Ruimtewiskunde. college 3 Lijnen, vlakken en oppervlakken in de ruimte. Vandaag

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Ruimtewiskunde. college 3 Lijnen, vlakken en oppervlakken in de ruimte. Vandaag"

Transcriptie

1 college 3 Lijnen, vlakken en in de collegejaar : college : 3 build : 6 juni 2017 slides : 37 Vandaag 1 Lijnen 2 Vlakken 3 4 Toepassing: perspectivische.16-17[3] 1 vandaag

2 Lijnen in het platte vlak herhaling Een lijn in R 2 wordt gedefinieerd door een vergelijking van de vorm l: ax + by = c ( * ) met a, b en c reële getallen. l y ax + by = c x Onthoud De lijn l bestaat uit de punten die voldoen aan vergelijking (*): l = {(x, y) ax + by = c}. Vergelijking (*) is lineair. Lijnen in R 2 zijn oplossingsverzamelingen van lineaire vergelijkingen [3] 2 l2/1 Parametrisatie herhaling Een parametrisatie van de lijn l is een functie r: R R 2 zodat r(t) alle punten van l doorloopt als t de reële getallen doorloopt. l y(t) y r(t) x(t) Het getal t heet de parameter. De lijn l is de verzameling van alle beeldpunten r(t): l = {r(t) t R}. De functie r(t) heeft twee componenten die ieder van t afhangen: r(t) = x(t), y(t) [3] 3 l2/2

3 Van vergelijking naar parametrisatie herhaling Gegeven is de lijn l: 2x + 3y = 6. Bepaal een parametrisatie van l. Kies x als parameter: t = x. Los y op uit de vergelijking 2t + 3y = 6: y = 6 2t = t. Een parametrisatie van l is l: r(t) = t, t, t R. t x(t) y(t) r(t) , , , y t = 0 l t = t = 3 x.16-17[3] 4 l2/3 Van parametrisatie naar vergelijking Bepaal een vergelijking voor de lijn l: 3t, 2 2t, t R. herhaling De parametrische vergelijkingen zijn { x = 3t, y = 2 2t. Elimineer t: uit de eerste parametrische vergelijking volgt t = x 3. Uit de tweede parametrische vergelijking volgt y = x, 3 3y = 6 2x, 2x + 3y = [3] 5 l2/4

4 Steun- en richtingsvector Stelling Voor iedere lijn l bestaan er getallen p 1, p 2, v 1 en v 2 zodat r(t) = p 1 + v 1 t, p 2 + v 2 t t R. De vectorfunctie r(t) kun je ook als volgt schrijven: r(t) = p 1, p 2 + t v 1, v 2. De vector p = p 1, p 2 heet een steunvector van l. De vector v = v 1, v 2 heet een richtingsvector van l. Definieer q = r(1), dan r(1) = p + v, dus v = q p. l y p = r(0) q = r(1) De geparametriseerde vectorvoorstelling van l is l: r(t) = p + tv t R. v v x.16-17[3] 6 l2/5 Steun- en richtingsvector Bepaal een steun- en een richtingsvector van de lijn l: 2x + 3y = 6, en geef de geparametriseerde vectorvoorstelling van l. Een parametrisatie van l is l: r(t) = t, t, t R. Herschrijf r(t): r(t) = 0, 2 + t Kies als steun- en richtingsvector p = 0, 2 en v = 1, , y p = r(0) q = r(1) v v 1 l 2 3 x.16-17[3] 7 l2/6

5 Steun- en richtingsvector Geef een parametrisatie en een vergelijking van de lijn l die door de punten P = ( 1, 1) en Q = (1, 3) gaat. Defineer p = 1, 1 en q = 1, 3. Defineer v = q p = 2, 4, dan is een parametrisatie l: r(t) = p + tv = 1, 1 + t 2, 4 = 2t 1, 4t 1. De parametrische vergelijkingen zijn { x = 2t 1, y = 4t 1, dus t = x+1 2. Invullen in de tweede vergelijking geeft y = 2(x + 1) 1 = 2x + 1 oftewel y 2x = [3] 8 l2/7 Section 12.5 Stel p en v 0 zijn vectoren. De parametervoorstelling van de lijn door p en evenwijdig aan v is r(t) = p + tv, t R. Met door p bedoelen we: door het eindpunt van de standaardvector van p, met andere woorden door het punt P waarbij p = OP. #» De vector p heet een steunvector en de vector v heet een richtingsvector van de lijn. Als r(t) = f (t), g(t), h(t), dan heten de vergelijkingen x = f (t), y = g(t), z = h(t) de parametrische vergelijkingen van de lijn [3] 9 l3/1

