Calculus. P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Calculus. P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam"

Transcriptie

1 Calculus P.J.I.M. de Paepe Korteweg de Vries Instituut Universiteit van Amsterdam 30 november 2006

2 Hoofdstuk 1 Complexe getallen 1.1 Introductie In dit hoofdstuk gaat het over complexe getallen. We voeren een nieuw symbool in, het imaginaire getal i dat de eigenschap i 2 = 1 heeft. De vergelijking x = 0, die tot nu niet opgelost kon worden, heeft hiermee ineens een oplossing gekregen! Het blijkt dat door gebruik te maken van complexe getallen sommige berekeningen eenvoudiger worden. Ook komt het voor dat wiskundige verschijnselen verklaard kunnen worden door gebruik te maken van complexe getallen. Vierkantsvergelijkingen Een vierkantsvergelijking, dus een vergelijking van de vorm: ax 2 + bx + c = 0 (met a 0) heeft twee, één of geen oplossingen. Dat hangt af van de discriminant b 2 4ac. Is deze positief dan zijn er twee oplossingen, is deze gelijk aan 0, dan is er één oplossing (in feite zijn dat twee samenvallende oplossingen), en bij negatieve discrimininant zijn er geen oplossingen. Zo heeft x 2 4x + 3 = 0 twee oplossingen, namelijk 1 en 3. De vergelijking x 2 4x + 4 = 0 heeft alleen 2 als oplossing en x 2 4x + 5 = 0 heeft geen oplossingen. Nu had de vergelijking x + 5 = 2 geen oplossing toen onze wereld alleen nog maar uit de verzameling N van de natuurlijke (de positieve gehele) getallen bestond. Om zulke vergelijkingen op te kunnnen lossen maakten we die wereld groter door de verzameling Z van de gehele getallen in te voeren. In die grotere wereld bestaat er wel een oplossing van x + 5 = 2, namelijk 3. De vergelijking 7x = 8 heeft ook in de ruimte van die gehele getallen geen oplossing. We vergrootten onze wereld opnieuw en introduceerden Q, de verzameling van de rationale getallen. Er is nu wel een oplossing van de 1

3 HOOFDSTUK 1. COMPLEXE GETALLEN 2 vergelijking boven, namelijk 8 7. De vergelijking x2 = 2 heeft geen oplossing in Q. Weer is het nodig onze wereld uit te breiden tot de verzameling R van de reële getallen waarin ook 2 zit, een oplossing van x 2 = 2. De vergelijking x 2 4x + 5 = 0 zullen we straks op kunnen lossen, nadat we R uitgebreid hebben tot C, de verzameling van de complexe getallen. Differentiaalvergelijkingen Het gedrag van elektronen in een atoom of molecuul bepaalt de chemische eigenschappen. De Schrödingervergelijking beschrijft het gedrag van een elektron in een krachtveld, bijvoorbeeld het krachtveld van de atoomkern. We zullen een eenvoudige vorm van deze vergelijking geven, de Schrödingervergelijking voor een deeltje in een ééndimensionale ruimte (een lijn). De vergelijking luidt: h2 8π 2 m d 2 ψ(x) dx 2 + V (x)ψ(x) = Eψ(x) Hier is ψ de golffunctie van het deeltje. Deze golffunctie geeft de amplitude van het deeltje, beschouwd als golfverschijnsel, als functie van de plaats, waarbij de plaats wordt aangegeven door de coördinaat x. Verder is V (x) de potentiële energie van het deeltje ter plekke x, E is de totale energie van het deeltje, m is de massa en h is de constante van Planck. Uit wiskundig oogpunt gezien kunnen we opmerken dat in deze vergelijking een functie ψ voorkomt, tezamen met de tweede afgeleide van dezelfde functie. We noemen een dergelijke vergelijking een (tweede-orde) differentiaalvergelijking en het is de kunst om iets te zeggen over de functies die aan die vergelijking voldoen, de zogenoemde oplossingen van de vergelijking. In het hoofdstuk over differentiaalvergelijkingen zullen we oplossingen leren zoeken van (eenvoudige) differentiaalvergelijkingen. Nu zullen we laten zien dat dit soort vergelijkingen leidt tot een probleem waarbij het nuttig wordt om te beschikken over getallen waarvan het kwadraat negatief is. Beschouw eerst eens de volgende (eerste-orde) differentiaalvergelijking: f (x) = a f(x) Hier komt de eerste afgeleide van een functie voor, samen met de functie zelf. Er staat dat de eerste afgeleide van f gelijk is aan f, vermenigvuldigd met een constante factor. Opdracht Zoals je weet is de afgeleide van e x gelijk aan e x. De functie f(x) = e x voldoet dus aan de gegeven vergelijking, mits a = 1. Verzin nu zelf een functie die voldoet als a = 2. Zoals je ziet is er voor iedere a wel een functie te vinden die voldoet aan de betreffende

