5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm

Transcriptie

1 5.8. De Bessel differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking van de vorm x y + xy + (x ν )y = met ν R (1) heet een Bessel (differentiaal)vergelijking. De waarde van ν noemt men ook wel de orde van de Besselvergelijking. Niet te verwarren met het andere begrip orde voor een willekeurige differentiaalvergelijking. Die orde is in het geval van de Besselvergelijking dus altijd gelijk aan twee. Voor het gemak zullen we ons beperken tot het geval dat x >. Merk op dat x = het enige singuliere punt van (1) is en dat lim x x = 1 en lim x x x x x ν x = ν. Dus : x = is een regulier singulier punt van (1) met indexvergelijking r(r 1) + r ν = r ν =. Hieruit volgt : r 1 = ν en r = ν. Er is dus in elk geval een oplossing van de vorm y 1 (x) = x ν a n x n met a. Deze oplossing kunnen we weer bepalen door in te vullen. Stel y(x) = dan volgt oftewel y (x) = (n + ν)a n x n+ν 1 en y (x) = a n x n+ν, (n + ν)(n + ν 1)a n x n+ν, (n + ν)(n + ν 1)a n x n+ν + (n + ν)a n x n+ν + a n x n+ν+ ν [ ν(ν 1) + ν ν ] a x ν + [ (ν + 1)ν + (ν + 1) ν ] a 1 x ν+1 + a n x n+ν [{ (n + ν)(n + ν 1) + (n + ν) ν } ] a n + a n x n+ν =. n= Nu is ν(ν 1) + ν ν =, maar (ν + 1)ν + (ν + 1) ν = ν + 1 > want ν. Hieruit volgt dat a willekeurig te kiezen is en dat a 1 =. Verder volgt de recurrente betrekking { (n + ν)(n + ν 1) + (n + ν) ν } a n + a n =, n =, 3, 4,... oftewel { (n + ν) ν } a n + a n = n(n + ν)a n + a n =, n =, 3, 4,.... 1

2 Aangezien a 1 = volgt dat ook a 3 =, a 5 =, etcetera. Dus : met y 1 (x) = x ν a n x n = x ν a k x k a k a k = k(k + ν) = a k 4k(ν + k) = ( 1) k a 4 k, k =, 1,,.... k! (ν + k)(ν + k 1) (ν + 1) Ter vereenvoudiging van de notatie maakt men vaak gebruik van het zogenaamde Pochhammer symbool gedefinieerd door Dan vinden we dus (a) := 1 en (a) k := a(a + 1) (a + k 1), k = 1,, 3,.... y 1 (x) = a x ν ( 1) k x k 4 k k! (ν + 1) k = a x ν ( 1) k ( x ) k. (ν + 1) k k! Omdat deze oplossing heel veel voorkomt voor verschillende waarden van ν heeft deze de naam Besselfunctie gekregen. Men gebruikt hiervoor de notatie J ν (x) en noemt dit de Besselfunctie van de eerste soort van de orde ν. De constante a is hierbij zo gekozen dat voor gehele waarden van ν geldt J ν (x) = ( 1) k ( x ) ν+k, ν {, 1,,...}. (ν + k)! k! De tweede oplossing van de Besselvergelijking wordt aangeduid met Y ν (x). Dit noemt men de Besselfunctie van de tweede soort van de orde ν. De vorm van deze tweede oplossing hangt sterk af van de waarde van ν. Met behulp van de methode van Frobenius volgt immers : 1. ν / {, 1,,...} : y (x) = x ν b n x n met b.. ν = : y (x) = y 1 (x) ln x + b n x n = y 1 (x) ln x + b nx n. Hier kan eventueel b = gekozen worden. 3. ν {1,, 3,...} : y (x) = ay 1 (x) ln x + x ν b n x n met b. De waarde van a moet nog nader bepaald worden. In het geval dat ν = 1/ blijkt dat a =, maar voor ν = 1 blijkt juist dat a. Voor bijvoorbeeld ν = en ν = 1 heeft de tweede oplossing een logaritmische singulariteit. Dit heeft tot gevolg dat Y (x) en Y 1 (x) voor x. Zie ook figuur 5.8. op pagina 83 en figuur op pagina 89. Verder geldt J (x) = ( 1) k k! k! ( x ) k = 1 x 4 + x4 64 x = J () = 1