6 Example 1 Bepaal de parametrische vergelijkingen van de lijn l door ( 2, 0, 4) in de richting v = 2i + 4j 2k = 2, 4, 2. Defineer p = P 0 = 2, 0, 4. Een parametrisatie van l is l: r(t) = p + tv = 2, 0, 4 + t 2, 4, 2 = 2t 2, 4t, 4 2t. De parametrische vergelijkingen van l zijn x = 2t 2, y = 4t, z = 4 2t, t R [3] 10 l3/2 Example 2 Bepaal de parametrische vergelijkingen van de lijn l door P = ( 3, 2, 3) en Q = (1, 1, 4). Definieer p = OP #» = 3, 2, 3 en v = PQ #» = 1, 1, 4 3, 2, 3 = 4, 3, 7. Een parametrisatie van l is l: r(t) = p + tv = 3, 2, 3 + t 4, 3, 7 = 4t 3, 2 3t, 7t 3. De parametrische vergelijkingen van l zijn x = 4t 3, y = 2 3t, z = 7t 3, t R [3] 11 l3/3

7 Parametrisatie van een lijn in de Samenvatting Een parametrisatie van de lijn door een punt P evenwijdig aan een vector v 0 is p + tv, t R, met steunvector p = #» OP en richtingsvector v. Een parametrisatie van de lijn door twee punten P en Q is p + tv, t R met steunvector p = OP #» en richtingsvector v = PQ. #» Waarschuwing Parametrisaties zijn niet uniek: Ieder punt op de lijn kan als steunvector worden gekozen. Iedere niet-nul vector evenwijdig aan de lijn kan als richtingsvector worden gekozen [3] 12 l3/4 Lijnstukken Example 3 Bepaal een parametrisatie van het lijnstuk met eindpunten P = ( 3, 2, 3) en Q = (1, 1, 4). Een parametrisatie van de lijn door P en Q is r(t) = 4t 3, 2 3t, 7t 3. Er geldt P = r(0) en Q = r(1); De parametrische vergelijkingen van het lijnstuk zijn x = 4t 3, y = 2 3t, z = 7t 3, 0 t [3] 13 l3/5

8 Afstand tot een lijn Probleem h u P θ S d v proj v u Gegeven zijn een punt S en een lijn l door het punt P en met richtingsvector v. Bepaal de afstand d van S tot l. l Oplossing 1: Werkt in R n voor iedere n Oplossing 2: Werkt alleen in R 3 Bepaal de lengte van de normale component van u = PS #» langs v: d = h = u u v v v v Gebruik het uitwendig product: d = u sin θ = u v. Formule (5) v.16-17[3] 14 l3/6 Afstand tot een lijn Example 5 Bepaal de afstand van S = (1, 1, 5) tot de lijn l : x = 1 + t, y = 3 t, z = 2t. Methode 1: Definieer P = (1, 3, 0), p = OP #» = 1, 3, 0 en v = 1, 1, 2, dan l : p + tv (t R). Definieer u = PS #» = 1, 1, 5 1, 3, 0 = 0, 2, 5. u v = = 12 en v v = 1 2 +( 1) = 6. De afstand is d = u u v v v v = 0, 2, , 1, 2 6 = 2, 0, 1 = ( 2) = [3] 15 l3/7

9 Afstand tot een lijn Example 5 Bepaal de afstand van S = (1, 1, 5) tot de lijn l : x = 1 + t, y = 3 t, z = 2t. Methode 2: Definieer P = (1, 3, 0), p = OP #» = 1, 3, 0 en v = 1, 1, 2, dan l : p + tv (t R). Definieer u = PS #» = 1, 1, 5 1, 3, 0 = 0, 2, 5. v v = 1 2 +( 1) = 6, dus v = 6. u v = 0, 2, 5 1, 1, 2 = 1, 5, 2. De afstand is u v d = = v = 30 6 = [3] 16 l3/8 Een vlak in R 3 wordt gedefinieerd door een vergelijking van de vorm M : ax + by + cz = d met a, b, c en d reële getallen. en: Het vlak M 1 gedefinieerd door M 1 : x + y + z = 1 gaat door de punten (1, 0, 0), (0, 1, 0) en (0, 0, 1). Het vlak M 2 gedefinieerd door M 2 : x + y + z = 0 gaat door O en is evenwijdig aan M 1. Het vlak M 3 gedefinieerd door M 3 : 2y = 3 is het vlak door (0, 3/2, 0) evenwijdig aan het xz-vlak [3] 17 v3/1