4 HOOFDSTUK 1. COMPLEXE GETALLEN 3 vergelijking! We zoeken nu een oplossing voor de vergelijking: f (x) = b f(x) Dit is in wezen de vergelijking voor een vrij elektron in de ééndimensionale ruimte. Als éénmaal differentiëren van f weer de functie f oplevert, dan zal tweemaal differentiëren ook f opleveren. Als éénmaal differentiëren a f oplevert, dan zal tweemaal differentiëren a 2 f opleveren. Dus als we een oplossing hebben van f (x) = a f(x) voor een bepaalde waarde van a, dan hebben we ook een oplossing voor f (x) = b f(x), voor het geval dat b = a 2. Zo vinden we voor iedere positieve b een oplossing van de tweede vergelijking. Want voor iedere positieve b is er een bijbehorende a, namelijk a = b. Je kunt overigens ook b voor a nemen. Voor negatieve waarden van b kunnen we echter geen oplossing vinden volgens de hierboven aangegeven methode. De reden daarvoor is dat we geen getallen a kennen waarvan het kwadraat negatief is. Toch kunnen we vergelijking f (x) = b f(x) wèl oplossen voor negatieve b. Probeer eens de functie sin x! Eenmaal differentiëren geeft cos x, nog een keer differentiëren geeft sin x. Dus na tweemaal differentiëren van f hebben we f weer terug, vermenigvuldigd met een negatieve constante. We hebben nu een oplossing voor het geval b = 1. Opdracht Probeer ook f(x) = A sin x + B cos x, waar A en B constanten zijn. Ook deze functies voldoen dus aan f (x) = b f(x) voor b = 1. Merk op dat de waarden van de getallen A en B er niet toe doen. Opdracht Vind zelf oplossingen voor het geval b = 4. Er schijnen voor f (x) = b f(x) dus twee soorten oplossingen te bestaan: oplossingen met een exponentiële functie als b positief is en oplossingen met goniometrische functies als b negatief is. In de wiskunde vinden we het niet prettig als één type vergelijking geheel verschillende oplossingen schijnt op te leveren. Het zou prettiger zijn als we alle oplossingen onder één noemer konden rangschikken en volgens één methode konden vinden. Dit blijkt mogelijk te zijn door gebruik te maken van complexe getallen. En omdat complexe getallen (bijvoorbeeld) het rekenen met golffuncties van elektronen vereenvoudigt, zijn ze behalve voor wiskundigen ook voor scheikundigen en natuurkundigen interessant.

5 HOOFDSTUK 1. COMPLEXE GETALLEN Wat zijn complexe getallen en hoe reken je er mee? Theorie De verzameling C van de complexe getallen bestaat uit uitdrukkingen van de vorm a + ib (of a + bi) waarin zowel a als b reële getallen zijn. Twee van die getallen a + bi en c + di noemen we gelijk als a = c en b = d. Bijzondere complexe getallen zijn van de vorm a + 0i met a R: in plaats van a + 0i schrijven we steeds gewoon a. Op deze manier wordt R opgevat als deelverzameling van C. Complexe getallen worden vaak aangegeven met z of w. Als z = a + bi (met a en b uit R) dan definiëren we: Re z = a (het reële deel van z) Im z = b (het imaginaire deel van z). Let op: het imaginaire deel van z is b zonder i. z = a bi (de complex toegevoegde of complex geconjugeerde van het complexe getal z) Een complex getal z heet zuiver imaginair als Re z = 0, met andere woorden als z = bi (met b R). De rekenkundige bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen (door een getal ongelijk aan 0) in C zijn als volgt gedefinieerd: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i als c + di 0 dan: a + bi c + di = a + bi c + di c di c di = (a + bi)(c di) (c + di)(c di) ac + bd ad + bc = + i c 2 + d2 c 2 + d 2 Voorbeeld Gegeven zijn z = 1 + i en w = 6 3i. Dan is: z + w = 7 2i en z w = 5 + 4i z w = 9 + 3i en z w = 1+i 6 3i = (1+i)(6+3i) (6 3i)(6+3i) = 3+9i 45 = i Men kan complexe getallen meetkundig voorstellen als punten in een vlak, het complexe vlak. Dat gaat als volgt. Elk punt van het platte vlak R 2

6 HOOFDSTUK 1. COMPLEXE GETALLEN 5 heeft een x- en een y-coordinaat en kan dus geschreven worden als (a, b). Dit punt ligt dus a eenheden rechts van de oorsprong (0, 0) en b eenheden boven de oorsprong. Voor negatieve waarden van a en/of b bedoelen we in dit verband links en/of beneden de oorsprong. We kunnen nu een tweede vlak tekenen, het complexe vlak. Op dezelfde plaats waar in het gewone platte vlak het punt (a, b) ligt tekenen we in dit nieuwe vlak het complexe getal a + ib. Er is dus een verband tussen paren (a, b) in het ene vlak en complexe getallen a + ib in het andere vlak. Deftig gezegd: de afbeelding R 2 C, gedefinieerd door (a, b) a + bi is een bijectie. De punten op de x-as corresponderen dus met de reële getallen en de punten op de y-as met de zuiver imaginaire getallen. In de context van complexe getallen spreekt men wel van reële as en imaginaire as in plaats van x-as en y-as. R 2 (0, b) (a, b) C ib { z a + ib = z (0, 0) (a, 0) φ 0 a Als z 0 dan is het punt z = a+bi ook geheel bepaald door zijn poolcoördinaten, dat zijn de afstand van z tot het punt 0 en de hoek φ (gemeten in radialen) die de halflijn, uitgaande van het punt 0 door het punt z, maakt met de positieve reële as (positieve meetrichting: tegen de wijzers van de klok in). De afstand van z tot 0 heet de modulus of absolute waarde van z, notatie z, dus z = a 2 + b 2. De hoek φ is slechts op veelvouden van 2π na bepaald. We noemen φ het argument van z en noteren dat met arg z. We spreken wel over de waarden van arg z: dat zijn de oneindig vele mogelijke hoeken die bij z horen. Er is voor elke z altijd één waarde φ 0 van arg z, die gelegen is in het interval ( π, π]. Deze waarde heet wel de hoofdwaarde van het argument van z. Notatie hiervoor: Arg z. De reden dat we in het bovenstaande het punt 0 uitgezonderd hebben is dat dit punt geen hoek bepaalt. Als z = r en arg z = φ, dan geldt: a = r cos φ, b = r sin φ

