Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008"

Transcriptie

1 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen. Het eerste deel behandelt het uitwerken van haakjes en het buiten haken brengen van factoren. Hier wordt ook ontbinden in factoren in het algemeen besproken. In het tweede deel wordt het rekenen met breuken herhaald. In het laatste deel tenslotte worden de rekenregels voor machten met reële exponenten terug ingeoefend. Dit pakket biedt eenvoudige oefeningen aan waarin heel duidelijk bepaalde rekenregels dienen toegepast te worden. Het is natuurlijk de bedoeling dat deze rekenregels ook in een andere context niet vergeten worden! Deze module is bedoeld als zelfstudie en kan ook gebruikt worden als leidraad bij het studeren tijdens het academiejaar. 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren In dit deel herhalen we eerst de belangrijkste rekenregels voor het uitwerken van haakjes en het ontbinden in factoren. De daarop volgende voorbeeldoefeningen geven de kans om deze rekenregels nog eens in te oefenen.

2 Algebraïsch rekenen Rekenregels Zij a,b,c,d R. Er geldt: uitwerken van haakjes (1) c(a + b) (a + b)c ac + bc () (a + b)(c + d) ac + ad + bc + bd () (a + b) a b (4) (a b) a + b (5) ( a + b) a b distributiviteit van t.o.v. + minteken voor de haken binnenbrengen (6) (a + b) a + ab + b kwadraat van een tweeterm (7) (a + b) a + a b + ab + b derdemacht van een tweeterm (8) n ( ) n (a + b) n a n k b k k Binomium Van Newton 1 k0 ontbinden in factoren (9) ab + ac a(b + c) (b + c)a (10) a b (a + b)(a b) (11) a + b (a + b)(a ab + b ) (1) a b (a b)(a + ab + b ) (1) (14) a n b n (a b)(a n 1 + ba n + b a n + + b n a + b n 1 ) a n + b n (a + b)(a n 1 ba n + b a n b n a + b n 1 ) afzonderen van een gemeenschappelijke factor merkwaardig product: verschil van twee kwadraten merkwaardig product: som van twee derdemachten merkwaardig product: verschil van twee derdemachten merkwaardig product: verschil van twee n e machten merkwaardig product: som van twee n e machten 1 Zie pakket Sommatieteken en faculteit. Rekenregels (6),(7) en (8) zijn, wanneer men ze in de omgekeerde richting toepast, tevens rekenregels voor het ontbinden in factoren.

3 1. Rekenen met haakjes Voorbeeldoefeningen 1. Werk de haakjes uit en vereenvoudig. (x, y, p, q R) (a) 1 (x y 1) 1 x + y + 1 x + y + (b) 1 (p q) + p 1 p + q + p q + 1 (c) p (p + q) + q p p q + q q. Breng zoveel mogelijk factoren buiten haakjes. (a, b, c, d, x, y, p, q, r R) (a) 18x + 4y + 0p 6 x + 6 4y + 6 5p 6 (x + 4y + 5p) (b) 0ab + 0bc + 5b c d 5b 4ab + 5b 6c + 5b 5bc d 5b (c) 9x y xy xy x xy 1 xy (x + 1) (d) p q 8 p q pq + pq pq 4 pq p + pq pq ( ) pq 4 p + p q of 8 p q pq + pq pq 8 pq p ( pq + pq 1 pq 8 p ) + 1. Vul aan door de voorgestelde factor buiten haken te brengen. (p,r,s R) ( 4ab + 6c + 5bc ) d (a) ( ) ( ) p + 1 p (p + 1) (...) Oplossing: ( ) p (p + 1) ( ) ( ) p + 1 p + 1 (p + 1) 1 + ( ) ) p + 1 (p + 1) (1 + ( p+1 ) ( ) ) p + 1 4(p + 1) (1 + (p + 1) ( ) p + 1 (1 + 4(p + 1)) ( ) p + 1 (1 + 4p + 4) ( ) p + 1 (4p + 5). ( p+1 ) (b) (p + ) 4r 4r(p 1) 4r (...)