10 Steunvectoren Een steunvector van een vlak M is een vector p = OP #» met P een punt van M. Stel M wordt gedefinieerd door ax + by + cz = d, en stel P = (x 0, y 0, z 0 ) M, dan geldt ax 0 + by 0 + cz 0 = d, dus a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 voor alle (x, y, z, ) in M. De vergelijking a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 heet de vectorvergelijking van M [3] 18 v3/2 Normaalvectoren Een normaalvector van een vlak M is een vector n 0 die loodrecht staat op M. Stel M wordt gedefinieerd door de vectorvergelijking a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0, dan geldt a, b, c x x 0, y y 0, z z 0 = a, b, c ( x, y, z x 0, y 0, z 0 ) = 0 voor alle (x, y, z, ) in M. Definieer x = x, y, z, p = x 0, y 0, z 0 en n = a, b, c, dan geldt n (x p) = 0 voor alle x in M. De vergelijking n (x p) = 0 heet de normaalvergelijking van M [3] 19 v3/3

11 De normaalvergelijking Stelling Stel M wordt gegeven door de normaalvergelijking n (x p) = 0 waarbij n een normaalvector van M is, en p = x 0, y 0, z 0 een steunvector. Als X = (x, y, z) een punt van M is dan geldt n PX. #» Merk op dat #» PX = x p [3] 20 v3/4 De normaalvergelijking Section 12.5, example 6 Bepaal een vergelijking van het vlak M door ( 3, 0, 7) loodrecht op n = 5, 2, 1. Definieer p = 3, 0, 7, dan geeft de normaalvergelijking n (x p) = 0 na invullen: oftewel 5, 2, 1 ( x, y, z 3, 0, 7 ) = 0, 5, 2, 1 x ( 3), y 0, z 7 = 0. De vectorvergelijking van M is dus 5(x + 3) + 2y (z 7) = 0. Vereenvoudigen geeft 5x + 2y z = [3] 21 v3/5

12 De normaalvergelijking Bepaal een normaalvergelijking voor het vlak M : y 2z = 4. NB NB Schrijf de vergelijking als volgt: 0 x + 1 y + ( 2) z = 4. Een normaal is n = 0, 1, 2. De componenten van n zijn de coëfficiënten van de vergelijking. Voor een punt P in het vlak kies je x = z = 0. Dan geldt y = 4, dus P = (0, 4, 0), dus een steunvector is p = 0, 4, 0. Een normaalvergelijking van M is 0, 1, 2 (x 0, 4, 0 ) = 0. Ieder punt van M kan als steunvector worden gebruikt, bijvoorbeeld p = 1, 6, [3] 22 v3/6 Een vlak door drie punten Example 7 Bepaal een vergelijking voor het vlak door de punten A = (0, 0, 1), B = (2, 0, 0) en C = (0, 3, 0). Kies als steunvector a = #» OA = 0, 0, 1. Neem als normaalvector n = AB #» AC #» = 2, 0, 1 0, 3, 1 = 3, 2, 6. De normaalvergelijking wordt dan n (x a) = 3, 2, 6 x 0, y 0, z 1 = 3x 2y + 6(z 1) = 0. Vereenvoudigen geeft de vergelijking 3x + 2y + 6z = [3] 23 v3/7

13 Afstand van een punt tot een vlak Stelling Stel het vlak M wordt gegeven door de normaalvergelijking n (x p) = 0, waarbij p = OP #» met P een punt van M. Stel S is een punt in de, dan is de afstand van S tot M gelijk aan d = #» PS n n. De afstand d is gelijk aan de lengte van de van #» PS op n [3] 24 v3/8 Afstand van een punt tot een vlak Example 11 Bepaal de afstand van S = (1, 1, 3) tot het vlak M : 3x + 2y + 6z = 6. Het punt P = (0, 3, 0) is een punt van M. Een normaal van M is n = 3, 2, 6. n = = 49 = 7. #» PS = 1, 1, 3 0, 3, 0 = 1, 2, 3. #» PS n = ( 2) = 17. d = PS #» n n = [3] 25 v3/9

14 Snijlijn van twee vlakken Stelling Twee niet-samenvallende vlakken die verschillend geörienteerd zijn snijden elkaar in een lijn. Verschillend geörienteerd wil zeggen: de normalen van beide vlakken hebben een verschillende richting. Stel de vlakken heten M en N, dan noteren we de snijlijn als volgt: l = M N. Een lijn in de kan dus ook worden gegeven als snijlijn van twee vlakken, oftewel als de oplossingsverzameling van twee vergelijkingen: { ax + by + cz = d, l: px + qy + rz = s [3] 26 v3/10 Snijlijn van twee vlakken Example 8+9 Geef een parametrisatie voor de snijlijn van de vlakken 3x 6y 2z = 15 en 2x + y 2z = 5. Methode 1: Uit de eerste vergelijking volgt x = 2y z + 5. Invullen in de tweede vergelijking geeft ) 2 (2y z y 2z = 5, en na vereenvoudigen wordt dit z = 15 2 y Eén van de onbekenden is vrij te kiezen. Stel y = t, dan z = 15 2 t en ) x = 2t + 3( t = 7t Een parametrisering van de snijlijn is r(t) = 7t + 10, t, 15 2 t , t R [3] 27 v3/11