7 HOOFDSTUK 1. COMPLEXE GETALLEN 6 Omgekeerd volgt uit a = r cos φ en b = r sin φ met r > 0 en φ R dat r en φ de poolcoördinaten zijn van z, met andere woorden dat z = r en arg z = φ. We vatten dit nu als volgt samen. Stelling 1 (samenvatting poolcoördinaten) Als z C, z 0, r R, r > 0 (!), φ R, dan geldt: z = r en arg z = φ z = r (cos φ + i sin φ) Vaak kom je de schrijfwijze e iφ = cos φ + i sin φ tegen. We schrijven cos φ + i sin φ dus als complexe e-macht. Later komen we hierop terug. Voorbeelden Eerst nog een opmerking over de rekenregels in C. Merk op dat i 2 = i i = (0 + 1i)(0 + 1i) = ( 1) + 0i = 1 Er is dus een complex getal waarvan het kwadraat gelijk is aan 1! Daaraan kun je zien dat met complexe getallen meer mogelijk is dan met reële getallen, zo heeft de vergelijking z = 0 geen oplossing in R maar wel in C, immers i (en ook i) voldoet aan deze vergelijking. De definitie van de vermenigvuldiging, die misschien een beetje raadselachtig leek, wordt nu duidelijk en ook niet meer moeilijk te onthouden: werk (a + bi) (c + di) gewoon uit zoals je dat gewend bent. Je krijgt dan vier termen. Gebruik dan i 2 = 1 en je bent er: (a+bi) (c+di) = ac+adi+bci+bdi 2 = ac+adi+bci bd = (ac bd)+(ad+bc)i Bij de laatste rekenregel, het delen, moet je alleen onthouden dat je teller en noemer moet vermenigvuldigen met de complex toegevoegde van de noemer van het quotiënt. De rest gaat dan vanzelf. Voorbeeld Als z = 1 + i en w = i, dan is z + w = 1 + 2i, z w = 1, z w = 1 + i en z w = 1 i. Voorbeeld Als z = 2 5i, dan is: Re z = 2, Im z = 5, z = 2 + 5i.

8 HOOFDSTUK 1. COMPLEXE GETALLEN 7 Voorbeeld Als z = 1 i 3, dan is z = 2, arg z = 5 3 π, maar ook arg z = 17 3 π en arg z = 1 3 π. Verder is Arg z = 1 3 π. Het bepalen van die hoeken gaat het best meetkundig: het punt z in het complexe vlak bepaalt een rechthoekige driehoek met hoekpunten in 0, 1 en z. De betreffende hoek is er een die 60 graden groot is, in radialen dus 1 3π, en omdat de hoek negatief gerekend moet worden (omdat 1 i 3 in het vierde kwadrant ligt), krijg je arg z = 1 3 π. Het kan ook anders: omdat z cos φ = Re z en z sin φ = Im z vinden we 2 cos φ = 1 en 2 sin φ = 3 en dus cos φ = 1 2 en sin φ = 3 2. En dus is φ = 1 3π + 2kπ met k Z. Dus arg z = 1 3 π (bijvoorbeeld). Voorbeeld Als z = 2, arg z = 5 6 π, dan is z = 2(cos 5 6 π + sin 5 6 π) = 3 + i. Opgaven 1. Teken in het complexe vlak de getallen: 2+i, 2 i, i, 0, 7, 1 i, i, 2 en 2 + 2i. 2. Bereken i 3, i 4, i 5, i 27, i Gegeven zijn z = 1 + 7i en w = 3 4i. Bereken z + w, z w, z w, z w. 4. Bepaal z en arg z als z = 1. Wat is Arg z? Beantwoord dezelfde vragen voor z = 3 i 3 en z = 2i. 5. Laat zien dat e iπ = 1. Een mooie relatie tussen de getallen e, i, π en 1! Iemand ontdekte dat hij nog fraaier oogt door hem te herschrijven als e iπ + 1 = 0, een expressie waarin de belangrijke getallen e, i, π, 1 en 0 voorkomen! 6. Laat zien dat z z = z Bepaal alle z C die voldoen aan: 2z + 3 z = 10 + i. 8. Bepaal alle z C die voldoen aan: z 2 2 z 2 = Bepaal alle z C die voldoen aan: z 2 = i. 10. Bepaal alle z C die voldoen aan: 2z + z 2 = 1 + 6i. 11. Bepaal alle z C die voldoen aan: 4z 2 z 2 = 20i. 12. Bepaal alle z C die voldoen aan: zz 3 = 4i. 13. Bepaal alle z C die voldoen aan: z = 2, z = i z.

9 HOOFDSTUK 1. COMPLEXE GETALLEN Bepaal alle z C die voldoen aan: z 2 + iz i z = Bepaal alle z C die voldoen aan: 1 z = Re z + 3i Im z. 16. Toon de volgende rekenregels voor complexe getallen aan: z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2, en z = z als z R. 1.3 Poolcoördinaten en complexe getallen Theorie De poolcoördinaten z en arg z van complexe getallen z voldoen aan zekere rekenregels. We sommen deze op in een stelling. Op het bewijs komen we in de toelichting terug. Stelling 2 (rekenregels voor de absolute waarde en argument) Als z en w complexe getallen zijn met z 0 en w 0, dan gelden de volgende regels voor de modulus: a. zw = z w b. z n = z n voor n N c. w 0 = = 1 d. w 0 = 1 w z w w = z w En voor het argument gelden de regels: a. arg zw = arg z + arg w, waarmee bedoeld wordt: als φ z een waarde is van arg z en φ w is een waarde van arg w dan is φ z + φ w een waarde van arg zw. b. arg z n = narg z, waarmee bedoeld wordt: nφ z is een waarde van arg z n. c. arg 1 = arg w, w waarmee bedoeld wordt: φ w is een waarde van arg 1. w d. arg z = arg z arg w, w waarmee bedoeld wordt: φ z φ w is een waarde van arg z. w De regels voor het argument komen neer op: bij vermenigvuldigen: argumenten optellen bij delen: argumenten aftrekken.

