Veeltermen. Module Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm

Transcriptie

1 Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n Æ. De reële getallen a 0,a 1,a 2,...,a n heten de coëfficiënten van de veelterm. De uitdrukkingen a 0,a 1 x,a 2 x 2,...,a n x n worden de termen van de veelterm genoemd en a 0 wordt ook de constante term genoemd. De graad van een veelterm is de exponent van de hoogste macht van x waarvan de coëfficiënt verschillend is van nul. en 2x 3 is een eenterm van de derde graad 6x 4 3x+5 is een drieterm van de vierde graad x 9 x 2 is een tweeterm van de negende graad 12

2 2.2. GELIJKHEID VAN VEELTERMEN Gelijkheid van veeltermen Twee veeltermen heten gelijk als en slechts als ze dezelfde graad hebben en als de coëfficiënten van overeenkomstige machten van x twee aan twee gelijk zijn. 2.3 Som van veeltermen De som van twee veeltermen is de veelterm waarvan de coëfficiënt bij elke macht van x gelijk is aan de som van de coëfficiënten bij de overeenkomstige macht van x in de oorspronkelijke veeltermen. ( 3x 4 2x 3 +x 1 ) + ( x 4 +x 2 x+4 ) = (3+1)x 4 +( 2+0)x 3 +(0+1)x 2 +(1 1)x+( 1+4) = 4x 4 2x 3 +x Tegengestelde veelterm De tegengestelde veelterm van een veelterm is de veelterm die, als men hem bij de oorspronkelijke veelterm optelt, nul als resultaat oplevert. M.a.w. het is de veelterm waarvan alle coëfficiënten tegengesteld zijn aan de coëfficiënten van de oorspronkelijke veelterm. De tegengestelde veelterm van de veelterm 7x 3 +5x 2 3x+2 is 7x 3 5x 2 +3x Verschil van veeltermen Het verschil van twee veeltermen is gelijk aan de som van de eerste veelterm met de tegengestelde veelterm van de tweede veelterm. ( 3x 2 +x 5 ) ( 7x 3 +5x 2 3x+2 ) = ( 3x 2 +x 5 ) + ( 7x 3 5x 2 +3x 2 ) = 7x 3 2x 2 +4x 7.

3 14 MODULE 2. VEELTERMEN 2.6 Product van veeltermen Het product van twee veeltermen is de veelterm die men bekomt door elke term van de eerste veelterm te vermenigvuldigen met elke term van de tweede veelterm en de bekomen termen op te tellen. ( 3x 2 +x 5 ) (7x 3 5x 2 3x+2 ) = 3x 2 7x 3 +3x 2 ( 5x 2) +3x 2 ( 3x)+3x 2 2 +x 7x 3 +x ( 5x 2) +x ( 3x)+x 2 +( 5) 7x 3 +( 5) ( 5x 2) +( 5) ( 3x)+( 5) 2 = 21x 5 15x 4 9x 3 +6x 2 +7x 4 5x 3 3x 2 +2x 35x 3 +25x 2 +15x 10 = 21x 5 8x 4 49x 3 +28x 2 +17x Macht van een veelterm De n-de macht (n Æ 0 ) van een veelterm is gelijk aan het product van n factoren die elk gelijk zijn aan de oorspronkelijke veelterm. ( 5x 3 2x 1 ) 3 ( = 5x 3 2x 1 ) (5x 3 2x 1 ) (5x 3 2x 1 ) = ( 25x 6 20x 4 10x 3 +4x 2 +4x+1 ) (5x 3 2x 1 ) = 125x 9 150x 7 75x 6 +60x 5 +60x 4 +7x 3 12x 2 6x Eigenschappen Rekening houdend met de hierboven gegeven definities van som, verschil en product van veeltermen kan men voor deze bewerkingen op veeltermen analoge eigenschappen aantonen als voor de overeenkomstige bewerkingen op reële getallen. Meer in het bijzonder gelden de volgende eigenschappen: 1. De optelling van veeltermen is associatief. 2. De optelling van veeltermen is commutatief. 3. De aftrekking van veeltermen is niet associatief. 4. De aftrekking van veeltermen is niet commutatief. 5. De vermenigvuldiging van veeltermen is associatief.