15 Snijlijn van twee vlakken Methode 2: De respectievelijke normaalvectoren n 1 en n 2 staan loodrecht op de snijlijn, dus het uitwendig product van n 1 en n 2 is een richtingsvector van de snijlijn. De normaalvectoren lees je af uit de vergelijkingen: M 1 : 3x 6y 2z = 15, n 1 = 3, 6, 2, M 2 : 2x + y 2z = 5, n 2 = 2, 1, 2, dus v = n 1 n 2 = 14, 2, 15. Een steunvector vind je door voor bijvoorbeeld z een waarde te kiezen, en dan beide vergelijkingen op te lossen [3] 28 v3/12 Snijpunt van een lijn en een vlak zelfstudie Example 10 De lijn l is gegeven door de parametrisatie x = t, y = 2t, z = 1 + t, t R. Bepaal het snijpunt van l en het vlak 3x + 2y + 6z = 6. Stel het snijpunt is x 0 = t, 2t, 1 + t. (1) Het punt x 0 ligt op het vlak, dus geldt 3 ( t) + 2( 2t) + 6(1 + t) = 6. Los t op uit deze vergelijking: 8 + 6t 4t t = 6, hieruit volgt t = 1. Het snijpunt krijg je door t = 1 in te vullen in (1): x 0 = 2 3, 2, [3] 29 v3/13

16 Hoek tussen twee vlakken De hoek tussen twee vlakken is gedefinieerd als de scherpe hoek tussen de respectievelijke normaalvectoren van beide vlakken. zelfstudie Example 10 Bepaal de hoek tussen de vlakken 3x 6y 2z = 15 en 2x + y 2z = 5. De normalen zijn n 1 = 3, 6, 2 en n 2 = 2, 1, 2. De hoek tussen de vlakken is ( ) n1 θ = arccos n 2 = arccos (4/21) 79. n 1 n [3] 30 v3/14 Parametervoorstelling van een vlak Een parametervoorstelling van het vlak M is een functie van de vorm p + sv + tw, s, t R De vector p heet de steunvector van de parametrisatie, en de vectoren v en w heten richtingsvectoren [3] 31 v3/15

17 Parametervoorstelling van een vlak Example 7 Bepaal een parametervoorstelling voor het vlak door de punten A = (0, 0, 1), B = (2, 0, 0) en C = (0, 3, 0). Kies als steunvector a = OA #» = 0, 0, 1. Neem als richtingsvectoren v = AB #» = 2, 0, 1 en w = AC #» = 0, 3, 1. Een parametrisering wordt dan r(s, t) = a + sv + tw = 0, 0, 1 + s 2, 0, 1 + t 0, 3, 1 = 2s, 3t, 1 s t, s, t R. Parametrische vergelijkingen: x = 2s y = 3t z = 1 s t Er geldt: A = r(0, 0), B = r(1, 0) en C = r(0, 1) [3] 32 v3/16 Samenvatting Lijnen en vlakken Een lijn in R 2 wordt gedefinieerd met 1 vergelijking: ax + by = c, of met een parametrisatie met 1 parameter: p + tv, t R. Een vlak in R 3 wordt gedefinieerd met 1 vergelijking: ax + by + cy = d, of met een parametrisatie met 2 parameters: p + sv + tw, s, t R. Een lijn in R 3 wordt gedefinieerd met 2 vergelijkingen: { ax + by + cz = d, px + qy + rz = s, of met een parametrisatie met 1 parameter: p + tv, t R [3] 33 v3/17

18 Samenvatting Afstanden en hoeken In R n is de afstand van een punt S tot een lijn p + tv met p = OP #» gelijk aan u u v v v v #», waarbij u = PS. In R 3 is de afstand van een punt S tot een lijn p + tv met p = OP #» is gelijk aan PS v #» v. De afstand van S tot een vlak met normaalvector n en steunvector p = OP #» is gelijk aan PS #» n. n De hoek tussen twee vlakken met normaalvectoren n 1 respectievelijk n 2 is gelijk aan ( ) arccos n1 n 2 n 1 n [3] 34 v3/18 Section 12.6 Een paraboloïde is een oppervlak gedefinieerd door de vergelijking x 2 a 2 + y2 b 2 = z, met a > 0, b > 0 en c > 0. c.16-17[3] 35 ko/1