3 en J 1 (x) = ( 1) k ( x ) k+1 x = (k + 1)! k! x x5 384 x = J 1() =. Het geval ν = 1/ is opmerkelijk. Bij het invullen hebben we gezien dat de coëfficiënt van x ν+1 gelijk werd aan (ν + 1)a 1. Voor ν levert dit dus a 1 =. Maar als ν = 1/ is a 1 blijkbaar willekeurig te kiezen. In het geval ν = 1/ blijkt daarom dat a = in de vorm van de tweede oplossing. Voor ν = 1/ geldt dus y 1 (x) = x 1/ Voor de coëfficiënten vinden we dan a n x n en y (x) = x 1/ b n x n met a en b. a k = a k k(k + 1) = ( 1)k a (k + 1)! en b k = b k k(k 1) = ( 1)k b, k = 1,, 3,..., (k)! omdat we dan b 1 = kunnen kiezen. Dan volgt : en y 1 (x) = a x 1/ ( 1) k x k (k + 1)! = a x 1/ y (x) = b x 1/ ( 1) k x k (k)! Hierbij zijn a en b nog vrij te kiezen. Er geldt nu ( 1) k x k+1 (k + 1)! = b cos x. = a sin x Y 1/ (x) = J 1/ (x) = Zie ook opgave 6. π sin x en Y 1/ (x) = J 1/ (x) = π cos x, x > Singuliere Sturm-Liouville randwaardeproblemen. Tot nu toe hebben we Sturm-Liouville randwaardeproblemen van de vorm L[y] = λr(x)y, < x < 1 bekeken, waarbij a 1 y() + a y () =, b 1 y(1) + b y (1) = L[y] := [ p(x)y ] + q(x)y met p, p, q en r continu op [, 1] en p(x) > en r(x) > voor alle x [, 1]. In de praktijk treden echter ook vaak dergelijke randwaardeproblemen op waarbij niet helemaal voldaan is aan alle voorwaarden. Bijvoorbeeld in het geval dat xy + y + λxy = (xy ) = λxy 3

4 geldt dat p(x) = x, q(x) = en r(x) = x. Dus : p() = en r() =. Verder geldt wel dat p(x) > en r(x) > voor alle x (, 1]. Of algemener : als xy + y ν x y + λxy = (xy ) + ν x y = λxy, dan geldt bovendien dat q(x) = ν /x onbegrensd en dus niet continu is voor x. dergelijke gevallen spreekt men van een singulier Sturm-Liouville randwaardeprobleem. In In dergelijke gevallen blijft nog veel van de theorie van Sturm-Liouville randwaardeproblemen behouden. Beschouw bijvoorbeeld de differentiaalvergelijking xy + y ν y + λxy =, < x < 1 x en neem even aan dat λ >. Stel nu x = t/ λ oftewel t = λ x, dan volgt Invullen geeft dan dy dx = dy dt dt dx = λ dy dt en dus d y dx = λ d y dt. t λ d y λ dt + λ dy dt ν t λ y + λ y =, t >. t λ Hieruit volgt ty + y ν t y + ty = t y + ty + (t ν )y =, t >. Dit is een Besselvergelijking met algemene oplossing y(t) = c 1 J ν (t) + c Y ν (t) en dus volgt y(x) = c 1 J ν ( λ x) + c Y ν ( λ x), x >. Als we nu bijvoorbeeld in het geval ν = een oplossing zoeken die voldoet aan de randvoorwaarde y() =, dan volgt dat c = omdat Y (x) voor x. Maar omdat J () = 1 volgt ook dat c 1 =. Voor xy + y + λxy =, < x < 1 met y() = vinden we dus alleen de triviale oplossing. Als we de randvoorwaarde vervangen door de minder zware eis dat y en y begrensd moeten zijn voor x, dan geldt nog steeds dat c = maar kunnen we c 1 willekeurig kiezen. Voor het (singuliere) Sturm-Liouville randwaardeprobleem xy + y + λxy =, < x < 1 y en y begrensd voor x, y(1) = vinden we dus voor λ > : y(x) = c 1 J ( λ x) + c Y ( λ x) met c =. Uit y(1) = volgt dan : c 1 J ( λ) =. Dit leidt tot niet-triviale oplossingen (c 1 vrij te kiezen) als J ( λ) =. 4

