Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde"

Transcriptie

1 Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde

2 . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast punt O, de oorsprong. Het vlak π waarin dit punt gekozen werd noemen wij het gepunte vlak πo. Elk ander punt P in het vlak kunnen we vanaf nu bekijken als het eindpunt van een vector namelijk OP. Het punt P = OP van π o noemen wij een gebonden vector, vaste vector of puntvector.... Basis en assenstelsel Wij kiezen punten in πo en die samen met O een driehoek vormen. Ex Voor elke P in πo bestaat er juist één ( x, y) IR zodat Benamingen: E, E is een basis van πo. { } x y Ey ( x, y) zijn de carthesische coördinaten van P t.o.v. de basis { Ex, Ey}. Merk op: begrip coördinaat is basisgebonden. OE x is de x-as; OE y is de y-as; samen zijn het de coördinaatassen van het xy-assenstelsel of assenkruis...3. Bewerkingen met vectoren P = xe + y x E y In het gepunte vlak πo kunnen wij twee bewerkingen definiëren: ) de som van vectoren A en B van πo is een vector met als eindpunt de som van de overeenkomstige vectoren OA en OB volgens de regel van het parallellogram.. Analytische meetkunde

3 y C a A b B O a b x ) de uitwendige vermenigvuldiging van een vector A van πo en een getal k R is vector met als eindpunt het eindpunt op de rechte OA door k maal de vector OA op te tellen...4. Toepassing: midden van een lijnstuk Gegeven: het lijnstuk [AB]; A (a,a ) en B (b,b ) Gevraagd: bepaal M het midden van het lijnstuk. M A + B a + b, a + b =.. Rechten... Vectoriële vergelijking Beschouw een rechte e door de oorsprong. Elk punt S verschillend van de oorsprong is het eindpunt van een vector S die de richting van de rechte ondubbelzinnig bepaalt. Zo n vector wordt een richtingsvector van e genoemd. Als S zo n richtingsvector is, dan is elke k S met k R opnieuw een richtingsvector van e. e S O Beschouw e een rechte evenwijdig met e en twee verschillende punten P en P op e. Analytische meetkunde 3

4 P e P e S P P Als S een richtingsvector is van e, geldt P P = ks of P = P + ks voor een k R. Omgekeerd ligt voor elke k, het eindpunt van de vector P + ks op de rechte e. We kunnen de vectoriële vergelijking P = P + ks dan ook beschouwen als de nodige en voldoende voorwaarde opdat een punt op de rechte e zou liggen (bepaald door het punt P en de richting S ). is de vectoriële vergelijking van de rechte. P = P + ks met k R... Parametervergelijkingen Overgang op de componenten in R met P = ( x, y) P = ( x, y ), en S = ( a, b) levert Verdere uitwerking levert equivalent met ( x, y) = ( x, y ) + k( a, b) met k R ( x, y) = ( x + ka, y + kb) met k R x = x + ka met k R y = y + kb Bovenstaande formules zijn een stel parametervergelijkingen van de rechte door een punt ( x, y ) met richtingsgetallen ( a, b ), de coördinaten van de richtingsvector S. Merk op dat bovenstaande vergelijkingen niet uniek zijn. Zowel P als S kunnen gekozen worden. Analytische meetkunde 4

5 ..3. Cartesische vergelijking(en) Wanneer we uit de parametervergelijkingen de parameter k elimineren krijgen we of x x y y = als ab a b b y y = ( x x ) als a a Beide laatste vergelijkingen noemen we de cartesische vergelijking van de rechte. De verhouding b a wordt de richtingscoëfficiënt genoemd. Als a =, dan worden de parametervergelijkingen x = x met k R y = y + kb De tweede vergelijking zegt dat y willekeurig is en kan dus worden weggelaten. We houden (cartesische) vergelijking over. x = x De rechte is evenwijdig met de y-as. De eenvoudigste richtingsgetallen zijn (,); de richtingscoefficient bestaat niet! Analoog, als b =, dan is y = y de cartesische vergelijking van de rechte; de rechte is dan evenwijdig met de x-as. De eenvoudigste richtingsgetallen zijn nu (,); de richtingscoefficient is! Merk op dat ( a, b ) = (,) onmogelijk is. De nulvector is immers uitgesloten als richtingsvector van een rechte. Als de rechte gegeven is door middel van punten P ( x, y ) en P ( x, y ) volstaat het een richtingsverctor te vinden. Vermits P P een geschikte vector is, krijgen we P = P + k( P P ) met k R als vectoriële vergelijking en als stel parametervergelijkingen; x = x + k( x x ) met k R y = y + k( y y) x x y y = x x y y als cartesische vergelijking als x x en y y. Als x = x dan is de vergelijking analoog aan a = ; Analytische meetkunde 5

6 als y = y dan is de vergelijking even analoog aan b=. De algemene cartesische vergelijking van een rechte in Ax + By + C = R is dus van de vorm waarbij A en B niet terzelfdertijd nul zijn. Omgekeerd kan ook aangetoond worden dat elke vergelijking van deze vorm in R een rechte voorstelt. Wat is de richtingscoëfficiënt van deze rechte? Vind een stel richtingsgetallen..3. Evenwijdige rechten Als gegeven is de rechte e met r.v. S, r.g. (a,b ), rico m, vgl A x+b y+c =, de rechte e met r.v. S, r.g. (a,b ), rico m, vgl A x+b y+c = e e dan is O S S e // e S = ks met k R a b = ka = kb m = m A B = ka = kb met k R met k R toepassing: gegeven: de rechte e met vergelijking Ax+By+C= en het punt P(x,y ) gevraagd: construeer f // e en door P f heeft als vergelijking A(x- x )+B(y- y )= Analytische meetkunde 6