19 Ellipsoïde Een ellipsoïde is een oppervlak gedefinieerd door de vergelijking x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 = 1, met a > 0, b > 0 en c > 0. c [3] 36 ko/2 Section 12.5, exercise 73 z l P = r(t 0 ) = (0, y, z) y P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) x (x 0, 0, 0) De lijn l wordt als volgt geparametriseerd: l : r(t) = x 0, 0, 0 + t x 1 x 0, y 1, z 1, t R. Het snijpunt met het yz-vlak is P =r(t 0 ) met t 0 = x 0 x 0 x 1. Voor het punt P = (0, y, z) geldt y = t 0 y 1 = x 0y 1 x 0 x 1 en z = t 0 z 1 = x 0z 1 x 0 x [3] 37 pp/1

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl 2015-2016 Lijn in het vlak 2/37 Een lijn in het vlak wordt

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden

Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode:

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

Ruimtemeetkunde deel 1

Ruimtemeetkunde deel 1 Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen

Nadere informatie

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] 9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college. Het inwendig- en het uitwendig product. Vandaag. Hoeken Orthogonaliteit en projecties. Toepassing: magnetische velden

Ruimtewiskunde. college. Het inwendig- en het uitwendig product. Vandaag. Hoeken Orthogonaliteit en projecties. Toepassing: magnetische velden college 2 - en het uitwendig collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 2 30 mei 207 30 2 3 4 5 Hoeken Orthogonaliteit en projecties Toepassing: magnetische velden.6-7[2] vandaag meetkundig Section

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen

Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 1 van 13 Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen Les 1 : Vectoren tekenen Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog. b Je kunt vectoren

Nadere informatie

Voorbeeldopgaven Meetkunde voor B

Voorbeeldopgaven Meetkunde voor B Voorbeeldopgaven Meetkunde voor B Hoofdstuk 2: Opgave 2 1 Gegeven zijn de vlakken U : x + y + z = 0 en V : x y + az = 0 waarbij a een parameter is. a) Bereken de cosinus van de hoek tussen de twee vlakken

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college. Stelsels lineaire vergelijkingen. Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. Stelsels lineaire vergelijkingen.

Ruimtewiskunde. college. Stelsels lineaire vergelijkingen. Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. Stelsels lineaire vergelijkingen. college 4 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 16-17 4 29 maart 217 38 1 2 3.16-17[4] 1 vandaag Vectoren De notatie (x 1, x 2,..., x n ) wordt gebruikt voor het punt P met coördinaten (x 1,

Nadere informatie

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b, UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december 2012. Meetkunde

Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december 2012. Meetkunde Vlakke Ruimtemeetkunde 1 december 2012 Vlakke Ruimtemeetkunde 1 Vlakke Vectoren Vergelijking van een rechte 2 Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rechte Vlakke Ruimtemeetkunde

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 11 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 11 23 oktober 2017 35 De sterrennacht Vincent van Gogh, 1889 1 2 3 4 5 Verband met de stelling van n 1 VA intro ection 16.7 Definitie Equation

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 1 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 1 25 september 214 28 1 2 3 4 otatie Green De wet van Faraday 1 VA vandaag 4.5.6 ection 16.7 telling Vergeleijking (4.62) Theorem 6 Het

Nadere informatie

Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken

Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier

Nadere informatie

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten. WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de

Nadere informatie

De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk

De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk In het vorige college hebben jullie gezien wat R 2 (het vlak) is. Een vector v R 2 is een paar v = (x,y) van reële getallen. Voor vectoren v = (a,b) en w = (c,d) in

Nadere informatie

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 7 les 2

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 7 les 2 Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO lok 7 les Paragraaf Loodrechte stand en inproduct Opgave De lijnen HM En BD snijden elkaart, want ze liggen eide in het vlak door de punten H, D, B en M Ze snijden elkaar

Nadere informatie

HOEKEN, AFSTANDEN en CIRKELS IN Klas 5N Wiskunde 6 perioden

HOEKEN, AFSTANDEN en CIRKELS IN Klas 5N Wiskunde 6 perioden HOEKEN, AFSTANDEN en CIRKELS IN Klas 5N Wiskunde 6 erioden INHOUD. Het inroduct van vectoren... 3. De normaalvector van een lijn... 3. DE AFSTAND VAN TWEE PUNTEN.... 5. De afstand van een unt tot een lijn...

