Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009

Transcriptie

1 Studiewijzer Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80), cursus 2008/2009 Inleiding In de cursus Calculus 1 voor Bouwkunde (2DB80) wordt gebruikt het boek Calculus, Early Transcendental Functions Robert T. Smith, Roland B. Minton, third edition, Mc Graw Hill, In deze studiewijzer is per week een overzicht gegeven van achtereenvolgens: * de stof uit het boek die op college wordt behandeld * belangrijke begrippen hieruit * de opgaven voor de instructies. De colleges Calculus 1 voor de eerstejaars studenten worden gegeven door: Dr.A.G. van Asch (tel. 2810, a.g.v.asch@tue.nl) onder de code 2DB80. In elk blok worden de colleges en instructies in de eerste vier weken gegeven. Het is de bedoeling dat de leerstof voorafgaand aan de instructies bestudeerd wordt. Ook is het raadzaam alvast naar de instructie-opgaven te kijken, en daar eventueel vooraf al mee te oefenen. De nadruk in het vak Calculus 1 zal liggen op het verwerven van kennis en vaardigheden met betrekking tot een aantal elementaire wiskundige zaken. Zeker in het begin kan daardoor de indruk gewekt worden dat onderwerpen uit het VWO programma herhaald worden. Inhoudelijk is dat op een aantal punten ook zo, maar de werkwijze is wel verschillend. Het gaat er nu vooral om om zelf met de hand berekeningen te kunnen maken, en om verschillende regels en eigenschappen uit het hoofd te leren. Rekenvaardigheden Op het college en de instructies wordt uitgegaan van bepaalde rekenvaardigheden en het paraat hebben van formules. Hoe het er hiermee voor staat kan getoetst worden op de volgende website: 1

2 Indien er een achterstand of deficiëntie is, kan het dictaat Rekenvaardigheden aanschaft worden bij de dictaten verkoop. Hierin staan veel relevante formules en opgaven. Verder is het boek: Basis wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch. (ISBN ) aan te bevelen. Tenslotte is het ook mogelijk om mee te doen aan het project Wortel Tu/e op de website: Klik aan de linkerkant in het tweede blok: Cursuscategorieën op: Alle cursussen. Vervolgens bij TU/e, Colleges: Calculus voor Bouwkunde aanklikken. Om aan de cursus te kunnen deelnemen, moet men zich wel eerst aanmelden (Account maken). Per komt er dan een bevestiging, zodat men verder kan. Tentaminering Het semester bestaat uit drie blokken. Na het tweede blok vindt er een deeltentamen van 1.5 uur plaats. Dit deeltentamen gaat over de volgende paragrafen (voor zover behandeld): Chapter 0: 0.1, 0.3, 0.4, 0.5 Chapter 1: 1.2 t/m 1.5 Chapter 2: 2.1 t/m 2.4 Na het derde blok is er een tentamen van 3 uur over de gehele stof. Dit tentamen bestaat uit een duidelijk onderscheiden A-deel over de stof van het deeltentamen (in feite te beschouwen als herkansing van dit deeltentamen), en een B-deel over de resterende stof. Voor elk van de twee delen wordt een cijfer gegeven, en het eindcijfer is het gemiddelde (eventueel afgerond) van deze twee cijfers. Studenten kunnen op grond van een goed resultaat bij het deeltentamen er voor kiezen deel A niet te maken, en al hun tijd aan deel B te besteden. Voor deel A wordt dan het cijfer van het deeltentamen ingevuld. Als iemand zowel het deeltentamen als deel A van het afsluitende tentamen doet wordt het hoogste resultaat gebruikt bij het vaststellen van het eindcijfer. Na het eerste blok van het tweede semester vindt er een herkansing van Calculus 1 plaats. Deze herkansing is een ongedeeld tentamen over de gehele stof. Schema tentaminering voor de het vak Calculus 1 voor B, cursus 2007/2008. Na blok B: deeltentamen Calculus 1 voor B, code 2XB80, tijdsduur 1.5 uur. Na blok C: tentamen Calculus 1 voor B, code 2DB80, tijdsduur 3 uur. 2

3 Na blok D: tentamen Calculus 1 voor B, code 2DB80, tijdsduur 3 uur. Tijdens de (deel)tentamens zal het gebruik van een rekenmachine, laptop of formulekaart niet toegestaan zijn. Geef je tijdig op voor (deel)tentamens! Als je je niet hebt opgegeven wordt eventueel werk dat je inlevert niet nagekeken. 3

