Veeltermen. Module Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm"

Transcriptie

1 Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n Æ. De reële getallen a 0,a 1,a 2,...,a n heten de coëfficiënten van de veelterm. De uitdrukkingen a 0,a 1 x,a 2 x 2,...,a n x n worden de termen van de veelterm genoemd en a 0 wordt ook de constante term genoemd. De graad van een veelterm is de exponent van de hoogste macht van x waarvan de coëfficiënt verschillend is van nul. en 2x 3 is een eenterm van de derde graad 6x 4 3x+5 is een drieterm van de vierde graad x 9 x 2 is een tweeterm van de negende graad 12

2 2.2. GELIJKHEID VAN VEELTERMEN Gelijkheid van veeltermen Twee veeltermen heten gelijk als en slechts als ze dezelfde graad hebben en als de coëfficiënten van overeenkomstige machten van x twee aan twee gelijk zijn. 2.3 Som van veeltermen De som van twee veeltermen is de veelterm waarvan de coëfficiënt bij elke macht van x gelijk is aan de som van de coëfficiënten bij de overeenkomstige macht van x in de oorspronkelijke veeltermen. ( 3x 4 2x 3 +x 1 ) + ( x 4 +x 2 x+4 ) = (3+1)x 4 +( 2+0)x 3 +(0+1)x 2 +(1 1)x+( 1+4) = 4x 4 2x 3 +x Tegengestelde veelterm De tegengestelde veelterm van een veelterm is de veelterm die, als men hem bij de oorspronkelijke veelterm optelt, nul als resultaat oplevert. M.a.w. het is de veelterm waarvan alle coëfficiënten tegengesteld zijn aan de coëfficiënten van de oorspronkelijke veelterm. De tegengestelde veelterm van de veelterm 7x 3 +5x 2 3x+2 is 7x 3 5x 2 +3x Verschil van veeltermen Het verschil van twee veeltermen is gelijk aan de som van de eerste veelterm met de tegengestelde veelterm van de tweede veelterm. ( 3x 2 +x 5 ) ( 7x 3 +5x 2 3x+2 ) = ( 3x 2 +x 5 ) + ( 7x 3 5x 2 +3x 2 ) = 7x 3 2x 2 +4x 7.

3 14 MODULE 2. VEELTERMEN 2.6 Product van veeltermen Het product van twee veeltermen is de veelterm die men bekomt door elke term van de eerste veelterm te vermenigvuldigen met elke term van de tweede veelterm en de bekomen termen op te tellen. ( 3x 2 +x 5 ) (7x 3 5x 2 3x+2 ) = 3x 2 7x 3 +3x 2 ( 5x 2) +3x 2 ( 3x)+3x 2 2 +x 7x 3 +x ( 5x 2) +x ( 3x)+x 2 +( 5) 7x 3 +( 5) ( 5x 2) +( 5) ( 3x)+( 5) 2 = 21x 5 15x 4 9x 3 +6x 2 +7x 4 5x 3 3x 2 +2x 35x 3 +25x 2 +15x 10 = 21x 5 8x 4 49x 3 +28x 2 +17x Macht van een veelterm De n-de macht (n Æ 0 ) van een veelterm is gelijk aan het product van n factoren die elk gelijk zijn aan de oorspronkelijke veelterm. ( 5x 3 2x 1 ) 3 ( = 5x 3 2x 1 ) (5x 3 2x 1 ) (5x 3 2x 1 ) = ( 25x 6 20x 4 10x 3 +4x 2 +4x+1 ) (5x 3 2x 1 ) = 125x 9 150x 7 75x 6 +60x 5 +60x 4 +7x 3 12x 2 6x Eigenschappen Rekening houdend met de hierboven gegeven definities van som, verschil en product van veeltermen kan men voor deze bewerkingen op veeltermen analoge eigenschappen aantonen als voor de overeenkomstige bewerkingen op reële getallen. Meer in het bijzonder gelden de volgende eigenschappen: 1. De optelling van veeltermen is associatief. 2. De optelling van veeltermen is commutatief. 3. De aftrekking van veeltermen is niet associatief. 4. De aftrekking van veeltermen is niet commutatief. 5. De vermenigvuldiging van veeltermen is associatief.