10 HOOFDSTUK 1. COMPLEXE GETALLEN 9 Vaak kun je in berekeningen handig gebruik maken van deze rekenregels. We geven hiervan een voorbeeld. Voorbeeld We gaan z = (1+i)42 ( uitrekenen. Zonder veel rekenwerk kan dat als volgt. 3+i) 20 Omdat 1 + i = 2, arg (1 + i) = 1 4 π en 3 + i = 2, arg ( 3 + i) = 1 6π, volgt uit de rekenregels boven: z = ( 2) = 2, arg z = π π = 71 6 π Dus z = 2(cos π + i sin π) = 3 i. Meetkunde in het complexe vlak We geven nu aan wat de meetkundige betekenis is van een aantal bewerkingen met complexe getallen. De complex toegevoegde van z vind je door z te spiegelen in de reële as. z 0 z De som z + w van twee getallen z en w vind je volgens de parallellogramregel: z + w is het vierde hoekpunt van het parallellogram dat bepaald is door z, w en het punt 0. w z + w 0 z Het product zw van z en w heeft een argument dat gelijk is aan de som van de argumenten van z en w. En zw is gelijk aan z w. Meetkundig is dit alles hieronder aangegeven. De driehoek met hoekpunten 0, 1, z is gelijkvormig met de driehoek met hoekpunten 0, w en zw.

11 HOOFDSTUK 1. COMPLEXE GETALLEN 10 zw w 0 1 z Om het argument van z te krijgen moet je het argument van w aftrekken w van dat van z. En de modulus van z z is gelijk aan. w w Alhoewel het niet om een bewerking gaat, merken we toch op dat z w een meetkundige interpretatie heeft: het is de afstand van z tot w. Immers de afstand van z tot w is voor elk complex getal u gelijk aan de afstand van z + u tot w + u. In het bijzonder geldt dat voor u = w, en je krijgt: de afstand van z tot w is gelijk aan de afstand van z w tot w w, dus aan de afstand van z w tot 0. En dit laatste is gelijk aan z w. w z w z 0 We geven nog een toepassing van het werken met poolcoördinaten, de formule van de Moivre, die we in de toelichting zullen bewijzen. Stelling 3 (formule van De Moivre) Als θ R en n N, dan geldt: (cos θ + i sin θ) n = cos nθ + i sin nθ Gevolg Neem bijvoorbeeld eens n = 3 in de gelijkheid van De Moivre en werk het linkerlid uit met behulp van (p + q) 3 = p 3 + 3p 2 q + 3pq 2 + q 3, dan vind je: ( ) ( ) cos 3 θ 3 cos θ sin 2 θ + i 3 cos 2 θ sin θ sin 3 θ = cos 3θ + i sin 3θ

12 HOOFDSTUK 1. COMPLEXE GETALLEN 11 Neem nu links en rechts het reële deel en vervolgens het imaginaire deel en je hebt cos 3θ en sin 3θ uitgedrukt in cos θ en sin θ: cos 3θ = cos 3 θ 3 cos θ sin 2 θ en sin 3θ = 3 cos 2 θ sin θ sin 3 θ We vinden op deze manier dus twee goniometrische gelijkheden. Ga zelf na dat voor n = 2 de twee bekende gelijkheden ontstaan. Toelichting cos 2θ = cos 2 θ sin 2 θ en sin 2θ = 2 sin θ cos θ We beginnen met het bewijs van de rekenregels voor modulus en argument. Stel z 0 en w 0, dan is z = z (cos φ z + i sin φ z ) en w = w (cos φ w + i sin φ w ) Dus: ( (cos ) ) ) zw = z w φz cos φ w sin φ z sin φ w + i(cos φz sin φ w + sin φ z cos φ w En dus: ( ) zw = z w cos(φ z + φ w ) + i sin(φ z + φ w ) Uit de eigenschappen van poolcoördinaten (zie de samenvatting in Stelling 1) volgt nu dat zw = z w en arg zw = φ z + φ w. Pas nu in het volgende de al bewezen rekenregels voor het product toe. Uit w 1 = 1 volgt w 1 w w = 1, dus w 1 w = 1, dus 1 w = 1. w En als arg 1 1 = φ, dan volgt uit w = 1 dat φ w w w +φ = 2kπ voor zekere k Z. Met andere woorden: φ = 2kπ φ w voor zekere k Z. Dus arg 1 = 2kπ φ w w, dus ook arg 1 = φ w w. Bewijs de andere gelijkheden nu zelf. We bewijzen tot slot de formule van De Moivre. Bewijs Als z = cos θ + i sin θ, dan is z = 1 en arg z = θ. Dus z n = z n = 1 en arg z n = nθ. Dat betekent dat z n = 1(cos nθ + i sin nθ). Dus (cos θ + i sin θ) n = cos nθ + i sin nθ.

13 HOOFDSTUK 1. COMPLEXE GETALLEN 12 Opgaven 1. Schets in het complexe vlak: A = {z C z 1 < 1} B = {z C z 1 i 1} C = {z C z = 1} D = {z C Re z > 0} 2. Bereken (1+i 3) 10 (1 i 3) 10. ( 3. Bereken 1+i 3 1 i 3 ) Toon de volgende rekenregels voor complexe getallen aan: z = z en arg z = arg z. 5. In de vorige sectie moest je de vergelijking zz 3 = 4i oplossen. Doe dat nog eens door gebruik te maken van poolcoördinaten. 6. Bereken (1+i)202 ( 3+i) Druk cos 4θ uit in cos θ en sin θ. 8. Wat is de meetkundige betekenis van vermenigvuldigen met i? 9. Toon aan dat voor elke z en w C geldt dat z + w z + w (de driehoeksongelijkheid). Aanwijzing: doe dat meetkundig door de driehoek te bekijken met hoekpunten 0, z en z + w. 1.4 De complexe e-macht Theorie We gaan nu voor een willekeurige z = a + ib C op een zinvolle manier het getal e z definiëren. We doen dat zo, dat wanneer z toevallig reëel is, dus als b = 0 en dus z = a de waarde van e z overeenstemt met de oude bekende reële waarde van e a. Ook zal de definitie in overeenstemming zijn met de al eerder gemaakte afspraak e ib = cos b + i sin b als b R. Met andere woorden: als a = 0 en dus z = ib, dan zal de waarde van e z gelijk zijn aan cos b + i sin b. Definitie Als z = a + ib met a en b in R, dan is e z = e a (cos b + i sin b)