7 .4. Het Euclidisch vectorvlak.4.. Definities Als A( a, a) en B( b, b ) in π gegeven zijn, dan is het scalair product van deze vectoren A. B = a b + a b R dan staan deze vectoren loodrecht of orthogonaal A B A. B = dan is de norm van de vector A = A. A = a + a > dan is A een genormeerde vector als A = dan is de afstand tussen A a, a ) en B b, b ) ( ( d( A, B) = A B = a b + a b B ( ) ( ) O A A - B Analytische meetkunde 7

8 .4.. eigenschap als A O dan is de genormeerde vector voortgebracht door A waarbij a de rechte OA voorstelt. Verklaar waarom Ea genormeerd is. E = a A A.4.3. Orthonormale basis (O.N.B.) Ex Ey { E, E } x y is een orthonormale basis Ex = Ey =.5. Hoeken Conventie: een hoek rekenen wij positief in tegenuurwijzerzin..5.. De hoek van een rechte met de x-as (Analytische uitdrukkingen t.o.v. O.N.B.) In onderstaande figuur zien we in de rechthoekige driehoek dat m tanα = = m m.a.w. de richtingscoefficient van de rechte is gelijk aan de tangens van de hoek tussen de x- as en de rechte. y E y e m α E x x Analytische meetkunde 8

9 .5.. De hoek tussen rechten Gegeven: de rechte e met r.v. S, r.g. (a,b ), rico m, α de hoek met de x-as de rechte e met r.v. S, r.g. (a,b ), rico m, α de hoek met de x-as Definitie: de hoek tussen de rechten e en e in die volgorde genomen, genoteerd (e, e ), is de hoek met als hoekpunt het snijpunt van e en e ; het eerste been ligt op een halfrechte bepaald door e en het tweede been op een halfrechte bepaald door e. e e (e,e ) e (e,e ) e Merk op: een hoek is op π radialen na bepaald. Je kan dus altijd de kleinste (pos.) hoek kiezen. De hoek tussen twee rechten wordt ook bepaald door zijn tangens. (Dit is zinvol want de tangenten van anti-supplementaire hoeken zijn gelijk). tanα tanα m m a b a b tan( α α) = = = + tanα tanα + m m a a + b b.6. Loodrechte stand van rechten Als gegeven is de rechte e met r.v. S, r.g. (a,b ), rico m, vgl A x+b y+c =, de rechte e met r.v. S, r.g. (a,b ), rico m, vgl A x+b y+c = dan is (analytische uitdrukking t.o.v. O.N.B.) Analytische meetkunde 9

10 e S e O S e e S S a m a + bb = A A = m B B + = toepassing: gegeven: de rechte e met vergelijking Ax+By+C= en het punt P (x,y ) gevraagd: construeer f e en door P f heeft als vergelijking B(x- x )-A(y- y )=.7. Afstand van een punt tot een rechte ) definitie ( of constructieve methode) Beschouw in π een punt P ( x, y ) en een rechte e : Ax + By + C =. Om de (loodrechte) afstand van P tot de rechte e te vinden gaan we als volgt te werk. Construeer de rechte r door P loodrecht op e. Zoek het snijpunt S van r en e. De gezochte afstand is dan gelijk aan d( P, S ). ) formule (via de normaalvgl. v.d. rechte e) (analytische vertolking t.o.v. O.N.B.) Ax + By + C d( P, e) = d( P, S) = A + B Analytische meetkunde

11 .8. Oefeningen. Gegeven: A(5, ), B(,5), C( 7,). a) Bepaal de coördinaten van de middens van de zijden van de driehoek ABC. (, ); 4, 7 ;, b) Bepaal de coördinaten van het zwaartepunt van de driehoek ABC. (-, ). Bepaal de richtingsgetallen en de richtingscoëfficiënt van de rechten bepaald door volgende gegevens: a) gaande door (-, 7), (, -8) (3, -5) en m = -5 b) de rechte x (k,) en m = c) de rechte y (,k) en m bestaat niet! d) de rechte met vergelijking: x - y + 4 = (, ) en m = e) de rechte met vergelijking: y = 3 4 x (4, 3) en m = 3 4 f) de rechte met vergelijking: y = x + 3 (, ) en m = 3. Construeer de rechten met volgende vergelijkingen: e: y = 4x f: x + 3y = g: 4x + y + 5 = 4. Bepaal de hoek die volgende rechten maken met de x-as in een orthonormaal assenstelsel. e: y - x + 5 = α = 45 ;α = 35 f: y 3x 5 = α = 6 ;α = 5. Bewijs dat de figuur gevormd door A(,), B(, 4), C(5,6), D(4,3) een parallellogram is. 6. Gegeven een rechte e: x + y = 4 Gevraagd: a) behoort A(4, ) tot e? Neen b) behoort B(4,) tot e? Ja c) bepaal de abscis van het punt op e met als ordinaat -5 x = 4 d) bepaal de ordinaat van het punt C met als abscis y = 3 e) construeer de rechte f) zoek de snijpunten met de x-as en de y-as (4, ) en (, ) 7. Gegeven een rechte e: ax + 3y + = met a IR Bepaal, indien mogelijk, a zodanig dat: a) de rechte door (, ) gaat a = - b) de rechte die door gaat onmogelijk c) de rechte e evenwijdig is met de rechte f: 3x - y - 5 = a = -9 d) e evenwijdig is met x-as a = e) e evenwijdig is met y-as onmogelijk f) e op de x-as een stuk + 3 afsnijdt a = 3 g) e op de y-as een stuk +5 afsnijdt onmogelijk Analytische meetkunde