4 2.9. MERKWAARDIGE PRODUCTEN De vermenigvuldiging van veeltermen is commutatief. 7. De vermenigvuldiging van veeltermen is zowel links- als rechtsdistributief ten opzichte van de optelling van veeltermen. 8. De vermenigvuldiging van veeltermen is zowel links- als rechtsdistributief ten opzichte van het verschil van veeltermen. 2.9 Merkwaardige producten Zijn nu A en B reële getallen of veeltermen, dan gelden, rekening houdend met de hierboven vermelde definities en eigenschappen, de volgende formules die we merkwaardige producten noemen. Deze formules zijn niet alleen handig om sneller het product van bepaalde veeltermen te berekenen maar ook en vooral om veeltermen te ontbinden in factoren (zie later 2.12). (A+B) 2 = A 2 +2AB +B 2 (A B) 2 = A 2 2AB +B 2 (A+B)(A B) = A 2 B 2 (A+B) 3 = A 3 +3A 2 B +3AB 2 +B 3 (A B) 3 = A 3 3A 2 B +3AB 2 B 3 (A+B)(A 2 AB +B 2 ) = A 3 +B 3 (A B)(A 2 +AB +B 2 ) = A 3 B 3 Opgelet! Kwadraat van een som (verschil) som (verschil) van kwadraten. Derdemacht van een som (verschil) som (verschil) van derdemachten. en (2x 5y) 2 = (2x) 2 2(2x)(5y)+(5y) 2 = 4x 2 20xy +25y 2 (2x+1) 3 = (2x) 3 +3(2x) 2 (1)+3(2x)(1) = 8x 3 +12x 2 +6x+1 ( 2x+3y 2)( 2x 3y 2) = (2x) 2 (3y) 2 = 4x 2 9y 4 ( x 5) 2 = ( x) 2 2( x)(5)+5 2 = x 2 +10x+25 ( x 2 2y ) 3 ( = x 2 ) 3 ( 3 x 2 ) 2 (2y)+3(x 2 )(2y) 2 (2y) 3 = x 6 6x 4 y +12x 2 y 2 8y 3 (x 1 y)(x 1+y) = ( (x 1) y )( (x 1)+y ) = (x 1) 2 y 2 = x 2 2x+1 y 2

5 16 MODULE 2. VEELTERMEN 2.10 Quotiënt van veeltermen Stelling Zijn T(x) en N(x) twee veeltermen in x, met N(x) verschillend van de nulveelterm, dan bestaan er steeds een veelterm Q(x) en een veelterm R(x) waarvoor geldt dat T(x) = Q(x) N(x)+R(x) en waarbij ofwel R(x) de nulveelterm is ofwel graadr(x) < graadn(x). Anders genoteerd geeft bovenstaande vergelijking: T(x) R(x) = Q(x)+ N(x) N(x) Dit heet de Euclidische deling van T(x) door N(x). Hierbij heet T(x) het deeltal, N(x) de deler, Q(x) het quotiënt en R(x) de rest. AlsR(x)gelijk is aan denulveelterm danzeggen wedatdedeling opgaat of nogdatt(x)deelbaar is door N(x). In dit geval hebben we dan T(x) N(x) = Q(x). Om bij gegeven T(x) en gegeven N(x) het quotiënt Q(x) en de rest R(x) te berekenen gaan we te werk zoals bij een staartdeling van natuurlijke getallen. Bijgevolg, x 5 3x 3 +2x 2 x +1 x 2 x +2 x 5 +x 4 2x 3 x 3 +x 2 4x 4 = Q(x) x 4 5x 3 +2x 2 x +1 x 4 +x 3 2x 2 4x 3 x +1 4x 3 4x 2 +8x 4x 2 +7x +1 4x 2 4x +8 3x +9 = R(x) x 5 3x 3 +2x 2 x+1 x 2 x+2 = x 3 +x 2 4x 4+ 3x+9 x 2 x+2.

6 2.11. REGEL VAN HORNER Regel van Horner De Regel van Horner is een verkorte werkwijze van de Euclidische staartdeling waarbij de deler van de vorm x a is. We beschouwen het volgende voorbeeld met T(x) = 2x 3 5x 2 + x +3 en N(x) = x 2. Het vinden van Q(x) en R(x) kan gebeuren a.h.v. het volgende schema: De algemene stappen om zo n schema op te stellen zijn: 1. Plaats in de eerste rij, rechts van de verticale streep, de coëfficiënten van de te delen veelterm T(x) volgens dalende machten van x (eventueel met de nodige nulcoëfficiënten indien bepaalde machten van x niet aanwezig zijn). In dit voorbeeld is dat de rij (2, 5,1,3). 2. Plaats op de tweede rij, links van deverticale streep, dewaarde a uit dedeler N(x) = x a. In dit voorbeeld is dat Haal de eerste coëfficiënt op de eerste rij naar beneden en plaats deze op de derde rij onder de horizontale streep (en onmiddellijk rechts van de verticale streep). We zijn nu klaar om de procedure te starten! 4. Schuif één kolom naar rechts op en plaats hier op de tweede rij het product van het getal op de derde rij van de kolom ervoor en het nulpunt (uiterst links op de tweede rij). 5. Nu plaats je op de derde rij de som van de twee waarden in dezelfde kolom boven de horizontale streep. 6. Herhaal stappen 4 en 5 tot alle kolommen rechts van de verticale streep ingevuld zijn. De laatst ingevulde waarde uiterst rechts onder de horizontale streep is niets anders dan de rest R(x) bij deling door x a. In het voorbeeld krijgen we R(x) = Onder de horizontale streep vind je nu, de waarde uiterst rechts niet meegerekend, de lijst met coëfficiënten van de quotiëntveelterm Q(x) volgens dalende machten van x. In ons voorbeeld is dat Q(x) = 2x 2 x 1. Controleer nu zelf dat 2x 3 5x 2 +x+3 = (x 2)(2x 2 x 1)+1 door het rechterlid uit te werken.

