9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]"

Transcriptie

1 9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je twee punten op deze lijn weet, kun je de grafiek van deze vergelijking tekenen. Punt 1: Neem x = 0 => y = 8, dus het punt (0, 8) ligt op de lijn; Punt 2: Neem y = 0 => x = 2, dus het punt (2, 0) ligt op de lijn. Algemeen: Een lineaire vergelijking met de variabelen x en y wordt geschreven als: ax + by = c. De bijbehorende grafiek is een rechte lijn. 1

2 9.1 Vergelijkingen van lijnen[2] Algemeen: De vergelijking x a y 1 b volgende snijpunten met de assen: Snijpunt met de x-as: Invullen van y = 0 geeft: Het snijpunt met de x-as is dus het punt (a, 0) Snijpunt met de y-as: Invullen van x = 0 geeft: Het snijpunt met de y-as is dus het punt (0, b) is de assenvergelijking van een lijn. Deze heeft de x 1 x a a y 1 y b b x y De lijn k : 1 snijdt de assen dus in de punten (-3, 0) en (0, 6) 3 6 2

3 9.1 Vergelijkingen van lijnen[2] Voorbeeld: De lijn l gaat door de punten (-1, 6) en (2, 15). Stel van l een vergelijking op. De lijn door de punten A(x A, y A ) en B(x B, y B ) heeft de vergelijking: y ax b a y x B B y x A A Invullen geeft: a y 3x b b 15 6 b b 9 y 3x 9 3

4 9.1 Vergelijkingen van lijnen[3] Algemeen: Gegeven is het volgende stelsel van vergelijkingen: ax by c px qy r Voorbeeld van een strijdig stelsel: 2x 3y 5 3 y 5 2x y x 4x 6 y 7 6 y 7 4x y x Er is sprake van een tweetal evenwijdige lijnen. Evenwijdige lijnen hebben geen snijpunt. Er geldt dan: a b c p q r 4

5 9.1 Vergelijkingen van lijnen[3] Algemeen: Gegeven is het volgende stelsel van vergelijkingen: ax by c px qy r Voorbeeld van een afhankelijk stelsel: 2x 3y 5 3 y 5 2x y x 4x 6 y 10 6 y 10 4x y x Er is sprake van een tweetal gelijke lijnen. Bij gelijke lijnen bestaan geen snijpunten. Er geldt dan: a b c p q r 5

6 9.1 Vergelijkingen van lijnen[3] Algemeen: Gegeven is het volgende stelsel van vergelijkingen: ax by c px qy r Voorbeeld van een onafhankelijk stelsel: 2 5 2x 3y 5 3 y 5 2x y x x 5y 10 5y 10 3x y x 2 5 Er is sprake van twee lijnen, die een snijpunt hebben. Dit geldt als: a b p q 6

7 9.1 Vergelijkingen van lijnen [3] Gegeven zijn de functies f(x) = 2x + 2 en g(x) = -½x + 1 De grafieken van deze twee functies snijden elkaar loodrecht. In het punt waar ze elkaar loodrecht snijden geldt het volgende: f(x) = g(x) f (x) g (x) = -1 Door het oplossen van dit stelsel van vergelijkingen kun je dus nagaan of een tweetal grafieken elkaar in een punt loodrecht snijden. 7

8 9.1 Vergelijkingen van lijnen [3] Voorbeeld 1: Gegeven zijn de lijnen k p : px +(p + 1)y = 5 en l p : (p 1)x + (p 3)y = 6 Bereken exact voor welke p de twee lijnen evenwijdig zijn. p p 1 p 1 p 3 p( p 3) ( p 1)( p 1) 2 2 p 3p p 1 3p 1 p 1 3 Zie opmerking strijdig stelsel 8

9 9.1 Vergelijkingen van lijnen [3] Voorbeeld 2: Gegeven zijn de lijnen k p : px +(p + 1)y = 5 en l p : (p 1)x + (p 3)y = 6 Bereken exact voor welke p de twee lijnen elkaar loodrecht snijden. p p 1 1 p 1 p 3 p 2 2 p p 1 2p p p p p p 3p 3 0 D 2 ( 3) p p 4 4 Omschrijven geeft: p 5 kp : y x p 1 p 1 p 1 6 lp : y x p 3 p 3 Bij loodrecht snijden zijn de richtingscoëfficiënten van beide lijnen keer elkaar gelijk aan 1. 9

10 9.2 Punten, lijnen en afstanden [1] Gegeven zijn de punten A(x A, y A ) en B(x B, y B ) De afstand tussen deze twee punten kun je berekenen met de stelling van Pythagoras: AB 2 = AC 2 + BC 2 AB 2 = (x B - x A ) 2 + (y B - y A ) 2 AB x x y y d A B 2 2 ( B A) ( B A) (, ) Voor elk punt P op de middelloodlijn m van het lijnstuk AB geldt: d(p, A) = d(p, B) Op deze manier kun je de vergelijking van deze middelloodlijn opstellen. 10

11 9.2 Punten, lijnen en afstanden [1] Voorbeeld: Gegeven zijn de punten A(1, 2) en B(7, 5). Stel een vergelijking op van de middelloodlijn m van het lijnstuk AB. Voor elk punt P op de middelloodlijn geldt: d(p, A) = d(p, B) ( x 1) ( y 2) ( x 7) ( y 5) P P P P ( x 1) ( y 2) ( x 7) ( y 5) x x y y x x y y x 6 y 69 m: 4x 2y 23 11

12 9.2 Punten, lijnen en afstanden [2] Hiernaast is de lijn x y k : 1 a b ofwel k : bx + ay = ab getekend. Er geldt: OA = a, OB = b en AB = a b 2 2 De afstand van O tot lijn k is OC = d(o, k). Met behulp van de zijde x hoogte methode krijg je: d(o, k) AB = OA OB d(o, k) d(o, k) = a b 2 2 a ab b 2 2 = ab 12