12 h) e op y een stuk 3 afsnijdt a IR 8. Stel de vergelijking op van een rechte met de volgende gegevens: a) m = - en door het punt (3, 4) y + x - = b) door de punten (, 3) en (5, ) 3y + x -3 = c) door de oorsprong en het punt (, 6) y - 3x = d) door de punten (3, 5) en (7, 5) y = 5 e) door de punten (-, 4) en (-, ) x = - f) door de punten (, 3) en (-, -6) y - 3x = g) m = en die van y een stuk + 4 afsnijdt y - x - 4 = h) die van y een stuk +3 en van x een stuk + afsnijdt 3x + y - 6 = i) die van y een stuk -6 afsnijdt en door het punt (, 4) gaat y - 5x + 6 = j) die door het punt (-, 6 )gaat en evenwijdig is met de rechte: e: 3x + y - 5 = y + 3x - 6 = k) die door het punt (, 3) gaat en evenwijdig is met de rechte door de punten (,) en (5, ) 3y - x - 9 = l) die door het punt (, 3) gaat en evenwijdig is met de y-as x = m) die door het punt (-, 4) gaat en evenwijdig is met de x-as y = 4 9. Gegeven de rechte e: y = (a - )x + (a + b) met a,b IR. Bepaal a en b zodanig dat: a) e door de punten (, 3) en (3, 5) gaat a = 3 en b = - b) e door het punt (, -3) gaat en evenwijdig is met f: x + y + 5 = a = en b = - c) e een stuk - op x afsnijdt en (, -) als richtingsgetallen heeft. a = -3 en b = -7 d) e door (, ) en (-, -4) gaat a = 4 en b = -4. Bepaal t.o.v. een orthonormale basis de vergelijking van de rechte: a) door het punt (4, -3) en die met de x-as een hoek van 45 maakt. y - x + 7 = ; y + x - = b) die op de y-as een stuk +3 afsnijdt en met de positieve x-as een hoek van 3 maakt. 3y 3x 9 = ; 3y + 3x 9 =. Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt A (, 4): a) die op de positieve x-as een stuk afsnijdt dat het dubbel is van het stuk afgesneden op de positieve y-as x + y - = b) die op de negatieve x-as en de positieve y-as gelijke stukken afsnijdt x - y + =. Bepaal a zodanig dat e en f evenwijdig zijn: e: (a - )x - (a+)y + = f: (a + )x + ( - 4a)y + a = a = of a = 3 3. Onderzoek of volgende punten collineair zijn: a) (8, 3), (-6, -3), (5, 6) Ja b) (, ), (4, -), (-5, 5) Ja Analytische meetkunde

13 4. Bepaal a zodanig dat de punten (, 3), (a, ) en (a +, a - 3) collineair zijn. Bepaal de vergelijking van de rechte. a = 3 en y + x - 5 = a = 4 en y + x - 8 = 5. Bepaal de snijpunten van volgende rechten: e : x + y = 4 a) f :3x + y = 7 e :5x + 3y -= b) f : x + 8 = e :6y - 3 = 4x c) 3 f : x 3y + = 6. Geef de algemene vergelijking van de rechten door (, ) (, ) (-4, 7) samenvallende rechten y - = m (x - ) 7. Geef de algemene vergelijking van de rechten met richtingscoëfficient. 8. Bewijs dat de 3 zwaartelijnen van een driehoek concurrent zijn. 9. Gegeven: A(,), B(,), C(,) t.o.v. een orthonormale basis. Bepaal: A. B AC. C. B A. A B. B C. C y = x + q Bewijs dat de punten A(4, 6), B(, -4), C(-, ) een rechthoekige driehoek vormen.. Bepaal de vergelijking van de loodlijn en ook het voetpunt. a) uit het punt (, ) op de rechte e: 5x + y - 6 = 5 x - 5y = en 3, 3 3 b) uit het punt (, -6) op de rechte f: x - y + 5 = x + y + = en (-4, -3). Bepaal de vergelijking van de loodlijn op de rechte met vergelijking: x + 5y + 4 = in haar snijpunt met de x-as. 5x - y + = Analytische meetkunde 3