4 2.9. MERKWAARDIGE PRODUCTEN De vermenigvuldiging van veeltermen is commutatief. 7. De vermenigvuldiging van veeltermen is zowel links- als rechtsdistributief ten opzichte van de optelling van veeltermen. 8. De vermenigvuldiging van veeltermen is zowel links- als rechtsdistributief ten opzichte van het verschil van veeltermen. 2.9 Merkwaardige producten Zijn nu A en B reële getallen of veeltermen, dan gelden, rekening houdend met de hierboven vermelde definities en eigenschappen, de volgende formules die we merkwaardige producten noemen. Deze formules zijn niet alleen handig om sneller het product van bepaalde veeltermen te berekenen maar ook en vooral om veeltermen te ontbinden in factoren (zie later 2.12). (A+B) 2 = A 2 +2AB +B 2 (A B) 2 = A 2 2AB +B 2 (A+B)(A B) = A 2 B 2 (A+B) 3 = A 3 +3A 2 B +3AB 2 +B 3 (A B) 3 = A 3 3A 2 B +3AB 2 B 3 (A+B)(A 2 AB +B 2 ) = A 3 +B 3 (A B)(A 2 +AB +B 2 ) = A 3 B 3 Opgelet! Kwadraat van een som (verschil) som (verschil) van kwadraten. Derdemacht van een som (verschil) som (verschil) van derdemachten. en (2x 5y) 2 = (2x) 2 2(2x)(5y)+(5y) 2 = 4x 2 20xy +25y 2 (2x+1) 3 = (2x) 3 +3(2x) 2 (1)+3(2x)(1) = 8x 3 +12x 2 +6x+1 ( 2x+3y 2)( 2x 3y 2) = (2x) 2 (3y) 2 = 4x 2 9y 4 ( x 5) 2 = ( x) 2 2( x)(5)+5 2 = x 2 +10x+25 ( x 2 2y ) 3 ( = x 2 ) 3 ( 3 x 2 ) 2 (2y)+3(x 2 )(2y) 2 (2y) 3 = x 6 6x 4 y +12x 2 y 2 8y 3 (x 1 y)(x 1+y) = ( (x 1) y )( (x 1)+y ) = (x 1) 2 y 2 = x 2 2x+1 y 2

5 16 MODULE 2. VEELTERMEN 2.10 Quotiënt van veeltermen Stelling Zijn T(x) en N(x) twee veeltermen in x, met N(x) verschillend van de nulveelterm, dan bestaan er steeds een veelterm Q(x) en een veelterm R(x) waarvoor geldt dat T(x) = Q(x) N(x)+R(x) en waarbij ofwel R(x) de nulveelterm is ofwel graadr(x) < graadn(x). Anders genoteerd geeft bovenstaande vergelijking: T(x) R(x) = Q(x)+ N(x) N(x) Dit heet de Euclidische deling van T(x) door N(x). Hierbij heet T(x) het deeltal, N(x) de deler, Q(x) het quotiënt en R(x) de rest. AlsR(x)gelijk is aan denulveelterm danzeggen wedatdedeling opgaat of nogdatt(x)deelbaar is door N(x). In dit geval hebben we dan T(x) N(x) = Q(x). Om bij gegeven T(x) en gegeven N(x) het quotiënt Q(x) en de rest R(x) te berekenen gaan we te werk zoals bij een staartdeling van natuurlijke getallen. Bijgevolg, x 5 3x 3 +2x 2 x +1 x 2 x +2 x 5 +x 4 2x 3 x 3 +x 2 4x 4 = Q(x) x 4 5x 3 +2x 2 x +1 x 4 +x 3 2x 2 4x 3 x +1 4x 3 4x 2 +8x 4x 2 +7x +1 4x 2 4x +8 3x +9 = R(x) x 5 3x 3 +2x 2 x+1 x 2 x+2 = x 3 +x 2 4x 4+ 3x+9 x 2 x+2.

6 2.11. REGEL VAN HORNER Regel van Horner De Regel van Horner is een verkorte werkwijze van de Euclidische staartdeling waarbij de deler van de vorm x a is. We beschouwen het volgende voorbeeld met T(x) = 2x 3 5x 2 + x +3 en N(x) = x 2. Het vinden van Q(x) en R(x) kan gebeuren a.h.v. het volgende schema: De algemene stappen om zo n schema op te stellen zijn: 1. Plaats in de eerste rij, rechts van de verticale streep, de coëfficiënten van de te delen veelterm T(x) volgens dalende machten van x (eventueel met de nodige nulcoëfficiënten indien bepaalde machten van x niet aanwezig zijn). In dit voorbeeld is dat de rij (2, 5,1,3). 2. Plaats op de tweede rij, links van deverticale streep, dewaarde a uit dedeler N(x) = x a. In dit voorbeeld is dat Haal de eerste coëfficiënt op de eerste rij naar beneden en plaats deze op de derde rij onder de horizontale streep (en onmiddellijk rechts van de verticale streep). We zijn nu klaar om de procedure te starten! 4. Schuif één kolom naar rechts op en plaats hier op de tweede rij het product van het getal op de derde rij van de kolom ervoor en het nulpunt (uiterst links op de tweede rij). 5. Nu plaats je op de derde rij de som van de twee waarden in dezelfde kolom boven de horizontale streep. 6. Herhaal stappen 4 en 5 tot alle kolommen rechts van de verticale streep ingevuld zijn. De laatst ingevulde waarde uiterst rechts onder de horizontale streep is niets anders dan de rest R(x) bij deling door x a. In het voorbeeld krijgen we R(x) = Onder de horizontale streep vind je nu, de waarde uiterst rechts niet meegerekend, de lijst met coëfficiënten van de quotiëntveelterm Q(x) volgens dalende machten van x. In ons voorbeeld is dat Q(x) = 2x 2 x 1. Controleer nu zelf dat 2x 3 5x 2 +x+3 = (x 2)(2x 2 x 1)+1 door het rechterlid uit te werken.

7 18 MODULE 2. VEELTERMEN Opmerking De regel van Horner laat ook toe de waarde T(a) op een handige wijze te berekenen. Deze waarde is niets anders dan het getal uiterst rechts onder de horizontale streep in het schema van Horner. De reden is dat T(a) gelijk is aan de constante rest bij Euclidische deling van T(x) door x a: T(x) = (x a)q(x)+r(x) T(a) = (a a)q(a)+r(a) = 0 Q(a)+R(a) = R(a) Omdat bij deling door x a de restveelterm R(x) steeds een constante veelterm is (immers, graadr(x) < graad(x a) = 1), geldt R(x) = R(a) = T(a). Bereken V( 6) als V(x) = 2x 4 +3x 3 x 5. We stellen daartoe het schema van Horner op (let op de nulcoëfficiënt): We vinden dus V( 6) = 1945 en ook 2x 4 +3x 3 x 5 = (x+6)(2x 3 9x 2 +54x 325) Ontbinden in factoren Een veelterm is ontbonden in factoren als en slechts als hij geschreven is als het product van veeltermen die alle een lagere graad hebben dan de oorspronkelijke veelterm. Een veelterm is volledig ontbonden in factoren als en slechts als hij ontbonden is in factoren die zelf niet verder kunnen ontbonden worden. Die factoren zijn dan veeltermen van de 1ste of de 2de graad (volgens een belangrijke stelling uit de Algebra). en x 4 2x 3 +x 2 2x = x ( x 3 2x 2 +x 2 ) = x(x 2) ( x 2 +1 ) (in twee stappen) 2x 2 x 6 = 2 ( x+ 3 2) (x 2) = (2x+3)(x 2) (laatste schrijfwijze zonder breuken)

8 2.12. ONTBINDEN IN FACTOREN 19 Opmerking x 3 27 = x = (x 3) ( x 2 +3x+9 ) (merkwaardig product) x 6 1 = ( x 3) = ( x 3 1 )( x 3 +1 ) = ( x 3 1 3)( x ) = (x 1) ( x 2 +x+1 ) (x+1) ( x 2 x+1 ) Bij het laatste voorbeeld vat je best eerst alles als tweedemachten op en daarna pas als derdemachten. Anders gebeurt dit: x 6 1 = ( x 2) = ( x 2 1 )( x 4 +x 2 +1 ) = (x 1)(x+1) ( x 4 +x 2 +1 ) Hoe ga je nu de veelterm x 4 +x 2 +1 nog verder ontbinden? Een gelijkaardig probleem stelt zich bij het ontbinden van de veelterm x 5 2x 4 +x 2: x 5 2x 4 +x 2 = (x 2) ( x 4 +1 ). Hoe krijgen we nu de veelterm x 4 +1 nog verder ontbonden? Of is deze niet ontbindbaar? Hierop komen we in nog terug. Een vast algoritme dat met zekerheid tot de ontbinding van een willekeurige veelterm leidt is er niet. Er kunnen echter wel een aantal technieken gevolgd worden die meestal tot de ontbinding van een veelterm leiden. Deze technieken zetten we hierna uiteen in de volgorde waarin ze uitgeprobeerd dienen te worden Gemeenschappelijke factoren buiten haakjes brengen en 2x 3 x 2 +7x = x ( 2x 2 x+7 ) 2x 3 4x 2 = 2x 2 (x 2) (x 3) 2 +5(x 3) = (x 3) ( (x 3)+5 ) = (x 3)(x+2) Factoren van de vorm x a zoeken Door toepassen van merkwaardige producten: en x 2 6x+9 = x 2 2 x = (x 3) 2 ) 8x = (2x) = (2x+3) ((2x) 2 +(2x) = (2x+3) ( 4x 2 6x+9 )

9 20 MODULE 2. VEELTERMEN 9x 2 5 = (3x) = ( 3x 5 )( 3x+ 5 ) 3x 3 24 = 3 ( x 3 8 ) = 3 ( x 3 2 3) = 3(x 2) ( x 2 +2x+4 ) x 6 x x x3 = x 3( x 3 x x 1 ) 27 = x (x 3 3 3x x( 1 2 ( 3) 1 ) ) 3 3 = x 3( x 1 3 ) 3 Door toepassen van het criterium van deelbaarheid: Stelling (Criterium van deelbaarheid) Een veelterm V(x) is deelbaar door x a als en slechts als V(a) = 0. Men zegt in dit geval dat a een nulpunt is van V(x). Ontbind x 3 +4x 2 3x 18. We proberen eerst een aantal waarden uit om een nulpunt van deze veelterm te vinden: 1? = is geen nulpunt 1? ( 1) 3 +4 ( 1) 2 3 ( 1) 18 = is geen nulpunt 2? = 0 2 is een nulpunt Door het criterium van deelbaarheid weten we nu dat x 3 + 4x 2 3x 18 deelbaar is door x 2 of nog, dat er een veelterm Q(x) bestaat waarvoor x 3 +4x 2 3x 18 = (x 2) Q(x). We kunnen Q(x) vinden door de regel van Horner (zie 2.10): Onder de horizontale streep vinden we nu de lijst met coëfficiënten van de veelterm Q(x) volgens dalende machten van x, dus Q(x) = x 2 +6x+9. We vinden dan uiteindelijk x 3 +4x 2 3x 18 = (x 2)(x 2 +6x+9). Opmerkingen 1. Als a een nulpunt is van de veelterm V(x), dan moet het getal uiterst rechts onder de horizontale streep in het schema van Horner gelijk zijn aan nul! (Verklaar!) 2. In de praktijk kan men zich bij het op zicht bepalen van het nulpunt a meestal beperken tot de delers van de constante term uit V(x).

10 2.12. ONTBINDEN IN FACTOREN 21 Ontbind x 4 x 2. Bij het bepalen van een nulpunt op zicht beperken we ons tot de delers van 2: 1, 1, 2 en 2. We stellen hier vast dat a = 1 een nulpunt is, dus x 4 x 2 moet deelbaar zijn door x a = x+1. Regel van Horner (let op de toevoeging van de nodige nulcoëfficiënten in de eerste rij): We vinden dus x 4 x 2 = (x+1)(x 3 x 2 +x 2) Groeperen van termen en Groeperen om dan gemeenschappelijke factoren buiten haakjes te plaatsen: 3x 3 4x 2 +6x 8 = ( 3x 3 4x 2) +(6x 8) = x 2 (3x 4)+2(3x 4) = ( x 2 +2 ) (3x 4) 5x 2 10xy xz +2yz = ( 5x 2 10xy ) +( xz +2yz) = 5x(x 2y)+( z)(x 2y) = (5x z)(x 2y) Groeperen om een verschil van kwadraten te verkrijgen: x 4 +x 2 +6x+9 = ( x 2 +6x+9 ) x 4 = (x+3) 2 ( x 2) 2 = ( x+3+x 2)( x+3 x 2) Een term toevoegen en aftrekken ( supertruuk ) om de vorige methode te kunnen toepassen, i.h.b. voor een som van vierdemachten: x 4 +1 = x x 2 2x 2 = ( x 4 +2x 2 +1 ) 2x 2 = ( x 2 +1 ) 2 ( ) 2 2x ( = x )( 2x x 2 +1 ) 2x