13 9.2 Punten, lijnen en afstanden [2] Hiernaast is de lijn k : ax + by = c getekend. l is een hulplijn evenwijdig aan lijn k door het punt P. Dus l : ax + by = ax p + by p. d(p, k) = d(l, k) = d(o, l) d(o, k) De afstand van punt P(x p, y p ) tot de lijn k: ax + by = c is d(p, k) = ax by c p a p b 2 2 Het is mogelijk om de vergelijkingen van de bissectrices van twee lijnen op te stellen. Let op dat een tweetal lijnen, die elkaar snijden steeds twee bissectrices hebben: 13

14 9.2 Punten, lijnen en afstanden [2] Voorbeeld: Gegeven zijn de lijnen k : 3x + 4y = 24 en l: 12x + 5y = 60 Stel de vergelijkingen op van de bissectrices m en n van k en l. Voor een punt P(x, y) op de bissectrice van k en l geldt: d(p, k) = d(p, l). 3x 4 y 24 12x 5 y x 4 y 24 12x 5 y x 4 y x 5 y 60 13(3 x 4 y 24) 5(12 x 5 y 60) 13(3 x 4 y 24) 5(12 x 5 y 60) 39x 52 y x 25 y x 52 y x 25 y x 27 y 12 99x 77 y 612 7x 9 y 4 99x 77 y

15 9.3 Parametervoorstellingen van lijnen [1] De lijn k in de figuur hiernaast kan genoteerd worden als: x = 2 + 3λ en y = 3 + λ x 2 3 k: y 3 Je komt van punt A naar punt B door 3 naar rechts te gaan en 1 omhoog te gaan. Voor λ = 0 krijg je punt A(2, 3) Voor λ = 1 krijg je punt B(4, 5) Voor elke waarde van λ kom je uit op een punt op de lijn k. Dit is de parametervoorstelling van lijn k. 15

16 9.3 Parametervoorstellingen van lijnen [1] De lijn k in de figuur hiernaast kan ook genoteerd worden als: k: Dit is de vectorvoorstelling van de lijn. 2 De steunvector is: s k = 3 De richtingsvector is r k = Let op: x 2 3 y is ook een steunvector van de lijn, want het punt (5, 4) ligt ook op de lijn k. is ook een richtingsvector van de lijn. Hiermee krijg je dus een andere parametervoorstelling van deze lijn. 16

17 9.3 Parametervoorstellingen van lijnen [1] Algemeen: In de parametervoorstelling k: x = a + pλ en y = b + qλ van de lijn k is (a, b) een punt van de lijn en is p q een richtingsvector van de lijn. Voor elke waarde van λ krijg je een punt van de lijn. Voorbeeld 1: De parametervoorstelling van een lijn kun je omzetten in een vergelijking. x x 2 3 k: y y 9 3 Het van elkaar afhalen van deze twee vergelijkingen geeft x 3y = -7 en dit is de vergelijking van de lijn k. 17

18 9.3 Parametervoorstellingen van lijnen [1] Algemeen: De parametervoorstelling van een lijn kun je omzetten in een vergelijking. x a p q qx aq pq k: y b q p py bp pq Het van elkaar afhalen van deze twee vergelijkingen geeft qx py = aq bp en dus de vergelijking k: qx py = c q p De vector staat loodrecht op de vector. Dit volgt uit het plaatje hiernaast. p q De vector q p is de normaalvector. Een normaalvector van een lijn is een vector die loodrecht op een lijn staat. Een normaalvector n l van de lijn l:ax + by = c is n l = a b 18

19 9.3 Parametervoorstellingen van lijnen [1] Voorbeeld 2: Gegeven is: l : x = 4-5λ en y = 3 + 2λ. Stel de vergelijking op van een lijn die bij deze parametervoorstelling hoort. De richtingsvector is nu: De normaalvector is nu: Dit geeft de vergelijking l : 2x + 5y = c. Het punt (4, 3) ligt op deze lijn. Invullen geeft: l : 2x + 5y =

20 9.3 Parametervoorstellingen van lijnen [2] Voorbeeld: Gegeven is het punt A(0,4). Het punt P beweegt vanuit O naar rechts over de positieve x-as. Het punt Q bevindt zich in het Eerste kwadrant zo, dat steeds geldt: APQ = 90 en PQ = ½AP. Toon aan dat Q langs een rechte lijn beweegt en stel de vergelijking op van deze lijn. De coördinaten van P zijn steeds te schrijven als: P(λ, 0). Er geldt: O = Q = 90 A + P 1 = 90 P 3 + P 1 = 90 Hieruit volgt A = P 3 en ook PQ Q AOP (hh) 20

21 9.3 Parametervoorstellingen van lijnen [2] Voorbeeld: Uit de gelijkvormigheid en PQ = ½AP volgt PQ = ½ AO = ½ 4 = 2. QQ = ½ OP = ½ λ = ½λ. Voor P geldt: x = λ en y = 0. Voor Q geldt dus: x = 2 + λ en y = ½λ. T.o.v. punt P komt er bij de x-coördinaat 2 bij en bij de y-coördinaat ½ λ 2 Dus Q ligt op de lijn met s = en r = Hieruit volgt dat n = 1 2 en een vergelijking is van de lijn x 2y =

22 9.4 Cirkel en raaklijn [1] Voorbeeld 1: (x + 3) 2 + (y 4) 2 = 12 is de vergelijking van de cirkel met middelpunt (-3, 4) en straal 12. Deze vergelijking kan ook als volgt geschreven worden: (x + 3) 2 + (y 4) 2 = 12 x 2 + 6x y 2 8y + 16 = 12 x 2 + y 2 + 6x 8y + 13 = 0 Als je x 2 + y 2 + 6x 8y + 13 = 0 wilt schrijven als (x + 3) 2 + (y 4) 2 = 12 gaat dit met behulp van kwadraatafsplitsen. Voorbeeld 2: Splits het kwadraat af van: 3x x + 33 x 2 + 4x + 11 = (x + 2) = Splits het kwadraat af (x + 2)