4 4 Algebraïsch rekenen Oplossing: (p + ) 4r 4r 4r 4r(p 1) (p + ) 4r 4r (p + ) 4r(p 1) 4r 4r(p 1) 4r 4r (p + (p 1) ) 4r (p + p + ) 4r 5. (c) xs 8 + xs 4 + x s xs 8 (...) Oplossing: xs 8 + xs 4 + x s xs xs 8 (1 + 8xs Maak nu Oefening 1 van Paragraaf 4. xs 8 4. Ontbind volgende uitdrukkingen in factoren. xs 4 xs 8 + xs 8 4xs + 4x s xs xs 8 (1 + s + 4x s ). (a) 81x y 5 (9xy) 5 (9xy + 5)(9xy 5) kwadraten) (b) 9r 4r + 16 (r) ( r 4) + 4 (r 4) x s xs 8 ) (verschil van twee (kwadraat van een verschil) Opmerking: als je hiermee vlot kan rekenen hoef je niet telkens alle tussenstappen op te schrijven. Maak nu Oefening van Paragraaf De Euclidische deling Het quotiënt van de klassieke deling van 19 door is gelijk aan 19/ 6,... Bij de Euclidische deling of deling met rest van 19 door is het quotiënt 6 en de rest

5 1. Rekenen met haakjes Het resultaat van de Euclidische deling van 19 door wordt geschreven als Hierbij is 19 het deeltal, de deler, 6 het quotiënt en 1 de rest. Dit was een eenvoudige Euclidische deling in N. Hoe berekenen we nu het quotiënt en de rest bij een Euclidische deling van veeltermen? Als je bijvoorbeeld de veelterm x + x 5x + (deeltal) wil delen door de veelterm x (deler), ga je als volgt te werk: 1. Deel x door x. Dit geeft x.. Vermenigvuldig x met de deler en trek dit product af van het deeltal. Er blijft 7x 5x + over.. Deel 7x door x. Dit geeft 7x. 4. Vermenigvuldig 7x met de deler en trek dit product af van 7x 5x +. Er blijft 16x + over. 5. Deel 16x door x. Dit geeft Vermenigvuldig 16 met de deler en trek dit product af van 16x +. Dit geeft de uiteindelijke rest 50. x + x 5x + x x 6x x + 7x x 5x + 7x 1x We besluiten: 16x + 16x x +x 5x+ (x +7x+16)(x )+50.

6 6 Algebraïsch rekenen In het algemeen kunnen we schrijven: Na een Euclidische deling is D(x) Q(x) d(x) + R(x) waarbij D(x) het deeltal is, d(x) 0 de deler, Q(x) het quotiënt en R(x) de rest van de Euclidische deling. Hierbij is gr(r(x))< gr(d(x)). Als R(x) 0 zegt met dat de deling opgaat en dat d(x) een deler is van D(x). Om deze deling stap voor stap uit te voeren, gebruiken we het volgende algoritme: 1. Rangschik deeltal D(x) en deler d(x) naar dalende machten van x en vul de ontbrekende machten in het deeltal aan met coefficiënten nul. Plaats deeltal en deler in een deelschema.. Deel de term met de hoogste macht van het deeltal door de term met de hoogste macht van de deler. Zo bekom je de eerste term van het quotiënt Q(x).. Vermenigvuldig deze eerste term van Q(x) met de deler en trek dit product af van het deeltal. Zo bekom je de gedeelde rest. 4. Deel de term van de hoogste macht van de gedeelde rest door de hoogste term van de deler. Dit geeft de tweede term van Q(x). 5. Herhaal deze werkwijze tot de graad van de gedeelde rest kleiner is dan de graad van de deler. Voorbeeldoefeningen Bereken het quotiënt en de rest door het uitvoeren van een Euclidische deling. 1. Deel x 8 door x +.. Deel x + 9x + door x Deel 4x 4 + x + x + 1 door x + 1.

7 1. Rekenen met haakjes 7 Oplossingen: 1) x + 0x + 0x 8 x + x + 4x x 5x + 8 4x + 0x 8 4x 8x ) x + 0x + 9x + x + 4 x 4x x + 4x 7 4x + 9x + 4x + 16x 8x 8 8x x + 7x We besluiten: x 8 (x 5x + 8)(x + ) 4. We besluiten: x + 9x + ( x + 4x 7)(x + 4) + 0. ) 4x 4 + x + 0x + x + 1 x + 1 4x 4 + x x + 1 x 1 x x + x + 1 x + 1 x x + x + 1 x 1 x + Maak nu Oefening van Paragraaf 4. We besluiten: 4x 4 + x + x + 1 (x + 1 ) ( ) x 1 (x + 1) + x Deling door x a Indien de deler d(x) van de vorm x a is (met a R), dan kunnen we in plaats van een deelschema ook het rekenschema van Horner gebruiken om de Euclidische deling uit te voeren. Alvorens we dit rekenschema bespreken, onderzoeken we eerst welke voorwaarden noodzakelijk zijn opdat x a een deler is van een bepaalde veelterm A(x).

8 8 Algebraïsch rekenen Bij de Euclidische deling van een veelterm door x a (met a R) is de rest van de deling gelijk aan de getalwaarde van het deeltal voor x a. Bewijs: Uit de definitie van Euclidische deling volgt dat A(x) Q(x)(x a) + R met Q(x) het quotiënt en R R de rest. Hieruit volgt dat A(a) Q(a)(a a) + R R. De veelterm A(x) is deelbaar door x a (met a R) als en slechts als de getalwaarde voor x a gelijk is aan nul. D.i. x a A(x) A(a) 0. Bewijs: Uit de definitie van deelbaarheid volgt dat x a A(x) als en slechts als er een reële veelterm Q(x) bestaat zodat A(x) Q(x)(x a). Hieruit volgt dat A(a) Q(a)(a a) 0. Hoe bepalen nu we de delers van de vorm x a? Voorbeeld Bepaal de delers van de vorm x a van de veelterm A(x) x 4 10x + 9. Volgens het criterium van deelbaarheid geldt Hieruit volgt dat (x 1) A(x) omdat A( 1) 0 (x + 1) A(x) omdat A( 1) 0 (x ) A(x) omdat A( ) 0 (x + ) A(x) omdat A( ) 0 (x 9) A(x) omdat A( 9) 0 (x + 9) A(x) omdat A( 9) 0. x a A(x) A(a) 0. Hierbij valt op dat 1, 1, en delers zijn van 9. Dit is niet toevallig, zoals blijkt uit volgend resultaat: Als x a een deler is van een veelterm A(x) dan is a een deler van de constante term van deze veelterm A(x). Gaan we terug naar voorgaand voorbeeld, dan zien we dat x + een deler is van de veelterm A(x) x 4 10x + 9. We kunnen het quotiënt van deze deling bepalen met behulp van de Euclidische deling, zoals uitgelegd in Paragraaf 1.. Een alternatieve en snellere manier om het quotiënt te bepalen, maakt gebruik van het rekenschema van Horner. Omdat we de deling door x a bespreken is a in dit geval gelijk aan.

9 1. Rekenen met haakjes Coëfficiënten van het deeltal a (-) -.(-) 9-1.(-).(-) Coëfficiënten van het quotiënt en de rest rest Figuur 1: Het rekenschema van Horner Het quotiënt is dus x x x + en de rest is 0. Hernemen we het voorbeeld uit Paragraaf 1., nl. de deling van x + x 5x + door x. Daar hebben we deze deling uitgevoerd m.b.v. een deelschema. We maken nu deze deling opnieuw d.m.v. het rekenschema van Horner Figuur : Het rekenschema van Horner Merk op dat de rest 50 ook de getalwaarde van het deeltal voorstelt voor x, d.i

10 10 Algebraïsch rekenen Besluit Om de eventuele delers van de vorm x a (a R) van een veelterm te vinden en het bijhorende quotiënt te zoeken, ga je als volgt te werk: Bepaal de delers van de constante term van de veelterm. Bepaal de getalwaarde van de veelterm voor deze delers. Als deze getalwaarde 0 is, dan heeft de deling door x a (met a deler van de constante term) rest 0. Bepaal dan het quotiënt van de deling door een Euclidische deling uit te voeren of door het rekenschema van Horner toe te passen. Maak nu Oefening 4 van Paragraaf 4. Rekenen met breuken In dit deel geven we heel bondig de rekenregels voor het werken met breuken. Deze zijn heel eenvoudig, de bedoeling is echter dat je deze rekenregels kan toepassen in moeilijkere berekeningen zoals de daaropvolgende voorbeeldoefeningen.

11 . Rekenen met breuken 11.1 Rekenregels Zij a,b,c,d R. Er geldt: a + b c a b + c d a c + b c ad + cb bd ab ac b c a b c a bc ac b a b c a b c d ad bc indien c 0 indien b, d 0 indien a, c 0 indien b,c 0 indien b,c 0 indien b,c,d 0 breuken splitsen breuken optellen breuken vereenvoudigen rekenregels voor meerdere breukstrepen. Voorbeeldoefeningen 1. Numerieke voorbeelden Breuk splitsen: Breuken optellen: Breuk vereenvoudigen: Rekenen met meerdere breukstrepen:. Symbolisch rekenen (x,y,p,q R) Rekenen met meerdere breukstrepen: Stel x,y 0, dan is x + y (x + y)y x x y Rekenen met meerdere breukstrepen: x+y x Stel x,y 0, dan is y x + y xy Breuk vereenvoudigen verschil van twee kwadraten: Stel p q 0, dan is p q (p + q)(p q) p + q p q p q