5 De Besselfunctie J (x) heeft voor x > oneindig veel nulpunten zoals blijkt uit figuur 5.8. op pagina 83. Het (singuliere) randwaardeprobleem heeft dus oneindig veel (enkelvoudige) eigenwaarden < λ 1 < λ <... met λ n = µ n voor n = 1,, 3..., waarbij {µ n } de nulpunten van de Besselfunctie J (x) voorstellen, dat wil zeggen : J (µ n ) =, n = 1,, 3,.... De eigenfuncties zijn dan φ n (x) = J (µ n x) = J ( λ n x) met n = 1,, 3,.... eigenfuncties voldoen aan de orthogonaliteitseigenschap Ook deze xφ m (x)φ n (x) dx = xj ( λ m x)j ( λ n x) dx =, m n met betrekking tot de gewichtsfunctie r(x) = x. Deze eigenschap kunnen we weer gebruiken om een functie f te schrijven in de vorm f(x) = c n φ n (x) = c n J ( λ n x). Vermenigvuldigen met xφ m (x) en vervolgens integreren leidt tot xf(x)φ m (x) dx = Hieruit volgt dat c n = c n xφ m (x)φ n (x) dx = c m x {φ m (x)} dx, m = 1,, 3,.... xf(x)φ n (x) dx = x {φ n (x)} dx xf(x)j ( λ n x) dx { x J ( }, n = 1,, 3,.... λ n x) dx We krijgen hier een quotiënt omdat we geen gebruik gemaakt hebben van genormeerde eigenfuncties. Bij het normeren zouden we de integralen in de noemer moeten berekenen en dat is lastig. In dit eindresultaat kunnen de coëfficënten {c n } met behulp van een computerprogramma zoals Maple benaderd worden Toepassing op een cirkelvormig trillend membraan. Een singulier Sturm- Liouville randwaardeprobleem op basis van een Besselvergelijking komt voor bij een golfvergelijking op een cirkelvormig (tweedimensionaal) gebied. Men kan daarbij bijvoorbeeld denken aan een trillend trommelvel. De tweedimensionale golfvergelijking heeft de vorm a (u xx + u yy ) = u tt, waarbij a > een (positieve) constante is die afhankelijk is van het materiaal en de spanning in het membraan. Zoals we eerder hebben gezien kunnen we dit met behulp van poolcoördinaten schrijven als a (u rr + 1 r u r + 1 ) r u θθ = u tt. 5

6 Laten we aannemen dat de straal ven het gebied gelijk aan 1 is en dat de uitwijking van het membraan onafhankelijk is van de hoek θ (cirkel symmetrisch). Dan geldt dat u θ =. Verder nemen we aan dat het membraan aan de buitenrand vast zit zodat de uitwijking aan de rand overal nul is. Dan volgt : a (u rr + 1 ) r u r = u tt, < r < 1, t > u(1, t) =, t (randvoorwaarde) u(r, ) = f(r), u t (r, ) = g(r), r 1 (beginvoorwaarden). Om de differentiaalvergelijking op te lossen maken we gebruik van de methode van scheiden van variabelen : u(r, t) = R(r)T (t). Dan volgt : a (R T + 1 ) r R T = RT = R R + 1 R r R = 1 T a T = λ (separatieconstante). Voor positieve waarden van de separatieconstante heeft het probleem geen (niet-triviale) oplossingen. Dit nemen we maar even zonder bewijs aan. We vinden nu dus : T + λ a T = en rr + R + λ rr = r R + rr + λ r R = met algemene oplossingen T (t) = k 1 cos λat + k sin λat en R(r) = c 1 J (λr) + c Y (λr). Omdat u(r, t) en dus ook R(r) begrensd moeten zijn voor r volgt dat c = aangezien Y (λr) voor r. Uit de randvoorwaarde u(1, t) = volgt : u(1, t) = : R(1)T (t) = = R(1) = : c 1 J (λ) =. De eigenwaarden zijn dus de (positieve) nulpunten van de Besselfunctie J (x) : < λ 1 < λ <... met bijbehorende eigenfuncties R n (r) = J (λ n r) met n = 1,, 3,.... Voor T (t) geldt dan : T n (t) = c n cos λ n at + k n sin λ n at, n = 1,, 3,.... De oplossing kan dus geschreven worden in de vorm Hieruit volgt dat u t (r, t) = u(r, t) = J (λr) [c n cos λ n at + k n sin λ n at]. J (λ n r) [ λ n ac n sin λ n at + λ n ak n cos λ n at]. 6

7 Uit de beginvoorwaarden u(r, ) = f(r) (begintoestand) en u t (r, ) = g(r) (beginsnelheid) volgt nu : c n J (λ n r) en λ n ak n J (λ n r) = g(r). Hieruit volgt ten slotte c n = Hiermee is de oplossing rf(r)j (λ n r) dr r {J (λ n r)} dr en λ n ak n = rg(r)j (λ n r) dr, n = 1,, 3,.... r {J (λ n r)} dr u(r, t) = J (λr) [c n cos λ n at + k n sin λ n at] van het beginrandwaardeprobleem gevonden. 7