7 18 MODULE 2. VEELTERMEN Opmerking De regel van Horner laat ook toe de waarde T(a) op een handige wijze te berekenen. Deze waarde is niets anders dan het getal uiterst rechts onder de horizontale streep in het schema van Horner. De reden is dat T(a) gelijk is aan de constante rest bij Euclidische deling van T(x) door x a: T(x) = (x a)q(x)+r(x) T(a) = (a a)q(a)+r(a) = 0 Q(a)+R(a) = R(a) Omdat bij deling door x a de restveelterm R(x) steeds een constante veelterm is (immers, graadr(x) < graad(x a) = 1), geldt R(x) = R(a) = T(a). Bereken V( 6) als V(x) = 2x 4 +3x 3 x 5. We stellen daartoe het schema van Horner op (let op de nulcoëfficiënt): We vinden dus V( 6) = 1945 en ook 2x 4 +3x 3 x 5 = (x+6)(2x 3 9x 2 +54x 325) Ontbinden in factoren Een veelterm is ontbonden in factoren als en slechts als hij geschreven is als het product van veeltermen die alle een lagere graad hebben dan de oorspronkelijke veelterm. Een veelterm is volledig ontbonden in factoren als en slechts als hij ontbonden is in factoren die zelf niet verder kunnen ontbonden worden. Die factoren zijn dan veeltermen van de 1ste of de 2de graad (volgens een belangrijke stelling uit de Algebra). en x 4 2x 3 +x 2 2x = x ( x 3 2x 2 +x 2 ) = x(x 2) ( x 2 +1 ) (in twee stappen) 2x 2 x 6 = 2 ( x+ 3 2) (x 2) = (2x+3)(x 2) (laatste schrijfwijze zonder breuken)

8 2.12. ONTBINDEN IN FACTOREN 19 Opmerking x 3 27 = x = (x 3) ( x 2 +3x+9 ) (merkwaardig product) x 6 1 = ( x 3) = ( x 3 1 )( x 3 +1 ) = ( x 3 1 3)( x ) = (x 1) ( x 2 +x+1 ) (x+1) ( x 2 x+1 ) Bij het laatste voorbeeld vat je best eerst alles als tweedemachten op en daarna pas als derdemachten. Anders gebeurt dit: x 6 1 = ( x 2) = ( x 2 1 )( x 4 +x 2 +1 ) = (x 1)(x+1) ( x 4 +x 2 +1 ) Hoe ga je nu de veelterm x 4 +x 2 +1 nog verder ontbinden? Een gelijkaardig probleem stelt zich bij het ontbinden van de veelterm x 5 2x 4 +x 2: x 5 2x 4 +x 2 = (x 2) ( x 4 +1 ). Hoe krijgen we nu de veelterm x 4 +1 nog verder ontbonden? Of is deze niet ontbindbaar? Hierop komen we in nog terug. Een vast algoritme dat met zekerheid tot de ontbinding van een willekeurige veelterm leidt is er niet. Er kunnen echter wel een aantal technieken gevolgd worden die meestal tot de ontbinding van een veelterm leiden. Deze technieken zetten we hierna uiteen in de volgorde waarin ze uitgeprobeerd dienen te worden Gemeenschappelijke factoren buiten haakjes brengen en 2x 3 x 2 +7x = x ( 2x 2 x+7 ) 2x 3 4x 2 = 2x 2 (x 2) (x 3) 2 +5(x 3) = (x 3) ( (x 3)+5 ) = (x 3)(x+2) Factoren van de vorm x a zoeken Door toepassen van merkwaardige producten: en x 2 6x+9 = x 2 2 x = (x 3) 2 ) 8x = (2x) = (2x+3) ((2x) 2 +(2x) = (2x+3) ( 4x 2 6x+9 )