Nadere informatie

15 Uitwerkingen Lineaire Algebra

15 Uitwerkingen Lineaire Algebra 5 Uitwerkingen Lineaire lgebra 5 Uitwerkingen hoofdstuk s Figuur 5: De som van twee vectoren b a d c Figuur 5: Het verschil van twee vectoren v d Figuur 5: De vector van naar c a + b b b c b + c a a a

Nadere informatie

Vectormeetkunde in R 3

Vectormeetkunde in R 3 Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

5 Lijnen en vlakken. Verkennen. Uitleg

5 Lijnen en vlakken. Verkennen. Uitleg 5 Lijnen en vlakken Verkennen Lijnen en vlakken Inleiding Verkennen Bekijk de applet. Je ziet hoe een vlak kan worden beschreven met behulp van een vergelijking in x, en z. In de applet kun je de drie

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is. 3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2

Lijnen en vlakken in. Klas 6N en 7N Wiskunde 5 perioden Kees Temme Versie 2 Lijnen en vlkken in Kls N en N Wiskunde perioden Kees Temme Versie . Coördinten in R³.... De vergelijking vn een vlk ().... De vectorvoorstelling vn een lijn.... De vectorvoorstelling vn een vlk... 8.

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

Lijnen, vlakken, normaalvector, shading

Lijnen, vlakken, normaalvector, shading Lijnen, vlakken, normaalvector, shading Inproduct (dotproduct Parametervoorstelling en vergelijking Uitproduct (crossproduct Normaalvector Flat shading en Gouraud shading Opgaven /7 Februari, 05 Definitie

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college en scalarelden in R Vandaag collegejaar college build slides : : : : 4-5 7 augustus 4 33 Coördinatenstelsels in R VA andaag Voorkennis Zelf bestuderen uit.,. en.3: ptellen en scalair ermeniguldigen

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 14 Rechten en vlakken (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 14 Rechten en vlakken (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 14 Rechten en vlakken (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Parametervergelijking van rechten en vlakken door de oorsprong 1 2 Cartesiaanse vergelijking

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 6 van een vectorveld collegejaar college build slides Vandaag : : : : 14-15 6 22 september 214 51 1 2 3 4 5 Gradiënt van een vectorveld 1 VA vandaag Section 16.2 Hoofdstu 4 Definitie Een vectorveld

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12)

Lineaire Algebra (2DD12) Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

6 Ligging. Verkennen. Uitleg

6 Ligging. Verkennen. Uitleg 6 Ligging Verkennen Ligging Inleiding Verkennen Door in de applet het assenstelsel te draaien kun je nagaan of twee lijnen een snijpunt hebben. Je kunt ook andere lijnen proberen door de punten A, B, C

Nadere informatie

uuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur

uuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur 4 Van D naar 3D Verkennen Van D naar 3D Inleiding Verkennen Bekijk de applet. Met de rechter muisknop kun je het assenstelsel om de oorsprong draaien en de fig van alle kanten bekijken. Beantwoord nu de

Nadere informatie

7 Totaalbeeld. Samenvatten. Achtergronden. Testen

7 Totaalbeeld. Samenvatten. Achtergronden. Testen 7 Totaalbeeld Samenvatten Je hebt nu het onderwerp "Vectormeetkunde" doorgewerkt. Er moet een totaalbeeld van deze leerstof ontstaan... Ga na, of je al de bij dit onderwerp horende begrippen kent en weet

Nadere informatie

Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B

Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Deze handleiding sluit aan op en is gedeeltelijk gelijk aan de handleidingen die gebruikt worden bij de cursussen Wiskunde 2 en 3 voor B. Er zijn

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

1e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari y = u sin(vt) dt. wordt voorgesteld door de matrix

1e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari y = u sin(vt) dt. wordt voorgesteld door de matrix e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari 9. Opgave: Bereken dt ( q) als p = (, ), q = (, ) en p u+v x = e t dt T : (u, v) (x, y) : u y = u sin(vt) dt Oplossing:

Nadere informatie

Aantekening VWO 6 Wis D Hfst 9 : Lijnen en Cirkels. Het voordeel van de laatste is dat (a,0) en (0,b) de snijpunten met de assen zijn!!

Aantekening VWO 6 Wis D Hfst 9 : Lijnen en Cirkels. Het voordeel van de laatste is dat (a,0) en (0,b) de snijpunten met de assen zijn!! Aantekening VWO 6 Wis D Hfst 9 : Lijnen en Cirkels Les 1 Lijnen Een lijn kun je op verschillende manieren weergeven = a + b p + q = r 1 (niet zelfde a en b van manier 1) a b Het voordeel van de laatste

Nadere informatie

Het opstellen van een lineaire formule.