12 1 Algebraïsch rekenen Breuk vereenvoudigen, rekenen met meerdere breukstrepen factor afzonderen: p(1+q) pq Stel p,q 0, dan is (1 + q)q 1 + q q p qp p+qp pq p q Breuken splitsen, rekenen met meerdere breukstrepen: 1 1 Stel x 0, dan is 1 x+1 x 1 ( 1 ) x x Los nu Oefening 5 van Paragraaf 4 op. p q 1+q q p q 1 1 x 1x 1 x De machtsverheffing: definitie en rekenregels.1 Machtsverheffing met een reëel grondtal en een gehele exponent Definitie.1 (Machtsverheffing met reëel grondtal en gehele exponent) Zij a R en n N. De macht a n (spreek uit: a tot de macht n of a tot de n-de) met grondtal a en exponent n wordt als volgt gedefinieerd: a n def 1 als n 0 als n N 0. a a a } {{ } n factoren Zij a R 0 en n N. De macht a n met grondtal a en exponent n wordt als volgt gedefinieerd: a n def 1 a n. Bijzondere gevallen. a 0 1 voor alle a R, i.h.b. geldt (per afspraak) dat a 1 a voor alle a R a 1 1 a voor alle a R 0 0 n 0 voor alle n N 0, nochtans hebben we dat

13 . De machtsverheffing: definitie en rekenregels 1 0 z is niet gedefinieerd voor z Z 0. 1 z 1 voor alle z Z. Rekenregels. Zij x,y R en m,n N. Er geldt: x m x n x m+n x m x n xm n als x n 0 (xy) n x n y n ( ) n x xn als y 0 y y n (x m ) n x mn Zij x,y R 0 en m,n Z. Er geldt: x m x n x m+n x m x n xm n (xy) n x n y n ( ) n x xn y y n (x m ) n x mn

14 14 Algebraïsch rekenen. Machtsverheffing met een strikt positief reëel grondtal en een reële exponent Definitie.4 (Machtsverheffing met grondtal in R + 0 en exponent in Q) Zij a R + 0 en n N 0. De macht a 1 1 n met grondtal a en exponent n wordt gedefinieerd als het uniek strikt positief reëel getal waarvan de n-de macht gelijk is aan a: { 1 a n ( > 0 en n a n) 1 a. De macht a 1 n wordt ook wel genoteerd met n a. Zij a R + 0, m Z en n N 0. De macht a m n als volgt gedefinieerd: a m n def m met grondtal a en exponent n wordt ( m a n) 1. Bijzondere gevallen.5 a 1 n n a voor alle a R + 0 en alle n N 0, i.h.b. hebben we a 1 a voor alle a R + 0. a 1 n 1 n a n 1 a voor alle a R+ 0 en alle n N 0 a m n ( n a ) m n a m voor alle a R + 0, alle m Z en alle n N 0 1 q 1 voor alle q Q. Machtsverheffing met een strikt positief reëel grondtal en een reële exponent We wensen tenslotte ook a r te definiëren met a R + 0 en r R. Dit is niet evident en we zullen de definitie hier ook niet in detail geven. Hiervoor verwijzen we naar de cursus wiskunde uit het eerste jaar waar dit zeker nog aan bod komt. Wel schets ik hier kort één mogelijke manier om zin te geven aan de uitdrukking a r met a R + 0 en r R. Neem dus a R + 0 en r R. We weten reeds dat a q goed gedefinieerd is voor elk rationaal getal q. Ook weet je wellicht nog dat je elke reëel getal r oneindig goed kan benaderen d.m.v. rationale getallen. Concreet wil dit zeggen dat gegeven een reëel getal r er een oneindige rij q 1,q,q,... bestaat van rationale getallen die r met steeds hogere

15 . De machtsverheffing: definitie en rekenregels 15 nauwkeurigheid benaderen, zodat uiteindelijk elke gewenste nauwkeurigheid vanaf een bepaald getal in de rij bereikt wordt. Men zegt in dit geval dat de rij q 1,q,q,... naar r convergeert en men noteert dit met q n r als n of met lim n q n r. Stel nu dat q 1,q,q,... zo n rij is die naar r convergeert. We kunnen dan voor elke q n in die rij de macht a qn beschouwen. Op die manier bekomen we een nieuwe rij a q 1,a q,a q,... Nu blijkt dat ook deze rij steeds zal convergeren naar een zeker reëel getal s en dat deze limiet niet afhangt van de keuze van de rij q 1,q,q,... die we gebruikt hebben om r te benaderen. Dit laat ons dan toe om de macht a r te definiëren als dat getal s dat je op die manier bekomt en dat enkel afhangt van a en r. Zelfs voor machten met reële exponenten (en dus i.h.b. voor machten met rationale exponenten) blijven de gebruikelijke rekenregels (zoals we die reeds zagen voor machten met gehele exponenten) gelden. We sommen ze hieronder nog eens op, (natuurlijk) zonder bewijs. Rekenregels.6 Zij x,y R + 0 en r,s R. Er geldt: x r x s x r+s x r x s xr s (xy) r x r y r ( ) r x xr y y r (x r ) s x rs. Voorbeeldoefeningen 1. Numerieke voorbeelden ( (1 ) ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( )

16 16 Algebraïsch rekenen. Stel x,y R 0 dan geldt: 4 x x x 4 1 x x ( x 4 x ) x6 ( 4 x ) x6 ( x y y xy ( ) x 1 4 x6 x 4 x x x 1 ) 4 y (x y) 4 x 4 y 4 y x4 y x 4 y 4 y 1 y 1 48x 9 y 4 (16 )(x 8 x)y 4 16 (x 4 ) x (y ) 4x 4 y x 4x 4 y x Los nu oefening 6 van paragraaf 4 op. 4 Oefeningen 1. Breng zoveel mogelijk factoren buiten haken of vul aan. Stel u,s,t R 4st + 1t 60ut st 8 + s t 1 + s t s + ( 5s 8. Ontbind in factoren. x 1 + (s + ) s + ) (u 1) 5s(u + 1) 5x y x + 4xy + 6y [...] ( ) 5s [...] 8. Zoek het quotiënt en de rest van volgende delingen met behulp van een Euclidische deling. x 4 1 door x 1. 4x + 4x 5x door x x 1. 5x + 15 door x + 5. x + 8x x + 1 door x +.

17 4. Oefeningen Bepaal voor onderstaande veeltermen een deler van de vorm x a en bereken het quotiënt met behulp van het rekenschema van Horner. x 4 x + 1 x 9x 5x + 6 x Schrijf zo eenvoudig mogelijk. Stel a,b,c R 0. a b c a b b 1 a b 1 a+b b a b a b c 6. Schrijf zo eenvoudig mogelijk. Stel x,y R en a,b R 0. a a 5 ( x 6 y 8) 1/ ( ) a 4 a b b 4 ab 7. Vul aan. 4x 5 (p + 1) + x 4x [...] (p + 1) + (p + 1) 6 (p + 1) (m + n) m (m + n) m... (m + n) q 8 + q q... q 8 x + 4 x 1 + (x 1)... x(x 1) [...]

18 18 Algebraïsch rekenen 8. Werk uit en vereenvoudig zo goed mogelijk. ( ) x6 y (x + y)4 y y 64x 5 ( ) y 4 y 6 y y 4 9p 16 9(p + 4) 1 p m+ 1 ( ) m 1 m+1

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

3.1 Haakjes wegwerken [1]

3.1 Haakjes wegwerken [1] 3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 : Delen van veeltermen

Hoofdstuk 7 : Delen van veeltermen - 19 - Hoofdstuk 7 : Delen van veeltermen Delen van veeltermen door een veelterm: (boek pag 16) Bepaal het quotient en de rest van de volgende delingen (oefeningen pag 19 nr. - 5-6) 1.. 18 9 + 11 + 6........................

Nadere informatie

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO Rekenvaardigheden voor klas en VWO Een project in het kader van het Netwerk VO-HO West Brabant Voorjaar 00 Samenstelling: M. Alberts (Markenhage College, Breda) I. van den Bliek (Mencia de Mendoza, Breda)

Nadere informatie

inhoudsopgave juni 2005 handleiding haakjes 2

inhoudsopgave juni 2005 handleiding haakjes 2 handleiding haakjes inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de opzet van haakjes 3 bespreking per paragraaf 5 rekenen trek-af-van tegengestelde tweetermen merkwaardige producten tijdpad 6 materialen voor een klassengesprek

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

WISNET-HBO. update aug. 2011

WISNET-HBO. update aug. 2011 Basiskennis van machten WISNET-HBO update aug. 0 Inleiding Deze les doorwerken met pen en papier! We noemen de uitdrukking a 4 (spreek uit: a tot de vierde macht) een macht van a (in dit geval de vierde

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

1.3 Rekenen met pijlen

1.3 Rekenen met pijlen 14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat.

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat. 92 Algebra 3.2 Basiskennis Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: 3.2.1 De getallenlijn... -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5... 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen Het=teken 5+2+3=10 = geeft aan dat wat links van = staat,

Nadere informatie

Producten, machten en ontbinden in factoren

Producten, machten en ontbinden in factoren Joke Smit College Producten, machten en ontbinden in factoren Voor cursisten uit de volgende klassen: alle Havo en VWO klassen (wiskunde, wiskunde A en wiskunde B) Wat kun je oefenen? 1. Het uitrekenen

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

Grafieken van veeltermfuncties

Grafieken van veeltermfuncties (HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken

Nadere informatie

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a. 98 Algebra 3.3 Variabelen 3.3.1 Inleiding F= 9 5 15+32= 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5 INHOUDSTABEL 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3 2. TEKENREGELS (fiche 2)... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)... 6 2c. OMGEKEERDE

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

KU Leuven. Faculteit Wetenschappen Faculteit Bewegings- en Revalidatiewetenschappen. Introductieweek. Faculteit Bewegings- en Revalidatiewetenschappen

KU Leuven. Faculteit Wetenschappen Faculteit Bewegings- en Revalidatiewetenschappen. Introductieweek. Faculteit Bewegings- en Revalidatiewetenschappen KU Leuven Faculteit Wetenschappen Faculteit Bewegings- en Revalidatiewetenschappen Introductieweek Faculteit Bewegings- en Revalidatiewetenschappen WISKUNDE Sophie Raedts, Riet Callens, Kaat Zeeuwts, Annouk

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

Vergelijkingen in één onbekende

Vergelijkingen in één onbekende Module 3 Vergelijkingen in één onbekende 3.1 Lineaire vergelijkingen Dit zijn vergelijkingen die herleid kunnen worden tot de gedaante ax+b = 0 met a,b Ê en a 0 ax+b = 0 ax = b x = b a V = { b } a Voorbeelden

Nadere informatie

Goed aan wiskunde doen

Goed aan wiskunde doen Goed aan wiskunde doen Enkele tips Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D haeseleer Annemie Vermeyen Maart 2011 Waarom? Dit document somt de belangrijkste aandachtspunten op als je een wiskundeopgave

Nadere informatie

Wiskunde Module! Basisprogramma Psychologische Methodenleer! Alexander Ly (en Raoul Grasman)!

Wiskunde Module! Basisprogramma Psychologische Methodenleer! Alexander Ly (en Raoul Grasman)! Wiskunde Module! Basisprogramma Psychologische Methodenleer! Alexander Ly (en Raoul Grasman)! Inhoudsopgave! Wiskunde en psychologie! Doelstelling van de module! Opzet van de module! Algebra: reken regels!

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1) Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 (versie 27 juni 2008) Inleiding In deze module zullen we het gebruik van het sommatieteken en de faculteitsoperatie herhalen en bespreken adhv voorbeeldoefeningen

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Definitie Betekenis van de afgeleide 1 2 Standaardafgeleiden

Nadere informatie

Inhoudsopgave. I Theorie 1

Inhoudsopgave. I Theorie 1 Inhoudsopgave I Theorie 1 1 Verzamelingen 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Bewerkingen met verzamelingen........................... 6 1.2.1 Vereniging (unie) van twee verzamelingen.................

Nadere informatie

Dossier 3 PRIEMGETALLEN

Dossier 3 PRIEMGETALLEN Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,

Nadere informatie

Eentermen en veeltermen

Eentermen en veeltermen I Eentermen en veeltermen. Vul de tabel aan. eenterm coëfficiënt lettergedeelte 4 abc 4 rq 4 0,r t -6 z -4 8 a b c. Noteer de volgende algebraïsche vormen als eentermen door gebruik te maken van coëfficiënten

Nadere informatie

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2 handleiding algebra inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 De grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 1 Routes in een rooster 4 2 Oppervlakte in een rooster 4 3 Producten 4 4 Onderzoek 5 Tijdpad 9 Materialen voor

Nadere informatie

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be SOORTEN GETALLEN (Dit hoofdstukje geldt als inleiding en is geen te kennen leerstof). Natuurlijke getallen

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

1. Optellen en aftrekken

1. Optellen en aftrekken 1. Optellen en aftrekken Om breuken op te tellen of af te trekken maak je de breuken gelijknamig. Gelijknamig maken wil zeggen dat je zorgt voor 'gelijke noemers': Om de breuken met 'derden' en 'vijfden'

Nadere informatie

Het rechterlid van het voorschrift van een veeltermfunctie is een veelterm in één veranderlijke.

Het rechterlid van het voorschrift van een veeltermfunctie is een veelterm in één veranderlijke. 5 ASO H zwak leerboek 5-8- 6:9 Pagina. INLEIDING Vorig jaar maakten we al kennis met een basispakket functies : h g a) de constante functies : f () = a b) de eerstegraadsfuncties : g () = a + b c) de tweedegraadsfuncties

Nadere informatie

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999 ANTWOORDEN blz. 3 a. Zeer onwaarschijnlijk Zeer onwaarschijnlijk a. Dan heb je ergens een schuld uitstaan 86 Dan hadden beide een kopie van de kerfstok; om fraude te voorkomen a. MMXII, MCCCXXVII, DLXXXVI,

Nadere informatie

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal

Nadere informatie

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel) 1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht

Nadere informatie

Instructies zijn niet alleen visueel, maar ook auditief, met hoogkwalitatief ingesproken geluid (geen computerstem).

Instructies zijn niet alleen visueel, maar ook auditief, met hoogkwalitatief ingesproken geluid (geen computerstem). Getallen 3 Doelgroep Getallen 3 is bedoeld voor leerlingen in klas 3-5 van de havo, klas 3-6 van het vwo en in mbo 3&4. Het programma is bijzonder geschikt voor groepen waarin niveauverschillen bestaan.

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

12. Uitwerkingen van de opgaven

12. Uitwerkingen van de opgaven 12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);

Nadere informatie

Statistiek: Vorm van de verdeling 1/4/2014. dr. Brenda Casteleyn

Statistiek: Vorm van de verdeling 1/4/2014. dr. Brenda Casteleyn Statistiek: Vorm van de verdeling /4/204 . Theorie Enkel de theorie die nodig is voor de oefeningen is hierin opgenomen. Scheefheid of asymmetrie Indien de meetwaarden links van de mediaan meer spreiding

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

Voorkennis : Breuken en letters

Voorkennis : Breuken en letters Hoofdstuk 1 Rekenregels en Verhoudingen (H4 Wis A) Pagina 1 van 11 Voorkennis : Breuken en letters Les 1 : Breuken Bereken : a. 4 2 3 b. x 5 = c. 12 3 x a. 4 2 3 = 8 3 = 2 2 3 b. x 5 = 1 5 x c. 12 3 x

Nadere informatie

x = - 5 voldoet niet. De tennisbal komt na 25 meter op de grond.

x = - 5 voldoet niet. De tennisbal komt na 25 meter op de grond. 8 Leereenheid 1.1 Ontbinden en vergelijken ----- 6 Formuleer de wetmatigheid in de uitkomsten van de volgende sommen, nadat je deze met behulp van computeralgebra hebt berekend. a (x-l)4= d (x-lr= b (x

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden

1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden 1 Hele getallen Peter Ale Martine van Schaik u i t g e v e r ij c o u t i

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16 Inhoud Voorwoord v Het metrieke stelsel vii Inhoud ix Trefwoordenlijst x 1 Basis 1.1 1.1 Veel voorkomende berekeningen 1.1 1.2 Van punt tot vlak 1.4 1.3 Oppervlakten berekenen 1.12 1.4 Zelf tekenen 1.16

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

exponentiële standaardfunctie

exponentiële standaardfunctie 9.0 Voorkennis In de grafiek is de eponentiële standaardfunctie f() = getekend; D f = R, B f = (0, ) met de -as als asymptoot (Dit volgt uit: lim 0 ); Elke functie g met g > heeft deze vorm; Voor g > is

Nadere informatie

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013 Breuken met letters WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers

Nadere informatie

Rekenen in Ê. Module De optelling. Definitie

Rekenen in Ê. Module De optelling. Definitie Module 1 Rekenen in Ê 1.1 De optelling Definitie Het resultt vn de optelling vn reële getllen en b noemen we de som vn en b en noteren we met +b. De getllen en b zelf noemen we de termen vn de som. Voorbeelden

Nadere informatie

Gehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking

Gehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking 4 Gehele getallen: machtsverheffing en vierkantsworteltrekking Dit kun je al gehele getallen vermenigvuldigen 2 afspraken i.v.m. de volgorde van de bewerkingen toepassen 3 regelmaat en patronen ontdekken

Nadere informatie

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten Hoofdstuk 12 Sommen van kwadraten 12.1 Sommen van twee kwadraten In Hoofdstuk 11 hebben we gezien dat als p een oneven priemdeler van a 2 + b 2 is, en p deelt niet zowel a als b, dan is p gelijk aan 1

Nadere informatie

Proefexemplaar. Wendy Luyckx Mark Verbelen Els Sas. Dirk Vandamme. bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door. Cartoons.

Proefexemplaar. Wendy Luyckx Mark Verbelen Els Sas. Dirk Vandamme. bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door. Cartoons. bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door Wendy Luyckx Mark Verbelen Els Sas Cartoons Dirk Vandamme Leerboek Getallen ISBN: 78 0 4860 48 8 Kon. Bib.: D/00/047/4 Bestelnr.: 4 0 000

Nadere informatie

Domeinbeschrijving rekenen

Domeinbeschrijving rekenen Domeinbeschrijving rekenen Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal auteur: Jan van de Craats 11 december 2007 Inleiding Dit document bevat een beschrijving van

Nadere informatie

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214 Open Inhoud Universiteit Appendix A Wiskunde voor milieuwetenschappen Voorkennis getallenverzamelingen en algebra Introductie Leerkern Natuurlijke getallen Gehele getallen 8 Rationele getallen Machten

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

Differentiëren. Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden

Differentiëren. Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden Differentiëren Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 Voorkennis Repeteer de standaardafgeleiden en de rekenregels voor differentiëren. Draai eventueel het

Nadere informatie

handleiding ontbinden

handleiding ontbinden handleiding ontbinden inhoudsopgave inhoudsopgave de grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 4 Applets 4 1 met gegeven product 4 ontbinden van getallen 4 3 vergelijkingen 5 4 onderzoek 6 tijdpad 9 materialen

Nadere informatie

Hoe schrijf je de logaritmische waarden welke bij db s horen?

Hoe schrijf je de logaritmische waarden welke bij db s horen? Die moeilijke decibellen toch. PA0 FWN. Inleiding. Ondanks dat in Electron al vaak een artikel aan decibellen is geweid, en PA0 LQ in het verleden al eens een buitengewoon handige tabel publiceerde waar

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 2

Zomercursus Wiskunde. Module 2 Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 2 Het sommatieteken en de faculteit (versie 23 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Het sommatieteken 2 1.1 Eenvoudige voorbeelden..........................

Nadere informatie

LESFICHE 1. Handig rekenen. Lesfiche 1. 1 Procent & promille. 2 Afronden. Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd.

LESFICHE 1. Handig rekenen. Lesfiche 1. 1 Procent & promille. 2 Afronden. Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd. Lesfiche 1 1 Procent & promille Handig rekenen Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd. 5 5 % is dus 5 per honderd. In breukvorm wordt dat of 0,05 als decimaal getal. Promille ( ) betekent

Nadere informatie

Combinatoriek groep 2

Combinatoriek groep 2 Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een

Nadere informatie

Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen

Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen 2.1 Natuurlijke getallen 1 Rangschik de volgende natuurlijke getallen van klein naar groot. 45 54 56 78 23 25 77 89 2 050 2 505 2 055 2 500 2 005 879

Nadere informatie

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ...

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ... PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE a) Begrippen uit de getallenleer Bewerking optelling aftrekking vermenigvuldiging Symbool deling : kwadratering... machtsverheffing...

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Groepen, ringen en velden

Groepen, ringen en velden Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:

Nadere informatie

Getallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2. Omschrijving Rekenen en Wiskunde Getallen 2

Getallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2. Omschrijving Rekenen en Wiskunde Getallen 2 Getallen 2 Getallen 2 bestrijkt de uitbreiding van de basisvaardigheden van het rekenen, regels en vaardigheden die in het vmbo en de onderbouw van havo/vwo worden aangeleerd, geoefend en toegepast. Doelgroep

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: Logaritmen en getal e 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002 RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven

Nadere informatie

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde.

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. 5.0 Voorkennis Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. Vermenigvuldigen is eponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige

Nadere informatie

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen 46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:

Nadere informatie

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H17 Hints en uitwerkingen huiswerk 013 Analyse 1 H17 Rocco van Vreumingen augustus 014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 Hints 4 3 Hints 3 4 4 Hints 4 5 5 Hints 5 5 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Hints 8 6 9 Hints 9

Nadere informatie

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn

Nadere informatie