9 20 MODULE 2. VEELTERMEN 9x 2 5 = (3x) = ( 3x 5 )( 3x+ 5 ) 3x 3 24 = 3 ( x 3 8 ) = 3 ( x 3 2 3) = 3(x 2) ( x 2 +2x+4 ) x 6 x x x3 = x 3( x 3 x x 1 ) 27 = x (x 3 3 3x x( 1 2 ( 3) 1 ) ) 3 3 = x 3( x 1 3 ) 3 Door toepassen van het criterium van deelbaarheid: Stelling (Criterium van deelbaarheid) Een veelterm V(x) is deelbaar door x a als en slechts als V(a) = 0. Men zegt in dit geval dat a een nulpunt is van V(x). Ontbind x 3 +4x 2 3x 18. We proberen eerst een aantal waarden uit om een nulpunt van deze veelterm te vinden: 1? = is geen nulpunt 1? ( 1) 3 +4 ( 1) 2 3 ( 1) 18 = is geen nulpunt 2? = 0 2 is een nulpunt Door het criterium van deelbaarheid weten we nu dat x 3 + 4x 2 3x 18 deelbaar is door x 2 of nog, dat er een veelterm Q(x) bestaat waarvoor x 3 +4x 2 3x 18 = (x 2) Q(x). We kunnen Q(x) vinden door de regel van Horner (zie 2.10): Onder de horizontale streep vinden we nu de lijst met coëfficiënten van de veelterm Q(x) volgens dalende machten van x, dus Q(x) = x 2 +6x+9. We vinden dan uiteindelijk x 3 +4x 2 3x 18 = (x 2)(x 2 +6x+9). Opmerkingen 1. Als a een nulpunt is van de veelterm V(x), dan moet het getal uiterst rechts onder de horizontale streep in het schema van Horner gelijk zijn aan nul! (Verklaar!) 2. In de praktijk kan men zich bij het op zicht bepalen van het nulpunt a meestal beperken tot de delers van de constante term uit V(x).

10 2.12. ONTBINDEN IN FACTOREN 21 Ontbind x 4 x 2. Bij het bepalen van een nulpunt op zicht beperken we ons tot de delers van 2: 1, 1, 2 en 2. We stellen hier vast dat a = 1 een nulpunt is, dus x 4 x 2 moet deelbaar zijn door x a = x+1. Regel van Horner (let op de toevoeging van de nodige nulcoëfficiënten in de eerste rij): We vinden dus x 4 x 2 = (x+1)(x 3 x 2 +x 2) Groeperen van termen en Groeperen om dan gemeenschappelijke factoren buiten haakjes te plaatsen: 3x 3 4x 2 +6x 8 = ( 3x 3 4x 2) +(6x 8) = x 2 (3x 4)+2(3x 4) = ( x 2 +2 ) (3x 4) 5x 2 10xy xz +2yz = ( 5x 2 10xy ) +( xz +2yz) = 5x(x 2y)+( z)(x 2y) = (5x z)(x 2y) Groeperen om een verschil van kwadraten te verkrijgen: x 4 +x 2 +6x+9 = ( x 2 +6x+9 ) x 4 = (x+3) 2 ( x 2) 2 = ( x+3+x 2)( x+3 x 2) Een term toevoegen en aftrekken ( supertruuk ) om de vorige methode te kunnen toepassen, i.h.b. voor een som van vierdemachten: x 4 +1 = x x 2 2x 2 = ( x 4 +2x 2 +1 ) 2x 2 = ( x 2 +1 ) 2 ( ) 2 2x ( = x )( 2x x 2 +1 ) 2x

11 22 MODULE 2. VEELTERMEN Veeltermen van de tweede graad of kwadratische veeltermen ontbinden We beschouwen de kwadratische veelterm K(x) = ax 2 +bx+c. Afhankelijk van het teken van de discriminant D = b 2 4ac zal K(x) twee, één of geen reële nulpunten hebben. Volgens het criterium van deelbaarheid zal de ontbinding van K(x) bijgevolg ook afhangen van het teken van D. Deze situatie wordt samengevat in de volgende tabel (de formules voor de nulpunten worden afgeleid in Module 3 ): D nulpunten van K(x) ontbinding van K(x) > 0 x 1 = b D 2a = 0 x 1 = b 2a en x 2 = b+ D 2a a(x x 1 )(x x 2 ) (= x 2 ) a(x x 1 ) 2 < 0 geen in Ê bestaat niet in Ê en 5x 2 +3x 2 = 5(x+1) ( x 2 5) = (x+1)(5x 2) want D = ( 2) = 49 zodat x 1 = = 1 en x 2 = = 2 5 2x 2 2x+ 1 2 = 2( x 1 2 ) 2 want D = ( 2) = 0 zodat x 1 = ( 2) 2 2 = 1 2 (= x 2) x 2 +x+1 is niet ontbindbaar in Ê want D = = 3 < 0.