14 3. Een rechte heeft richtingscoëfficiënt. Bepaal de vergelijking van de loodlijn uit het punt ( 4,) op die rechte. y + x - 6 = 4. Bepaal de vergelijking van de middelloodlijn van het lijnstuk [ab] als A(3, -) en B(, 3). y - x = 5. De vergelijkingen van de zijden van een driehoek zijn: 3x 4y +4 = ; 4x + y 3 = ; x + 5y 8 =. Bepaal de vergelijkingen van de hoogtelijnen en de coördinaten van het hoogtepunt. y 5x + 5 = 3y + 4x 5 = 4y x = 3 9, Gegeven: A(5, -3), B(-, 5), C(-7, ). Bepaal de lengte van de zijden van de driehoek gevormd door deze punten. ; 3; Bepaal de afstand van de oorsprong tot het punt A(-, 4) en tot de rechte e: 3x - y = 5 5; 8. Bepaal de afstanden van de punten A(-3, 4), B(, ), C(-3, ) tot de rechte e: x y + 5 = ; 3 ; 9. Bepaal de afstanden van het punt A(5, ) tot de punten B(, -), C(-, ) en tot de rechte BC. 5; 5 ; 5 3. Bepaal de afstand van het punt A(-4, 4) tot de rechte e: x + y - 3 = a) m.b.v. de formule b) m.b.v. de loodlijn Bepaal de afstand van het punt A(3, -5) tot de loodlijn die uit het punt B(, ) op de rechte e : x y + = wordt neergelaten Hoe ver ligt de oorsprong van de middelloodlijn van het lijnstuk [AB] met A(-9, 7), B(5, -3) Analytische meetkunde 4

15 33. Bepaal de afstand tussen de evenwijdige rechten met vergelijkingen: x + y + 3 =, x + y = 34. Gegeven: A(, p), e: x + y + =, f: x + y - 3 =. Bepaal p zodanig dat het punt A gelijke afstanden tot de rechten e en f heeft. p = en p = Bepaal de vergelijking van de rechte door A(, 3) en die op een afstand 3 ligt van de oorsprong. y = 3 en 5y + x - 39 = Bepaal de vergelijking van de rechte door A(-5, ) zodanig dat de rechte evenver verwijderd is van de punten B(3, -) en C(-3, ) y + x + 3 = en y + x - 5 = 37. Bepaal de vergelijking van de rechte die evenwijdig is met de rechte e: 5x + y - = en die op een afstand van het punt A(-, ) ligt. 5x + y - 5 = 5x + y + = Analytische meetkunde 5

16 . KEGELSNEDEN.. Inleiding Parabolen, ellipsen en hyperbolen zijn kegelsneden. Ze onstaan door de snijding van een kegel met een vlak. Cirkels zijn ook kegelsneden, het zijn speciale gevallen van ellipsen. Welk type van kegelsnede men bekomt, hangt af van de hoek waarmee het vlak de kegel snijdt. Figuur snijding van een kegel door een vlak Links: bij de ellips is de hoek tussen het vlak en de as van de kegel groter dan de hoek tussen de as en de beschrijvende van de kegel. Midden: bij de parabool zijn de hoeken gelijk. Rechts: bij de hyperbool is de hoek met het vlak kleiner dan de hoek met de beschrijvende... De cirkel Hoewel de cirkel "slechts" een speciaal geval van de ellips is, vermelden we toch eerst zijn definitie en zijn vergelijking. Een cirkel C bestaat uit de punten P die op een vaste afstand R van een vast punt M liggen. Deze vaste afstand R noemt men de straal, het vaste punt M het middelpunt. P C d( P, M ) = R Indien het middelpunt M in de oorsprong ligt en (x,y) de coorinaat van P is ten opzichte van het orthonormaal assenkruis x y is, dan is de middelpuntsvergelijking van de cirkel Verklaar! x + y = R Analytische meetkunde 6

17 Indien het middelpunt M de coördinaten ( x, y ) heeft, is de middelpuntsvergelijking De verklaring is analoog. De algemene vergelijking van de cirkel is ( x x ) + ( y y ) = R x + y + Ax + By + C = Opgelet, niet elke vergelijking van deze vorm stelt een cirkel voor!.3. De parabool Een parabool P bestaat uit de punten Q waarvoor de afstand tot een vaste rechte d gelijk is aan de afstand tot een vast punt F dat niet op d ligt. Het punt F noemt men het brandpunt van de parabool, de rechte d de richtlijn. Q P d( Q, d) = d( Q, F) Als het brandpunt F( p, ), richtlijn d : x = p en (x,y) de coordinaat is van Q ten opzichte van het orthonormaal xy-assenkruis, dan is topvergelijking van de parabool P y = 4 p x Dit kan op een eenvoudige manier worden afgeleid: d y Q T F x Q P d( Q, d) = d( Q, F) y = Figuur parabool ( ) + ( ) = + x p y x p ( x p) + ( y ) = ( x + p) 4 p x De topvergelijking van deze parabool is dus y = 4 p x. De x -as is de symmetrieas van de parabool. Het punt F is het brandpunt, de rechte d de richtlijn en het punt halfweg het brandpunt en de richtlijn is de top van de parabool. Analytische meetkunde 7

18 Men dient goed te beseffen dat de bovenstaande vergelijking enkel geldig is met deze specifieke keuzes van de liggingen van het brandpunt en de richtlijn. Indien de parameter p negatief is,ligt het brandpunt links van de top en de richtlijn rechts. De vergelijking zelf blijft dezelfde. Indien de richtlijn horizontaal gelegd wordt, zal de parabool verticaal liggen, met zijn opening naar boven als de parameter p >, en met de opening naar beneden als p <. Er zijn dus vier mogelijkheden voor een parabool met top in de oorsprong en één van de coördinaatassen als symmetrieas. y = 4 p x met p > y = 4 p x met p < x = 4 p y met p > x = 4 p y met p < Wanneer de parabool verschoven wordt naar een willekeurige ligging van de top T ( x, y ) vindt men op analoge manier twee topvergelijkingen Horizontale symmetrieas: Verticale symmetrieas: ( y y ) 4 p ( x x ) = met ( x x ) 4 p ( y y ) = met F( x + p, y ) en d : x = x p F( x, y + p) en d : y = y p De algemene vergelijking van een parabool met symmetrieas evenwijdig aan een coordinaatas is Horizontale symmetrieas: Verticale symmetrieas: x = Ay + By + C y = Ax + Bx + C Analytische meetkunde 8

19 .4. Oefeningen (we werken in een O.N.B.). Bepaal de vergelijking van de cirkel met middelpunt M(a, b) en straal R. a) a =, b =, R = 5 x + y = 5 b) a = 4, b =, R = ( x 4) + y. Bepaal middelpunt en straal van de volgende cirkels ( ) = 4 a) x + y 8x 6y = (,3) 5 M 4 en R = b) 3x + 3y x + 3y + = M, en R = 3 6 c) 6x +6y 8x 5 = M, en R = 4 d) 36( x + y ) 48x + 36y 7 = M, en R = Onderzoek of de volgende vergelijkingen cirkels voorstellen. Zo ja, bepaal dan middelpunt en straal. a) x + y 6x + 4y + 59 = geen cirkel b) 6x + 6y + 8x 64y 335 = cirkel C 4,,5 c) 4x + 4y x + 4y + 9 = (punt) cirkel C 3, 5, 4. Stel de vergelijking op van de cirkel door de punten (3, 3) en (5, 7) en het middelpunt op A:x y = 5 x + y 6x 6y + 48 = 5. Stel de vergelijking op van de cirkel waarvan het lijnstuk bepaald door de punten van de cirkel (5, 6) en (-, ) een middellijn is. x + y 4x 6y 5 = 6. Stel de vergelijking op van de cirkel door het punt (-3, 4) en concentrisch met c: x + y + 3x 4y = x + y + 3x 4y = 7. Stel de vergelijking op van de cirkel omschreven aan driehoek ABC met A(, ); B(6, -); C(-3, -5) x + y 5x + y 8 = 8. Een cirkel heeft zijn middelpunt in M(3, ) en gaat door het punt P(, ). Bepaal: a) de vergelijking van de cirkel. ( x 3) + y = 5 b) de vergelijking van de cirkel met hetzelfde middelpunt en dubbele oppervlakte ( ) x y 3 + = Analytische meetkunde 9

20 9. Bepaal brandpunt en richtlijn van volgende parabolen en schets hun grafiek. a) y 8x = (, ); x = - b) y + 6x = 3, ; x = 3 c) x + y =, 8 8 d) x y =, 8 8. Bepaal de topvergelijking van de parabool (met de x-as als symmetrie-as) en met als top (, ) en door het punt A(-, 3): y = 9x. Bepaal de topvergelijking van de parabool met als brandpunt, en richtlijn d: y = x + y =. Bepaal de vergelijking van de parabool met als brandpunt (7, -) en richtlijn d: x = 3 y + 4y 8x + 44 = 3. Bepaal de vergelijking van de parabool met als brandpunt (7, -) en richtlijn d de bissectrice van het tweede kwadrant. x + y xy 8x + 8y + 6 = 4. Schets de grafiek van: a) 3x 4x y + 5 = b) 4y + 4y 3x + = ( x 4) = ( 3 y ) (y + 5) = 3 4 x Analytische meetkunde

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ²

Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ² 1 Herhaling 1.1 Het vlak, punten, afstand, midden Opdracht: Teken in het vlak de punten: A ( 1, 2) B(3,6) C( 5,7) Bepaal de coördinaat van het midden van (lijnstuk) [A B]: M [B C ]: N Bepaal de afstand

Nadere informatie

héöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = =

héöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = = héöéäëåéçéå~äëãééíâìåçáöééä~~íëéåãéí`~äêá hçéåpíìäéåë De algemene vergelijking van een kegelsnede is van de vorm : 2 2 ax by 2cxy 2dx 2ey f 0 met a, b, c, d, e, f + + + + +. Indien je vijf punten van een

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden

Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode:

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde Meetkundige plaatsen en krommen. Cursus voor de vrije ruimte

Vlakke Meetkunde Meetkundige plaatsen en krommen. Cursus voor de vrije ruimte Vlakke Meetkunde Meetkundige plaatsen en krommen Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Meetkundige plaatsen 1.1 Herhaling: analytische meetkunde 1.1.1 Affiene

Nadere informatie

11.1 De parabool [1]

11.1 De parabool [1] 11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:

Nadere informatie

Opgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5

Opgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5 2 Vergelijkingen Verkennen Meetkunde Vergelijkingen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg Meetkunde Vergelijkingen Uitleg Opgave Bestudeer de Uitleg, pagina. Laat zien dat ook