4 Tijdschema Blok A, week (tot Example 1.20) Onderwerpen: Ongelijkheden, absolute waarde, oplossen van ongelijkheden. Vergelijkingen van rechte lijnen, definitie functie, polynoomfuncties, rationale functies, grafiek van een functie. Opgaven: 0.1 : 2, 6, 12, 17, 19, 25, 44, 45 Extra opgaven: 1. Los de volgende ongelijkheden op. (a) 4 3x < 6 (b) 2 < 2 2x < 3 (c) x 2 x 6 < 0 (d) 3 x < 1 (e) x + 2 x 2 > 0 8x (f) (x + 1) < Bepaal de afstand tussen de punten ( 1, 2) en (3, 2). 4

5 Blok A, week (vanaf Example 1.20) 0.4 (tot The Inverse Trigonometric Functions, met uitzondering van de functies sec, csc, cot) Onderwerpen: Nulpunten van een kwadratische vergelijking, nulpunten van een derdegraadsvergelijking indien een factor uitgedeeld kan worden. Snijpunten van een lijn en een parabool. De functies sinus, cosinus en tangens, periodiciteit, amplitude, sin(x + π ) = cos x, 2 sin 2 x + cos 2 x = 1, somformules, herschrijven van sommen van sinus en cosinus. Opgaven: 0.1 : 68, 70, 71, : 33, 34, 47, 48, 53, 55 Extra opgave: Los de volgende vergelijkingen op: 1. cos 2 x + cos x = 0 2. sin 2 x + cos x 1 = cos 2 x + 3 sin x 3 = 0 Antwoorden 1. x = 1 π + kπ, x = π + 2kπ 2 2. x = 1 π + kπ, x = 2kπ 2 3. x = 1 6 π + 2kπ, x = 5 6 π + 2kπ, x = 1 2 π + 2kπ 5

6 Blok A, week (met uitzondering van Examples 5.11 en 5.14) Extra: Oplossen van vergelijkingen met hyperbolische functies. Onderwerpen: Rekenregels voor exponenten, de exponentiële functie, het getal e, grafieken van e-machten, de logaritmische functie, de natuurlijke logaritme, vergelijkingen met logaritmen, grafiek van logaritmische functies, rekenregels voor logaritmen. De hyperbolische functies. Opgaven: 0.5 : 31, 37, 39, 42, 48, 49, 53, 54, 72 Extra opgave: Los de volgende vergelijkingen op. 1. sinh x = 2 2. tanh x = cosh x 3 sinh x = 5 4. cosh x 2 tanh x = 0 Antwoorden 1. x = ln ( ) 2. x = 1 2 ln 3 3. x = 0, x = ln 4 4. x = ln ( ) 6

7 Blok A, week (vanaf The Inverse Trigonometric Functions, met uitzondering van sec 1 ) Onderwerpen: De inverse van een functie. De inverse van de sin, cos en tan, vereenvoudigen van uitdrukkingen met arcsin, arccos en arctan. Opgaven: 0.3 : 11, 13, : 37, 38, 39, 40, 42, 58, 61 7

8 Blok B, week (tot The Method of Bisection, niet Examples 4.2, 4.3 en 5.8) Onderwerpen: Het begrip limiet, eenzijdige limiet, lim x 0 sin x x = 1 zonder bewijs. Het berekenen van limieten, rekenregels, insluitstelling. Continuïteit in een punt en op een interval, discontinuïteiten, continuïteit van sommen, producten en quotienten van continue functies, de tussenwaardestelling. Oneindige limieten en limieten in oneindig, limieten van rationale functies, verticale en horizontale asymptoten. Opgaven: 1.3 : 4, 7, 8, 9, 11, 16, 27, 35, 37, 43, : 5, 11, 25, 30, : 1c, 5, 9, 17, 19, 28 Extra opgaven: Bepaal de limiet: lim x 1 (x 2 2x 3) 2/3 Bepaal de limiet: lim x x Antwoorden ( x2 + 3 x) 8