12 2.13. OEFENINGEN Oefeningen Oefening 2.1. Werk uit: (1) (x+12)(12 x) (2) ( 5 3x 3) 2 (3) (x 6) 2 (4) (2x 3) 3 (5) ( 1 7y 5)( 7y 5 1 ) (6) (7) ( 3a 4b) 2 (8) ( x 4 4y2) 2 ) 3 ( u2 2 2v (9) ( x 3 5 )( x 3 +5 ) (10) ( 1 2 x+5y) 2 (11) ( x 8) 2 (12) ( a 2 2b ) 3 Oefening 2.2. Ontbind in factoren (m.b.v. merkwaardige producten): (1) x 2 36 (2) x 2 x+1 (3) a 2 8a+16 (4) 16a 16 1 (5) 125+a 6 (6) x 3 y 6 3x 2 y 5 +3xy 4 y 3 (7) y 3 6y (8) 1 4 a2 1 4 a (9) 9z 2 +12z +4 (10) u2 v2 u+ v2 4 (11) x 8 +14x (12) x 3 6x 2 +12x 8 (13) 25+x 4 (14) x 2 6x+9 (15) 9x 2 y 2 (16) a 2 b 2 2abc+c 2 Oefening 2.3. Ontbind zo mogelijk in factoren: (1) 2x 2 5x+3 (2) x2 5 5 (3) x 2 +5x 4 (4) 3 18x 27x 2 (5) 2x 2 2x 12 (6) 3x 2 2x+1 (7) 4 9 y2 1 3 y (8) z (9) 3x 2 2x+ 1 3 (10) 1 5 x2 +2x+5 (11) x 2 +9x+20 (12) 8a 1 16a 2 (13) a 2 2a+4 (14) z 2 4z 5

13 24 MODULE 2. VEELTERMEN Oefening 2.4. Ontbind in factoren: (1) x 3 6x 2 +12x 8 (2) 2(1 x)(2 x)x 2 8(x 1)(x 2) (3) z 3 6z 2 +9z (4) x 2 4(x 1) (5) 2x 2 7x+5 (6) 4x 2 +12x+9 9(x 1) 2 (7) 2t 3 7t 2 +3t (8) x 4 x 3 7x 2 +5x+10 (9) 49 b 2 (10) 3x 4 +x 3 x 3 (11) 125+8a 3 (12) 5x 3 4x 2 8x+7 (13) x y2 (14) 6x 3 +7x 2 13 (15) 4x 2 +12xy +9y 2 (16) 2x 3 5x 2 +7x 4 (17) xy +3y 2x 6 (18) 2x 3 +7x 2 +7x+2 (19) x 2 y y 3 (20) 5x 3 2x 2 x 114 (21) 3ax 2 y 2 6axy +3a (22) 3x 3 +2x 2 16x+15 (23) 3a 8 48b 4 (24) x 4 1 (25) x 2 2x+1 y 6 (26) x 6 1 (27) 3x ay ax+3y (28) 5x 3 2x 2 4x+1 (29) 4x 2 y 2 4x 2 z 2 y 2 +z 2 (30) 2x 3 +5x 2 7x 12 (31) a 4 3a 3 +a 2 +3a 2 (32) 3x 3 7x 2 +8x 12 (33) x 4 2x 3 +2x 1 (34) x (35) x(x+2) 2 9x 3 (36) y (37) 2x 4 5x 3 +5x 2 (38) y 6 +27

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

kwadratische vergelijkingen

kwadratische vergelijkingen kwadratische vergelijkingen In deze paragraaf: 'exact berekenen van oplossingen', 'typen kwadratische vergelijkingen' en 'de abc-formule en de discriminant'. de abc-formule Voor een tweedegraads vergelijking

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a. 98 Algebra 3.3 Variabelen 3.3.1 Inleiding F= 9 5 15+32= 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden

Nadere informatie

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat.

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat. 92 Algebra 3.2 Basiskennis Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: 3.2.1 De getallenlijn... -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5... 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen Het=teken 5+2+3=10 = geeft aan dat wat links van = staat,

Nadere informatie

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO Rekenvaardigheden voor klas en VWO Een project in het kader van het Netwerk VO-HO West Brabant Voorjaar 00 Samenstelling: M. Alberts (Markenhage College, Breda) I. van den Bliek (Mencia de Mendoza, Breda)

Nadere informatie

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be SOORTEN GETALLEN (Dit hoofdstukje geldt als inleiding en is geen te kennen leerstof). Natuurlijke getallen

Nadere informatie

Producten, machten en ontbinden in factoren

Producten, machten en ontbinden in factoren Joke Smit College Producten, machten en ontbinden in factoren Voor cursisten uit de volgende klassen: alle Havo en VWO klassen (wiskunde, wiskunde A en wiskunde B) Wat kun je oefenen? 1. Het uitrekenen

Nadere informatie

Grafieken van veeltermfuncties

Grafieken van veeltermfuncties (HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

3.1 Haakjes wegwerken [1]

3.1 Haakjes wegwerken [1] 3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

Vergelijkingen in één onbekende

Vergelijkingen in één onbekende Module 3 Vergelijkingen in één onbekende 3.1 Lineaire vergelijkingen Dit zijn vergelijkingen die herleid kunnen worden tot de gedaante ax+b = 0 met a,b Ê en a 0 ax+b = 0 ax = b x = b a V = { b } a Voorbeelden

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 : Delen van veeltermen

Hoofdstuk 7 : Delen van veeltermen - 19 - Hoofdstuk 7 : Delen van veeltermen Delen van veeltermen door een veelterm: (boek pag 16) Bepaal het quotient en de rest van de volgende delingen (oefeningen pag 19 nr. - 5-6) 1.. 18 9 + 11 + 6........................