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde Goniometrie

Vlakke Meetkunde Goniometrie Vlakke Meetkunde Goniometrie L. Van Maldeghem Cursus voor de tweede graad Latijn-Wiskunde, Economie-Wiskunde en Moderne Talen-Wiskunde 2 Hoofdstuk 1 Het euclidische vlak 1.1 Herhaling 1.1.1 Het begrip

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december 2012. Meetkunde

Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december 2012. Meetkunde Vlakke Ruimtemeetkunde 1 december 2012 Vlakke Ruimtemeetkunde 1 Vlakke Vectoren Vergelijking van een rechte 2 Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rechte Vlakke Ruimtemeetkunde

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Ellips-constructies met Cabri

Ellips-constructies met Cabri Ellips-constructies met Cabri 0. Inleiding De meest gebruikte definitie van de ellips luidt: Een ellips is de verzameling van punten () waarvoor de som van de afstanden tot twee vaste punten (F 1 en F,

Nadere informatie

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] 9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,

Nadere informatie

RECHTEN. 1. Vul in met of. co(a) = (-2,3) a y = -2x + 1 A a want 3-2.(-2)+3 co(a) = (4,1) a 3x -5y -2 = 0 A a want

RECHTEN. 1. Vul in met of. co(a) = (-2,3) a y = -2x + 1 A a want 3-2.(-2)+3 co(a) = (4,1) a 3x -5y -2 = 0 A a want ANALYTISCHE MEETKUNDE: HERHALING DERDE JAAR OEFENINGEN Lees eerst de formules op het andere blad, en los vervolgens de oefeningen van het bijbehorende deel op. Wanneer je alles hebt opgelost, maak je de

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN

Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1 / 6 H2 Vlakke figuren Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 46-74) 2.1 Herkennen van vlakke figuren In verband met een veelhoek: a) een veelhoek op de juiste wijze benoemen.

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool. 16 september dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool. 16 september dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding

Nadere informatie

Vlakke Analytische Meetkunde

Vlakke Analytische Meetkunde Vlakke Analytische Meetkunde L. Van Maldeghem L. Van Hyfte Handleiding voor 3 Latijn-Wiskunde, 3 Grieks-Latijn 5 3 Moderne Talen-Wiskunde, 3 Economie-Wiskunde 2 Hoofdstuk 1 Vectoren en transformaties 1.1

Nadere informatie

Dag van wiskunde. Zaterdag 17 november 2007. Werkwinkel 6: analytische meetkunde in tweede en derde graad

Dag van wiskunde. Zaterdag 17 november 2007. Werkwinkel 6: analytische meetkunde in tweede en derde graad Dag van wiskunde Zaterdag 7 november 007 Werkwinkel 6: analytische meetkunde in tweede en derde graad Inhoudstafel pagina. Verticale samenhang leerinhouden. Zwaartepunt van een driehoek werken met formule?

Nadere informatie

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is. 3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand

Nadere informatie

1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg

1 Middelpunten. Verkennen. Uitleg 1 Middelpunten Verkennen Middelpunten Inleiding Verkennen Probeer vanuit drie gegeven punten (niet op één lijn) die op een cirkel moeten liggen het middelpunt van die cirkel te construeren. Je kunt hem

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,

Nadere informatie

De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry

De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry De hoek tussen twee lijnen in Cabri Geometry DICK KLINGENS (e-mail: dklingens@pandd.nl) Krimpenerwaard College, Krimpen aan den IJssel (NL) augustus 2008 1. Inleiding In de (vlakke) Euclidische meetkunde

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

Lesbrief GeoGebra. 1. Even kennismaken met GeoGebra (GG)

Lesbrief GeoGebra. 1. Even kennismaken met GeoGebra (GG) Lesbrief GeoGebra Inhoud: 1. Even kennismaken met GeoGebra 2. Meetkunde: 2.1 Punten, lijnen, figuren maken 2.2 Loodlijn, deellijn, middelloodlijn maken 2.3 Probleem M1: De rechte van Euler 2.4 Probleem

Nadere informatie

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β.

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β. 1 Synthetische RM 1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van twee vlakken. (b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaal zijn. (c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen

Nadere informatie

Bewijs. Zie figuur 2. Zijn U en V de projecties van P en Q op r, dan geldt: PU = PR (in driehoek RQV met PU // QV) QV QR

Bewijs. Zie figuur 2. Zijn U en V de projecties van P en Q op r, dan geldt: PU = PR (in driehoek RQV met PU // QV) QV QR Cabri-vraag VRAAG Hoe teken je een kegelsnede waarvan een punt P, een brandpunt F en de bij F behorende richtlijn r gegeven zijn? ANTWOORD Zoals bekend kan je met Cabri een kegelsnede tekenen (we spreken

Nadere informatie

2.1 Cirkel en middelloodlijn [1]

2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] 2.1 Cirkel en middelloodlijn [1] Hiernaast staat de cirkel met middelpunt M en straal 2½ cm In het kort: (M, 2½ cm) Op de zwarte cirkel liggen alle punten P met PM = 2½ cm In het rode binnengebied liggen

Nadere informatie

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).