23 9.4 Cirkel en raaklijn [1] Algemeen: Een vergelijking van de cirkel kan op de volgende twee manieren geschreven worden: x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 (x x M ) 2 + (y y M ) 2 = r 2 Dit is een cirkel met middelpunt M(x M, y M ) en straal r. Voorbeeld 3: Gegeven is de vergelijking x 2 + y 2 + ax + 10 = 0 Bereken voor welke waarden van a de vergelijking een cirkel voorstelt. x 2 + y 2 + ax + 10 = 0 x 2 + ax + y 2 + ax + 10 = 0 (x + ½a) 2 ¼a 2 + y = 0 (x + ½a) 2 + y 2 = ¼a 2-10 Bij een cirkel moet gelden: ¼a ¼a 2 10 a 2 40 a - 40 (= -2 10)of a 40 23

24 9.4 Cirkel en raaklijn [2] Een raaklijn aan een cirkel heeft één punt gemeenschappelijk met deze cirkel. De tweedegraadsvergelijking die ontstaat, heeft dus één oplossing. De discriminant van deze vergelijking zal dus nul zijn. Dit is de discriminant-methode. Voorbeeld 1 (Oplossen via discriminant-methode) Gegeven is de cirkel x 2 + y 2 = 10. Zoek de vergelijkingen van de raaklijnen aan de cirkel met richtingscoëfficiënt 3. De vergelijking van de cirkel is: x 2 + y 2 = 10 De vergelijking van de raaklijn is: k : y = 3x + b Substitutie van de vergelijking van de raaklijn in die van de cirkel geeft: x 2 + (3x + b) 2 = 10 24

25 9.4 Cirkel en raaklijn [2] Voorbeeld 1: Gegeven is de cirkel x 2 + y 2 = 10. Zoek de vergelijkingen van de raaklijnen aan de cirkel met richtingscoëfficiënt 3. x 2 + (3x + b) 2 = 10 x 2 + 9x 2 + 6bx + b 2 = 10 10x 2 + 6bx + b 2 10 = 0 met D = 0 D = (6b) (b 2 10) = 36b 2 40b = -4b b = 0 b 2 = 100 b = 10 b = - 10 Hieruit volgt: k 1 : y = 3x + 10 of k 2 : y = 3x

26 9.4 Cirkel en raaklijn [2] Een raaklijn aan een cirkel heeft één punt gemeenschappelijk met deze cirkel. De afstand van het middelpunt van de cirkel tot een raaklijn is gelijk aan de straal van de cirkel. Voorbeeld 1 (Oplossen via straal) Gegeven is de cirkel x 2 + y 2 = 10. Zoek de vergelijkingen van de raaklijnen aan de cirkel met richtingscoëfficiënt 3. De cirkel heeft een middelpunt M(0,0) en r = 10. Er geldt: k: y = 3x + b k: 3x y + b = 0 Vanwege het raken geldt: d(m, k) = r 26

27 9.4 Cirkel en raaklijn [2] Voorbeeld 1 (Oplossen via straal) Gegeven is de cirkel x 2 + y 2 = 10. Zoek de vergelijkingen van de raaklijnen aan de cirkel met richtingscoëfficiënt 3. Vanwege het raken geldt: d(m, k) = r 0 0 b 3 ( 1) 2 2 b 10 b b 10 b

28 9.4 Cirkel en raaklijn [2] Voorbeeld 2 Gegeven is de cirkel x 2 + y 2 = 10. Stel de vergelijkingen op van de lijnen die de cirkel raken en door het punt (10, 0) gaan. Voor de vergelijking die door (10, 0) gaat geldt: l: y = ax + b l: y = 10a + b b = -10a en dus: l : y = ax 10a l : ax y 10a = 0 Vanwege het raken geldt: d(m, l) = r a 2 2 a ( 1) 10 a 2 a a 10a a 10a 10 a a a Dus l 1 : y = (x 10) en l 2 : y = - (x 10)

29 9.5 Pool, poollijn, macht en machtlijn [1] Voorbeeld: Het punt A(3, 4) ligt op de cirkel x 2 + y 2 = 25 De lijn k raakt de cirkel in A. Er geldt : k OA. => n k = r OA = 3 4 Dus k : 3x + 4y = c (3, 4) ligt op k. Hieruit volgt: 3x + 4y = 25. Algemeen: De lijn k die de cirkel x 2 + y 2 = r 2 raakt in A(x A, y A ) heeft vergelijking l: x A x + y A y = r 2. 29

30 9.5 Pool, poollijn, macht en machtlijn [1] Algemeen: De lijn k raakt de cirkel x 2 + y 2 = r 2 in A(x A, y A ) en er geldt dus k: x A x + y A y = r 2. De lijn k gaat ook door P(x P, y P ) en er geldt dus k: x A x P + y A y P = r 2. Hieruit volgt dat A op de lijn ligt met vergelijking x P x + y P y = r 2 De lijn l raakt de cirkel x 2 + y 2 = r 2 in B(x B, y B ) en er geldt dus l: x B x + y B y = r 2. De lijn l gaat ook door P(x P, y P ) en er geldt dus k: x B x P + y B y P = r 2. Hieruit volgt dat B op de lijn ligt met vergelijking x P x + y P y = r 2. 30

31 9.5 Pool, poollijn, macht en machtlijn [1] Algemeen: De lijn AB (poollijn van pool P ten opzichte van de cirkel) heeft de vergelijking: x P x + y P y = r 2. Bij een cirkel met middelpunt M(x M, y M ) en straal r hoort : (x x M ) 2 + (y y M ) 2 = r 2 Bij een punt P(x P, y P ) buiten de cirkel geldt: (x P x M )(x x M ) + (y P - y M )(y y M ) = r 2 31

32 9.5 Pool, poollijn, macht en machtlijn [1] Voorbeeld: Gegeven is de cirkel x 2 + y 2 = 13. Stel vergelijkingen op van de lijnen door het punt A(1, 5) die de cirkel raken. De poollijn van A t.o.v. de cirkel is: x + 5y = 13 x = 13 5y Invullen hiervan in de vergelijking van de cirkel geeft: (13 5y) 2 + y 2 = y +25y 2 + y 2 = 13 26y 2 130y =0 y 2 5y + 6 =0 (y 2)(y 3) = 0 y = 2 (met x = 3) y = 3 (met x = -2) Raaklijn in (3, 2) is 3x + 2y = 13 Raaklijn in (-2, 3) is -2x + 3y = 13 32