14 HOOFDSTUK 1. COMPLEXE GETALLEN 13 De uitdrukking e a die voorkomt in het rechterlid is de gewone oude e-macht. Merk op dat in de definitie van de complexe e-macht e z meteen in poolcoórdinaten weergegeven is: e z = e a en arg e z = b. Of anders gezegd: e z = e Re z en arg e z = Im z De functie f : C C gedefinieerd door f(z) = e z gedraagt zich in veel opzichten als de oude reële exponentiële functie, zoals de volgende eigenschappen laten zien. De eerste eigenschap bewijzen we in de toelichting in de volgende sectie. Eigenschap Als z en w tot C behoren dan geldt e z e w = e z+w. Als g een functie is van R naar C, dan is g(x) van de vorm g(x) = g 1 (x) + ig 2 (x), met andere woorden g is opgebouwd uit twee gewone reële functies. definiëren de afgeleide van g op voor de hand liggende wijze: We g (x) = g 1(x) + ig 2(x) Als nu z = a + ib dan kunnen we een functie g : R C definiëren door het voorschrift: g(x) = e zx = e (a+ib)x = e ax+ibx = e ax cos bx + ie ax sin bx. Eigenschap Er geldt: de zx dx = zezx Immers: g (x) = ( ) ( ) ae ax cos bx be ax sin bx + i ae ax sin bx + be ax cos bx Na hergroeperen van de vier termen in deze uitdrukking vinden we: g (x) = (a + ib)e ax (cos bx + i sin bx) = ze zx Deze complexwaardige functie gedraagt zich, wat differentiëren betreft, dus net zo als e 3x of e x. Zo is: de 3x dx = 3e3x en de x dx = e x

15 HOOFDSTUK 1. COMPLEXE GETALLEN 14 Maar ook: de (3+4i)x dx = (3 + 4i)e (3+4i)x en de ix dx = ieix Toelichting We bewijzen de eerste van de bovengenoemde eigenschappen. Laat z = a + ib( en w = c + id, dan ) is( ) e z e w = e a (cos b + i sin b) e c (cos d + i sin d) ( (cos ) ( ) ) = e a e c b cos d sin b sin d + i cos b sin d + sin b cos d ) = e (cos(b a+c + d) + i sin(b + d) = e (a+c)+i(b+d) = e z+w Opgaven 1. Als f(x) = e ix, bereken dan f( 1 4 π), f ( 1 4 π), f(π), f (π). 2. Gegeven is z(x) = 5e πix 6 met x R. Bereken z(0), Re z(2), Arg z(3). Teken in het complexe vlak ook de baan die beschreven wordt door z(x) als 0 x Bereken e 2+3i en arg e 2+3i. 4. Bepaal alle z C die voldoen aan e z = Bepaal alle z C die voldoen aan: e z = 3i. 6. Bepaal alle z C die voldoen aan: e z = 1 + i Bepaal alle z C die voldoen aan: e 2z 3e z + 2 = Vul in: a. g(x) = 1 3+4i e(3+4i)x = g (x) =... b. dus e (3+4i)x dx =... c. dus e 3x cos 4x dx + i e 3x sin 4x dx =... d. dus (neem reële deel links en rechts) e 3x cos 4x dx = Vul in: a. cos t + 3 sin t = Re e it + Im 3 e it = Re e it Re i 3 e it = Re...

16 HOOFDSTUK 1. COMPLEXE GETALLEN 15 b. dus cos t + 3 sin t = Re 2e ( ) e it c. dus cos t + 3 sin t = Re 2e i(t π 3 ) = Nulpunten van veeltermen Theorie In deze paragraaf zullen we enkele types van vergelijkingen leren oplossen. Die vergelijkingen zullen er uit zien als p(z) = 0, waarin p een veelterm (of polynoom) is. Een veelterm p is een functie met voorschrift p(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 Hierin zijn de a-tjes vaste (complexe) getallen. De hoogste macht van z die hierin voorkomt, dus n (als a n 0), heet de graad van p. Voorbeelden p(z) = (3 8i)z 7 14i, graad 7 p(z) = z 3 iz i, graad 3 p(z) = z 20 + z 10 2, graad 20 p(z) = 12, graad 0 Er is een fundamentele stelling die uitspreekt dat een veelterm van de n- de graad n complexe nulpunten heeft. Een bewijs van deze stelling valt buiten het kader van deze cursus. Stelling 4 (hoofdstelling van de algebra) Veronderstel dat p(z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 een veelterm van de graad n 1 is met coëfficiënten a 0,..., a n uit C. Dan zijn er z 1, z 2,..., z n in C met p(z) = a n (z z 1 )(z z 2 ) (z z n ). De veelterm is dus ontbonden in n zogeheten lineaire factoren. De stelling spreekt uit dat zo n ontbinding bestaat! Dat betekent nog niet dat we in staat zijn deze ontbinding ook daadwerkelijk te bepalen. Dat lukt alleen in heel speciale gevallen. De getallen z 1, z 2,..., z n zijn dus de nulpunten van p. Zij hoeven niet allemaal verschillend te zijn, en bovendien mogen er ook reële getallen tussen zitten. Voorbeelden p(z) = z 4 1 = (z 2 1)(z 2 + 1) = (z 1)(z + 1)(z i)(z + i),