Het opstellen van een lineaire formule. Het opstellen van een lineaire formule. Gegeven is onderstaande lineaire grafiek (lijn b). Van deze grafiek willen wij de lineaire formule weten. Met deze formule kunnen we gaan rekenen. Je kan geen lineaire

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 28 november, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc.

College WisCKI. Albert Visser. 28 november, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc. College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 28 november, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Vectorvoorstelling Lijn: x = b + λa. b is steunvector

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud

Ruimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud college 6 en lineaire collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 6 9 juni 27 3 2 3 van een matrix Toepassing: oppervlakte en inhoud.6-7[6] vandaag van de 2 2-matrix a b c d is gelijk aan ad bc.

Nadere informatie

Ruimtemeetkunde. (http://www.boredpanda.com/3d-lines-notepad-drawings-15-years-old-joao-carvalho/)

Ruimtemeetkunde. (http://www.boredpanda.com/3d-lines-notepad-drawings-15-years-old-joao-carvalho/) Ruimtemeetkunde (http://wwwboredpandacom/3d-lines-notepad-drawings-5-years-old-joao-carvalho/) ) Herhaling a) Grondbegrippen en notaties In de ruimtemeetkunde zijn de bouwstenen punten, rechten en vlakken

Nadere informatie

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014 Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 12 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 12 4 september 217 3 ail Training Vessel 263 tad Amsterdam 1 2 3 4 stelling van Gauss stelling van Green Conservatieve vectorvelden 1 VA

Nadere informatie

CIRKELS EN BOLLEN. Klas 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme

CIRKELS EN BOLLEN. Klas 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme CIRKELS EN BOLLEN Kls 7N Wiskunde 5 perioden K. Temme INHOUDSOPGAVE. DE VERGELIJKING VAN EEN BOL.... DE SNIJCIRKEL VAN EEN BOL EN EEN VLAK... 5. DE CIRKEL DOOR PUNTEN... 7. DE BOL DOOR GEGEVEN PUNTEN...

Nadere informatie

héöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = =

héöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = = héöéäëåéçéå~äëãééíâìåçáöééä~~íëéåãéí`~äêá hçéåpíìäéåë De algemene vergelijking van een kegelsnede is van de vorm : 2 2 ax by 2cxy 2dx 2ey f 0 met a, b, c, d, e, f + + + + +. Indien je vijf punten van een

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ²

Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ² 1 Herhaling 1.1 Het vlak, punten, afstand, midden Opdracht: Teken in het vlak de punten: A ( 1, 2) B(3,6) C( 5,7) Bepaal de coördinaat van het midden van (lijnstuk) [A B]: M [B C ]: N Bepaal de afstand

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. . Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn

Nadere informatie

Lijnen en vlakken. Lijnen in het vlak. Aansluitingsproject Wiskunde en Chemisch Rekenen, 6BP00 Wiskunde, 6BP20 Cursus a - b.

Lijnen en vlakken. Lijnen in het vlak. Aansluitingsproject Wiskunde en Chemisch Rekenen, 6BP00 Wiskunde, 6BP20 Cursus a - b. Lijnenvlak.nb Lijnen en vlakken Aansluitingsproject Wiskunde en Chemisch Rekenen, 6BP Wiskunde, 6BP Cursus 7-8 Zowel in vlak als in ruimte is de vector BA is gelijk aan de verschilvector a - b. a A a -

Nadere informatie

Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden

Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Hoofdstuk 1 Formules, grafieken en vergelijkingen (H4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Les 1 Lineaire verbanden Definitie lijn Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = richtingscoëfficiënt

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig

Nadere informatie

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde

Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Oefenzitting 2: Parametrisaties.

Oefenzitting 2: Parametrisaties. Oefenzitting : Parametrisaties. Modeloplossingen Oefening.5:. Beschouw vooreerst de cirkel C in het xz-vlak met straal r en middelpunt (x, y, z) = (R,, ) (zie Figuur ). De parametrisatie van C wordt dan

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A. TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Meetkunde en Algebra Een korte beschrijving van de inhoud

Meetkunde en Algebra Een korte beschrijving van de inhoud Meetkunde en Algebra Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige

Nadere informatie

2.1 Lineaire functies [1]

2.1 Lineaire functies [1] 2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1

CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 CTB100 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 5 5 februari 014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8 Voor de pauze: hoofdstuk 1.7 Na de pauze: hoofdstuk 1.8 Verschillende notaties

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen

Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Les 0 (Extra) Aant. Voorkennis: Hoeken en afstanden Theorie A: Sinus, Cosinus en tangens O RHZ tan A = A RHZ O RHZ sin A = SZ A RHZ cos A = SZ Afspraak: Graden afronden

Nadere informatie

Hoofdstuk 12 : Vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden.