P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken). Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie

Nadere informatie

Ruimtemeetkunde. (http://www.boredpanda.com/3d-lines-notepad-drawings-15-years-old-joao-carvalho/)

Ruimtemeetkunde. (http://www.boredpanda.com/3d-lines-notepad-drawings-15-years-old-joao-carvalho/) Ruimtemeetkunde (http://wwwboredpandacom/3d-lines-notepad-drawings-5-years-old-joao-carvalho/) ) Herhaling a) Grondbegrippen en notaties In de ruimtemeetkunde zijn de bouwstenen punten, rechten en vlakken

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 : De Cirkel

Hoofdstuk 8 : De Cirkel - 163 - Hoofdstuk 8 : De Cirkel Eventjes herhalen!!!! De cirkel met middelpunt O en straal r is de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten die op een afstand r van O liggen. De schijf met middelpunt

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt

Nadere informatie

3 Hoeken en afstanden

3 Hoeken en afstanden Domein Meetkunde havo B 3 Hoeken en afstanden Inhoud 3.1 Cirkels en hun middelpunt 3.2 Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst

Nadere informatie

Hierbij geven we de antwoorden en bewijzen we meteen ook hoe de constanten kunnen bepaald worden.

Hierbij geven we de antwoorden en bewijzen we meteen ook hoe de constanten kunnen bepaald worden. WISKUNDE IS (EEN BEETJE) OORLOG Onder dit motto nodigde de VVWL alle wiskundeleraren uit Vlaanderen en Nederland uit om deel te nemen aan een wiskundewedstrijd. De tien vragen van de eerste editie, waarbij

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan

Nadere informatie

1 Coördinaten in het vlak

1 Coördinaten in het vlak Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem

Nadere informatie

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008 Driehoeken Enkele speciale topics Arne Smeets Trainingsweekend Februari 2008 Trilineaire en barycentrische coördinaten Definitie van trilineaire coördinaten Beschouw (in het vlak) een driehoek ABC en een

Nadere informatie

Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken

Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier

Nadere informatie

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer. Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Actief gedeelte - Maken van oefeningen

Actief gedeelte - Maken van oefeningen Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2

Nadere informatie

SAMENSTELLEN EN ONTBINDEN VAN SNIJDENDE KRACHTEN

SAMENSTELLEN EN ONTBINDEN VAN SNIJDENDE KRACHTEN II - 1 HOODSTUK SAMENSTELLEN EN ONTBINDEN VAN SNIJDENDE KRACHTEN Snijdende (of samenlopende) krachten zijn krachten waarvan de werklijnen door één punt gaan..1. Resultante van twee snijdende krachten Het

Nadere informatie

4 Formules en figuren

4 Formules en figuren 4 Formules en figuren Dit is een bewerking van Meetkunde met coördinaten Blok Formules en figuren van Aad Goddijn ten behoeve van het nieuwe programma (014) wiskunde B vwo. Opgaven met dit merkteken kun

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Vlakke meetkunde en geogebra

Vlakke meetkunde en geogebra Vlakke meetkunde en geogebra Open de geogebra-app. Kies het algebra- en tekenvenster. Aan de linkerkant zie je het algebravenster en rechts daarvan het tekenvenster met een x-as en een y-as. Om een rooster

Nadere informatie

HOEKEN, AFSTANDEN en CIRKELS IN Klas 5N Wiskunde 6 perioden

HOEKEN, AFSTANDEN en CIRKELS IN Klas 5N Wiskunde 6 perioden HOEKEN, AFSTANDEN en CIRKELS IN Klas 5N Wiskunde 6 erioden INHOUD. Het inroduct van vectoren... 3. De normaalvector van een lijn... 3. DE AFSTAND VAN TWEE PUNTEN.... 5. De afstand van een unt tot een lijn...

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Oefenzitting 2: Parametrisaties.

Oefenzitting 2: Parametrisaties. Oefenzitting : Parametrisaties. Modeloplossingen Oefening.5:. Beschouw vooreerst de cirkel C in het xz-vlak met straal r en middelpunt (x, y, z) = (R,, ) (zie Figuur ). De parametrisatie van C wordt dan

Nadere informatie

Antwoordmodel - Vlakke figuren

Antwoordmodel - Vlakke figuren Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.

Nadere informatie

SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN

SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN 1. SOMGRAFIEK Walter De Volder Breng onder Y 1 en Y 2 de vergelijking van een rechte in. Stel Y 3 = Y 1 + Y 2. Construeer de drie grafieken. Onderzoek verschillende

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden

Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden Lesbrief 6 Meetkunde 1 Hoektransversalen in een driehoek ABC is een driehoek. Een lijn l door een hoekpunt A van de driehoek heet een hoektransversaal van A. We zullen onderzoeken onder welke voorwaarden

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Bogen op kegelsneden in Cabri

Bogen op kegelsneden in Cabri Bogen op kegelsneden in Cabri DICK KLINGENS (e-mailadres: dklingens@pandd.nl) Krimpenerwaard College, Krimpen ad IJssel april 2008 Het tekenen van een ellipsboog Zomaar een vraag van een Cabri-gebruiker

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback IJkingstoets 5 september 04 - reeks - p. /0 Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 5 september 04: algemene feedback In totaal namen 5 studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2015-II

wiskunde B vwo 2015-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 4 juni 2010. Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 4 juni 2010. Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine EUROPEES BACCALAUREAAT 2010 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 4 juni 2010 DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (240 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische

Nadere informatie

Cabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's

Cabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's Cabri-werkblad Driehoeken, rechthoeken en vierkanten 1. Eerst twee macro's Bij de opdrachten van dit werkblad zullen we vaak een vierkant nodig hebben waarvan alleen de beide eindpunten van een zijde gegeven

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5

Tentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 16 januari uur Aantal opgaven: 5 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 16 januari 2015 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.