17 HOOFDSTUK 1. COMPLEXE GETALLEN 16 dus de nulpunten van p zijn: 1, 1, i, i. p(z) = z 6 z 2 = (z 1)(z + 1)(z i)(z + i)z 2, dus de nulpunten van p zijn: 1, 1, i, i en 0 (2 keer). p(z) = 2z 2 4i = 2(z 1 i)(z i), dus de nulpunten van p zijn: 1 + i en 1 i. Het volgende kan nuttig zijn bij het ontbinden van een veelterm in eenvoudiger factoren: Stelling 5 (ontbindingscriterium voor veeltermen) Als p een veelterm is, en w is een vast complex getal, dan geldt: z w is een factor van p(z) p(w) = 0 Bewijs zelf =. We zullen nu = aantonen. Stel dus dat p(w) = 0. Voer nu (eventueel in gedachten) een staartdeling uit, zodat je krijgt: p(z) = (z w)p 1 (z) + R, waarin p 1 een veelterm is, en de rest R een (complex) getal is. Vul nu z = w in en je krijgt: 0 = p(w) = (w w)p 1 (w) + R, en dus R = 0. Met andere woorden: p(z) = (z w)p 1 (z). Voorbeeld Gevraagd de ontbinding van de veelterm p met p(z) = z 4 3z 3 + 3z 2 3z + 2. Controleer dat p(1) = 0, dus p(z) heeft een factor z 1. Deel nu p(z), dus z 4 3z 3 + 3z 2 3z + 2 door z 1 (staartdeling, rest 0!) en je vindt dat z 4 3z 3 + 3z 2 3z + 2 gelijk is aan (z 1)(z 3 2z 2 + z 2). Je kunt vervolgens zien dat z 3 2z 2 + z 2 = (z 2)(z 2 + 1), rechtstreeks, of door in te zien dat deze veelterm 2 als nulpunt heeft. Uit dit alles volgt: p(z) = (z 1)(z 2)(z i)(z + i). Veeltermen met reële coëfficiënten Stel nu dat de coëfficiënten van de veelterm p allemaal reëel zijn en dat w een (complex) nulpunt is van p. In de toelichting tonen we aan dat dan ook w een nulpunt van p is. Als w toevallig reëel is, dan is w = w en hebben we geen nieuw nulpunt gevonden, maar als w niet reëel is, dan is w een nieuw nulpunt van p. Met een klein beetje meer moeite kan men nagaan dat als w een k-voudig nulpunt is van p (dat wil zeggen als p(z) k factoren z w heeft), óók w een k-voudig nulpunt van p is. Laten we eens w = a + ib schrijven voor zo n niet-reëel nulpunt w. Dan is w = a ib en dus heeft p(z) een factor (z a ib)(z a + ib),

18 HOOFDSTUK 1. COMPLEXE GETALLEN 17 dus een factor (z a) 2 + b 2, reëel gezien een onontbindbare kwadratische (= van de graad 2) veelterm (negatieve discriminant). Dit alles leidt tot de volgende stelling. Stelling 6 (ontbinding van reële veeltermen) Een veelterm met reële coëfficiënten kan ontbonden worden in lineaire en - reëel gezien - onontbindbare kwadratische polynomen. We geven daarvan enkele voorbeelden. De veranderlijke is hierin meestal een reëel getal en wordt daarom met x genoteerd. Voorbeelden p(x) = x 3 x = x(x 1)(x + 1) p(x) = x 4 1 = (x 1)(x + 1)(x 2 + 1) p(x) = x 3 + 2x 2 + 5x = x(x 2 + 2x + 5) p(x) = x 3 1 = (x 1)(x 2 + x + 1) p(x) = x = (x + 1)(x 2 x + 1) p(x) = x = (x 2 + 2x + 2)(x 2 2x + 2) p(x) = x is geen veelterm! We gaan nu twee eenvoudige soorten vergelijkingen leren oplossen. De eerste zijn de vierkantsvergelijkingen. Vierkantsvergelijkingen Dit zijn vergelijkingen van de vorm p(z) = 0 waarin p een veelterm van de tweede graad is. Het oplossen gebeurt op de manier zoals dat vroeger voor veeltermen met reële coëfficiënten gebeurde, namelijk met kwadraatafsplitsen. We illustreren dat aan de hand van een voorbeeld. Belangrijk voorbeeld Bekijk de vergelijking z 2 (2 4i)z 8 + 8i = 0 Deze gaan we oplossen. Kwadraatafsplitsen geeft: (z (1 2i)) 2 (1 2i) i = 0 En dus: (z (1 2i)) 2 = 5 12i

19 HOOFDSTUK 1. COMPLEXE GETALLEN 18 Stel nu u = z (1 2i). De vergelijking gaat dan over in: u 2 = 5 12i Zoek nu u = a + ib (met reële a en b), zo, dat: (a + ib) 2 = 5 12i Links en rechts reële en imaginaire delen nemen geeft: a 2 b 2 = 5 en 2ab = 12 Hieruit kun je a en b oplossen. Het gaat nog iets gemakkelijker als je in (a+ib) 2 = 5 12i links en rechts de absolute waarde neemt, dus a 2 +b 2 = 13, en deze vergelijking toevoegt aan de twee vergelijkingen waaraan a en b moeten voldoen. Dit leidt tot: (1) a 2 b 2 = 5 (2) a 2 + b 2 = 13 (3) 2ab = 12 Door combinatie van (1) en (2) vind je 2a 2 = 18, dus a = ±3 en met (3) volgt daaruit b = 2. Je vindt dus u 1 = 3 2i en u 2 = 3+2i als vierkantswortels van 5 12i. De oorspronkelijke vergelijking heeft dus als oplossingen: z 1 = (1 2i) + (3 2i) = 4 4i en z 2 = (1 2i) + ( 3 + 2i) = 2 De machtsvergelijking z n = w Dit is het tweede type dat we aan zullen pakken. Dat gaat het beste door gebruik te maken van de rekenregels voor poolcoördinaten. De bedoeling is dat w een vast complex getal is. Stelling 7 (oplossingen van de machtsvergelijking) Gegeven is een complex getal w, w 0. Verder is gegeven een vaste n N. Als arg w = α voor zekere α R, dan geldt: z n = w z = n w ( cos α + 2kπ n + i sin α + 2kπ n ), k = 0, 1,..., n 1 We geven nu het bewijs. In concrete gevallen vind je precies zoals in dit bewijs de oplossingen van de gegeven vergelijking. Bewijs Laat z C, z 0 en arg z = φ, dan: z n = w z n = w en arg z n = arg w z n = w en nφ = α + 2kπ, k Z z = n w en φ = α+2kπ, k Z n z = n ( ) w cos α+2kπ + i sin α+2kπ, k = 0, 1,..., n 1 n n