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5 INHOUDSTABEL 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3 2. TEKENREGELS (fiche 2)... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)... 6 2c. OMGEKEERDE

Nadere informatie

1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen

1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen 1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen 1 Merkwaardige producten, ontbinden in factoren 1.1 Merkwaardige producten ( ) ( ) a+ b = a + ab+ b a b = a ab+ b ( ) ( ) a+ b = a + ab+ ab + b a b = a ab+ ab

Nadere informatie

DE STAARTDELING (cijferend rekenen) Derde leerjaar (groep 5) Luc Cielen

DE STAARTDELING (cijferend rekenen) Derde leerjaar (groep 5) Luc Cielen DE STAARTDELING (cijferend rekenen) Derde leerjaar (groep 5) Luc Cielen Wat voorafgaat aan het leren van de staartdeling: De kinderen moeten al vertrouwd zijn met de schrijfwijze van de delingen (hoofdrekenen)

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

7.1 Grafieken en vergelijkingen [1]

7.1 Grafieken en vergelijkingen [1] 7.1 Grafieken en vergelijkingen [1] Voorbeeld: Getekend zijn de grafieken van y = x 2 4 en y = x + 2. De grafieken snijden elkaar in de punten A(-2, 0) en B(3, 5). Controle voor x = -2 y = x 2 4 y = x

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl OP WEG NAAR WISKUNDE Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl Voor kinderen die iets meer willen weten en begrijpen van wiskunde, bijvoorbeeld als voorbereiding op de middelbare

Nadere informatie

PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5

PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 2015-2015 PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 Inhoud Kenmerken van deelbaarheid (herhaling)...1 Ontbinden in factoren...1 Priemgetallen (herhaling)...2 Ontbinden in priemfactoren...2 KGV (Kleinste Gemene

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

5. berekenen van limieten en asymptoten

5. berekenen van limieten en asymptoten hoodstuk : berekenen van ieten en asymptoten. berekenen van ieten en asymptoten.. inleiding Algebraïsche uncties zijn uncties die geconstrueerd kunnen worden met enkel de constante en identieke unctie,

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

met gehele getallen Voer de volgende berekeningen uit: 1.1 a. 873 112 1718 157 3461 + 1.2 a. 9134 4319 b. 4585 3287 b. 1578 9553 7218 212 4139 +

met gehele getallen Voer de volgende berekeningen uit: 1.1 a. 873 112 1718 157 3461 + 1.2 a. 9134 4319 b. 4585 3287 b. 1578 9553 7218 212 4139 + I Getall 0 e π 8 9 Dit deel gaat over het rek met getall. Ze kom in allerlei soort voor: positieve getall, negatieve getall, gehele getall, rationale irrationale getall. De getall, π e zijn voorbeeld van

Nadere informatie

Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen

Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen 2.1 Natuurlijke getallen 1 Rangschik de volgende natuurlijke getallen van klein naar groot. 45 54 56 78 23 25 77 89 2 050 2 505 2 055 2 500 2 005 879

Nadere informatie

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel) 1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

inhoudsopgave juni 2005 handleiding haakjes 2

inhoudsopgave juni 2005 handleiding haakjes 2 handleiding haakjes inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de opzet van haakjes 3 bespreking per paragraaf 5 rekenen trek-af-van tegengestelde tweetermen merkwaardige producten tijdpad 6 materialen voor een klassengesprek

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal

Nadere informatie

WISNET-HBO. update aug. 2011

WISNET-HBO. update aug. 2011 Basiskennis van machten WISNET-HBO update aug. 0 Inleiding Deze les doorwerken met pen en papier! We noemen de uitdrukking a 4 (spreek uit: a tot de vierde macht) een macht van a (in dit geval de vierde

Nadere informatie

Wiskunde Module! Basisprogramma Psychologische Methodenleer! Alexander Ly (en Raoul Grasman)!

Wiskunde Module! Basisprogramma Psychologische Methodenleer! Alexander Ly (en Raoul Grasman)! Wiskunde Module! Basisprogramma Psychologische Methodenleer! Alexander Ly (en Raoul Grasman)! Inhoudsopgave! Wiskunde en psychologie! Doelstelling van de module! Opzet van de module! Algebra: reken regels!

Nadere informatie

Dossier 3 PRIEMGETALLEN

Dossier 3 PRIEMGETALLEN Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,

Nadere informatie

Complexe getallen: oefeningen

Complexe getallen: oefeningen Complexe getallen: oefeningen Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de

Nadere informatie

Het rechterlid van het voorschrift van een veeltermfunctie is een veelterm in één veranderlijke.

Het rechterlid van het voorschrift van een veeltermfunctie is een veelterm in één veranderlijke. 5 ASO H zwak leerboek 5-8- 6:9 Pagina. INLEIDING Vorig jaar maakten we al kennis met een basispakket functies : h g a) de constante functies : f () = a b) de eerstegraadsfuncties : g () = a + b c) de tweedegraadsfuncties

Nadere informatie

Inhoudsopgave. I Theorie 1

Inhoudsopgave. I Theorie 1 Inhoudsopgave I Theorie 1 1 Verzamelingen 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Bewerkingen met verzamelingen........................... 6 1.2.1 Vereniging (unie) van twee verzamelingen.................

Nadere informatie

Kernbegrippen Handig met getallen 1, onderdeel Bewerkingen

Kernbegrippen Handig met getallen 1, onderdeel Bewerkingen Kernbegrippen Handig met getallen 1, onderdeel Bewerkingen 1.12 Kernbegrippen van de Kennisbasis Hele getallen, onderdeel Bewerkingen Aftrekker De aftrekker in een aftreksom is het getal dat aangeeft hoeveel

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =

Nadere informatie

Types differentiaal vergelijkingen

Types differentiaal vergelijkingen 1ste Bachelor Wiskunde/Natuurkunde Types differentiaal vergelijkingen Dit semester hebben we veel types differentiaalvergelijkingen gezien. In de WPO sessies was de rode draad: herken de type differentiaalvergelijking

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Als x = 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 3 5,6 = 67, m. b De lengte is meter, de totale breedte is 5 + x meter, dus voor de oppervlakte geldt A = (5 + x). Dus

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Extra oefeningen Hoofdstuk 8: Rationale getallen

Extra oefeningen Hoofdstuk 8: Rationale getallen Extra oefeningen Hoofdstuk 8: Rationale getallen 1 Noteer met een breuk. a) Mijn stripverhaal is voor de helft uitgelezen. Een kamer is voor behangen. c) van de cirkel is gekleurd. 15 Gegeven : 18 teller

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

5.327 703 x 15.981 3.728.900 + 3.744.881. 2.160 3.007 x 15.120 6.480.000 + 6.495.120. 2.160 3.007 x 15.120 00.000 0 00.000 6.480.000 + 6.495.

5.327 703 x 15.981 3.728.900 + 3.744.881. 2.160 3.007 x 15.120 6.480.000 + 6.495.120. 2.160 3.007 x 15.120 00.000 0 00.000 6.480.000 + 6.495. Bij vermenigvuldigen van twee grote getallen onder elkaar staan de rijen onder de streep elk voor een tussenstap. De eerste rij staat voor het vermenigvuldigen met het cijfer dat de eenheden van het onderste

Nadere informatie

1. REGELS VAN DEELBAARHEID.

1. REGELS VAN DEELBAARHEID. REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden

Nadere informatie

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 014 1 Parabolen herkennen opdracht 1. x - -1 0 1 3 y 4 1 0 1 4 9-3 -1 + 1 + 3 +5 toename tt + + + + a) + b) De toename is steeds een nieuwe rand. De randen

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

Wortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel) Wortels met getallen 1 Inleiding WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht van de

Nadere informatie

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013 Breuken met letters WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers

Nadere informatie

6 Ringen, lichamen, velden

6 Ringen, lichamen, velden 6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x + x + irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is, is deze

Nadere informatie

OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0

OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als: y = Φ(x, y) OF (vermits y = dy dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x,

Nadere informatie

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Ontbinden in factoren. Wisnet-HBO update sept. 2008

Ontbinden in factoren. Wisnet-HBO update sept. 2008 Ontbinden in factoren 1 Voorbeeld Wisnet-HBO update sept. 2008 Je bestelt aan de bar 10 appelsap en 15 bier. Dit kun je kort weergeven met: Nu kun je hooguit 2 appelsap en 3 bier tegelijk dragen. Hoeveel

Nadere informatie

handleiding formules

handleiding formules handleiding formules inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de grote lijn 3 bespreking per paragraaf 4 applets 4 1 rekenen en formules 4 2 formules maken 4 3 de distributiewet 5 4 onderzoek 5 tijdpad 6 materialen

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

1.3 Rekenen met pijlen

1.3 Rekenen met pijlen 14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij

Nadere informatie

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds

Nadere informatie

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214 Open Inhoud Universiteit Appendix A Wiskunde voor milieuwetenschappen Voorkennis getallenverzamelingen en algebra Introductie Leerkern Natuurlijke getallen Gehele getallen 8 Rationele getallen Machten

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

LESFICHE 1. Handig rekenen. Lesfiche 1. 1 Procent & promille. 2 Afronden. Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd.

LESFICHE 1. Handig rekenen. Lesfiche 1. 1 Procent & promille. 2 Afronden. Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd. Lesfiche 1 1 Procent & promille Handig rekenen Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd. 5 5 % is dus 5 per honderd. In breukvorm wordt dat of 0,05 als decimaal getal. Promille ( ) betekent

Nadere informatie

Groepen, ringen en velden

Groepen, ringen en velden Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:

Nadere informatie

Naam:... ZELFEVALUATIE WISKUNDE A-STROOM (het 60-puntenplan) WAT KAN IK AL? / WAT MOET IK NOG HERHALEN? / WAT MOET IK NOG INOEFENEN?

Naam:... ZELFEVALUATIE WISKUNDE A-STROOM (het 60-puntenplan) WAT KAN IK AL? / WAT MOET IK NOG HERHALEN? / WAT MOET IK NOG INOEFENEN? ZELFEVALUATIE WISKUNDE A-STROOM (het 60-puntenplan) WAT KAN IK AL? / WAT MOET IK NOG HERHALEN? / WAT MOET IK NOG INOEFENEN? Voor de GETALLENLEER worden concreet volgende doelstellingen nagestreefd: Begripsvorming

Nadere informatie

Eentermen en veeltermen

Eentermen en veeltermen I Eentermen en veeltermen. Vul de tabel aan. eenterm coëfficiënt lettergedeelte 4 abc 4 rq 4 0,r t -6 z -4 8 a b c. Noteer de volgende algebraïsche vormen als eentermen door gebruik te maken van coëfficiënten

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN

Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN 1-6 H3. Negatieve getallen Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 96 123) 3.1 Positieve en negatieve getallen Het verschil verwoorden tussen positieve en negatieve getallen.

Nadere informatie

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1

Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel 1 Transformaties van grafieken HAVO wiskunde B deel Willem van Ravenstein 500765005 Haags Montessori Lyceum (c) 06 Inleiding In de leerroute transformaties van grafieken gaat het om de karakteristieke eigenschappen

Nadere informatie

Proefexemplaar. Wendy Luyckx Mark Verbelen Els Sas. Dirk Vandamme. bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door. Cartoons.

Proefexemplaar. Wendy Luyckx Mark Verbelen Els Sas. Dirk Vandamme. bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door. Cartoons. bewerkt voor het GO! onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door Wendy Luyckx Mark Verbelen Els Sas Cartoons Dirk Vandamme Leerboek Getallen ISBN: 78 0 4860 48 8 Kon. Bib.: D/00/047/4 Bestelnr.: 4 0 000

Nadere informatie

Stelsels van vergelijkingen

Stelsels van vergelijkingen Module 5 Stelsels van vergelijkingen 5.1 Definitie en voorbeelden Een verzameling van vergelijkingen in een aantal onbekenden waarvan men de gemeenschappelijke oplossing(en) zoekt, noemt men een stelsel

Nadere informatie

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek

Nadere informatie

2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13

2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13 REKENEN MET BREUKEN. De breuk. Opgaven. Optellen van breuken 6. Opgaven 8. Aftrekken van breuken 9.6 Opgaven 9.7 Vermenigvuldigen van breuken.8 Opgaven.9 Delen van breuken.0 Opgaven. Een deel van een deel.

Nadere informatie

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16 Inhoud Voorwoord v Het metrieke stelsel vii Inhoud ix Trefwoordenlijst x 1 Basis 1.1 1.1 Veel voorkomende berekeningen 1.1 1.2 Van punt tot vlak 1.4 1.3 Oppervlakten berekenen 1.12 1.4 Zelf tekenen 1.16

Nadere informatie

1. Optellen en aftrekken

1. Optellen en aftrekken 1. Optellen en aftrekken Om breuken op te tellen of af te trekken maak je de breuken gelijknamig. Gelijknamig maken wil zeggen dat je zorgt voor 'gelijke noemers': Om de breuken met 'derden' en 'vijfden'

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn

Nadere informatie

DE basis WISKUNDE VOOR DE LAGERE SCHOOL

DE basis WISKUNDE VOOR DE LAGERE SCHOOL Inhoud GETALLENKENNIS 13 1 Getallen 13 2 Het decimale talstelsel 14 3 Breuken 16 Begrippen 16 Soorten breuken 16 Een breuk vereenvoudigen 17 4 Breuken, percenten, kommagetallen 18 Breuk omzetten in een

Nadere informatie

Onthoudboekje rekenen

Onthoudboekje rekenen Onthoudboekje rekenen Inhoud 1. Hoofdrekenen: natuurlijke getallen tot 100 000 Optellen (p. 4) Aftrekken (p. 4) Vermenigvuldigen (p. 5) Delen (p. 5) Deling met rest (p. 6) 2. Hoofdrekenen: kommagetallen

Nadere informatie