Nadere informatie

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 INHOUD 1 De cirkel 9 1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen 11 1.2 Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 1.3 Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel 20 1.3.1 Aantal snijpunten van een rechte

Nadere informatie

3 Hoeken en afstanden

3 Hoeken en afstanden Domein Meetkunde havo B 3 Hoeken en afstanden Inhoud 3. Cirkels en hun middelpunt 3. Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B Analytische meetkunde Inhoud.. Coördinaten in het vlak.. Vergelijkingen van lijnen.3. Vergelijkingen van cirkels.4. Snijden.5. Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst Wiskunde

Nadere informatie

Verdieping - De Lijn van Wallace

Verdieping - De Lijn van Wallace Verdieping - e Lijn van Wallace ladzijde 4 ac - d Nee, want als ijvooreeld en samenvallen dan geldt = op en = op, dus = = maar dan moet ook S met samenvallen, dus ligt S niet uiten de driehoek en dat is

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer punten, een blanco antwoord bezorgt

Nadere informatie

1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie.

1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Inleiding Y y p o θ r X fig In fig worden er op twee verschillende manieren coördinaten gegeven aan het punt p Een eerste

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B 1 Analytische meetkunde Inhoud 1.1. Coördinaten in het vlak 1.2. Vergelijkingen van lijnen 1.3. Vergelijkingen van cirkels 1.4. Snijden 1.5. Overzicht In opdracht van: Commissie

Nadere informatie

Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen

Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Les 0 (Extra) Aant. Voorkennis: Hoeken en afstanden Theorie A: Sinus, Cosinus en tangens O RHZ tan A = A RHZ O RHZ sin A = SZ A RHZ cos A = SZ Afspraak: Graden afronden

Nadere informatie

Kegelsneden. Les 1 Gelijke afstand (Deze les sluit aan bij paragraaf 1 van Conflictlijnen van de Wageningse Methode.)

Kegelsneden. Les 1 Gelijke afstand (Deze les sluit aan bij paragraaf 1 van Conflictlijnen van de Wageningse Methode.) Kegelsneden Les 1 Gelijke afstand (Deze les sluit aan bij paragraaf 1 van Conflictlijnen van de Wageningse Methode.) De verdeling van de Noordzee Het nabuurprincipe: Elk stukje van de zeebodem hoort Bij

Nadere informatie

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde

Nadere informatie

Basisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk

Basisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk Basisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk Basisconstructie 1 Het lijnstuk AB Neem vanuit A een afstand tussen de benen van de passer die wat groter is dan van A tot het geschatte midden

Nadere informatie

27 Macro s voor de schijf van Poincaré

27 Macro s voor de schijf van Poincaré 27 Macro s voor de schijf van Poincaré 27.1 Inleiding In het secundair onderwijs zijn leerlingen vertrouwd met de Euclidische meetkunde. In het Euclidisch vlak geldt het beroemde 5 de parallellen postulaat:

Nadere informatie

Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel.

Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Raaklijnen Verkennen Raaklijnen Inleiding Verkennen Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Uitleg Raaklijnen Uitleg Opgave 1 Bekijk de Uitleg. a) Wat is de vergelijking

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 05 tijdvak donderdag 8 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Bijkomende Oefeningen: Les 1

Bijkomende Oefeningen: Les 1 1 Inhoudstafel ijkomende Oefeningen: Les 1...2 ijkomende Oefeningen: Les 2...3 ijkomende Oefeningen: Les 3...4 ijkomende Oefeningen: Les 4...5 ijkomende Oefeningen: Les 5...6 ijkomende Oefeningen: Les

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP

PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP OEFENINGEN 1 Kleur de figuren die congruent zijn met elkaar in dezelfde kleur. 2 Gegeven: PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP Gevraagd: Zijn de driehoeken congruent? Verklaar. 3 Gegeven: Gevraagd: Is

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 199 1994 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

Cabri-werkblad Negenpuntscirkel

Cabri-werkblad Negenpuntscirkel Cabri-werkblad Negenpuntscirkel 0. Vooraf - Bij dit werkblad wordt kennis verondersteld van de eigenschappen van parallellogrammen, rechthoekige driehoeken en van de elementaire eigenschappen van de koordenvierhoek.

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 988-989: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -

Nadere informatie

Eerste deel van de cursus Algebra

Eerste deel van de cursus Algebra Eerste deel van de cursus Algebra Procentrekenen Toename met p%: groeifactor = 1 + p% Afname met p% : groeifactor = 1 p% Toename in procenten = Afname in procenten = toename beginwaarde afname beginwaarde

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

Vergelijkingen van cirkels en lijnen

Vergelijkingen van cirkels en lijnen Vergelijkingen van cirkels en lijnen Rechthoekig coördinatenstelsel! Cartesisch coördinatenstelsel! René Descartes (1596-1650) Van hem is de uitspraak: Ik denk, dus ik besta! September 12, 2009 1 Vergelijkingen

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo II

Eindexamen wiskunde B vwo II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie