Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be"

Transcriptie

1 Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten Lea De Bie

2 SOORTEN GETALLEN (Dit hoofdstukje geldt als inleiding en is geen te kennen leerstof). Natuurlijke getallen De eerste getallen waar we als kind kennis mee maken zijn die getallen waarmee je leert tellen: 0,,,, enz We noemen ze dan ook de Natuurlijke getallen. De verzameling van alle natuurlijke getallen wordt voorgesteld door N. N { 0,,,,4,5,6,... } We kunnen hiermee al heel wat berekeningen maken: +56 N.50 N Maar: al vlug ondervind je tekortkomingen, je moet een tekort kunnen uitdrukken, een negatief resultaat bij het kaartspelen, vriesweer, 5-6 N We moeten de natuurlijke getallen uitbreiden met negatieve getallen: 0,, maar ook -, -. Gehele getallen { 0,,,,,,,4, 4,... } We zien dat we de natuurlijke getallen hier terugvinden, dus de natuurlijke getallen zijn een deel van de gehele getallen. In symbolen: N (-) -6-8 : (-) 4 maar hier verschijnen dan al vlug problemen vb 5:! Nochtans moeten we dergelijke verhoudingen kunnen uitdrukken, er is dus weer nood aan een uitbreiding:we hebben breuken nodig.. Rationale getallen Q a a, en b 0 b } Q is dus de verzameling van alle getallen die we kunnen schrijven als een breuk met in teller en noemer een geheel getal. Als we dan bemerken dat elk geheel getal x kan geschreven worden als de breuk x, en dat bv 0, kunnen we ook een poging doen om de rationale getallen op te sommen: 5 Q 0 ;; ;; ; ; ;0,666666;... 4 Je merkt dus weer dat de gehele getallen ook rationale getallen zijn: ratio rede of verhouding, de Grieken beschouwden breuken als verhoudingen, vandaar de naam. men kan aantonen dat elk decimaal getal met een repeterend decimaal gedeelte kan geschreven worden als een breuk, en dus een rationaal getal is.

3 N Q Weer hebben we een aantal problemen opgelost: 5: 5 Q 9 Q Q Q, dit hadden de Grieken reeds ontdekt (zie opmerkingen), dit zou geen probleem zijn als men in de praktijk dit getal nooit tegenkwam, maar diezelfde Grieken hadden al een eenvoudig praktisch probleem waar een oplossing biedt. (zie ook opmerkingen) We moeten dus weer uitbreiden:.4 Reële getallen Als we al dit soort getallen toevoegen aan de rationale getallen krijgen we volgende verzameling: R { 0;; ;; ;0,...; ; ; π;e... } N Q R R en weer zijn veel problemen opgelost. Blijft echter nog een probleem: R want stel x R dan zou x² - wat onmogelijk is bij reële getallen. Als we vroeger in de algebra wortels van negatieve getallen tegenkwamen (bv bij oplossen van kwadratische vergelijkingen met negatieve discriminant) stelden we gewoon geen oplossing, in de reële algebra kan men dit lang volhouden. Nu blijkt echter dat om bepaalde problemen in de elektronica wiskundig te kunnen omschrijven, we moeten doen alsof wortels van negatieve getallen wel kunnen. Zoals telkens hierboven moeten we dus de getallen weer gaan uitbreiden. We komen hier met ons voorstellingsvermogen tekort, het is moeilijk om een voorbeeld uit de praktijk te bekijken waar we deze getallen tegenkomen. Men heeft nieuwe getallen uitgevonden om aan een praktische nood te voldoen. Men spreekt dan ook over imaginaire getallen..5 Complexe getallen We voeren een nieuw getal in, in de wiskunde wordt dit getal meestal i genoemd, in de elektronica gebruikt men meestal j. In deze cursus gebruiken we daarom ook j. We stellen j² -, en dat is eigenlijk alles wat we van j weten, de rest kunnen we dan puur wiskundig afleiden. We stellen dan dat z a+bj waarbij a, b R en j² -; en de verzameling van al deze getallen z vormen de verzameling complexe getallen. C { z a + bj a, b R en j² } vb: j C maar ook j C dus we zien: N Q R C en we hier wel degelijk met een uitbreiding te maken. In het volgend hoofdstuk bestuderen we deze complexe getallen verder. je hoort het Frans woord imaginer inbeelden

4 .6 Opmerkingen ) kan niet geschreven worden als een breuk. ) 0, Q ; men kan aantonen dat een decimaal getal met een repeterend gedeelte altijd kan geschreven worden als een breuk. 4), Q ; zonder repeterend gedeelte kan een decimaal getal niet geschreven als een breuk. 5) R \Q noemt men de verzameling van de IRRATIONALE getallen 6) De Reële as 0,5 0 R π Elk reëel getal kan men voorstellen door een punt op de reële as. Omgekeerd kan men stellen dat elk punt op de reële as een reëel getal voorstelt, zodat we merken dat er geen mogelijkheid is om nog een andere soort getallen zoals complexe getallen op deze as voor te stellen. We zullen dus naar een andere voorstellingsmanier moeten uitkijken..7 Interessante sites

5 BEWERKINGEN MET REËLE GETALLEN. Inleiding In het eerste hoofdstuk hebben we gezien dat alle getallen van N, en Q eigenlijk ook reële getallen zijn. Daarom beperken we ons hier tot de eigenschappen van de reële getallen. Deze eigenschappen zijn dan immers zeker ook geldig voor de getallen van N, en Q.. Hoofdbewerkingen.. Terminologie De hoofdbewerkingen zijn: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Het resultaat bij een optelling heet de som. Het resultaat bij een aftrekking heet het verschil. Het resultaat bij een vermenigvuldiging heet het poduct. Het resultaat bij een deling heet het quotiënt. Bij een optelling a + b of aftrekking a b noemt men a en b de termen. Bij een vermenigvuldiging a. b of deling a : b noemt men a en b de factoren. Bij de deling a : b noemen we a het deeltal en b de deler. Het delen wordt ook vaak geschreven met een breukstreep: a : b b a. a wordt dan de teller genoemd en b de noemer... Eigenschappen van breuken Als je de teller en de noemer van een rationaal getal door eenzelfde van nul verschillend getal deelt, dan bekom je een gelijk rationaal getal. Als je de teller en de noemer van een rationaal getal met eenzelfde van nul verschillend getal vermenigvuldigt, dan bekom je een gelijk rationaal getal. Met symbolen: a N en b, m N 0: a b a : m b : m Dit doen we: om breuken te vereenvoudigen a N en b, m N 0: a b a. m b. m Dit doen we: om breuken gelijknamig te maken.. Rekenen met breuken Optellen van rationale getallen in breukvorm: je maakt de ongelijknamige breuken eerst gelijknamig!

6 de som is dan de breuk waarvan: * de noemer dezelfde noemer is als die van de termen * de teller gelijk is aan de som van de tellers vb: Vermenigvuldigen van rationale getallen in breukvorm: je bepaalt het teken met de tekenregel voor de vermenigvuldiging je vereenvoudigt voor je vermenigvuldigt je schrijft het product van de tellers en het product van de noemers vb: Delen van rationale getallen in breukvorm: je bepaalt het teken met de tekenregel van de deling * zelfde tekens geven + * verschillende tekens geven - je vermenigvuldigt de eerste breuk met het omgekeerde van de tweede breuk vben: ) ) ) of : : Machten van rationale getallen in breukvorm Om een breuk tot een macht te verheffen, verhef je de teller en de noemer tot die macht vb: Wetenschappelijke notatie Voor zeer grote of zeer kleine getallen schakelt een rekentoestel automatisch over op de wetenschappelijke notatie.

7 De wetenschappelijke notatie van een rationaal getal is het product van een macht van 0 en een decimaal getal met absolute waarde gelegen tussen en 0 Let op! in de notatie met een macht van in de wetenschappelijke notatie 9,7. 05 Op het rekenmachientje wordt ook met volgende notatie gewerkt: E6 0 6 is een miljoen, dus kan je onmiddellijk lezen als 5 miljoen. Hetzelfde geldt voor E , ,9 E9 0 9 is een miljard, dus 75,9 * 0 9 kan je onmiddellijk lezen als 75,9 miljard. Hetzelfde geldt voor E9. 0, * E is een miljoenste, 5 * 0-6 kan je onmiddellijk lezen als 5 miljoensten...5 Absolute waarde van een getal De functie absolute waarde maakt elk negatief getal positief en laat elk positief getal onveranderd. Voorbeeld 7 is de absolute waarde van +7 en -7 We noteren +7 7 lees: de absolute warde van +7 is lees: de absolute waarde van -7 is 7 De absolute waarde van a noteer je a a en a zijn tegengestelde getallen: ze hebben dezelfde absolute waarde maar een verschillend toestandsteken.. Tekenregels.. Tekenregel voor twee tekens na elkaar (altijd gescheiden door een haakje! ): + ( ( + - verschillende tekens vervangen door - - ( ( + + zelfde tekens vervangen door +

8 .. Optellen en aftrekken van twee getallen Twee mogelijkheden: De gehele getallen hebben hetzelfde teken: behoud dit teken tel de absolute waarden op De gehele getallen hebben een verschillend teken: neem het teken van het getal met de grootste absolute waarde maak het verschil: grootste absolute waarde min kleinste absolute waarde.. Opmerkingen:. Als er haakjes staan, werk je die altijd eerst weg voorbeeld: 8 + (-5) 8 5. Elke aftrekking wordt beschouwd als een optelling, want een getal aftrekken is hetzelfde als het tegengestelde van dat getal optellen voorbeeld: (-7)..4 Tekenregel voor vermenigvuldigen (ook altijd haakjes!) verschillende tekens geven dezelfde tekens geven +..5 Product van twee getallen bepaal het teken: twee dezelfde tekens geven + twee verschillende tekens geven - bepaal het product van de absolute waarden van de getallen Afspraken. Het vermenigvuldigingsteken mag weggelaten worden als dat niet tot verwarring leidt. (-5) (-) wordt dus (-5)(-) in 5 moet de blijven, anders staat er 5!. Haken rond een factor mag je weglaten als: er daardoor geen twee tekens onmiddellijk na elkaar komen te staan, er geen verwarring met een som mogelijk is. (+5)(-) 5.(-) 5(-) (-5)(-) -5(-) (-5)(+) -5

9 zelfde tekens geven +..6 Product van meerdere getallen Om een product met meer dan twee factoren te berekenen (gedurig product): bepaal je eerst het teken: + als het aantal negatieve factoren even is - als het aantal negatieve factoren oneven is bereken je daarna het product van de absolute waarden van de factoren..7 Tekenregel voor de deling (ook altijd haakjes!) + : : - + zelfde tekens geven + + : : + - verschillende tekens geven..8 Quotiënt van twee getallen: bepaal het teken: twee dezelfde tekens geven + twee verschillende tekens geven - bereken het quotiënt van de absolute waarden..4 Volgorde van bewerkingen. Eerst bewerkingen tussen haakjes: eerst de binnenste haakjes!. Vermenigvuldigen en delen (van links naar rechts). Optellen en aftrekken (gedurige som) voorbeeld : voorbeeld : (-. + 6) : (- + 6) : voorbeeld [5 - ( + 7)] : [(7-6) - ( + 7)] [5-9] : [ - 9] 6 : (-8) -.5 Oefeningen. Bereken: (-4) (-7) (-9) (-9) (-5)...

10 (-) (-) (-58) (-0).... Bereken volgende lettervormen als: x -5 y z - x + y - z -x + y + z x - y - z x + y + z x - y + z x - y + z Bereken zonder rekenmachine. Schrijf de uitkomst zo eenvoudig mogelijk ( )

11 ( )+( ) Bereken: ( 6 ) (+ ) ( 7 8 +) ( 4 8 ) Bereken: -5. (-6) (-7) (-) (-8) (-6) (-)... 8.(-7) Bereken: 6 : : (-9 ) : : : (-5) : : (-)... 5 : : : (-) : (-)... 0 : Bereken: ( ) : (-. ) (5-7) : ( ) [(- - 8) - ] : [-9 +(5-9)] Bereken: 7 : (- -6) : (- + 4) (0. 5-6) : (-) Bereken de volgende opgaven voor a - b - c +5

12 a + bc (a + )(c - 9) a + ab a : (b + c) (b - c) : a (b - c) : (b - a) Bereken: (-4) (6-4).( -. 4) (-) (-5) (6 - ) : (-) + ( -.4) (-4). : (-8) (6 -) + 5(4-5) (-) (7-4) Volgorde van bewerkingen Volgende regels voor de volgorde zijn belangrijk:

13 . eerst haakjes uitwerken. dan machten (en dus ook wortels) uitwerken. daarna de vermenigvuldigingen en delingen uitwerken in de volgorde waarin ze zich voordoen, van links naar rechts. 4. als laatste: optellen en aftrekken, ook best in de volgorde waarin ze zich voordoen, van links naar rechts. Opmerkingen: In 6. 4 hoort de exponent bij het grondtal 4 In (6. 4) hoort de exponent bij het grondtal (6. 4): dat zie je omdat er haakjes staan! Op dezelfde manier kan je zien dat: in (-)² is het grondtal - maar: in -² is het grondtal! Dus: (-)² (-)(-) 9 en -² - (. ) Oplossingen van oefeningen oef : oef : oef :

14 4 oef 4: oef 5: oef 6: oef 7: 5-6 oef 8: oef 9: oef 0: Interessante sites (engels - rekenen met negatieve getallen) (hoofdbewerkingen met gehele getallen) (som van rationale getallen of breuken) (bewerkingen met rationale getallen) (een beetje geschiedenis) (overzicht getallenleer) (oefeningen op volgorde van bewerkingen) (volgorde van bewerkingen)

15 LINEAIRE VERGELIJKINGEN. Gelijkheden.. Definitie Een gelijkheid bestaat uit drie delen. voorbeeld het eerste lid het gelijkteken het tweede lid (het linkerlid) (het rechterlid).. Werken met gelijkheden Je bekomt een nieuwe gelijkheid als je bij beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal optelt. En dus ook als je van beide leden van een gelijkheid eenzelfde getal aftrekt. A B A + C B + C A B A C B C Je bekomt een nieuwe gelijkheid als je de beide leden van een gelijkheid met eenzelfde getal vermenigvuldigt. En dus ook als je beide leden van een gelijkheid door eenzelfde getal (niet nul!) deelt. A B A. C B. C A B A : C B : C. Vergelijking Een vergelijking is een gelijkheid waarin een letter voorkomt. De letter noem je de onbekende. Alle letters kunnen gebruikt worden als onbekende. voorbeeld het eerste lid het gelijkteken het tweede lid 5.a + 4.a + 0.x + 7 x + De vergelijking oplossen wil zeggen de oplossing van de vergelijking zoeken. Je lost een vergelijking op met de weegschaalmethode: je houdt de vergelijking in evenwicht door in het linkerlid en in het rechterlid dezelfde bewerking met eenzelfde getal uit te voeren. voorbeeld 5.a + 4.a a -.a.a a 6 : : a Een oplossing van de vergelijking is een getal dat je in de plaats van de onbekende moet zetten om van de vergelijking een gelijkheid te maken.

16 De oplossingverzameling is de verzameling V van alle oplossing van een vergelijking.. Lineaire vergelijking.. Definitie Een lineaire vergelijking is een eerstegraadsvergelijking, dwz dat in de vereenvoudigde vorm van de vergelijking de onbekende voorkomt enkel met exponent. In dit hoofdstuk werken we enkel met lineaire vergelijkingen... Werkwijze om een vergelijking op te lossen: Vergelijkingen met haakjes: Je werkt altijd eerst de haakjes weg! Komen er breuken voor in de vergelijking, dan kan je best de noemers wegwerken door beide leden te vermenigvuldigen met een gemeenschappelijke noemer. Door bij de beide leden eenzelfde getal op te tellen (of van de beide leden een zelfde getal af te trekken), komen de termen waarin de onbekende staat in één lid en de termen zonder onbekende in het andere lid. of: Als de onbekende in beide leden van de vergelijking voorkomt, dan moet je eerst de termen met een onbekende in het ene lid plaatsen en de termen zonder onbekende in het andere lid. In de praktijk merk je dat dit er op neerkomt dat je een term van teken verandert als je van lid verandert. (dus alleen bij het optellen of aftrekken!!!) Je telt de termen met onbekende samen en je telt de termen zonder onbekende samen! Door de beide leden met eenzelfde getal te vermenigvuldigen (of de beide leden door eenzelfde getal te delen), vind je de oplossing (en). Je maakt de proef voor de gevonden oplossing... Voorbeelden:. 7a 5a + beide zijden + 7a + 5a + + beide zijden 5a 7a 5a 5a + + 5a 7a 5a + a 4 beide leden door a 4 a V {}..(x ) + 4 5x 4.( x + ) x haakjes uitwerken 6x + 4 5x 4x 4 x beide zijden + 4 4x + x 6x 5x 4x + x termen met x optellen alsook termen zonder x x 6 beide leden delen door x 6 vereenvoudigen x V {}

17 . (x + ) 4 9 x + 4 is een gemeenschappelijke noemer 6x linkerlid: elke term. rechterlid: elke term. 6x x x - V 6 6 Proef L( ) R( ) Evenredigheden Definitie: De gelijkheid van twee verhoudingen noem je een evenredigheid a c Symbolen: met b 0, d 0 b d Je leest: de verhouding van a tot b is gelijk aan de verhouding van c tot d of a staat tot b zoals c tot d Terminologie: a, b, c en d zijn de termen van de evenredigheid: a is de eerste term; b is de tweede term; c is de derde term en d de vierde term a en d zijn de uiterste termen en b en c zijn de middelste termen Hoofdeigenschap van evenredigheden: a b c d a d b c met b 0 en d 0 Dit kan je eenvoudig bewijzen:

18 a b a c b d (b d) c (b d). d Stap : beide leden. (b.d) of dus bd. a b d b c b d d a b/ d b/ c b d/ d/ Stap : vereenvoudigen a d c b a d c b Een aantal vergelijkingen kunnen eenvoudiger opgelost worden als men de hoofdregel voor evenredigheden toepast. Voorbeeld: x x.4 5.( ) 5 4 x 5 x 5 5 x 5 V..5 Speciale vergelijkingen. x (x ) + 4 x x + 4 x x x 5 V {} Φ want geen enkel getal voldoet aan deze vergelijking! Men noemt dit een valse vergelijking.. (x ) x 4 x x 4 x x x 0 V R want elk reëel getal voldoet aan deze vergelijking! Men noemt dit een identieke vergelijking.

19 .4 Oefeningen. Los volgende vergelijkingen op: x x 4 8x 4 x x x + 0,75 + x 0,5 0,5. p. 0, x y x t 5 0 y x x x t ( ) x,6 6 x, x 9b

20 5 x x ,5. x x,5 ( 0,05) Oplossingen van de oefeningen Oef V {9} V {- 8} V {} V {- } 7 V {0} V {- 0,5} V {- 8} V 5 0 V V V V 0 8 V V V V {- 4} 6 6 V {} V {,} V {,6} V {} 400 V V V {0} V {4,5} 4.6 Interessante sites (vergelijkingen oplossen)

21 4 KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN 4. Definitie In een vorig hoofdstuk hebben we lineaire vergelijkingen leren oplossen. Daar kwam de onbekende slechts voor in de eerste graad. Een vergelijking waarin de onbekende voorkomt in de tweede graad noemt men een kwadratische of tweedegraads vergelijking of ook een vierkantsvergelijking Algemene vorm: ax² + bx + c 0 met b, c R, a R 0 en x de onbekende Voorbeeld: x² 5x Deze vergelijking oplossen wil zeggen dat we waarden voor x zoeken, zodanig dat als we in de vergelijking x vervangen door die waarde, er een gelijkheid staat. vb: vervang x door 4: 4² is dus geen oplossing van deze vergelijking vb: vervang x door : ² is dus oplossing van deze vergelijking vb: vervang x door : ² is dus ook een oplossing van deze vergelijking We kunnen dan aantonen dat en de enige oplossingen zijn: V {,} Hoe we deze waarden vinden bespreken we in volgend item. 4. Kwadratische vergelijkingen oplossen in R We kunnen uiteraard de regels van rekenen met gelijkheden toepassen, maar in de meeste gevallen vinden we daar geen oplossing mee: vb: 4x² 5x x² 5x 6, maar dit levert nog geen oplossing. vb: x² 0 x² V {, }, hier mag je uiteraard de tweede oplossing niet vergeten! Bepaalde tweedegraadsvergelijkingen kunnen eenvoudig opgelost worden: 4.. Kwadratische vergelijkingen die geschreven worden als het product van twee factoren Hierbij gebruiken we volgende regel: Het product van factoren kan slechts gelijk zijn aan 0 als minstens van de factoren gelijk is aan 0. (rechtstreeks gevolg van een eigenschap van de reële bewerkingen) A.B 0 A 0 en/of B 0 Een tweedegraadsvergelijking wordt zo omgevormd tot het product van twee eerstegraadsvergelijkingen, deze kunnen we reeds oplossen!

22 vb (x ). (x + ) 0 x 0 of x + 0. x 0 x. x + 0 x x V, Nu zijn er allerhande truukjes om een tweedegraadsvergelijking om te vormen naar een product van twee factoren, maar dat valt buiten het bereik van deze cursus. Daarom bespreken we vooral de algemene oplossingsmethode. 4.. Algemene oplossingsmethode Een willekeurige tweedegraadsvergelijking kunnen we herleiden tot de standaardvorm ax² + bx + c 0 We gaan nu deze vergelijking omvormen tot een product van twee factoren. Dit is een omslachtige berekening die we nadien niet herhalen, maar we zullen slechts het eindresultaat gebruiken om tweedegraadsvergelijkingen op te lossen. b V b 4ac b +, a b 4ac a Dit lijkt dus hopeloos moeilijk, maar we stellen nu: Discriminant: D ax² + bx + c 0 b + D x a x b D a Er zijn nu mogelijkheden: b² 4ac dan wordt de oplossing al veel eenvoudiger: D > 0 b + V a D b, a D D < 0 D heeft dan geen reële betekenis, zodat we geen reële oplossing voor x hebben! V D 0 b x a b x a V b a

23 Samengevat hebben we volgende mogelijkheden: D > 0 verschillende oplossingen: b + V a D < 0 0 oplossingen V D 0 oplossing (of oplossingen) b V a 4.. Voorbeelden. x² 5x D b² 4ac ( 5) D b + D ( 5) + 6 x a. b D ( 5) 4 x a. V{, } D b, a D. x² + x 0 D b² 4ac 4.( ).( ) 9 8 D b + D x a +.( ) 4 b D 4 x a.( ) 4 V, We voeren hier de controle uit voor x, maar opgelet! Vaak is de controle moeilijker dan de berekening zelf!? + 0? x² + x + 0 D b² 4ac ² geen reële oplossing!! V 4. x² 6x D b² 4ac ( 6)

24 D 0 0 b + D ( 6) x a. b D ( 6) 0 6 x a. V {} 5. x² x + 0 D b² 4ac ( ) 4.( ) x D 7 b + a D ( ) + 7.( ) + 7 4,75 + V 7 4, 7 4 b D ( ) 7 7 x 0, 5 a.( ) 4 4. Speciale gevallen Met speciale gevallen bedoelen we hier kwadratische vergelijkingen van de vorm ax² + bx + c 0 waarbij b 0 en/of c 0. c. b 0 ax² + c 0 ax² c x² a c c c c c 0 x en x V, a a a a a c < 0 geen reële oplossin g a. c 0 ax² + bx 0 x.(ax + b) 0 ) x 0 b ) ax + b 0 ax b x a b V 0, a. b 0 en c 0 ax² 0 x² 0 x 0 V {0} 4.4 Oefeningen. Los op in R a. x² 6x b. x² 4x 5 0 c. 9t² + 5t d. (p ).(p 4) 4 e. 4(x 4) (x + ) (x + ). (x 4) f. x² 55x 0 g. x² + 0 h. x² 0 i. t(t + 9) 7 j. x² + 7x 0

25 4.5 Oplossingen van de oefeningen.a. V {5, }.b. V {5, } 4.c. V,.d. V {0, }.e. V {0, 5}.f. V {0, 5}.g. V.h. V {, } 7.i. V, 5.j. V, Interessante sites Vierkantsvergelijkingen%0(%05u%0).html (oplossen van vierkantsvergelijkingen) 5

26 5 STELSELS LINEAIRE VERGELIJKINGEN 5. Stelsels van lineaire vergelijkingen met onbekenden ( x stelsels) 5.. Voorbeeld: x y 4 Dit lineair stelsel oplossen in R wil zeggen dat we alle koppels (x,y ) zoeken waarvoor beide vergelijkingen in een gelijkheid resulteren. x y (-,-6) is zo een oplossing voor de eerste vergelijking, maar de tweede vergelijking geeft: - -.(- 6) 7 0, en is dus geen oplossing voor de tweede vergelijking. Het koppel (,) is een oplossing van beide vergelijking en dus een oplossing van het stelsel. 6 4 en. 6 In een vorig hoofdstuk hebben we al aangehaald dat we een vergelijking van de vorm ax + by + c 0 grafisch kunnen voorstellen door een rechte. Als we dit toepassen op een stelsel vergelijkingen kunnen we puur grafisch al een belangrijk besluit trekken: Er zijn mogelijkheden:. Het stelsel kan voorgesteld worden door snijdende rechten, er is dan één snijpunt dat de oplossing van het stelsel voorstelt.. Het stelsel kan voorgesteld worden door evenwijdige rechten, er is dan geen snijpunt en dus ook geen oplossing voor het stelsel.. Het stelsel kan voorgesteld worden door samenvallende rechten en dan zijn er oneindig veel oplossingen, nl elk punt van die rechte. Ter illustratie geven we hier de grafische voorstelling van het voorbeeldstelsel: We merken dus dat (,) inderdaad het snijpunt van de rechten is, en dus de enige oplossing van het stelsel. 6

27 5.. Algemeen Elk stelsel dat herleid kan worden tot de volgende standaardvorm: ax + by c waarbij x en y de onbekenden zijn, en a, b, c, d, e en f R dx + ey f noemt men een lineair stelsel van vergelijkingen met onbekenden. Om stelsels te kunnen oplossen moeten we rekening houden met een aantal rekenregels voor vergelijkingen.. A B A + k B + k met k R. A B k. A k. B met k R. A B k. A k. B + C D + l. C l. D A + C B + D en k. A + l. C k. B + l. D met k en l R 4. A B en B C A C Of samengevat: elke lineaire combinatie van gelijkheden resulteert in een nieuwe gelijkheid. Voorbeeld: ste gelijkheid: kg appels de gelijkheid: kg kiwi s lineaire combinatie kg appels + kg kiwi s. +. ( 8 ) 5. Oplossingsmethoden 5.. Combinatiemethode rechtstreekse toepassing van regel, waarbij wel telkens het stelsel eventueel herleid wordt naar de standaardvorm. Voorbeeld x + y x + y 0x + 4y 4 4y 4 y We merken hier dat eenvoudig optellen van de vergelijkingen de termen in x laat wegvallen en we houden een vergelijking in y over. Deze is dan eenvoudig op te lossen. We werken nu verder met een gelijkwaardig stelsel van van de gegeven vergelijkingen samen met de gelijkheid y : x + y y V {(, )} controle : y x + y x y x

28 Dit voorbeeld was nu zeer eenvoudig omdat de termen in x wegvielen bij optellen van de vergelijkingen, in andere gevallen hebben we ook een toepassing van regel nodig: Voorbeeld x + y 9 4x + y x + y 9 4x + y 9x y 7 4x + y x + 0y 6 x 6 x De termen in x of in y moeten worden weggewerkt, je kiest die met het minste rekenwerk! Hiervoor gaan we de vergelijkingen vermenigvuldigen met een geschikte factor. We krijgen nu weer volgend stelsel: de factoren waarmee vermenigvuldigd wordt, worden tussen rechte lijnen naast het stelsel geplaatst x + y 9 x V {(,) } x.( ) + y 9 x 6 + y 9 x y 9 6 Voorbeeld x 5y x 4y 5 6x 5y 6 6x 8y 0 0x y 46 y 46 y y y x 5y x 5. V {(, )} y x 0 y x 5.. Substitutiemethode Deze methode is alleen interessant als één van twee onbekenden vlug berekend kan worden. Voorbeeld y y y y y y x 4y 7 x 4y 7 x 4 7 x 7 x 9 x V, Voorbeeld 5x + y 6 y 6 5x 4x 5y 7 4x 5(6 5x) 7 (*) 8

29 (*) 4x 5.(6 5x) 7 9x x x x In het stelsel kunnen we nu vergelijking (*) vervangen door x : x x y 6 5. y V {(, )} 5.. Gelijkstellingsmethode Hierbij zullen we gebruik maken van eigenschap 4 in stelsels van volgende vorm: Voorbeeld 5 y y 5 5 y x 4 4 y 5 y 5 x x (*) y 5 5 y (*) 4 4. (y 5). (5 y) 4y 0 0 6y 4y + 6y y 0 y y y y y 5 5 x x x V {(,) } Voorbeeld y x y x y x 4x 5 4x 5 4x 5 y + y x (*) 9

30 (*) 6x 4x 5 6x 4x 5 6x 4x 5 6x 4x 5 + 0x 5 0x 5 of 0 0 x Het nieuwe stelsel wordt dan: x x x x y x y y y V, Uiteraard zal een stelsel vaak niet onmiddellijk in een geschikte vorm voor één van de drie methodes staan, maar dan herleid je het stelsel eerst mbv de eigenschappen Speciale gevallen Identiek stelsel: x y 4x y 4x + y 4x y 0x + 0y 0 Je vindt dus geen nieuwe vergelijking want we hebben eigenlijk twee keer dezelfde vergelijkingen, of we hebben een lineaire vergelijking met onbekenden. De oplossing wordt: y x of V t,t t R {( ) } Vals stelsel: x y 4x y 5 4x + y 4x y 5 0x + 0y Geen enkele oplossing kan hier aan voldoen, de vergelijkingen zijn tegenstrijdig! V 0

31 5. Oefeningen. Werk volgende x stelsels uit: x 5y 9 x 6y 0 x + y 5 5x + 6y (x 6) (y 4) 7x + y 46 x + 6y 5 x + 9y 4 x y + 4 x y (y x) + 8 x y 4 x + y 4 x + y x y x + y x y x y 6 (x + y) x y y + x Oplossingen van de oefeningen oef V {(, -)} V {( -4, )} V {( - 4, )} V {( 4, 7)} V {( 6, 4)} V {(, 0)} V V {(, 9)} V R 5.5 Interessante sites ( x - stelsels)

32 6 Veeltermfuncties 6. Eerstegraadsfuncties Definitie: Een lineaire of eerstegraadsfunctie in R is een functie bepaald door het voorschrift: R R x a f (x) ax + b met a,b R f(x) noemt men het functievoorschrift. Voor elke x vindt men een bijbehorende f(x) y. Men noemt deze functie een lineaire of eerstegraadsfunctie omdat in ax + b, x hoogstens in de eerste graad voorkomt. Nulpunt: Belangrijke punten voor elke functie zijn die punten waarvoor de functie nul wordt. b Voor een lineaire functie, die punten waarvoor f(x) ax + b 0 of x, dit is a hier duidelijk maar punt: het nulpunt genaamd. Vb: f(x) x + met f(). + 7; f(-).(-) + en f (nulpunt!) Grafiek: Bekijkt men f (x) {(x, y) y ax + b} als de verzameling coördinaten van punten in R, en tekent men deze punten, verkrijgt men de grafiek van deze functie. In module hebben we al gevonden dat y ax + b de vergelijking van een rechte voorstelt. De grafiek zal dan ook een rechte zijn. Voor een rechte heeft men met punten genoeg, maar ter controle berekent men punten Voorbeelden: f(x) x + f(x) x We merken op dat het nulpunt het snijpunt van de rechte met de grafiek is!

33 f(x) x f(x) - x + een rechte door de oorsprong! f(x) - x f(x) - x

34 We merken op dat bij f(x) ax + b de rechte stijgend is als a > 0 en de rechte is dalend als a < 0. Speciaal geval: a 0 f(x) b men noemt dit een constante functie. vb: f(x) Grafiek: Deze functie heeft geen nulpunt! Tekenverloop: Als je naar de voorbeeldfuncties kijkt kunnen we daar een algemeen tekenverloop uit afleiden: a > 0 stijgende rechte: b a x b a f(x) a < 0 dalende rechte: b a x b a f(x) Oefeningen. Maak de grafiek van volgende functies, bereken ook telkens de nulpunten. a. f(x) x b. f(x) - c. f(x) x. (-x + ) + x + ( - x) + 4

35 7 Inhoudsopgave SOORTEN GETALLEN.... Natuurlijke getallen.... Gehele getallen.... Rationale getallen....4 Reële getallen....5 Complexe getallen....6 Opmerkingen Interessante sites... 4 BEWERKINGEN MET REËLE GETALLEN Inleiding Hoofdbewerkingen Terminologie Eigenschappen van breuken Rekenen met breuken Wetenschappelijke notatie Absolute waarde van een getal Tekenregels Tekenregel voor twee tekens na elkaar Optellen en aftrekken van twee getallen Opmerkingen: Tekenregel voor vermenigvuldigen Product van twee getallen Product van meerdere getallen Tekenregel voor de deling Quotiënt van twee getallen: Volgorde van bewerkingen Oefeningen Volgorde van bewerkingen....7 Oplossingen van oefeningen....8 Interessante sites... 4 LINEAIRE VERGELIJKINGEN Gelijkheden Definitie Werken met gelijkheden Vergelijking Lineaire vergelijking. 6.. Definitie Werkwijze om een vergelijking op te lossen: Voorbeelden: Evenredigheden Speciale vergelijkingen Oefeningen

36 .5 Oplossingen van de oefeningen Interessante sites KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN 4. Definitie Kwadratische vergelijkingen oplossen in R Kwadratische vergelijkingen die geschreven worden als het product van twee factoren Algemene oplossingsmethode Voorbeelden Speciale gevallen Oefeningen Oplossingen van de oefeningen Interessante sites STELSELS LINEAIRE VERGELIJKINGEN Stelsels van lineaire vergelijkingen met onbekenden ( x stelsels) Voorbeeld: Algemeen Oplossingsmethoden Combinatiemethode Substitutiemethode Gelijkstellingsmethode Speciale gevallen Oefeningen Oplossingen van de oefeningen Interessante sites... 6 Veeltermfuncties Eerstegraadsfuncties. 6.. Oefeningen Inhoudsopgave

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat.

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat. 92 Algebra 3.2 Basiskennis Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: 3.2.1 De getallenlijn... -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5... 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen Het=teken 5+2+3=10 = geeft aan dat wat links van = staat,

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN

Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN 1-6 H3. Negatieve getallen Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 96 123) 3.1 Positieve en negatieve getallen Het verschil verwoorden tussen positieve en negatieve getallen.

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel) 1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : REKENEN

Hoofdstuk 1 : REKENEN 1 / 6 H1 Rekenen Hoofdstuk 1 : REKENEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p.3-34) 1.1 Het decimaal stelsel In verband met het decimaal stelsel: a) het grondtal van ons decimaal stelsel geven. b) benamingen

Nadere informatie

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO Rekenvaardigheden voor klas en VWO Een project in het kader van het Netwerk VO-HO West Brabant Voorjaar 00 Samenstelling: M. Alberts (Markenhage College, Breda) I. van den Bliek (Mencia de Mendoza, Breda)

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a. 98 Algebra 3.3 Variabelen 3.3.1 Inleiding F= 9 5 15+32= 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5 INHOUDSTABEL 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3 2. TEKENREGELS (fiche 2)... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)... 6 2c. OMGEKEERDE

Nadere informatie

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013 Breuken met letters WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

1.3 Rekenen met pijlen

1.3 Rekenen met pijlen 14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij

Nadere informatie

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214 Open Inhoud Universiteit Appendix A Wiskunde voor milieuwetenschappen Voorkennis getallenverzamelingen en algebra Introductie Leerkern Natuurlijke getallen Gehele getallen 8 Rationele getallen Machten

Nadere informatie

Vergelijkingen met breuken

Vergelijkingen met breuken Vergelijkingen met breuken WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier. 1 Oplossen van gebroken vergelijkingen Kijk ook nog

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl

OP WEG NAAR WISKUNDE. Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl OP WEG NAAR WISKUNDE Plusboek uit de serie Het Grote Rekenboek Uitgeverij ScalaLeukerLeren.nl Voor kinderen die iets meer willen weten en begrijpen van wiskunde, bijvoorbeeld als voorbereiding op de middelbare

Nadere informatie

Niveauproef wiskunde voor AAV

Niveauproef wiskunde voor AAV Niveauproef wiskunde voor AAV Waarom? Voor wiskunde zijn er in AAV 3 modules: je legt een niveauproef af, zodat je op het juiste niveau kan starten. Er is de basismodule voor wie de rekenvaardigheden moet

Nadere informatie

LESFICHE 1. Handig rekenen. Lesfiche 1. 1 Procent & promille. 2 Afronden. Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd.

LESFICHE 1. Handig rekenen. Lesfiche 1. 1 Procent & promille. 2 Afronden. Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd. Lesfiche 1 1 Procent & promille Handig rekenen Procent of percent (%) betekent letterlijk per honderd. 5 5 % is dus 5 per honderd. In breukvorm wordt dat of 0,05 als decimaal getal. Promille ( ) betekent

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16 Inhoud Voorwoord v Het metrieke stelsel vii Inhoud ix Trefwoordenlijst x 1 Basis 1.1 1.1 Veel voorkomende berekeningen 1.1 1.2 Van punt tot vlak 1.4 1.3 Oppervlakten berekenen 1.12 1.4 Zelf tekenen 1.16

Nadere informatie

2. Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken

2. Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken 1. Wat is een breuk? Een breuk Een breuk is een verhoudingsgetal. Een breuk geeft aan hoe groot een deel is van een geheel. Stel een taart is verdeeld in stukken. Je neemt 2 stukken van de taart. Je hebt

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

Bijlage 11 - Toetsenmateriaal

Bijlage 11 - Toetsenmateriaal Bijlage - Toetsenmateriaal Toets Module In de eerste module worden de getallen behandeld: - Natuurlijke getallen en talstelsels - Gemiddelde - mediaan - Getallenas en assenstelsel - Gehele getallen met

Nadere informatie

Stelsels van vergelijkingen

Stelsels van vergelijkingen Module 5 Stelsels van vergelijkingen 5.1 Definitie en voorbeelden Een verzameling van vergelijkingen in een aantal onbekenden waarvan men de gemeenschappelijke oplossing(en) zoekt, noemt men een stelsel

Nadere informatie

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ...

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ... PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE a) Begrippen uit de getallenleer Bewerking optelling aftrekking vermenigvuldiging Symbool deling : kwadratering... machtsverheffing...

Nadere informatie

Vergelijkingen en hun oplossingen

Vergelijkingen en hun oplossingen Vergelijkingen en hun oplossingen + 3 = 5 is een voorbeeld van een wiskundige vergelijking: er komt een = teken in voor, en een onbekende of variabele: in dit geval de letter. Alleen als we voor de variabele

Nadere informatie

2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13

2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13 REKENEN MET BREUKEN. De breuk. Opgaven. Optellen van breuken 6. Opgaven 8. Aftrekken van breuken 9.6 Opgaven 9.7 Vermenigvuldigen van breuken.8 Opgaven.9 Delen van breuken.0 Opgaven. Een deel van een deel.

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

WERKBOEK REKENVAARDIGHEID. Voeding en Diëtetiek

WERKBOEK REKENVAARDIGHEID. Voeding en Diëtetiek WERKBOEK REKENVAARDIGHEID Voeding en Diëtetiek 11 INHOUDSOPGAVE ACHTERGROND 3 1. Elementaire bewerkingen 4 2. Voorrangsregels (bewerkingsvolgorde) 8 3. Bewerkingen met machten 11 4. Rekenen met breuken

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R - 229 - Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R Definitie: Een eerstegraadsfunctie in R is een functie met een voorschrift van de gedaante y = ax + b (met a R 0 en b R ) Voorbeeld 1: y = 2x Functiewaardetabel

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Goed aan wiskunde doen

Goed aan wiskunde doen Goed aan wiskunde doen Enkele tips Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D haeseleer Annemie Vermeyen Maart 2011 Waarom? Dit document somt de belangrijkste aandachtspunten op als je een wiskundeopgave

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

1. Optellen en aftrekken

1. Optellen en aftrekken 1. Optellen en aftrekken Om breuken op te tellen of af te trekken maak je de breuken gelijknamig. Gelijknamig maken wil zeggen dat je zorgt voor 'gelijke noemers': Om de breuken met 'derden' en 'vijfden'

Nadere informatie

breuken 1.0 Inleiding 1.1 Natuurlijke getallen

breuken 1.0 Inleiding 1.1 Natuurlijke getallen 1 Natuurlijke getallen, breuken 1.0 Inleiding Dit hoofdstuk begint in paragraaf 1.1 met het rekenen met de getallen 0, 1, 2,, enzovoort. Dat heb je op de lagere school ook geleerd, alleen wordt er nu wat

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

Naam:... ZELFEVALUATIE WISKUNDE A-STROOM (het 60-puntenplan) WAT KAN IK AL? / WAT MOET IK NOG HERHALEN? / WAT MOET IK NOG INOEFENEN?

Naam:... ZELFEVALUATIE WISKUNDE A-STROOM (het 60-puntenplan) WAT KAN IK AL? / WAT MOET IK NOG HERHALEN? / WAT MOET IK NOG INOEFENEN? ZELFEVALUATIE WISKUNDE A-STROOM (het 60-puntenplan) WAT KAN IK AL? / WAT MOET IK NOG HERHALEN? / WAT MOET IK NOG INOEFENEN? Voor de GETALLENLEER worden concreet volgende doelstellingen nagestreefd: Begripsvorming

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Domeinbeschrijving rekenen

Domeinbeschrijving rekenen Domeinbeschrijving rekenen Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal auteur: Jan van de Craats 11 december 2007 Inleiding Dit document bevat een beschrijving van

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Afspraken hoofdrekenen eerste tot zesde leerjaar

Afspraken hoofdrekenen eerste tot zesde leerjaar 24/04/2013 Afspraken hoofdrekenen eerste tot zesde leerjaar Sint-Ursula-Instituut Rekenprocedures eerste leerjaar Rekenen, hoe doe ik dat? 1. E + E = E 2 + 5 = 7 Ik heb er 2. Er komen er 5 bij. Dat is

Nadere informatie

Het rechterlid van het voorschrift van een veeltermfunctie is een veelterm in één veranderlijke.

Het rechterlid van het voorschrift van een veeltermfunctie is een veelterm in één veranderlijke. 5 ASO H zwak leerboek 5-8- 6:9 Pagina. INLEIDING Vorig jaar maakten we al kennis met een basispakket functies : h g a) de constante functies : f () = a b) de eerstegraadsfuncties : g () = a + b c) de tweedegraadsfuncties

Nadere informatie

Inhoudsopgave. I Theorie 1

Inhoudsopgave. I Theorie 1 Inhoudsopgave I Theorie 1 1 Verzamelingen 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Bewerkingen met verzamelingen........................... 6 1.2.1 Vereniging (unie) van twee verzamelingen.................

Nadere informatie

De teller geeft hoeveel stukken er zijn en de noemer zegt wat de 5. naam is van die stukken: 6 taart geeft dus aan dat de taart in 6

De teller geeft hoeveel stukken er zijn en de noemer zegt wat de 5. naam is van die stukken: 6 taart geeft dus aan dat de taart in 6 Breuken Breuk betekent dat er iets gebroken is. Het is niet meer heel. Als je een meloen doormidden snijdt, is die niet meer heel, maar verdeeld in twee stukken. Eén zo n stuk is dan een halve meloen,

Nadere informatie

Onthoudboekje rekenen

Onthoudboekje rekenen Onthoudboekje rekenen Inhoud 1. Hoofdrekenen: natuurlijke getallen tot 100 000 Optellen (p. 4) Aftrekken (p. 4) Vermenigvuldigen (p. 5) Delen (p. 5) Deling met rest (p. 6) 2. Hoofdrekenen: kommagetallen

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: Logaritmen en getal e 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999 ANTWOORDEN blz. 3 a. Zeer onwaarschijnlijk Zeer onwaarschijnlijk a. Dan heb je ergens een schuld uitstaan 86 Dan hadden beide een kopie van de kerfstok; om fraude te voorkomen a. MMXII, MCCCXXVII, DLXXXVI,

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Differentiëren. Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden

Differentiëren. Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden Differentiëren Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 Voorkennis Repeteer de standaardafgeleiden en de rekenregels voor differentiëren. Draai eventueel het

Nadere informatie

Het oplossen van kwadratische vergelijkingen met de abc-formule

Het oplossen van kwadratische vergelijkingen met de abc-formule Het oplossen van kwadratische vergelijkingen met de abc-formule door Pierre van Arkel Dit verslag is een voorbeeld hoe bij wiskunde een verslag er uit moet zien. Elk schriftelijk verslag heeft een titelblad.

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS

REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS Schooljaar 008/009 Inhoud Uitleg bij het boekje Weektaak voor e week: optellen en aftrekken Weektaak voor e week: vermenigvuldigen Weektaak voor e week: delen en de staartdeling

Nadere informatie

Onderwerpen en kwaliteitscriteria VWO-WISKUNDE. Deliverable 3.2. Hans Cuypers en Henk van der Kooij

Onderwerpen en kwaliteitscriteria VWO-WISKUNDE. Deliverable 3.2. Hans Cuypers en Henk van der Kooij Onderwerpen en kwaliteitscriteria VWO-WISKUNDE Deliverable 3.2 Hans Cuypers en Henk van der Kooij Inleiding In deze deliverable zullen we voor het domein van de VWO-WISKUNDE de onderwerpen vaststellen

Nadere informatie

Reken zeker: leerlijn breuken

Reken zeker: leerlijn breuken Reken zeker: leerlijn breuken B = breuk H = hele HB = hele plus breuk (1 1/4) Blauwe tekst is theorie uit het leerlingenboek. De breuknotatie in Reken zeker is - anders dan in deze handout - met horizontale

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

Breuken in de breuk. 1 Breuken vermenigvuldigen en delen (breuken in de breuk)

Breuken in de breuk. 1 Breuken vermenigvuldigen en delen (breuken in de breuk) Breuken in de breuk update juli 2013 WISNET-HBO De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers

Nadere informatie

WISo. Handleiding breukendoos. www.zwiso.be. Inhoud breukendoos. Gebruik van de breukendoos. Inzicht in breuken

WISo. Handleiding breukendoos. www.zwiso.be. Inhoud breukendoos. Gebruik van de breukendoos. Inzicht in breuken Handleiding breukendoos Inhoud breukendoos De breukendoos bevat: - metalen breukenbord met vermelding van het geheel en de stambreuken van t.e.m. en ruimte voor de kommagetallen- en de procentstrook -

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 Het schakelen van weerstanden.

Hoofdstuk 4 Het schakelen van weerstanden. Hoofdstuk 4 Het schakelen van weerstanden.. Doel. Het is de bedoeling een grote schakeling met weerstanden te vervangen door één equivalente weerstand. Een equivalente schakeling betekent dat een buitenstaander

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden

Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 1: Basisvaardigheden Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen

Nadere informatie

Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen

Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen 2.1 Natuurlijke getallen 1 Rangschik de volgende natuurlijke getallen van klein naar groot. 45 54 56 78 23 25 77 89 2 050 2 505 2 055 2 500 2 005 879

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking

Nadere informatie

MEESTER LUDOLPHS WORTELREKENEN MARJANNE DE NIJS

MEESTER LUDOLPHS WORTELREKENEN MARJANNE DE NIJS MEESTER LUDOLPHS WORTELREKENEN MARJANNE DE NIJS Inleiding Ludolph van Ceulen (540 0) was rekenmeester. In één van zijn boeken, De Arithmetische en Geometrische Fondamenten, beschrijft hij onder andere

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

HAVO 4 wiskunde A. Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen....

HAVO 4 wiskunde A. Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen.... HAVO 4 wiskunde A Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet kennen en kunnen.... 1. rekenregels en verhoudingen Ik kan breuken vermenigvuldigen en delen. Ik ken de rekenregel breuk Ik kan

Nadere informatie

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm Functies Verdieping 6N-p 01-014 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x)

Nadere informatie

1. REGELS VAN DEELBAARHEID.

1. REGELS VAN DEELBAARHEID. REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Breuksplitsen WISNET-HBO NHL. update juli 20014

Breuksplitsen WISNET-HBO NHL. update juli 20014 Breuksplitsen WISNET-HBO NHL update juli 20014 1 Inleiding Bij sommige opleidingen is het belangrijk dat er enige vaardigheid ontwikkeld wordt om grote breuken te manipuleren en om te zetten in een aantal

Nadere informatie

Getallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2. Omschrijving Rekenen en Wiskunde Getallen 2

Getallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2. Omschrijving Rekenen en Wiskunde Getallen 2 Getallen 2 Getallen 2 bestrijkt de uitbreiding van de basisvaardigheden van het rekenen, regels en vaardigheden die in het vmbo en de onderbouw van havo/vwo worden aangeleerd, geoefend en toegepast. Doelgroep

Nadere informatie

Praktisch bestaan er enkele eenvoudige methoden om een decimaal getal om te zetten naar een binair getal. We bespreken hier de twee technieken.

Praktisch bestaan er enkele eenvoudige methoden om een decimaal getal om te zetten naar een binair getal. We bespreken hier de twee technieken. Talstelsels 1 Algemeenheden Digitale systemen werken met nullen en enen omdat dit elektronisch gemakkelijke te verwezenlijken is. De transistor kent enkel twee toestanden (geleiden of sperren) Hierdoor

Nadere informatie

1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden

1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden 1 Hele getallen Peter Ale Martine van Schaik u i t g e v e r ij c o u t i

Nadere informatie

Reken zeker: leerlijn kommagetallen

Reken zeker: leerlijn kommagetallen Reken zeker: leerlijn kommagetallen De gebruikelijke didactische aanpak bij Reken Zeker is dat we eerst uitleg geven, vervolgens de leerlingen flink laten oefenen (automatiseren) en daarna het geleerde

Nadere informatie

Monitoraatssessie Wiskunde

Monitoraatssessie Wiskunde Monitoraatssessie Wiskunde 1 Overzicht van de cursus Er zijn drie grote blokken, telkens voorafgegaan door de rekentechnieken die voor dat deel nodig zullen zijn. Exponentiële en logaritmische functies;

Nadere informatie

Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A.

Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Wiskunde voor het hoger onderwijs deel A Errata 00 Noordhoff Uitgevers Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Hoofdstuk. 4 Op blz. in het Theorieboek staat halverwege de

Nadere informatie

BEWERKINGEN HOOFDREKENEN 40 NATUURLIJKE GETALLEN OPTELLEN

BEWERKINGEN HOOFDREKENEN 40 NATUURLIJKE GETALLEN OPTELLEN BEWERKINGEN HOOFDREKENEN 40 NATUURLIJKE GETALLEN OPTELLEN a De standaardprocedure: getallen splitsen Zo lukt het altijd: 98 + 476 = 98 + 400 + 70 + 6 = 698 + 70 + 6 = 768 + 6 = 774 b Van plaats wisselen

Nadere informatie

Hoe schrijf je de logaritmische waarden welke bij db s horen?

Hoe schrijf je de logaritmische waarden welke bij db s horen? Die moeilijke decibellen toch. PA0 FWN. Inleiding. Ondanks dat in Electron al vaak een artikel aan decibellen is geweid, en PA0 LQ in het verleden al eens een buitengewoon handige tabel publiceerde waar

Nadere informatie

Functieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2

Functieonderzoek. f(x) = x2 4 x 4 + 2. Igor Voulis. 9 december 2009. 1 De functie en haar definitiegebied 2. 2 Het tekenverloop van de functie 2 Functieonderzoek f(x) = x2 4 x 4 + 2 Igor Voulis 9 december 2009 Inhoudsopgave 1 De functie en haar definitiegebied 2 2 Het tekenverloop van de functie 2 3 De asymptoten 3 4 De eerste afgeleide 3 5 De

Nadere informatie

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen 46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:

Nadere informatie

Getallen 1F Doelen Voorbeelden 2F Doelen Voorbeelden

Getallen 1F Doelen Voorbeelden 2F Doelen Voorbeelden A Notatie en betekenis - Uitspraak, schrijfwijze en betekenis van, symbolen en relaties - Wiskundetaal gebruiken - de relaties groter/kleiner dan - breuknotatie met horizontale streep - teller, noemer,

Nadere informatie

Het Land van Oct. Marte Koning Frans Ballering. Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs

Het Land van Oct. Marte Koning Frans Ballering. Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs Het Land van Oct Marte Koning Frans Ballering Vierkant voor Wiskunde Wiskundeclubs Hoofdstuk 1 Inleiding Hoi, ik ben de Vertellende Teller, en die naam heb ik gekregen na mijn meest bekende reis, de reis

Nadere informatie

Wiskundige Technieken

Wiskundige Technieken 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 009-010 1ste semester 7 oktober 009 Wiskundige Technieken 1. Integreer de volgende differentiaalvergelijkingen: (a) y + 3x y = 3x (b) y + 3y + y = xe

Nadere informatie

Reken zeker: leerlijn kommagetallen

Reken zeker: leerlijn kommagetallen Reken zeker: leerlijn kommagetallen De gebruikelijke didactische aanpak bij Reken Zeker is dat we eerst uitleg geven, vervolgens de leerlingen flink laten oefenen (automatiseren) en daarna het geleerde

Nadere informatie

Toegepast Rekenen Theorie:

Toegepast Rekenen Theorie: Toegepast Rekenen Theorie: Hfst 1: Rekenen De volgorde van de basisbewerkingen is: Eerst tussen haakjes Daarna de volgorde volgens het ezelsbruggetje: Meneer Van Dalen Wacht Op Antwoord - Machtsverheffen

Nadere informatie

(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert).

(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert). Tussentijdse Toets Wiskunde I 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, donderdag 17 november 011, 8:30 10:00 uur

Nadere informatie