9 Blok B, week Zelf doen! Herhaling VWO-stof. 2.2 (tot "Numerical Differentiation") 2.3 (met uitzondering van het bewijs van Theorem 3.1 (Power rule) op blz. 171/172) 2.4 Onderwerpen: Herhaling differentiequotiënt, raaklijn, richtingscoëfficiënt. De afgeleide van een functie in een punt, differentiëren van functies, differentieerbaarheid impliceert continuïteit. Berekenen van afgeleiden, rekenregels voor som, verschil en product met een constante. Productregel, quotiëntregel. Opgaven: 2.2 : 6, 8, : 16, 19, 20, : 3, 6, 7, 17, 19 9

10 Blok B, week (niet de functies sec, csc en cot, dus alles uitdrukken in sin, cos en tan) 2.7 Onderwerpen: De kettingregel. Een tweetal standaardlimieten voor sin en cos, de afgeleide van sin, cos en tan, de afgeleiden van sommen, producten, quotiënten en samengestelde functies waarin goniometrische functies voorkomen. Afgeleiden van exponentiële- en logaritmische functies. Opgaven: 2.5 : 1, 5, 13, : 7, 8, 11, 15, : 2, 3, 7, 14, 16, 17, 18 10

11 Blok B, week (niet de afgeleiden van de functies arcsec, arccsc, arccot) Onderwerpen: Functieonderzoek en het schetsen van grafieken van functies. Impliciet differentiëren, differentiëren van vergelijkingen voor het verkrijgen van relaties tussen afgeleiden. De afgeleiden van arcsin, arccos en arctan. Opgaven: 3.6 : 3, 6, 13, : 3, 5, 11, 13, 29, 30, 31 11

12 Blok C, week 1 Appendix Onderwerpen: Parametervoorstelling van een kromme Kromming, kromtestraal Opgaven: 5 Appendix: opgaven 1, 2, 3, 4, 5 12

13 Blok C, week Belangrijke begrippen: primitieve Riemann som bepaalde integraal gemiddelde waarde van een functie Zelfstudie. Bestudeer de op college behandelde stof en maak de volgende opgaven: 4.1 : 5, 6, 7, : 1, : 11, 13, 17 Instructie-opgaven: 4.1 : 11, 17, 20, 21, : 36, 37 13

14 Blok C, week Belangrijke begrippen: hoofdstelling van de integraalrekening substitutiemethode Zelfstudie. Bestudeer de op college behandelde stof en maak de volgende opgaven: 4.5 : 3, 5, 12, : 1, 4, 31 Instructie-opgaven: 4.5 : 16, 19, 29, : 9, 13, 15, 27, 34, 36 14

15 Blok C, week (niet Example 2.6 op blz. 518) Belangrijke begrippen. partiële integratie Zelfstudie. Bestudeer de op college behandelde stof en maak de volgende opgaven: 6.1 : 5, 15, : 1, 3, 5 Instructie-opgaven: 6.1 : 21, 23, 26, : 15, 19, 27, 30 15

16 Appendix: Kromming 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter algemeen voor ruimtelijke krommen behandeld. Wij beperken ons tot het eenvoudiger geval van een vlakke kromme, en leiden eerst een formule voor de kromming af voor het geval de kromme in parametervoorstelling is gegeven. Daarna bekijken we het speciale geval dat de kromme een deel is van de grafiek y = f(x). De begrippen kromming en kromtestraal spelen bijvoorbeeld een rol bij het beschrijven van de doorbuiging van balken. 2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling { x = x (t) y = y (t) In een punt P = (x (t), y (t)) van de kromme maakt de raakljn een hoek ϕ met de x-as, en in het punt Q = (x (t + t), y (t + t)) is dit ϕ + ϕ. De lengte van de kromme tussen P en Q noemen we s. (zie figuur 1) DEFINITIE 2.1 De kromming in punt P is κ = lim ϕ t 0 s. We bepalen nu een uitdrukking voor deze kromming in termen van de coördinaat-functies x (t) en y (t). Uit tan (ϕ) = dy ( ) dx = y (t) y (t) volgt ϕ = arctan, waarbij we aannemen dat x (t) 0. x (t) x (t) Met behulp van de afgeleide van de functie arctan en de kettingregel volgt dan dϕ dt = ( y (t) x (t) ) 2 x (t) y (t) x (t) y (t) x (t) 2 16 = x (t) y (t) x (t) y (t) x (t) 2 + y (t) 2

