Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4"

Vera Hendriks
7 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Wiskunde Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 Paragraaf 4 Het inproduct om hoeken te berekenen Opgave a e hoek is kleiner dan 4, want het dak zelf staat onder een hoek van 45, en de kilgoot loopt schuin over dat vlak omhoog en stijgt dus nog langzamer. b e hoek is groter dan 90, want als je in de kubus op driehoek H een vlak door snijlijn H onder 90 zet, dan zal dat vlak het lijnstuk ergens midden op de ribbe snijden. riehoek H is dus verder naar buiten gebogen. c Teken het diagonaalvlak H apart. H ls de lengte van de ribbe van de kubus gelijk is aan, dan is H gelijk aan en gelijk aan. Nu volgt: tan 0,707. n 35,6 (gebruik je rekenmachine of een rekenprogramma). Opgave a Kijkrichting e hoek tussen de twee vlakken is de hoek van twee vectoren die ieder in één van de vlakken liggen en loodrecht staan op de snijlijn. b Kijkrichting it is nu precies hetzelfde als onderdeel a), alleen zijn de vlakken nu geen mooie rechthoeken meer. april 06

2 Wiskunde Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 Opgave 4 a e tophoeken van de geodriehoeken zijn 90. ls je die met zijn drieën in één punt bij elkaar neemt, dan heb je als het waren een hoekje van een kubus. n daarvan maken de vlakken hoeken van 90. Opgave 5 Je moet in de richting van de snijlijn kijken, dus in de richting van. Teken midden op punt, en midden op punt N. an staat driehoek NT loodrecht op lijn. T N N is gelijk aan 6, want even lang als. T kunnen we uitrekenen in driehoek T. T We kijken nu weer naar driehoek TN en tekenen daarin S, het midden van N. T S N Nu volgt: cos 3 0,5774 en 54, Opgave 6 a Zie de tekening bij de antwoorden in het boek. april 06

3 Wiskunde Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 b Voer de berekeningen uit in de driehoek en het diagonaalvlak in het blok. e recht opstaande zijde is 4. e lengte van de diagonaal in het blok is, want het grondvlak is bij. e lengte van de liggende rechthoekszijde in de driehoek is het dubbele, dus 4. an weten we: tan 4 0,707 en 35,6. 4 Opgave 7 a - Ja, neem een punt op de snijlijn en vandaar twee lijnen, in ieder vlak één. ie kun je zo kiezen dat de hoek groter is dan 45. Kan zelfs 80 worden, als je ze uitéén laat lopen en samen laat vallen met de snijlijn. - Ja, neem een punt op de snijlijn en vandaar twee lijnen in de vlakken, onder 90 met de snijlijn. it is dan precies de hoek tussen de vlakken. - Ja, neem een punt op de snijlijn en vandaar twee lijnen, in ieder vlak één. ie kun je zo kiezen dat de hoek kleiner is dan 45. Kan zelfs 0 worden, als je ze samen laat vallen met de snijlijn. b ie kunnen iedere hoek aannemen, zie onderdeel a. ls hoek tussen twee lijnen kiezen we altijd de scherpe hoek, dus de hoek kan variëren van 0 tot 90. Opgave 8 H a N Teken midden op H. an staat lijn loodrecht op H. Teken N midden op, dan staat N loodrecht op H. e hoek tussen de lijnen en NH is dus de hoek tussen de twee vlakken. b Teken driehoek N apart. N ls de ribben van de kubus lengte hebben, dan is N gelijk aan, N gelijk aan (halve diagonaal). Nu geldt: tan 0,707 en 35,6. april 06

4 Wiskunde Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 Opgave 9 a Zie de tekening bij de antwoorden in het boek. Teken diagonaalvlak. Nu volgt: tan,44 en 54,74. b Zie de tekening bij de antwoorden in het boek. Teken diagonaalvlak. ½ Nu volgt: tan dus net als in a) volgt: 54,74. Opgave 0 a Zie de tekening bij de antwoorden in het boek. Neem als midden van en N als midden van en teken driehoek NT. N T ls de ribbe is, dan is N gelijk aan. ereken de lengte van T in driehoek T. april 06

5 Wiskunde Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 ½ T an is T 3. Reken nu weer verder in driehoek NT. ½ N ½ 3 ½ T Nu volgt: sin dus volgt: 35,6 en: 70,5. b Zie de tekening bij de antwoorden in het boek. Neem S als midden van T en teken driehoek S. S is diagonaal van vierkant en heeft lengte. S kan berekend worden in driehoek T en heeft dezelfde lengte als T in onderdeel a), dus S is 3. ½ 3 ½ ½ S Nu volgt: sin ,865 en dus volgt: 54,74. us: 09,48. april 06

6 Wiskunde Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 Opgave en regelmatig viervlak is opgebouwd uit 4 gelijkzijdige driehoeken. Kies voor de lengte van de ribben. Teken in het midden van, dan is de hoek tussen twee grensvlakken gelijk aan hoek. r geldt: ½ 3 en. ½ ½ ½ 3 Nu is: sin 0,5774 en: 3 35,6. us: 70,5. Opgave a Teken driehoek H, met daarin P, zodat P loodrecht staat op H. H 6 P ereken: HHHH riehoeken H en P zijn gelijkvormig, dus: PPPP HHHH, ofwelpppp HHHH Nu volgt: HP H P e verhouding is P : HP april 06

7 Wiskunde Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 b Teken nu driehoek P. 6 3 ½ P In de driehoek van onderdeel a berekenen we PPPP sin en: 60. us: 0. Opgave 3 a ls de lange zijde van een geodriehoek 6 is, dan is een korte zijde 6/ 8 en de oppervlakte is ½ o 8 o e inhoud van een piramide is /3 o oppervlakte grondvlak o hoogte /3 o 64 o 8 5 / 3. b Neem nu als grondvlak van de piramide de gelijkzijdige driehoek met de zijden met lengte 6 (zoals op de foto in het boek afgebeeld. e oppervlakte van het grondvlak is ½ o 6 o Nu volgt 5 / 3 /3 o 64 3 o h, zodat h (5 / 3) / (/3 o 64 3) 3 6 c Neem als midden van. an moeten we hoek berekenen. Teken driehoek H β HHHH HHHH HHHH HHHH tan 6,46 en: 54, april 06

8 Wiskunde Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 d Kijk in driehoek in onderdeel c. tan β ,707 en: β 35, Opgave 4 H a e hoek van de knik in de leuning is de hoek T in de kubus. ls de ribbe van de kubus is, dan is gelijk aan 3 en is gelijk aan ½ 5. Teken driehoek. ½ 5 ½ ½ 3 Nu volgt: sin ,7746 en: 50,77. us: 0,54. Opgave 5 a e hoek tussen en is 45 (diagonaal in vierkant). e hoek tussen en is 60 (hoek in gelijkzijdige driehoek ). ekijk voor hoek tussen en het diagonaalvlak. tan 0,707 en: 35,6. april 06

9 Wiskunde Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 e hoek tussen en is tweemaal de hoek tussen en, : 70,5. b Voor hoek tussen en : kijk in richting. Voor hoek tussen en : kijk in richting. Voor hoek tussen en : kijk in richting. Voor hoek tussen en : kijk in richting. c Hoek tussen twee parallelle lijnen is 0, want ze gaan in dezelfde richting. d e hoek tussen de lijnen en H is hetzelfde als de hoek tussen en, want en H zijn parallel. e Hoek tussen en H is hoek tussen en en die is 45 (diagonaal in vierkant). Hoek tussen en is hoek tussen en en die is 90 (twee diagonalen in vierkant). Hoek tussen en H is hoek tussen H en en die is 60 (zijden van gelijkzijdige driehoek). Hoek tussen en is hoek tussen en en die is 90 (want het zijn de zijden van een vierkant). Hoek tussen H en is hoek tussen H en N, met midden van en N midden van. e hoek is 90, want H en N zijn diagonalen in ruit NH. Opgave 7 H a e lijn maakt een hoek van 45 met lijn. Roteer nu driehoek om de as, dan blijft steeds een hoek van 45 maken met. Punt beschrijft dan een cirkel om middelpunt in valk. april 06

10 Wiskunde Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 b e lijn H maakt een hoek van 90 met. Roteer nu om as en al de lijnen liggen in vlak H. Opgave 8 a, b Zie de tekening bij de antwoorden in het boek. c 54 4 e situatie kan in een driehoek worden weergegeven. Nu volgt: tan 54 3,5 en: 85,76. 4 e toren staat 90-85,76 4,4 uit het lood. Opgave 9 Je kunt als het ware een lijn uit de punt van de geodriehoek op het papier rond laten draaien. e kleinste hoek met de korte zijde van de geodriehoek is dan 45, als de lijn onder de geodriehoek door loopt. e grootste hoek is 35, als de lijn van de geodriehoek weg loopt. e eerste twee uitspraken zijn dus waar, de laatste niet. Opgave 0 a Zie ook de tekening bij de antwoorden in het boek. e projectie van op het vlak H is het snijpunt S van de diagonalen in het zijvlak H. Teken nu driehoek S. S 6 april 06

11 Wiskunde Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 S ½ (halve diagonaal van vierkant met zijde ). SSSS HHHH + SSSS 6 tan 36 en: b e projectie van op het vlak H is snijpunt P van de diagonalen in het zijvlak. Teken nu het diagonaalvlak, dit staat loodrecht op H. Nu volgt: tan,44 en: 54,74. Opgave a is de hoek tussen en. b a ( 6,0,0) (6,6,0) (0, 6,0) c a ( 0,4,0) (6,6,0) ( 6,,0) Nu volgt: cos (hoek ) o o 0 + ( 6) (0, 6,0) o( 6,,0) + 0 o ( 6) + ( ) o 0 0,36 7,57 T is de hoek tussen T en T. T b t T c t Nu volgt: ( 6,6,0) (0,0,0) (6,6, 0) ( 0,4,0) (0,0,0) (0,4, 00) april 06

12 Wiskunde Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 cos (hoek T) To T T o T (6,6, 0) o (0,4, 0) + ( 0) o ( 0) 4 7 o 6 0,8779 T 8,6 T t b ( 0,0,0) (6,6,0) ( 6, 6,0) O c (0,4,0) Nu volgt: T O T O ( 6, 6,0) (0,4,0) ( 6) + ( 6) , e hoek is 7. n als we de scherpe hoek willen hebben: Opgave a c s (h ek ) ((,,3) (8,,5)) ((7,,) (8,,5)) ( 7) + ( 7,, ) (, 3, 4) + ( ) ( ) + ( 3) + ( 4) ,303 7,3. b c s (h ek ) ((8,,5) (,,3)) ((7,,) (,,3)) 7 + ( ) (7,,) (6, 4, ) ( 4) + ( ) , ,0 c ls het inproduct negatief is, dan is de hoek stomp, want voor een hoek tussen 90 en 80 is de cosinus negatief. ls het inproduct positief is, dan is de hoek scherp. april 06

Vergelijkbare documenten

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 7 les 2

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO lok 7 les Paragraaf Loodrechte stand en inproduct Opgave De lijnen HM En BD snijden elkaart, want ze liggen eide in het vlak door de punten H, D, B en M Ze snijden elkaar