III Krommen en oppervlakken 1. Onderzoek (raaklijn, buigpunten, asymptoten, normaal, kromming, evolute, grafiek) de vlakke kromme met parametervergelijking: P (t) = a cosh
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatieExamenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode
Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Eerste examenperiode 2008-2009 Door rotatie van de rechte r die bepaald wordt door de punten P(3, 1, 2) en Q(1, 1, 2) omheen de rechte s die gaat door het punt
Nadere informatieDE AFWIKKELING VAN EEN AFGEKNOTTE KEGEL
DE AFWIKKELIG VA EE AFGEKOTTE KEGEL F. BRACKX VAKGROEP WISKUDIGE AALYSE UIVERSITEIT GET. PROBLEEMSTELLIG Beschouw de afgeknotte kegel die ontstaat door een rechte circulaire kegel te snijden met een vlak
Nadere informatieWI1708TH Analyse 3. College 5 23 februari Challenge the future
WI1708TH Analyse 3 College 5 23 februari 2015 1 Programma Vandaag Richtingsafgeleide (14.6) Gradiënt (14.6) Maximalisatie richtingsafgeleide (14.6) Raakvlak voor niveauoppervlakken (14.6) 2 Richtingsafgeleide
Nadere informatieMore points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
Nadere informatieZelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde
In onderstaande zelftest zijn de vragen gebundeld die als voorbeeldvragen zijn opgenomen in de bijhorende overzichten van de verwachte voorkennis wiskunde. Naast de vragen over strikt noodzakelijke voorkennis,
Nadere informatieExamen Meetkunde, 1ste bach ir wet Academiejaar , tweede examenperiode
Examen Meetkunde, 1ste bach ir wet Academiejaar 2006 2007, tweede examenperiode Vraag 1 De doorsnijdingskromme C van de volgende twee oppervlakken: het omwentelingskegeloppervlak K met de Z-as als omwentelingsas
Nadere informatieVoorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
Nadere informatiedx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π
Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)
Nadere informatieKWADRATISCHE VERGELIJKINGEN, HET GULDEN ZADELVLAK, EN DE REGELMATIGE VIJFHOEK.
KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN, HET, EN DE REGELMATIGE. VIÈTE Johan A.C. Kolk Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht Met medewerking van Rogier Bos Christelijk Gymnasium Utrecht & Freudenthal Instituut,
Nadere informatieDe parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor
Nadere informatieActief gedeelte - Maken van oefeningen
Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2
Nadere informatieAanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen
de Bachelor EIT 2de en de Bachelor Wiskunde Academiejaar 215-216 1ste semester 26 januari 216 Aanvullingen van de Wiskunde / Partiële Differentiaalvergelijkingen 1. Gegeven een homogene lineaire partiële
Nadere informatie(2) Stel een parametervoorstelling op van de doorsnijdingskromme van sfeer en cilinder in de voorkeurpositie.
Vraag op 5 punten de sfeer met middelpunt in,, 4 en straal 6; de omwentelingscilinder met straal 6 en als as de rechte door,, met richtingsvector,, Bepaal een affiene transformatie of een coördinatentransformatie,
Nadere informatieVoorbeeldopgaven Meetkunde voor B
Voorbeeldopgaven Meetkunde voor B Hoofdstuk 2: Opgave 2 1 Gegeven zijn de vlakken U : x + y + z = 0 en V : x y + az = 0 waarbij a een parameter is. a) Bereken de cosinus van de hoek tussen de twee vlakken
Nadere informatieMath D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #1 Uitwerking.
Math D Gauss Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: 14-144/FMHT/14161/14144-1A Oefententamen #1 Uitwerking Vraagstuk 1 Bereken de oppervlakte integraal F ˆn d, waarbij Fx, y, z) x î + y ĵ z ˆk en
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieExamenvragen eerste zittijd academiejaar Vraag 1 (op 6 punten) Gegeven:
Examenvragen eerste zittijd academiejaar 2010-2011 Vraag 1 (op 6 punten) de vectorruimte V = {A R 3 3 tr(a) = 0 en a 12 = a 21, a 13 = a 32, a 23 = a 31 }; de afbeelding T : V V, A A T A. (1) Toon aan
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Basiswiskunde, 2DL03, woensdag 1 oktober 2008, uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Basiswiskunde, DL3, woensdag oktober 8, 9.. uur. Geef op het eerste vel met uitwerkingen aan welk programma (Schakelprogramma
Nadere informatieHertentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:30 16:30
Hertentamen WIN12 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
Nadere informatie34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1.11 Vraagstukken Vraagstuk 1.11.1 Beschouw het beginwaardeprobleem = 2x (y 1), y(0) = y 0. Los dit beginwaardeprobleem op voor y 0 R en maak een
Nadere informatieIjkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback
IJkingstoets 5 september 04 - reeks - p. /0 Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 5 september 04: algemene feedback In totaal namen 5 studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 6 collegejaar : 8-9 college : 6 build : 2 oktober 28 slides : 38 Vandaag Minecraft globe van remi993 2 erhaalde 3 4 intro VA Drievoudige integralen Section 5.5 Definitie Een rechthoekig blok is
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatieOEFENTOETS VWO B DEEL 3
OEFENTOETS VWO B DEEL 3 HOOFDSTUK 0 MEETKUNDE MET VECTOREN OPGAVE Gegeven zijn de vectoren a, b en c die vanuit O de hoekpunten van driehoek ABC aanwijzen. Het punt P is het midden van AB, het punt Q is
Nadere informatieVlakke Meetkunde Les 3 Koordenvierhoeken en iso-hoeklijnen
Vlakke Meetkunde Les 3 Koordenvierhoeken en iso-hoeklijnen (Deze les sluit aan bij het paragraaf 3 en 4 van Vlakke Meetkunde van de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf de site
Nadere informatieKorte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B
Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Deze handleiding sluit aan op en is gedeeltelijk gelijk aan de handleidingen die gebruikt worden bij de cursussen Wiskunde 2 en 3 voor B. Er zijn
Nadere informatieOpgaven voor Tensoren en Toepassingen. 1 Metrieken en transformatiegedrag
Opgaven voor Tensoren en Toepassingen collegejaar 2009-2010 1 Metrieken en transformatiegedrag 1.1 Poolcoördinaten We bekijken het plaate tweedimensional vlak. Laat x µ (µ = 1, 2) Cartesische coördinaten
Nadere informatieICT - Cycloïden en andere bewegingen
ICT - Ccloïden en andere bewegingen bladzijde 80 a ( 0, ) b Als de middelpuntshoek radiaal is, is de bijbehorende booglengte: omtrek π π = meter. er seconde wordt er over radiaal gedraaid en wordt er dus
Nadere informatieCalculus I, 23/11/2015
Calculus I, /11/015 1. Beschouw de functie met a, b R 0. f = a + b + lne a Benoem het domein van de functie f. b Bepaal a en b zodat de rechte y = 1 een schuine asymptoot is voor f. c Voor a = en b = 1,
Nadere informatie12 Bewijzen in de vlakke meetkunde
ewijzen in de vlakke meetkunde bladzijde 54 a ' b Gegeven: e gelijkzijdige driehoek met zijn omgeschreven cirkel. unt ligt op de kortste boog en ligt op het verlengde van zo, dat =. riehoek is gelijkzijdig.
Nadere informatiewiskunde B vwo 2016-I
wiskunde vwo 06-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 13 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 41 Outline III.6 The Residue Theorem 1 III.6 The
Nadere informatieVectormeetkunde in R 3
Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie
Nadere informatieExamenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode
Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode 2008-2009 Een rechte conoïde met als richtrechte de X-as, en als richtoppervlak de sfeer met middelpunt in (0, 16, 0) en straal 9. (1) Stel
Nadere informatieHoofdstuk 2. Aanduiding 1: Aanduiding 2: Formule 1: Formule 2: s2 x = Formule 3: s x = Formule 4: X nieuw = X oud ± a betekent ook
Hoofdstuk 2 Aanduiding 1: X ij Aanduiding 2: Formule 1: Formule 2: s2 x = Formule 3: s x = Formule 4: X nieuw = X oud ± a betekent ook ± a Formule 5: X nieuw = bx oud betekent t X nieuw = X oud/b betekent
Nadere informatie13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.
Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu
Nadere informatieVergelijkingen van cirkels en lijnen
Vergelijkingen van cirkels en lijnen Rechthoekig coördinatenstelsel! Cartesisch coördinatenstelsel! René Descartes (1596-1650) Van hem is de uitspraak: Ik denk, dus ik besta! September 12, 2009 1 Vergelijkingen
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D2. Datum: dinsdag 29 april 28. Tijd: 14: 17:. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatie2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een
Nadere informatieParagraaf 10.1 : Vectoren en lijnen
Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 1 van 13 Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen Les 1 : Vectoren tekenen Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog. b Je kunt vectoren
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 15 september dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 15 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)
Nadere informatieInleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Nadere informatieVoorbeeldtentamen Wiskunde B
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Datum: Najaar 2018 Tijd: 3 uur Aantal opgaven: 6 Voorbeeldtentamen Wiskunde B Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.
Nadere informatieDefinitie van raaklijn aan cirkel: Stelling van raaklijn aan cirkel:
13.0 Voorkennis Op de cirkel liggen alle punten met een Gelijke afstand tot het middelpunt van de cirkel. Voor een punt p op de cirkel geldt d(p, M) = r Definitie van raaklijn aan cirkel: Een raaklijn
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatie1e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari y = u sin(vt) dt. wordt voorgesteld door de matrix
e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari 9. Opgave: Bereken dt ( q) als p = (, ), q = (, ) en p u+v x = e t dt T : (u, v) (x, y) : u y = u sin(vt) dt Oplossing:
Nadere informatieVoorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Oplossingen van 2016 Augustus Geel 2/1/2017 dr. Brenda Casteleyn Vraag 1. Als f(x) = e 4x-3, wat is dan f(1 ln (1/x))? e + ex 4 (ex) 4 e - x
Nadere informatieMachtsfuncties, Exponentiële, en Logaritmische Krommen
(HOOFDSTUK 1, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling; het deel
Nadere informatieAntwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen
1. Rekenen met complexe getallen 1.1 a. 9 b. 9 c. 16 d. i e. 1 1. a. 1 b. 3 c. 1 d. 4 3 e. 3 4 1.3 a. 3 i b. 3 i c. i d. 5 i e. 15 i 1.4 a. 33 i b. 7 i c. 4 3 i d. 3 5 i e. 5 3 i 1.5 a. 1 ± i b. ± i c.
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni Nummer vragenreeks: 1
IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni 206 Nummer vragenreeks: IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 29 juni 206 - reeks - p. /0 Oefening Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag
Nadere informatievergelijkingen 6.1 Systematisch onderzoek Inhoud P Q x Q Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-2 en vergelijkingen
Grafieken van functies en vergelijkingen Grafieken van functies 6-0 en vergelijkingen Grafieken van functies en vergelijkingen Inhoud 1. Sstematisch onderzoek van grafieken Conveiteit en uigpunten Asmptoten
Nadere informatie8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3
8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar
Nadere informatieEindexamen havo wiskunde B pilot 2013-I
Beoordelingsmodel Tornadoschalen maximumscore 80 km/u komt overeen met 77,8 m/s v = 77,8 invullen in de formule geeft F, Dus de intensiteit op de Fujita-schaal is maximumscore 4 De waarde van F is dan
Nadere informatieMath D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #2 Uitwerking
Math D Gauss Wiskunde leerlijn TOM Deelnemende Modules: 14-144/FMHT/14161/14144-1A Oefententamen # Uitwerking Vraagstuk 1. tel de doorsnijding van de oppervlakken x + y + z 4 en z 1. Van bovenaf bekijkt
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.10, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 23 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline 1 2 3 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieTopologie I - WPO. Prof. Dr. E. Colebunders
Topologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Academiejaar 2015-2016 Inhoudsopgave 1 Topologische ruimten 2 2 Metriseerbaarheid en aftelbaarheid 7 3 Convergentie en continuïteit 8 4 Separatie-eigenschappen
Nadere informatie1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie.
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Inleiding Y y p o θ r X fig In fig worden er op twee verschillende manieren coördinaten gegeven aan het punt p Een eerste
Nadere informatie14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:
14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64
Nadere informatieTopologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Dr. G. Sonck 24 september 2006
Topologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Dr. G. Sonck 24 september 2006 Inhoudsopgave 1 Topologische ruimten 2 2 Metriseerbaarheid en aftelbaarheid 7 3 Convergentie en continuïteit 8 4 Separatie-eigenschappen
Nadere informatiecompact weer te geven (ken ook een waarde toe aan n).