33 9.5 Pool, poollijn, macht en machtlijn [2] Bij een cirkel met middelpunt M en straal r is PM 2 r 2 de macht van het punt P t.o.v. de cirkel. In het plaatje ligt punt P buiten de cirkel. Dan geldt: PM 2 r 2 = PA 2 > 0. Ligt P binnen de cirkel dan geldt: PM 2 r 2 < 0. Als P op de cirkel ligt geldt PM 2 r 2 = 0. 33

34 9.5 Pool, poollijn, macht en machtlijn [2] Voorbeeld: Gegeven is de cirkel x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 met middelpunt M en straal r. Toon aan dat voor een punt P(x P, y P ) buiten de cirkel geldt: PM 2 r 2 = x P2 + y P2 + ax P + by P + c x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 x 2 + ax + y 2 + by + c = 0 (x + ½a) 2 ¼a 2 + (y + ½b) 2 ¼b 2 + c = 0 (x + ½a) 2 + (y + ½b) 2 = ¼a 2 + ¼b 2 c Het middelpunt is nu M(-½a, -½b) ( x a) ( y b) a b 2 c PM 2 r 2 = p 2 p PM 2 r 2 = (x P + ½a) 2 + (y P + ½b) 2 - ¼a 2 - ¼b 2 + c PM 2 r 2 = x 2 P + ax p + ¼a 2 + y P2 + by p + ¼b 2 - ¼a 2 - ¼b 2 + c PM 2 r 2 = x P2 + y P2 + ax P + by P + c De macht van het punt P(x P, y P ) ten opzichte van de cirkel x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 is gelijk aan: x P2 + y P2 + ax P + by P + c. 34

35 9.5 Pool, poollijn, macht en machtlijn [2] Voorbeeld: Stel een vergelijking op van de cirkel c 1 met middelpunt M(3,1) die de cirkel c 2 : x 2 + y 2 + 4x 6y + 8 = 0 loodrecht snijdt. Gebruik dat voor de straal r van cirkel c 1 geldt dat r 2 de macht is van M t.o.v. c 2. De vergelijking van cirkel c 1 is van de vorm: (x 3) 2 + (y 1) 2 = r 2 Voor r van c 1 geldt r 2 = = 24 Hieruit volgt: (x 3) 2 + (y 1) 2 = 24 35

36 9.5 Pool, poollijn, macht en machtlijn [3] Voorbeeld 1: Gegeven is het punt P(x P, y P ) met gelijke machten ten opzichte van c 1 : x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 en c 2 : x 2 + y 2 + px + qy + r = 0 Hieruit volgt: x P2 + y P2 + ax P + by P + c = x P2 + y P2 + px P + qy P + r ax P - px P + by P - qy P + c r = 0 (a p)x P + (b q) y P + c - r = 0 Dit betekent dat P op de lijn (a p)x + (b q) y + c - r = 0 ligt. Algemeen: De macht van twee niet-concentrische cirkels is de lijn waarop alle punten liggen die gelijke machten hebben ten opzichte van beide cirkels. Van de cirkels c 1 : x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 en c 2 : x 2 + y 2 + px + qy + r = 0 Is de vergelijking van de machtlijn: (a p)x + (b q) y + c - r = 0 36

37 9.5 Pool, poollijn, macht en machtlijn [3] Voorbeeld 2: Gegeven zijn de cirkels c 1 : x 2 + y 2 = 10 en c 2 : x 2 + y 2 6x - 8y = 20 en het punt A(3, 1) op c 1. Stel een vergelijking op van de cirkel door A, die c 1 en c 2 loodrecht snijdt. Het middelpunt M van c 3 ligt op de machtlijn k van c 1 en c 2 en op de raaklijn in A aan c 1. Stap 1: Machtlijn k van c 1 en c 2 : (a p)x + (b q) y + c - r = 0 ( )x + ( )y = 0 6x + 8y =

38 9.5 Pool, poollijn, macht en machtlijn [3] Voorbeeld 2: Gegeven zijn de cirkels c 1 : x 2 + y 2 = 10 en c 2 : x 2 + y 2 6x - 8y = 20 en het punt A(3, 1) op c 1. Stel een vergelijking op van de cirkel door A, die c 1 en c 2 loodrecht snijdt. Stap 2: Raaklijn l in (3, 1) aan c 1 opstellen. Het punt A(3, 1) ligt op de cirkel x 2 + y 2 = 10 De lijn l raakt de cirkel in A. 3 Er geldt : l OA. => n k = r OA = 1 Dus l : 3x + y = c (3, 1) ligt op l. Hieruit volgt: 3x + y =

39 9.5 Pool, poollijn, macht en machtlijn [3] Voorbeeld 2: Gegeven zijn de cirkels c 1 : x 2 + y 2 = 10 en c 2 : x 2 + y 2 6x - 8y = 20 en het punt A(3, 1) op c 1. Stel een vergelijking op van de cirkel door A, die c 1 en c 2 loodrecht snijdt. Stap 3: 6x 8 y 10 3x y 10 3x 4 y 5 3x y 10 3 y 15 y 5 Invullen van y = -5 in 3x + y = 10 geeft x = 5 39

40 9.5 Pool, poollijn, macht en machtlijn [3] Voorbeeld 2: Gegeven zijn de cirkels c 1 : x 2 + y 2 = 10 en c 2 : x 2 + y 2 6x - 8y = 20 en het punt A(3, 1) op c 1. Stel een vergelijking op van de cirkel door A, die c 1 en c 2 loodrecht snijdt. Stap 3: Het middelpunt van de gezochte cirkel is: M(5, -5). c 3 : (x 5) 2 + (y + 5) 2 = r 2 Voor r van c 3 geldt: r 2 = (-5) 2 10 = 40 En dus: c 3 : (x 5) 2 + (y + 5) 2 = 40 40