20 HOOFDSTUK 1. COMPLEXE GETALLEN 19 Toelichting Veeltermen met reële coëfficiënten Stel nu dat de coëfficiënten van de veelterm p allemaal reëel zijn en dat w een (complex) nulpunt van is p. We tonen eerst aan dat dan ook w een nulpunt van p is. We gebruiken daarvoor de rekenregels z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2, en z = z als z R. Welnu, laat gegeven zijn dat w een nulpunt is van p, dus: Dus: Dus: Dus: a n w n + a n 1 w n a 1 w + a 0 = 0 a n w n + a n 1 w n a 1 w + a 0 = 0 a n w n + a n 1 w n a 1 w + a 0 = 0 a n w n + a n 1 w n a 1 w + a 0 = 0, met andere woorden p(w) = 0, nog anders gezegd: w is een nulpunt van p. Nog eens de vierkantsvergelijkingen Je zou een vierkantsvergelijking ook met de abc-formule op willen lossen. Als je dat doet in het voorbeeld dat we behandeld hebben zul je merken dat er een uitdrukking 5 12i ontstaat. Je zult dan uit moeten leggen wat je met dit getal bedoelt, in het bijzonder hoe je dit schrijft in de vorm a + ib. Als je daar even over nadenkt zie je dat dit neerkomt op het vinden van de oplossingen van u 2 = 5 12i. Voorkom dus onduidelijkheid en volg het rekenschema uit het gegeven voorbeeld. De vergelijking u 2 = 5 12i die we opgelost hebben door u = a + ib te stellen had als oplossingen: u 1,2 = ±(3 2i) Maar u 2 = 5 12i is ook een vergelijking van het type u n = w, namelijk met n = 2 en w = 5 12i. Zij kan dus ook opgelost worden door gebruik te maken van argument en modulus. Ga na dat je dan krijgt: u 1,2 = ± 13 ( cos( 1 2 arctan 12 5 ) i sin( 1 2 arctan 12 5 )) Dat die uitkomsten gelijk zijn kan aangetoond worden door handig te manipuleren met gonioregels. Nog eens de vergelijking z n = w Als je de laatste regel van het oplossingsschema van deze vergelijking bekijkt

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche

Nadere informatie

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk

Nadere informatie

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

Complexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen

Complexe getallen. 5.1 Constructie van de complexe getallen Les 5 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 +1 steeds positief is en in het bijzonder

Nadere informatie

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

De wortel uit min één. Jaap Top

De wortel uit min één. Jaap Top De wortel uit min één Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 20 maart 2007 1 Marten Toonder, verhaal de minionen (1980) 2 3 4 5 Twee manieren om complexe getallen te beschrijven: algebraïsch, als uitdrukkingen

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 8 Complexe getallen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 De getallenverzameling C 1 2 Het complex vlak of het vlak van Gauss 7 3 Vierkantsvergelijkingen

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

8.1 Rekenen met complexe getallen [1]

8.1 Rekenen met complexe getallen [1] 8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen

Les 1 Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Vwo 5 / Havo 4 Wis D Hoofdstuk 8 : Complexe getallen Pagina van Les Kwadraat afsplitsen en Verzamelingen Definities Verzamelingen Er zijn verschillende verzamelingen N = Natuurlijke getallen =,2,,.. Z

Nadere informatie

4051CALC1Y Calculus 1

4051CALC1Y Calculus 1 4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/

Nadere informatie

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

Complexe getallen in context

Complexe getallen in context Complexe getallen in context voor wiskunde D ( 5 VWO) R.A.C. Dames H. van Gendt Versie, november 006 Deze module is ontwikkeld in opdracht van ctwo. Copyright 006 R.Dames en H. van Gendt Inhoud Inhoud...3

Nadere informatie

Complexe getallen in context

Complexe getallen in context Complexe getallen in context voor wiskunde D ( 5 VWO) R.A.C. Dames H. van Gendt Versie 4, juni 0 In deze vierde versie zijn alleen een aantal zetfouten verbeterd. Inhoudelijk is deze versie geheel gelijk

Nadere informatie

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch) staan. Die

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Kunnen we elke integraal oplossen? Z e x x dx Z e x2 dx

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel) 1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Signalen en Transformaties

Signalen en Transformaties Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Complexe getallen z D a C bi We definiëren de complex

Nadere informatie

Wiskundige Technieken

Wiskundige Technieken 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 009-010 1ste semester 7 oktober 009 Wiskundige Technieken 1. Integreer de volgende differentiaalvergelijkingen: (a) y + 3x y = 3x (b) y + 3y + y = xe

Nadere informatie

Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt

Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt Bijlage bij Inversie Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt In dee paragraaf gaan we op een andere manier kijken naar inversie. We doen dat met behulp van de complexe getallen. We veronderstellen

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

kwadratische vergelijkingen

kwadratische vergelijkingen kwadratische vergelijkingen In deze paragraaf: 'exact berekenen van oplossingen', 'typen kwadratische vergelijkingen' en 'de abc-formule en de discriminant'. de abc-formule Voor een tweedegraads vergelijking

Nadere informatie

COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats

COMPLEXE GETALLEN. voor Wiskunde D. Jan van de Craats COMPLEXE GETALLEN voor Wiskunde D Jan van de Craats Herziene versie, 3 augustus 007 Illustraties en LATEX-opmaak: Jan van de Craats Prof. dr. J. van de Craats is hoogleraar in de wiskunde aan de Universiteit

Nadere informatie

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling basiscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling basiscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de basiscursus (Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch staan. Die

Nadere informatie

Standaardfuncties. x c

Standaardfuncties. x c Standaards Constante Parameter We geven in dit document een overzicht van een aantal veelvoorkomende s. We geven steeds het voorschrift en de grafiek. (Ter herinnering: het domein vermelden we niet, het