1 HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 2 - Oplossingen Opgave 1: Er geldt n 3 en we hebben de compacte uitdrukking y i a r i x r, waarbij we gebruik maken van de Einsteinsommatieconventie. a Schrijf
Nadere informatieBijkomende Oefeningen: Les 1
1 Inhoudstafel ijkomende Oefeningen: Les 1...2 ijkomende Oefeningen: Les 2...3 ijkomende Oefeningen: Les 3...4 ijkomende Oefeningen: Les 4...5 ijkomende Oefeningen: Les 5...6 ijkomende Oefeningen: Les
Nadere informatieV Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R. IV.0 Inleiding
V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R IV.0 Inleiding V. Homogene kwadratische vormen Een vorm als H (, ) = 5 4 + 8 heet een homogene kwadratische vorm naar de twee variabelen en. Een vorm als K (,
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 30 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 33 Outline 1 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 16 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline III.7 Applications of the Residue Theorem
Nadere informatieIjkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 30 juni 2014: algemene feedback
IJkingstoets juni 4 - reeks - p. / Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op juni 4: algemene feedback In totaal namen studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel ingenieur
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2017-II
Twee machten van maimumscore 5 f' ( ) = ln() + ln() Uit f' ( ) = volgt dat = Dus + = ( = ) Hieruit volgt = a+ a, met a =, moet minimaal zijn De vergelijking a = moet worden opgelost Dit geeft Hieruit volgt
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 995 996 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 30 punten
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 2019 tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieOEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE 1 (COLLEGE NAJAAR 2006). (z + 2i) 4 = 16. y 4y + 5y = 0 y(0) = 1, y (0) = 2. { 1 + xc 1 voor x > 0.
OEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE (COLLEGE NAJAAR 6).. Bepaal alle oplossingen van de vergelijking (z + i) 4 = 6 in het complee vlak. a. Schrijf het getal i in poolcoördinaten. b. Bereken de rechthoekige
Nadere informatieJe moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.
6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel
Nadere informatieParagraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatieAnalytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde
Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatieKwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.
1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:
Nadere informatievwo wiskunde b Baanversnelling de Wageningse Methode
1 1 vwo wiskunde b Baanversnelling de Wageningse Methode 1 1 2 2 Copyright 2018 Stichting de Wageningse Methode Auteurs Leon van den Broek, Ton Geurtz, Maris van Haandel, Erik van Haren, Dolf van den Hombergh,
Nadere informatie10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
10.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan
Nadere informatieAanvullingen van de Wiskunde
3de Bachelor EIT - de Bachelor Fysica Academiejaar 014-015 1ste semester 7 januari 015 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven is een lineaire partiële differentiaalvergelijking van orde 1: a 1 (x 1,,
Nadere informatie1.1 Differentiëren, geknipt voor jou
1.1 Differentiëren, geknipt voor jou Je hebt leren omgaan met hellings of, wat hetzelfde is: s. We frissen de begrippen en rekenmethoden die hierbij horen nu wat op. Stel dat je met een (gewone) schaar
Nadere informatiestap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen benaderd worden genoteerd (wel doorrekenen met exacte antwoorden).
Samenvatting door Sterre 1437 woorden 5 mei 2018 7.8 3 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Vocabulair Algebraïsch stap voor stap; zonder GR-functies; tussen- en eindantwoorden mogen
Nadere informatieTRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 11 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 11 23 oktober 2017 35 De sterrennacht Vincent van Gogh, 1889 1 2 3 4 5 Verband met de stelling van n 1 VA intro ection 16.7 Definitie Equation
Nadere informatieVISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding
VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt
Nadere informatieStudiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009
Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009 Inleiding In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boek Calculus, Early Transcendental Functions Robert T. Smith,
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B Profi
Wiskunde B Profi Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Donderdag 25 mei 3.30 6.30 uur 20 00 Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een
Nadere informatieToets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur
Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Groep (omcirkel): (Leids) studentnummer: A (Keijzer)
Nadere informatieOpgave 1.1. Geef een voorbeeld waaruit blijkt dat de doorsnede van oneindig veel open verzamelingen in een metrische ruimte niet open hoeft te zijn.
Opgaven bij het college Topologie 1 Metrische ruimten Opgave 1.1. Geef een voorbeeld waaruit blijkt dat de doorsnede van oneindig veel open verzamelingen in een metrische ruimte niet open hoeft te zijn.
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 5 december, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc.
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 5 december, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Vectorvoorstelling Lijn: x = b +
Nadere informatieTussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde.
Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Dinsdag 9 maart 2010, 9.00-11.00. Het gebruik van een rekenmachine is toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een berekening of redenering.
Nadere informatieSamenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van
Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =
Nadere informatie