17 O B 2 3, B, I B, B N Figuur 1: Berekening van de kromming ( x Voor s geldt s ( x) 2 + ( y) 2, dus s ) 2 ( ) 2 y t +. Hieruit volgt dat t t ds dt = x (t) 2 + y (t) 2. We combineren deze beide uitkomsten op de volgende manier: κ = lim ϕ t 0 s = lim Hieruit volgt dus dat t 0 ϕ t 1 s t κ = x (t) y (t) x (t) y (t) ( x (t) 2 + y (t) 2) 3 2 =. dϕ dt ( ) 1 ds dt. Voorbeeld 2.1 De cirkel met als middelpunt de oorsprong en straal R wordt gegeven door de vergelijking x 2 + y 2 = R 2. Deze cirkel wordt ook gegeven door parametervoorstelling { x = R cos t, 0 t 2π. y = R sin t De kromming is gelijk aan κ = 1. De kromming is dus voor ieder punt op de cirkel gelijk. R Voorbeeld 2.2 De ellips met vergelijking x2 a + y2 = 1, (a b) kunnen we parametriseren 2 b2 als { x = a cos t, 0 t 2π. y = b sin t 17

18 Figuur 2: Kromtestraal ρ. ab De kromming is gelijk aan κ(t) =. (a 2 sin 2 (t) + b 2 cos 2 (t)) 3 2 Nu is κ (t) = 0 als 2(a 2 b 2 ) sin(t) cos(t) = 0, dus als sin(t) = 0 of als cos(t) = 0, dus als t = 0, 1π, π, 3 π. Een tekenoverzicht laat nu zien dat als a > b het maximum wordt 2 2 aangenomen als t = 0, π, d.w.z. in de punten (±a, 0) van de ellips. Als a < b wordt het maximum aangenomen als t = 1π, 3 π, d.w.z in de punten (0, ±b) van de ellips Kromtestraal Zoals we in voorbeeld 2.1 hebben gezien heeft een cirkel in ieder punt dezelfde kromming en deze kromming is gelijk aan de inverse van de straal. Meer algemeen leidt dit tot (zie figuur 2) DEFINITIE 3.1 De kromtestraal in punt P van een kromme is de straal van de cirkel door punt P welke raakt aan de kromme en waarvan de kromming gelijk aan de kromming in punt P. De kromtestraal in punt P is dus de inverse van de kromming in punt P ; notatie ρ = 1 κ. 4 Kromming van de grafiek van een functie Als we de grafiek van een functie y = f (x) bekijken en hiervan de kromming willen berekenen dan is dit een bijzonder geval van het voorgaande. 18

19 { x = x In dit geval kunnen we als parametrisering nemen y = f (x) De formule voor de kromming wordt nu κ = f (x) ( 1 + f (x) 2) 3 2 Voorbeeld 4.1 Een functie f (x) = ax + b heeft als grafiek een rechte lijn. De kromming is zoals te verwachten gelijk aan 0. Voorbeeld 4.2 Voor de parabool y = x 2 2 wordt de kromming gegeven door κ =. (1 + 4x 2 ) 3 2 De kromming is dus afhankelijk van de plaats op de parabool. De kromming is maximaal als 1 + 4x 2 zo klein mogelijk is, d.w.z. als x = 0. 5 Opgaven 1. Bepaal in de volgende gevallen de kromming van de gegeven krommen in de aangegeven punten (a) y = x 3 in het punt (2, 8). (b) y = cosh x in het punt (0, 1). (c) y = sin x in het punt (π, 0) en in het punt ( 1 π, 1). 2 { x = t 1 (d) y = t 2 in het punt (1, 11). + 2t Bepaal in elk van de volgende gevallen in welke punten van de gegeven krommen de kromming maximaal is. (a) y = sin x (b) y = x 2 + x. { x = 5 cos t (c) y = 3 sin t 3. Gegeven is de kromme y = A (x 3 1) + B (x 1) + x. Bepaal de waarden van A en B zó dat de raaklijn in het punt (1, 1) horizontaal loopt, en de kromming in dit punt gelijk is aan Bepaal de kromming van de kromme x 3 + y 3 + 2x 2 4y + 3x = 0 in het punt (0, 0). 5. Bepaal de kromming van de kromme x 2 cos y + ye x = 1 in het punt (0, 1). 19

20 Antwoorden (a) (b) 1 (c) 0 en 1 2 (d) (a) x = 1 2 π + kπ (b) x = 1 2 (c) t = 0 of t = π, dus de punten (x, y) = (5, 0) en (x, y) = ( 5, 0) 3. A = 2, B = 7 of A = 2, B = cos