11 22 MODULE 2. VEELTERMEN Veeltermen van de tweede graad of kwadratische veeltermen ontbinden We beschouwen de kwadratische veelterm K(x) = ax 2 +bx+c. Afhankelijk van het teken van de discriminant D = b 2 4ac zal K(x) twee, één of geen reële nulpunten hebben. Volgens het criterium van deelbaarheid zal de ontbinding van K(x) bijgevolg ook afhangen van het teken van D. Deze situatie wordt samengevat in de volgende tabel (de formules voor de nulpunten worden afgeleid in Module 3 ): D nulpunten van K(x) ontbinding van K(x) > 0 x 1 = b D 2a = 0 x 1 = b 2a en x 2 = b+ D 2a a(x x 1 )(x x 2 ) (= x 2 ) a(x x 1 ) 2 < 0 geen in Ê bestaat niet in Ê en 5x 2 +3x 2 = 5(x+1) ( x 2 5) = (x+1)(5x 2) want D = ( 2) = 49 zodat x 1 = = 1 en x 2 = = 2 5 2x 2 2x+ 1 2 = 2( x 1 2 ) 2 want D = ( 2) = 0 zodat x 1 = ( 2) 2 2 = 1 2 (= x 2) x 2 +x+1 is niet ontbindbaar in Ê want D = = 3 < 0.

12 2.13. OEFENINGEN Oefeningen Oefening 2.1. Werk uit: (1) (x+12)(12 x) (2) ( 5 3x 3) 2 (3) (x 6) 2 (4) (2x 3) 3 (5) ( 1 7y 5)( 7y 5 1 ) (6) (7) ( 3a 4b) 2 (8) ( x 4 4y2) 2 ) 3 ( u2 2 2v (9) ( x 3 5 )( x 3 +5 ) (10) ( 1 2 x+5y) 2 (11) ( x 8) 2 (12) ( a 2 2b ) 3 Oefening 2.2. Ontbind in factoren (m.b.v. merkwaardige producten): (1) x 2 36 (2) x 2 x+1 (3) a 2 8a+16 (4) 16a 16 1 (5) 125+a 6 (6) x 3 y 6 3x 2 y 5 +3xy 4 y 3 (7) y 3 6y (8) 1 4 a2 1 4 a (9) 9z 2 +12z +4 (10) u2 v2 u+ v2 4 (11) x 8 +14x (12) x 3 6x 2 +12x 8 (13) 25+x 4 (14) x 2 6x+9 (15) 9x 2 y 2 (16) a 2 b 2 2abc+c 2 Oefening 2.3. Ontbind zo mogelijk in factoren: (1) 2x 2 5x+3 (2) x2 5 5 (3) x 2 +5x 4 (4) 3 18x 27x 2 (5) 2x 2 2x 12 (6) 3x 2 2x+1 (7) 4 9 y2 1 3 y (8) z (9) 3x 2 2x+ 1 3 (10) 1 5 x2 +2x+5 (11) x 2 +9x+20 (12) 8a 1 16a 2 (13) a 2 2a+4 (14) z 2 4z 5

13 24 MODULE 2. VEELTERMEN Oefening 2.4. Ontbind in factoren: (1) x 3 6x 2 +12x 8 (2) 2(1 x)(2 x)x 2 8(x 1)(x 2) (3) z 3 6z 2 +9z (4) x 2 4(x 1) (5) 2x 2 7x+5 (6) 4x 2 +12x+9 9(x 1) 2 (7) 2t 3 7t 2 +3t (8) x 4 x 3 7x 2 +5x+10 (9) 49 b 2 (10) 3x 4 +x 3 x 3 (11) 125+8a 3 (12) 5x 3 4x 2 8x+7 (13) x y2 (14) 6x 3 +7x 2 13 (15) 4x 2 +12xy +9y 2 (16) 2x 3 5x 2 +7x 4 (17) xy +3y 2x 6 (18) 2x 3 +7x 2 +7x+2 (19) x 2 y y 3 (20) 5x 3 2x 2 x 114 (21) 3ax 2 y 2 6axy +3a (22) 3x 3 +2x 2 16x+15 (23) 3a 8 48b 4 (24) x 4 1 (25) x 2 2x+1 y 6 (26) x 6 1 (27) 3x ay ax+3y (28) 5x 3 2x 2 4x+1 (29) 4x 2 y 2 4x 2 z 2 y 2 +z 2 (30) 2x 3 +5x 2 7x 12 (31) a 4 3a 3 +a 2 +3a 2 (32) 3x 3 7x 2 +8x 12 (33) x 4 2x 3 +2x 1 (34) x (35) x(x+2) 2 9x 3 (36) y (37) 2x 4 5x 3 +5x 2 (38) y 6 +27