41 9.6 Analytische methoden bij lijnen en cirkels [1] Voorbeeld: Gegeven is het vierkant ABCD. Het punt M is het midden van BC en het punt N is het midden van CD. De lijnen AM en BN snijden elkaar in het punt S. Bewijs me behulp van analytische meetkunde dat geldt: DS = AD. Stap 1: Breng een assenstelsel aan zoals in de figuur hiernaast. 41

42 9.6 Analytische methoden bij lijnen en cirkels [1] Voorbeeld: Gegeven is het vierkant ABCD. Het punt M is het midden van BC en het punt N is het midden van CD. De lijnen AM en BN snijden elkaar in het punt S. Bewijs me behulp van analytische meetkunde dat geldt: DS = AD. Stap 2: Stel vergelijkingen op voor OM en BN. OM: y = ½x en BN: y = -2x + 4. Stap 3: Bepaal het snijpunt S van OM en BN. 1 2 x 2x 4 2 x x 8 5 Dus S,

43 9.6 Analytische methoden bij lijnen en cirkels [1] Voorbeeld: Gegeven is het vierkant ABCD. Het punt M is het midden van BC en het punt N is het midden van CD. De lijnen AM en BN snijden elkaar in het punt S. Bewijs me behulp van analytische meetkunde dat geldt: DS = AD. Stap 4: Bereken de lengte van lijnstuk DS DS Omdat OD = 2 geldt DS = OD en dus DS = AD 43

44 9.6 Analytische methoden bij lijnen en cirkels [2] Voorbeeld: Gegeven zijn de punten A en B met AD = b. Waar liggen alle punten P waarvoor geldt BP = 2AP? Stap 1: Breng een assenstelsel aan en gebruik dat P op de cirkel ligt met middelpunt A en straal r en tevens op de cirkel met middelpunt B en straal 2r. Stap 2: Stel de vergelijkingen op van de twee cirkels. A(-½d, 0) en B(½d, 0) met P op de cirkel: (x + ½d) 2 + y 2 = r 2 EN op de cirkel: (x ½d) 2 + y 2 = (2r) 2 44

45 9.6 Analytische methoden bij lijnen en cirkels [2] Voorbeeld: Gegeven zijn de punten A en B met AD = b. Waar liggen alle punten P waarvoor geldt BP = 2AP? Stap 3: Stel de vergelijkingen op van de twee cirkels. A(-½d, 0) en B(½d, 0) met P op de cirkel: (x + ½d) 2 + y 2 = r 2 EN op de cirkel: (x ½d) 2 + y 2 = (2r) 2 Stap 4: Geef een uitdrukking voor r 2 met behulp van een stelsel van vergelijkingen x dx d y r x dx d y 4r 4 2dx 3r r dx 2 45

46 9.6 Analytische methoden bij lijnen en cirkels [2] Voorbeeld: Gegeven zijn de punten A en B met AD = b. Waar liggen alle punten P waarvoor geldt BP = 2AP? Stap 5: Substitueer de gevonden oplossing in één van de vergelijkingen van de cirkels. ( x d) y dx x 1 dx d y ( x d) d d y ( x d) y d Hieruit volgt dat de punten P liggen op een cirkel 5 met middelpunt d,0 2 6 en straal. 3 d 46

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.

10.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. 10.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0, b) y = -4x + 8 kan

Nadere informatie

x y C. von Schwartzenberg 1/22 = + = Zie de lijnen in de figuur hiernaast. Zie de grafiek van k in de figuur rechts hiernaast. 2b

x y C. von Schwartzenberg 1/22 = + = Zie de lijnen in de figuur hiernaast. Zie de grafiek van k in de figuur rechts hiernaast. 2b G&R vwo D deel C von Schwartzenberg / a k: = x gaat door (0, ) ( 0 = ) en (, ) ( = ) l : x = 6 gaat door (0, ) (0 = 6) en (, 0) ( 0 = 6) Zie de lijnen in de figuur hiernaast b = x x = of x = of x = 6 of

Nadere informatie

Aantekening VWO 6 Wis D Hfst 9 : Lijnen en Cirkels. Het voordeel van de laatste is dat (a,0) en (0,b) de snijpunten met de assen zijn!!

Aantekening VWO 6 Wis D Hfst 9 : Lijnen en Cirkels. Het voordeel van de laatste is dat (a,0) en (0,b) de snijpunten met de assen zijn!! Aantekening VWO 6 Wis D Hfst 9 : Lijnen en Cirkels Les 1 Lijnen Een lijn kun je op verschillende manieren weergeven = a + b p + q = r 1 (niet zelfde a en b van manier 1) a b Het voordeel van de laatste

Nadere informatie

Exponenten en Gemengde opgaven logaritmen

Exponenten en Gemengde opgaven logaritmen 08 Exponenten en Gemengde opgaven logaritmen Lijnen en cirkels bladzijde a k p // l p, dus p + p p p + (p + )(p + ) (p )(p ) p + 6p + p 6p + 8 p p b k p l p, dus rc kp rc lp p + p p p + p p p + p p p p

Nadere informatie

14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:

14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: 14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64

Nadere informatie

Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken

Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 7.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier y =

Nadere informatie

opdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF

opdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF lijnen en cirkels opdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF 0. voorkennis De vergelijking ax+by=c Stelsels lineaire vergelijkingen De algemene vorm van een lineaire vergelijkingen met de variabele

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden

Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode:

Nadere informatie

Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken

Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. a De pijlen van O(0, 0) naar A(4, 2) en van A(4, 2) naar B(2, 3) zijn vectoren.

8.0 Voorkennis. a De pijlen van O(0, 0) naar A(4, 2) en van A(4, 2) naar B(2, 3) zijn vectoren. 8.0 Voorkennis De pijlen van O(0, 0) naar A(4, 2) en van A(4, 2) naar B(2, 3) zijn vectoren. 4 OA a 2 en AB 2 1 Het bovenste kengetal geeft aan hoeveel de vector naar links of rechts gaat. Het onderste

Nadere informatie

Definitie van raaklijn aan cirkel: Stelling van raaklijn aan cirkel:

Definitie van raaklijn aan cirkel: Stelling van raaklijn aan cirkel: 13.0 Voorkennis Op de cirkel liggen alle punten met een Gelijke afstand tot het middelpunt van de cirkel. Voor een punt p op de cirkel geldt d(p, M) = r Definitie van raaklijn aan cirkel: Een raaklijn

Nadere informatie

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is. 3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord

Nadere informatie

11.1 De parabool [1]

11.1 De parabool [1] 11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:

Nadere informatie

wiskunde B pilot vwo 2016-II

wiskunde B pilot vwo 2016-II wiskunde B pilot vwo 06-II De derde macht maximumscore Er moet dan gelden f( gx ( )) x( g( f( x)) f gx ( x ) ( x ) x) ( ( )) + + + f( gx ( )) x+ x(dus g is de inverse functie van f ) Spiegeling van het

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van

Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =

Nadere informatie

Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen

Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 1 van 13 Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen Les 1 : Vectoren tekenen Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog. b Je kunt vectoren

Nadere informatie

OEFENTOETS VWO B DEEL 3

OEFENTOETS VWO B DEEL 3 OEFENTOETS VWO B DEEL 3 HOOFDSTUK 0 MEETKUNDE MET VECTOREN OPGAVE Gegeven zijn de vectoren a, b en c die vanuit O de hoekpunten van driehoek ABC aanwijzen. Het punt P is het midden van AB, het punt Q is

Nadere informatie

Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel.

Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Raaklijnen Verkennen Raaklijnen Inleiding Verkennen Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Uitleg Raaklijnen Uitleg Opgave 1 Bekijk de Uitleg. a) Wat is de vergelijking

Nadere informatie

Paragraaf 14.1 : Vergelijkingen in de meetkunde

Paragraaf 14.1 : Vergelijkingen in de meetkunde Hoofdstuk 14 Meetkunde Toepassen (V6 Wis B) Pagina 1 van 1 Paragraaf 14.1 : Vergelijkingen in de meetkunde Les 1 : Vergelijkingen maken bij meetkundige figuren Herhaling (1) Bijzondere rechthoekige driehoeken

Nadere informatie

9.0 Voorkennis [1] Definitie bissectrice: De bissectrice van een hoek is de lijn die de hoek middendoor deelt. Willem-Jan van der Zanden

9.0 Voorkennis [1] Definitie bissectrice: De bissectrice van een hoek is de lijn die de hoek middendoor deelt. Willem-Jan van der Zanden 9.0 Voorkennis [1] Definitie middelloodlijn: De middelloodlijn van een lijnstuk is de lijn door het midden van dat lijnstuk die loodrecht op dat lijnstuk staat. Definitie bissectrice: De bissectrice van

Nadere informatie

HOEKEN, AFSTANDEN en CIRKELS IN Klas 5N Wiskunde 6 perioden

HOEKEN, AFSTANDEN en CIRKELS IN Klas 5N Wiskunde 6 perioden HOEKEN, AFSTANDEN en CIRKELS IN Klas 5N Wiskunde 6 erioden INHOUD. Het inroduct van vectoren... 3. De normaalvector van een lijn... 3. DE AFSTAND VAN TWEE PUNTEN.... 5. De afstand van een unt tot een lijn...

Nadere informatie

3 Hoeken en afstanden

3 Hoeken en afstanden Domein Meetkunde havo B 3 Hoeken en afstanden Inhoud 3.1 Cirkels en hun middelpunt 3.2 Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst

Nadere informatie

Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen

Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Les 0 (Extra) Aant. Voorkennis: Hoeken en afstanden Theorie A: Sinus, Cosinus en tangens O RHZ tan A = A RHZ O RHZ sin A = SZ A RHZ cos A = SZ Afspraak: Graden afronden

Nadere informatie

EEN OUDE STELLING UIT DE MEETKUNDE

EEN OUDE STELLING UIT DE MEETKUNDE www.raves.nl ton@raves.nl EEN OUDE STELLING UIT DE MEETKUNDE LUIDT: Als drie cirkels elkaar onderling snijden, dan zullen de drie koorden (*) ofwel precies in e e n punt snijden, ofwel evenwijdig zijn

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december 2012. Meetkunde

Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december 2012. Meetkunde Vlakke Ruimtemeetkunde 1 december 2012 Vlakke Ruimtemeetkunde 1 Vlakke Vectoren Vergelijking van een rechte 2 Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rechte Vlakke Ruimtemeetkunde

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Uitwerkingen voorbeeldtentamen 1 Wiskunde B 2018

Uitwerkingen voorbeeldtentamen 1 Wiskunde B 2018 Uitwerkingen voorbeeldtentamen 1 Wiskunde B 2018 Vraag 1a 4 punten geeft ; geeft dus in punt A geldt ;, dus en Dit geeft Vraag 1b 4 punten ( ) ( ) ( ) Vraag 1c 4 punten ( ). Dit is de normaalvector van

Nadere informatie

7.1 Ongelijkheden [1]

7.1 Ongelijkheden [1] 7.1 Ongelijkheden [1] In het plaatje hierboven zijn vier intervallen getekend. Een open bolletje betekent dat dit getal niet bij het interval hoort. Een gesloten bolletje betekent dat dit getal wel bij

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Vlak en kegel bladzijde a Als P ( x,, ) de projectie van P op het Ox-vlak is, dan is driehoek OP P een gelijkbenige rechthoekige driehoek met OP P = Dan is OP = x + en is PP = z Met de stelling van Pthagoras

Nadere informatie

Oefeningen analytische meetkunde

Oefeningen analytische meetkunde Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om

Nadere informatie

Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden

Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden Lesbrief 6 Meetkunde 1 Hoektransversalen in een driehoek ABC is een driehoek. Een lijn l door een hoekpunt A van de driehoek heet een hoektransversaal van A. We zullen onderzoeken onder welke voorwaarden

Nadere informatie

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde

Nadere informatie

Uitwerkingen voorbeeldtentamen 2 Wiskunde B 2018

Uitwerkingen voorbeeldtentamen 2 Wiskunde B 2018 Uitwerkingen voorbeeldtentamen 2 Wiskunde B 2018 Vraag 1a 4 punten Voor geldt: ( )( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Alternatief: ( )( ) Vraag 1b 4 punten Voor geldt: met geeft, en ook. De perforatie van zowel

Nadere informatie

Wiskunde oefentoets hoofdstuk 10: Meetkundige berekeningen

Wiskunde oefentoets hoofdstuk 10: Meetkundige berekeningen Wiskunde oefentoets hoofdstuk 0: Meetkundige berekeningen Iedere antwoord dient gemotiveerd te worden, anders worden er geen punten toegekend. Gebruik van grafische rekenmachine is toegestaan. Succes!

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg

1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg 1 Middelpunten Verkennen Middelpunten Inleiding Verkennen Probeer vanuit drie gegeven punten (niet op één lijn) die op een cirkel moeten liggen het middelpunt van die cirkel te construeren. Je kunt hem

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.

Nadere informatie

3 Hoeken en afstanden

3 Hoeken en afstanden Domein Meetkunde havo B 3 Hoeken en afstanden Inhoud 3. Cirkels en hun middelpunt 3. Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst

Nadere informatie

STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie

STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie Euclides van Alexandrië (ca. 265-200 v.chr.) Thales van Milete (ca. 624 v.chr. - 547 v.chr.) INHOUDSOPGAVE Algemene begrippen..blz. 1-3 - Stelling en bewijs

Nadere informatie

Opgaven bij Analytische meetkunde in een nieuw jasje

Opgaven bij Analytische meetkunde in een nieuw jasje Opgaven bij Analytische meetkunde in een nieuw jasje Opgave 1. Gegeven de lijnen m en n met vectorvoorstellingen 6 8 x = 7 + µ 0. Bepaal de afstand tussen m en n. 16 0 4 x = 2 + λ 1 en Opgave 2. Bewijs

Nadere informatie

Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ²

Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ² 1 Herhaling 1.1 Het vlak, punten, afstand, midden Opdracht: Teken in het vlak de punten: A ( 1, 2) B(3,6) C( 5,7) Bepaal de coördinaat van het midden van (lijnstuk) [A B]: M [B C ]: N Bepaal de afstand

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

6 Ligging. Verkennen. Uitleg

6 Ligging. Verkennen. Uitleg 6 Ligging Verkennen Ligging Inleiding Verkennen Door in de applet het assenstelsel te draaien kun je nagaan of twee lijnen een snijpunt hebben. Je kunt ook andere lijnen proberen door de punten A, B, C

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college 3 Lijnen, vlakken en oppervlakken in de ruimte. Vandaag

Ruimtewiskunde. college 3 Lijnen, vlakken en oppervlakken in de ruimte. Vandaag college 3 Lijnen, vlakken en in de collegejaar : 16-17 college : 3 build : 6 juni 2017 slides : 37 Vandaag 1 Lijnen 2 Vlakken 3 4 Toepassing: perspectivische.16-17[3] 1 vandaag Lijnen in het platte vlak

Nadere informatie

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer. Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn

Nadere informatie

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,

Nadere informatie

Les 1 : Vectoren. Hoofdstuk 6 Vectormeetkunde (H4 Wiskunde D) Pagina 1 van 14. Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog.

Les 1 : Vectoren. Hoofdstuk 6 Vectormeetkunde (H4 Wiskunde D) Pagina 1 van 14. Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog. Hoofdstuk 6 Vectormeetkunde (H4 Wiskunde D) Pagina 1 van 14 Les 1 : Vectoren Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog. b Je kunt vectoren tekenen en berekenen. We doen dat aan de

Nadere informatie

Overzicht meetkunde. Driehoeksmeetkunde. Stelling van Pythagoras.

Overzicht meetkunde. Driehoeksmeetkunde. Stelling van Pythagoras. Stelling van Thales. In een rechthoekige driehoek geldt: het midden van de schuine zijde is het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Omgekeerde stelling van Thales. Als het middelpunt van de omgeschreven

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 : Vectormeetkunde

Hoofdstuk 6 : Vectormeetkunde 1 Hoofdstuk 6 : Vectormeetkunde Les 1 : Vectoren Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog. b Je kunt vectoren tekenen en berekenen. We doen dat aan de hand van een voorbeeld. Neem

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Analytische meetkunde

Analytische meetkunde Analytische meetkunde Inhoudsopgave Analytische meetkunde Introductie analytische meetkunde. Waar ligt de schat?. Cartesisch assenstelsel.3 Terug naar de schat 4.4 Het begrip vergelijking 5 Meer over lijnen

Nadere informatie

uuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur

uuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur 4 Van D naar 3D Verkennen Van D naar 3D Inleiding Verkennen Bekijk de applet. Met de rechter muisknop kun je het assenstelsel om de oorsprong draaien en de fig van alle kanten bekijken. Beantwoord nu de

Nadere informatie

Examen VWO. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 08 tijdvak woensdag 0 juni 3.30-6.30 uur oud programma wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 5 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo II

Eindexamen wiskunde B vwo II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

De arbelos. 1 Definitie

De arbelos. 1 Definitie De arbelos 1 Definitie De arbelos is een meetkundige figuur die bestaat uit drie aan elkaar rakende halve cirkels. De raakpunten liggen op een lijn. In onderstaande tekening is de arbelos de paarse figuur.

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 : De Cirkel

Hoofdstuk 8 : De Cirkel - 163 - Hoofdstuk 8 : De Cirkel Eventjes herhalen!!!! De cirkel met middelpunt O en straal r is de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten die op een afstand r van O liggen. De schijf met middelpunt

Nadere informatie

2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]

2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] 2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl 2015-2016 Lijn in het vlak 2/37 Een lijn in het vlak wordt

Nadere informatie

Introductie van de Analytische meetkunde.

Introductie van de Analytische meetkunde. Hoofdstuk 1 Introductie van de Analytische meetkunde. 1.1 Inleiding Het schatgraversprobleem. Op een eiland is een schat te vinden via de volgende aanwijzingen: loop in een rechte lijn van de oude eik

Nadere informatie

1 Het midden van een lijnstuk

1 Het midden van een lijnstuk Inleiding Deze basisconstructies worden aan de leerlingen gegeven in de vorm van werkbladen voor zelfstandig werken. Met behulp van een beginschets van de gegevens en de constructiebeschrijving maken de

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Vlakke meetkunde en geogebra

Vlakke meetkunde en geogebra Vlakke meetkunde en geogebra Open de geogebra-app. Kies het algebra- en tekenvenster. Aan de linkerkant zie je het algebravenster en rechts daarvan het tekenvenster met een x-as en een y-as. Om een rooster

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2016-II

wiskunde B vwo 2016-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden

Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Hoofdstuk 1 Formules, grafieken en vergelijkingen (H4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Les 1 Lineaire verbanden Definitie lijn Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = richtingscoëfficiënt

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2016-I

wiskunde B vwo 2016-I wiskunde vwo 06-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x))

15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x)) 5.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( x) a f '( x) 0 n f ( x) ax f '( x) nax n f ( x) c g( x) f '( x) c g'( x) f ( x) g( x) h( x) f '( x) g'( x) h'( x) p( x) f ( x) g( x) p'( x)

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-II

wiskunde B vwo 2017-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand

Nadere informatie

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen). Jozef Hoekmeters bevindt zich op de top van een berg die hoog uit zee rijst (zie figuur ). Aan de overkant van het water ziet hij een appartementsgebouw vlakbij

Nadere informatie

6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid.

6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. 6.0 Differentiëren Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. f(x) = x x Differentiequotiënt van f(x) op [0, 3] = y f (3) f (0) 60 x 30 30 y x 1 Algemeen: Het differentiequotiënt

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Analytische meetkunde. Les 4 Kwadratische vergelijkingen (Deze les sluit aan bij de paragraaf 3.1 van Analytische meetkunde van de Wageningse Methode)

Analytische meetkunde. Les 4 Kwadratische vergelijkingen (Deze les sluit aan bij de paragraaf 3.1 van Analytische meetkunde van de Wageningse Methode) Analytische meetkunde Les 4 Kwadratische vergelijkingen (Deze les sluit aan bij de paragraaf 3.1 van Analytische meetkunde van de Wageningse Methode) De vergelijking van een cirkel De cirkel heeft middelpunt

Nadere informatie

Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde

Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

wiskunde B bezem vwo 2018-II

wiskunde B bezem vwo 2018-II wiskunde bezem vwo 08-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Cabri-werkblad. Apollonius-cirkels

Cabri-werkblad. Apollonius-cirkels Cabri-werkblad Apollonius-cirkels 1. Doel We zullen in dit werkblad kennismaken met de zogenoemde Apollonius-cirkels [1] van een driehoek. Daarvoor moeten ook enkele eigenschappen van (binnen- en buiten)bissectrices

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde Goniometrie

Vlakke Meetkunde Goniometrie Vlakke Meetkunde Goniometrie L. Van Maldeghem Cursus voor de tweede graad Latijn-Wiskunde, Economie-Wiskunde en Moderne Talen-Wiskunde 2 Hoofdstuk 1 Het euclidische vlak 1.1 Herhaling 1.1.1 Het begrip

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h

Vraag Antwoord Scores ( ) ( ) Voor de waterhoogte h geldt: ( 2h+ 3h 2h Een regenton maximumscore h V ( rx ( )) dx π 0 00 ( rx ( )) ( x x ) + Een primitieve van + x x is x+ 7 x x π Dus V ( h 7 h h ) + 00 π π V h+ h h h+ h h 00 0 ( ) ( ) maximumscore Het volume van de regenton

Nadere informatie

De kandidaten: jullie taak is het maken van de opdrachten, opzoeken van theorie en het zoeken naar de mol.

De kandidaten: jullie taak is het maken van de opdrachten, opzoeken van theorie en het zoeken naar de mol. Dossieropdracht 4 Wie is de mol? Opdracht Je gaat het spel Wie is de mol? spelen. Dit doe je in een groep van circa acht personen, die wordt gemaakt door de docent. In je groep moet je acht vragen beantwoorden

Nadere informatie

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β.

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β. 1 Synthetische RM 1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van twee vlakken. (b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaal zijn. (c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.

Vlakke meetkunde. Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken,

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 14 mei uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 14 mei uur Examen HAVO 204 tijdvak woensdag 4 mei.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een

Nadere informatie

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen)

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen) Examen havo wiskunde B 06-I (oefenexamen) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt (, ) p Stel een vergelijking op van c. De punten B(, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) C liggen

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B 1 Analytische meetkunde Inhoud 1.1. Coördinaten in het vlak 1.2. Vergelijkingen van lijnen 1.3. Vergelijkingen van cirkels 1.4. Snijden 1.5. Overzicht In opdracht van: Commissie

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2016 tijdvak 2 donderdag 23 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 16 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 unten te behalen. Voor

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B Analytische meetkunde Inhoud.. Coördinaten in het vlak.. Vergelijkingen van lijnen.3. Vergelijkingen van cirkels.4. Snijden.5. Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst Wiskunde

Nadere informatie

OAB. A 0,2q gaat. x q m q mx. l x y b x b y. c x c y. c x y c c. x b y b bx 2. x c y c cx. a y q en b x q m.

OAB. A 0,2q gaat. x q m q mx. l x y b x b y. c x c y. c x y c c. x b y b bx 2. x c y c cx. a y q en b x q m. Voor een driehoek ABC zijn de punten A en B vast en is C een veranderlijk punt Bepaal de meetkundige plaats van het punt C zodat het produt van de zijden AC en BC gelijk is aan het kwadraat van het zwaartelijnstuk

Nadere informatie