Hoofdstuk 12 : Vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden. - 239 - Naam:... Klas:... Hoofdstuk 12 : Vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden. Eventjes herhalen!!! Voor een vergelijking van de eerste graad, herleid op nul, is het linkerlid een veelterm

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Math D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #2 Uitwerking

Math D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #2 Uitwerking Math D Gauss Wiskunde leerlijn TOM Deelnemende Modules: 14-144/FMHT/14161/14144-1A Oefententamen # Uitwerking Vraagstuk 1. tel de doorsnijding van de oppervlakken x + y + z 4 en z 1. Van bovenaf bekijkt

Nadere informatie

(2) Stel een parametervoorstelling op van de doorsnijdingskromme van sfeer en cilinder in de voorkeurpositie.

(2) Stel een parametervoorstelling op van de doorsnijdingskromme van sfeer en cilinder in de voorkeurpositie. Vraag op 5 punten de sfeer met middelpunt in,, 4 en straal 6; de omwentelingscilinder met straal 6 en als as de rechte door,, met richtingsvector,, Bepaal een affiene transformatie of een coördinatentransformatie,

Nadere informatie

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus ook weergegeven met XY. Verder zullen we de volgende notatie

Nadere informatie

Cabri werkblad Lineaire transformaties met Cabri

Cabri werkblad Lineaire transformaties met Cabri Cabri werkblad Lineaire transformaties met Cabri Doel Introductie tot lineaire transformaties in het platte vlak op basis van matrices, met gebruikmaking van het programma Cabri Geometry II (of Plus).

Nadere informatie

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10 FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper

Nadere informatie

Cabri werkblad Lineaire transformaties met Cabri

Cabri werkblad Lineaire transformaties met Cabri Cabri werkblad Lineaire transformaties met Cabri Doel Introductie tot lineaire transformaties in het platte vlak op basis van matrices, met gebruikmaking van het programma Cabri Geometry II (of Plus).

Nadere informatie

1. INLEIDING: DE KOERS VAN EEN BOOT

1. INLEIDING: DE KOERS VAN EEN BOOT KLAS 4N VECTOREN . INLEIDING: DE KOERS VAN EEN BOOT. Boot vaart van Roe naar Tui via Rul. De koersgegevens zijn: van Roe naar Rul: 0, 5 km van Rul naar Tui: 40, 5 km a. Wat zijn de koersgegevens als de

Nadere informatie

Vectorruimten en deelruimten

Vectorruimten en deelruimten Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie

Nadere informatie

Een korte beschrijving van de inhoud

Een korte beschrijving van de inhoud Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige toepassingen op

Nadere informatie

Meetkundige ongelijkheden Groep A

Meetkundige ongelijkheden Groep A Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

Overzicht meetkunde. Driehoeksmeetkunde. Stelling van Pythagoras.

Overzicht meetkunde. Driehoeksmeetkunde. Stelling van Pythagoras. Stelling van Thales. In een rechthoekige driehoek geldt: het midden van de schuine zijde is het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Omgekeerde stelling van Thales. Als het middelpunt van de omgeschreven

Nadere informatie

Opgaven bij Analytische meetkunde in een nieuw jasje

Opgaven bij Analytische meetkunde in een nieuw jasje Opgaven bij Analytische meetkunde in een nieuw jasje Opgave 1. Gegeven de lijnen m en n met vectorvoorstellingen 6 8 x = 7 + µ 0. Bepaal de afstand tussen m en n. 16 0 4 x = 2 + λ 1 en Opgave 2. Bewijs

Nadere informatie

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar 25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar Samenstelling en lay-out: Daniël Tant Luc Gheysens Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. VWO 1 1986 Vraag 17 Een

Nadere informatie

Snelle glijbanen. Masterclass VWO-leerlingen juni Emiel van Elderen en Joost de Groot NWD Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde

Snelle glijbanen. Masterclass VWO-leerlingen juni Emiel van Elderen en Joost de Groot NWD Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde Masterclass VWO-leerlingen juni 2008 Snelle glijbanen Emiel van Elderen en Joost de Groot NWD 2009 1 Technische Universiteit Delft Probleemstelling Gegeven: een punt A(0,a) en een punt B(b, 0) met a 0.

Nadere informatie

1.1 Lineaire vergelijkingen [1]

1.1 Lineaire vergelijkingen [1] 1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg

Nadere informatie