Nadere informatie

Combinatoriek groep 2

Combinatoriek groep 2 Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een

Nadere informatie

De partitieformule van Euler

De partitieformule van Euler De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm

Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we. Definitie Een differentiaalvergelijking is een vergelijking van de vorm college 3: differentiaalvergelijkingen Notatie Voor een functie y = y(t) schrijven we y = y (t) of y (1) = y (1) (t) voor de afgeleide dy dt, en y = y (t) of y (2) = y (2) (t) voor de tweede afgeleide

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

Wortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel) Wortels met getallen 1 Inleiding WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht van de

Nadere informatie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van

Nadere informatie

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n

Nadere informatie

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be SOORTEN GETALLEN (Dit hoofdstukje geldt als inleiding en is geen te kennen leerstof). Natuurlijke getallen

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30

Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30 Tentamen WISN11 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov 16 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie

Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie Integratietechnieken: substitutie en partiële integratie Inleiding In dit pakket wordt zeer kort de definitie van onbepaalde integralen herhaald evenals het verband tussen bepaalde en onbepaalde integralen.

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

Vergelijkingen met breuken

Vergelijkingen met breuken Vergelijkingen met breuken WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier. 1 Oplossen van gebroken vergelijkingen Kijk ook nog

Nadere informatie

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 INHOUD 1 De cirkel 9 1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen 11 1.2 Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 1.3 Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel 20 1.3.1 Aantal snijpunten van een rechte

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

INLEIDING TOT DE HOGERE WISKUNDE

INLEIDING TOT DE HOGERE WISKUNDE INLEIDING TOT DE HOGERE WISKUNDE DEEL : Analyse van functies van één veranderlijke Arno KUIJLAARS Stefaan POEDTS Departement Wiskunde, Katholieke Universiteit Leuven, Celestijnenlaan 200 B, 300 Heverlee

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

4. Determinanten en eigenwaarden

4. Determinanten en eigenwaarden 4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom 8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

BIOFYSICA: WERKZITTING 08 en 09 (Oplossingen) ELEKTRISCHE KRINGEN

BIOFYSICA: WERKZITTING 08 en 09 (Oplossingen) ELEKTRISCHE KRINGEN 1ste Kandidatuur ARTS of TANDARTS Academiejaar 2002-2003 Oefening 11 (p29) BIOFYSICA: WERKZITTING 08 en 09 (Oplossingen) ELEKTRISCHE KRINGEN Bereken de stromen in de verschillende takken van het netwerk

Nadere informatie

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast

Nadere informatie

Studiehandleiding Basiswiskunde cursus

Studiehandleiding Basiswiskunde cursus Studiehandleiding Basiswiskunde cursus 2008 2009 Materiaal Bij dit college heb je nodig: Het boek Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch Isbn: 90 430 1156 8 De syllabus Aanvulling basiscursus

Nadere informatie

de optelling en vermenigvuldiging van complexe getallen, de beschrijving van complexe getallen in termen van poolcoördinaten,

de optelling en vermenigvuldiging van complexe getallen, de beschrijving van complexe getallen in termen van poolcoördinaten, Hoofdstuk 1 Complexe getallen 1.1 Rekenen met complexe getallen 1.1.1 We kunnen reële getallen opvatten als punten van een rechte lijn, de getallenrechte. Net zo kunnen we complexe getallen opvatten als

Nadere informatie

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214 Open Inhoud Universiteit Appendix A Wiskunde voor milieuwetenschappen Voorkennis getallenverzamelingen en algebra Introductie Leerkern Natuurlijke getallen Gehele getallen 8 Rationele getallen Machten

Nadere informatie

12. Uitwerkingen van de opgaven

12. Uitwerkingen van de opgaven 12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);

Nadere informatie

Genererende Functies K. P. Hart

Genererende Functies K. P. Hart genererende_functies.te 27--205 Z Hoe kun je een rij getallen zo efficiënt mogelijk coderen? Met behulp van functies. Genererende Functies K. P. Hart Je kunt rijen getallen op diverse manieren weergeven

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

De wiskunde van de beeldherkenning

De wiskunde van de beeldherkenning De wiskunde van de beeldherkenning Op zoek naar wat er niet verandert! In het kader van: (Bij) de Faculteit Wiskunde en Informatica van de TU/e op bezoek c Faculteit Wiskunde en Informatica, TU/e Inhoudsopgave

Nadere informatie

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO Rekenvaardigheden voor klas en VWO Een project in het kader van het Netwerk VO-HO West Brabant Voorjaar 00 Samenstelling: M. Alberts (Markenhage College, Breda) I. van den Bliek (Mencia de Mendoza, Breda)

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A.

Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Wiskunde voor het hoger onderwijs deel A Errata 00 Noordhoff Uitgevers Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Hoofdstuk. 4 Op blz. in het Theorieboek staat halverwege de

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Geleid herontdekken van de golffunctie

Geleid herontdekken van de golffunctie Geleid herontdekken van de golffunctie Nascholingscursus Quantumwereld Lodewijk Koopman lkoopman@dds.nl januari-maart 2013 1 Dubbel-spleet experiment Er wordt wel eens gezegd dat elektronen interfereren.

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Bestaat er dan toch een wortel uit 1?

Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies voor beginners Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam Open Universiteit craats@science.uva.nl Complexe getallen worden

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Leerlijnen REKENEN WISKUNDE (BB)

Leerlijnen REKENEN WISKUNDE (BB) Leerlijnen REKENEN WISKUNDE (BB) Domein : Bewerkingen Onderwerp: vervolg breuken B11 B11 B11 De leerlingen kunnen ongelijknamige breuken gelijknamig maken, optellen en aftrekken. De leerlingen kunnen bij

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a. 98 Algebra 3.3 Variabelen 3.3.1 Inleiding F= 9 5 15+32= 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie