Samenvatting Wiskunde B

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Samenvatting Wiskunde B"

Transcriptie

1 Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen met de GR. Bereken stap voor stap zonder gebruik van de GR. Rond antwoord indien nodig af. Bereken stap voor stap zonder gebruik van de GR. Rond het antwoord niet af. Laat wortels, breuken etc. staan. Bereken met behulp van afgeleide: Bereken met behulp van differentiëren: Bereken de formule van de afgeleide. De rest van de berekening mag met de GR opgelost worden. 1

2 1. Lineaire vergelijkingen oplossen: + 1 = = 1 = ½ Alles met naar links, alle losse getallen naar rechts.. Tweedegraads vergelijking oplossen (a + b = 0) = 0 3( + ) = 0 3 = 0 + = 0 = 0 = - Haal de buiten de haakjes.

3 3. Tweedegraads vergelijking oplossen (a + c = 0) 3 6 = 0 3 = 6 = = = - Herleid tot = getal 4. Tweedegraads vergelijking oplossen (a + b + c = 0) 6 7 = 0 ( + 1)( 7) = 0 = -1 = 7 Ontbindt het linkerlid in factoren. 3

4 5. Tweedegraads vergelijking oplossen (a + b + c = 0) 5 7 = 0 D = b 4ac = (-5) 4-7 = 81 b D b D a a Gebruik de ABC formule 6. Hogeregraads vergelijking oplossen (Haal,, 3, buiten de haken) = 0 ( 3 + ) = 0 ( 1)( ) = 0 = 0 = 1 = 4

5 7. Hogeregraads vergelijking oplossen (substitutiemethode) = 0 [Neem = p] p 3p + = 0 (p 1)(p ) = 0 p = 1 p = = 1 = [Schrijf oplossing als =...] = 1 = -1 = = - 8. Modulusvergelijking oplossen + 6 = = 5 of + 6 = -5 = -1 of = -11 = -½ of = -5½ 5

6 9. Wortelvergelijking oplossen 1 1 (1 ) ( 9)( 16) o.k. k.n. [Zorg dat links enkel nog de wortelterm staat] [Kwadrateren om wortel weg te werken] [Controleer altijd of de oplossing klopt!!!] 6

7 10.Gebroken vergelijking oplossen 7 6 ( 7)( 6) ( ) [Kruislings vermenigvuldigen] [Let op = en = -6 mogen niet als oplossing want dan heb je een noemer die 0 is.] 7

8 11. Stelsels van vergelijkingen (Optellen en aftrekken) y y 6 6 3y 9 6 4y 1 7y 1 y 3 8

9 1. Stelsels van vergelijkingen (Substitutie) y = y = y = ( + 4) = = = = 0 ( + )( + 1) = 0 = - = -1 9

10 13.Omzetten eponentiële en logaritmische functies = 7 = log(7) log( + 1) = = = 8 = 7 Gebruik de regel: Uit g log() = y volgt = g y 10

11 14. Eponentiële functies Zorg dat alle losse getallen rechts komen te staan. Zorg dat links alleen nog maar een macht staat. Schrijf de vergelijking in de vorm g A = g B Je kunt de grondtallen nu wegstrepen 11

12 15. Logaritmische vergelijkingen (een logaritme) 5 1 log() 7 5 log() 6 5 log() 3 Zorg dat links alleen nog maar een logaritme staat Zorg dat alle losse getallen rechts komen te staan. Gebruik de regel: Uit g log() = y volgt = g y 16. Logaritmische vergelijkingen (meerdere logaritmes) log( ) 1 4 log() 3 3 log( ) log(3 ) log( ) log( ) log(3) log(16) log( ) log(48) voldoet 1

13 17. Logaritmische vergelijkingen (substitutiemethode) log () 5 log() 6 0 p log() p 5p 6 0 (p )(p 3) 0 p p 3 log() log() Gebruik de regel: Uit g log() = y volgt = g y Alle regels voor logaritmen gelden ook voor natuurlijke logaritmen: e log() = ln(); Alle regels voor machten gelden ook voor e-machten. 13

14 18. Oplossen sinusvergelijkingen sin( 1) sin( 3) 1 3 k of 1 ( 3) k 4 k of 1 3 k 4 k of 3 k 1 4 k of k sin(a) = sin(b) geeft A = B + k π of A = π B + k π 14

15 19. Oplossen cosinusvergelijkingen 1 cos(3) cos( ) k of 3 ( ) k k of 3 k k of 4 k k of k cos(a) = cos(b) geeft A = B + k π of A = B + k π Gebruik indien nodig rekenregels om vergelijkingen van de vorm sin( ) = cos( ) om te schrijven naar sin( ) = sin( ) of cos( ) = cos( ) 15

16 1. Standaardafgeleide f() = a n geeft f () = na n-1 f() = geeft g () = Productregel p () = f () g() + f() g () p() = ( + 6)( + ) geeft p () = [ + 6] ( + ) + ( + 6) [ + ] = 1 ( + ) + ( + 6) ( + ) = =

17 3. Quotiëntregel De afgeleide van q() = t() n() q'( ) n( ) t'( ) t( ) n'( ) ( n ( )) wordt nu: q() q'() q'() q'() q'() geeft (3 6) [5 8]' (5 8) [3 6]' (3 6) (10 8) (5 8) (3 6) (3 6) (3 6) (3 6) 17

18 4. Kettingregel dy dy du d du d y = ( + 6) schrijf je als: y= u met u = + 6 y' dy du du d u ( 1) ( 6)( 1) 5. Afgeleide van een e-macht f() = e geeft f () = e 18

19 6. Afgeleide van een eponentiële functie f() = a geeft f () = a e log(a) = a ln(a) 7. Afgeleide van een natuurlijke logaritme [ln()]' 1 8. Afgeleide van een logaritme [ log()]' ln(g) g 1 9. Afgeleide van een sinusoïde f() = sin() => f () = cos() g() = cos() => g () = -sin() 19

20 10. Bepaal de richtingscoëfficiënt (helling) Bij de grafiek y = a + b hoort een r.c. van 11. Bepaal de helling in een punt Bereken de helling in het punt met A = 1 van de grafiek van f() = f () = 3 1 f (1) = = -9 y yb y B A A 0

21 1. Het opstellen van een raaklijn Gegeven is de functie: f() = Stel de met behulp van de afgeleide de vergelijking op van de raaklijn l in punt A met r.c. = 1 Stap 1: Stel de afgeleide van de functie f() op: l:y = a + b en dus l:y = + b f() = f () = + 3 Stap : Bereken wanneer de afgeleide gelijk is aan 1: f () = = 1 = - A = -1 1

22 1. Het opstellen van een raaklijn Gegeven is de functie: f() = Stel de met behulp van de afgeleide de vergelijking op van de raaklijn l in punt A met r.c. = 1 Stap 3: Bepaal de y-coördinaat van het punt A: y A = f( A ) = (-1) = Stap 4: Stel de vergelijking van de raaklijn l op: l:y = + b Invullen van A = (-1, ) geeft: = -1 + b b = 3 Hieruit volgt: l:y = + 3

23 13. Raaklijn aan de grafiek door een bekend punt niet op de grafiek m is een lijn, die de grafiek van f raakt in het punt P. De lijn m gaat niet door de f( P) y A oorsprong. Er geldt nu: f '( p) Gegeven zijn de functie f() = en het punt A(4, 5). Bereken de coördinaten van de raakpunten van de raaklijnen aan de grafiek van f() en het punt A. P A ( ) 5 4 ( 4) = 7 8 = = 0 ( 1)( 7) = 0 = 1 = 7 De raakpunten zijn nu (1, -1) en (7, 47) 3

24 14. Het raakpunt van twee grafieken Twee grafieken raken elkaar in het punt A. Er geldt: f( A ) = g( A ) EN f ( A ) = g ( A ) Bereken het raakpunt van de functies f() = en g() = Stap 1: Bereken de afgeleiden van f() en g(). f () = EN g () = Stap : Los de vergelijkingen f() = g() f () = g () op: , 3 3 4

25 14. Het raakpunt van twee grafieken Twee grafieken raken elkaar in het punt A. Er geldt: f( A ) = g( A ) EN f ( A ) = g ( A ) Bereken het raakpunt van de functies f() = en g() = Stap 3: Controleer of de gevonden oplossingen kloppen. f(3) = 5 EN g(3) = 5 f(-3) = -31 EN g(-3) = -49 Deze oplossing klopt Deze oplossing klopt niet. Het punt (3, 5) is het raakpunt van beide grafieken. 5

26 15. Grafieken die elkaar loodrecht snijden In het punt waar twee grafieken elkaar loodrecht snijden geldt: f() = g() f () g () = -1 Bereken eact de waarde van p en de coördinaten van het punt waar de grafieken f() = en g p () = Stap 1: Bereken de afgeleiden van f() en g p () 1 f () = EN g () = p p elkaar loodrecht snijden. 6

27 15. Grafieken die elkaar loodrecht snijden Bereken eact de waarde van p en de coördinaten van het punt waar de p grafieken f() = en g p () = elkaar loodrecht snijden. Stap : Los de vergelijkingen f() = g() f () g () = -1 op: p 1 p p = = 0 ( ) = 0 = 0 = p p 1 1 Stap 3: = geeft p = 4 f() =, dus de grafieken snijden elkaar loodrecht in (, ) 7

28 16. Buigpunten In een buigpunt gaat de helling bv. van afnemend stijgend naar toenemend stijgend. (Eén van de vier mogelijkheden) Ga na of de functie f() = een buigpunt heeft. Stap 1: Bereken de tweede afgeleide f () = f () = 6 Stap : Los de vergelijking f () = 0 op. 6 = 0 geeft = 0 Stap 3: Controleer of de afgeleide in het punt met -coördinaat 0 een etreme waarde heeft. Dit is zo, dus er is nu een buigpunt bij = 0. 8

29 1. Regels primitiveren a n 1 g ln(g) n n1 f() a F() c met n 1 f() g F() c f() e F() e c 1 f() F() ln c f() ln() F() ln() c 1 ln(g) g f() log() F() ( ln() ) c 9

30 . Primitiveren sinusoïde f() = sin() g() = cos() => F() = -cos() + c => G() = sin() + c 3. Kettingregel voor primitiveren De primitieven van f(a + b) zijn 1 F(a b) c a 1 1 f() 4 1 (4 1) u F() u c (4 1) c (4 1) c 4 0,

31 4. Oppervlakte onder een grafiek Bereken de oppervlakte van vlakdeel V ingesloten door de f() = 4 en de -as en y-as. 4 O(V) (4 )d ( 4 4 ) (0 0) 10 Willlem-Jan van der Zanden 31

32 5. Oppervlakte tussen twee grafieken Bereken de oppervlakte van het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafieken van f() = 1 en g() = 5 Stap 1: Bepaal met de optie INTERSECT de twee snijpunten van beide grafieken. Dit zijn -,41 en 1,68 Stap : Merk op dat in het interval [-,41; 1,68] de grafiek van g() boven de grafiek van f() ligt. Willlem-Jan van der Zanden 3

33 5. Oppervlakte tussen twee grafieken Stap 3: De oppervlakte van het gevraagde vlakdeel kan nu berekend worden met: 1,68 1,68 (g() f())d (5 ( 1))d 13,94,41,41 Integreren met de GR: Y1 = 5 ^ (^ 1) ND TRACE Optie 7 Vul bij Lower Limit -,41 in en bij Upper Limit 1,68 en druk op ENTER Willlem-Jan van der Zanden 33

34 6. Booglengte Samenvatting Wiskunde B Als je de lengte van de grafiek van f tussen = a en = b wilt berekenen, gebruik je hiervoor de volgende formule: Voorbeeld: Het vlakdeel wordt ingesloten door de grafiek van f() = ln(), de -as en de lijn = 10. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de booglengte. b a 1 (f'()) d (f'()) d 1 ( ) d 9,4 1 Willlem-Jan van der Zanden 34

35 Willlem-Jan van der Zanden 7. Inhoud van een lichaam: Bereken de eact de inhoud van het lichaam L dat ontstaat als V om de -as wentelt. I(L) f() d (4 ) d 3 4 (16 8 )d (

36 8. Inhoud tussen twee lichamen: Het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafieken van f() =,5 8 en g() = - en de y-as. Bereken nu de inhoud van het lichaam L dat ontstaat als V om de -as gewenteld wordt. Stap 1: Bereken het snijpunt van f() en g() met INTERSECT. Dit is 1,779 Stap : Omdat f() onder g() ligt in het interval [0; 1,779] is de inhoud van het omwentelingslichaam L nu als volgt te berekenen: I(L) = 1,779 1, ,779 1,779,5 Willlem-Jan van der Zanden (f()) d (g()) ( 8) d ( ) d 18,

37 9 Substitutiemethode integreren (Alleen schooleamen) (f g)d = f dg Primitiveer de functie f() = 5( + ) 4 ( + 1) 5( + ) 4 ( + 1) d = 5( + ) 4 d( + ) [Neem + = u] 5u 4 du = u 5 = ( + ) 5 Hieruit volgt dat de primitieve van f() gelijk is aan F() = ( + ) 5 + C Let op: Door het handig toepassen van de substitutiemethode krijgt je een functie, die je kunt primitiveren met de regels uit Hoofdstuk

38 10. Partieel integreren (Alleen schooleamen) Voor partieel integreren geldt de volgende regel: gdf = f g - fdg Primitiveer de functie h() = ln() ln()d = ln() d(½ ) [f = ½ en g = ln()] = ½ ln() ½ d(ln()) 1 = ½ ln() ½ d = ½ ln() ½ d = ½ ln() - ¼ H() = ½ ln() - ¼ + C is de primitieve van de functie h() = ln() 38

39 11. Cyclometrische functies (Alleen schooleamen) De functie f() = heeft als primitieve: F()= arctan() + c De functie g() = arctan() heeft als afgeleide: g () = De functie f() = heeft als primitieve: F()= arcsin() + c De functie g() = arcsin() heeft als afgeleide: g () = De functie f() = heeft als primitieve: F()= arccos() + c De functie g() = arccos() heeft als afgeleide: g () =

40 1 Breuken herschrijven via staartdeling (Alleen schooleamen) Bereken eact d 1 Stap 1: Gebruik staartdelen om een functie te krijgen die je kunt primitiveren: + 1 / \ maal + 1 = ( + 1) = + + Let op: Hierdoor valt de weg / \ maal + 1 = 3( + 1) = Let op: Hierdoor valt de 3 weg

41 1 Breuken herschrijven via staartdeling (Alleen schooleamen) Bereken eact d 1 Stap 1: Gebruik staartdelen om een functie te krijgen die je kunt primitiveren: 51 De functie f() = 1 kan dus geschreven worden als: f() = Stap : De primitieven van de functie f() = zijn: F() = + 3 ln C Let op: Staartdelen kan alleen als de graad van de teller groter of gelijk is Dan de graad van de noemer. 41

42 1 Breuken herschrijven via staartdeling (Alleen schooleamen) Bereken eact d 1 Stap 3: Bereken nu de gevraagde integraal: d 3 d ln (4 3 4 ln 4 1 ) (1 3 1 ln 1 1 ) 8 ln 5 5 ln 3ln 5 ln 4

43 13. Breuken herschrijven, Discriminant noemer kleiner dan 0 (Alleen SE) Primitiveer de functie f() = 1 45 Let op: 1) De discriminant van de noemer ( ) is kleiner dan 0 ( = -4). Je kunt de noemer niet ontbinden in factoren; 1) De afgeleide van is + 4; ) Staartdelen is niet mogelijk d d d d 45 1 d( 4 5) 45 1 du ln u u ln 45 Door het herschrijven van de functie ontstaan twee breuken die je kunt primitiveren: 1) Gebruik de substitutiemethode (breuk 1); ) Primitieve is de natuurlijke log. (breuk ). 43

44 13. Breuken herschrijven, Discriminant noemer kleiner dan 0 (Alleen SE) Primitiveer de functie f() = 5 d 45 5 d ( ) 1 5arctan( ) 1 45 Herleiden van de breuk zorgt dat je de tweede breuk kunt primitiveren. De primitieve van de functie f() = 1 45 wordt nu: F() = ln arctan( + ) + C 44

45 14. Breuken herschrijven, Discriminant noemer gelijk aan 0 (Alleen SE) Primitiveer de functie f() = 1 44 Let op: 1) De discriminant van de noemer ( ) is gelijk aan 0 ( = 0); ) De noemer is te schrijven als = ( + ) ; 3) De teller is te schrijven als - 1 = = ( + ) 5; 4) Staartdelen is niet mogelijk. 1 ( ) 5 d d 4 4 ( ) 5 d 5( ) d ( ) ln 5( ) 1 Door het herschrijven van de functie ontstaan twee breuken die je kunt primitiveren. 45

46 15. Breuken herschrijven, Discriminant noemer groter dan 0 Bereken de primitieven van f( ) 8 8 ( 1)( ) Let op: 1) De discriminant van de noemer ( + -) is groter dan 0 ( = 9). De noemer kan in factoren ontbonden worden; 1) De noemer geschreven worden als + - = ( 1)( + ); ) Staartdelen is niet mogelijk. Stap 1: Merk op dat je deze functie niet kunt primitiveren op de manieren zoals geleerd. Dit is op te lossen door de functie f als volgt te schrijven: f( ) a b 1 46

47 Samenvatting Wiskunde b 15. Breuken herschrijven, Discriminant noemer groter dan 0 Stap 1: a b 1 a( ) b( 1) ( 1)( ) ( 1)( ) a( ) b( 1) ( 1)( ) a a b b ( 1)( ) ( a b) a b ( 1)( ) We kiezen a en b nu zodanig dat (a + b) + a b gelijk is aan + 8 Er geldt nu: a + b = 1 en a b = 8 47

48 K.4 Breuksplitsen [3] 15. Breuken herschrijven, Discriminant noemer groter dan 0 Stap : Los het nu ontstane stelsel van vergelijkingen op: ab1 ab8 3a 9 a 3 Invullen van a = 3 in a + b = 1 geeft b = -. De vergelijking f( ) 8 8 ( 1)( ) kan dus geschreven worden als: f( ) a b 1 met a = 3 en b = -. Dit geeft: f( )

49 K.4 Breuksplitsen [3] 15. Breuken herschrijven, Discriminant noemer groter dan 0 Stap 3: Primitiveer de functie f( ) 3 1 F() = 3 ln -1 - ln + + C 49

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:

K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )

Nadere informatie

K.1 De substitutiemethode [1]

K.1 De substitutiemethode [1] K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Differentieer de functie f() = ( + ) 5 Voor het differentiëren van deze functie gebruik je de kettingregel: Stap : Schrijf de functie f() als volgt: y = u 5 met

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde A

Samenvatting Wiskunde A Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een examen in dit geval voor

Nadere informatie

Paragraaf K.1 : Substitutiemethode

Paragraaf K.1 : Substitutiemethode Hoofdstuk K Voortgezette Integraalrekening (V5 Wis B) Pagina van 8 Paragraaf K. : Substitutiemethode Stappenplan voor de substitutiemethode : () Neem y = formule (bij kettingregel noem je deze formule

Nadere informatie

7.1 De afgeleide van gebroken functies [1]

7.1 De afgeleide van gebroken functies [1] 7.1 De afgeleide van gebroken functies [1] Regels voor het differentiëren: f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = a f() = a geeft f () = 0 Algemeen geldt: f() = a n geeft f () = na n-1 Voorbeeld 1:

Nadere informatie

13.1 De tweede afgeleide [1]

13.1 De tweede afgeleide [1] 13.1 De tweede afgeleide [1] De functie is afnemend dalend tot het lokale minimum; Vanaf het lokale minimum tot punt A is de functie toenemend stijgend; Vanaf punt A tot het lokale maimum is de functie

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 2013 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 28 januari 23 Voorlopige versie 29 januari 23 Opgave a Schrijf f ) g) met g) 9 2. g) 9 2 ) /2, dus g ) 2 9 2 ) /2 2 Dit geeft

Nadere informatie

exponentiële standaardfunctie

exponentiële standaardfunctie 9.0 Voorkennis In de grafiek is de eponentiële standaardfunctie f() = getekend; D f = R, B f = (0, ) met de -as als asymptoot (Dit volgt uit: lim 0 ); Elke functie g met g > heeft deze vorm; Voor g > is

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

Paragraaf 9.1 : Logaritmen

Paragraaf 9.1 : Logaritmen Hoofdstuk 9 Eonentiële en Logaritmische functies (V5 Wis B) Pagina van 5 Paragraaf 9. : Logaritmen Les Logaritmen Definitie Logaritmen Hoofdregel : g t = b t = g log b met domein b>0 Om logaritmen uit

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

9.1 Logaritmische en exponentiële vergelijkingen [1]

9.1 Logaritmische en exponentiële vergelijkingen [1] 9.1 Logaritmische en eonentiële vergelijkingen [1] Voor logaritmen gelden de volgende rekenregels: (1) log( ab) log( a) log( b) g g g () g g g (4) (3) g n g (5) g log() = y volgt = g y Voorbeeld: a log

Nadere informatie

Vergelijkingen oplossen met categorieën

Vergelijkingen oplossen met categorieën Vergelijkingen oplossen met categorieën De bewerkingen die tot de oplossing van een vergelijking leiden zijn niet willekeurig, maar vallen in zes categorieën. Het stappenplan voor het oplossen maakt gebruik

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen HAVO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen HAVO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Vliegende parkieten Opgave 1. Het energieverbruik van de parkiet als deze vliegt met

Nadere informatie

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen)

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen) Examen havo wiskunde B 06-I (oefenexamen) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt (, ) p Stel een vergelijking op van c. De punten B(, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) C liggen

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: juli 00 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

16.1 De Afgeleide Functie [1] Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid.

16.1 De Afgeleide Functie [1] Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. 16.1 De Afgeleide Functie [1] Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. Voorbeeld: f() = Differentiequotiënt van f() op [0, 3] = y f (3) f (0) 6 0 30 30 y 1 16.1

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B pilot havo 2011 - I

Eindexamen wiskunde B pilot havo 2011 - I Eindexamen wiskunde B pilot havo 0 - I Beoordelingsmodel Overlevingstijd maximumscore 3 Voor T 0 geldt: Voor T 0 geldt: R 7, ( ) 77 0,0780,0030 R 7, ( ) 70 0,0780,0030 Dus de overlevingstijd is 70 keer

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

Standaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011

Standaardafgeleiden. Wisnet-HBO. update maart 2011 Standaardafgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 1 Inleiding Als je nog niets over differentiëren weet, kun je beter eerst naar de les Wat is Differentiëren gaan in Wisnet Verder zijn er Maplets om de

Nadere informatie

Paragraaf 4.1 : Kwadratische formules

Paragraaf 4.1 : Kwadratische formules Hoofdstuk 4 Werken met formules H4 Wis B) Pagina 1 van 10 Paragraaf 41 : Kwadratische formules Les 1 : Verschillende vormen Er zijn verschillende vormen van kwadratische vergelijkingen die vaak terugkomen

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE. donderdag 13 december 2007, 14.00-16.00

TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE. donderdag 13 december 2007, 14.00-16.00 TWEEDE DEELTENTAMEN CONTINUE WISKUNDE donderdag 1 december 007, 14.00-16.00 Het gebruik van grafische of programmeerbare rekenmachines is niet toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek.

2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek. 200-II bij vraag Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek. Een applet (animatie) hierover is te vinden op bijvoorbeeld: http://home.planet.nl/~hietb062/java3.htm#constantehoek De punten P op

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte

Nadere informatie

Studiehandleiding Basiswiskunde cursus

Studiehandleiding Basiswiskunde cursus Studiehandleiding Basiswiskunde cursus 2008 2009 Materiaal Bij dit college heb je nodig: Het boek Basisboek wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch Isbn: 90 430 1156 8 De syllabus Aanvulling basiscursus

Nadere informatie

5.1 Lineaire formules [1]

5.1 Lineaire formules [1] 5.1 Lineaire formules [1] Voorbeeld : Teken de grafiek van y = 1½x - 3 Stap 1: Maak een tabel met twee coördinaten van deze lijn: x 0 2 y -3 0 Stap 2: Teken de twee punten en de grafiek: 1 5.1 Lineaire

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen HAV 0 tijdvak woensdag 0 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage.. Dit eamen bestaat uit 0 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 3.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde.

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. 5.0 Voorkennis Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. Vermenigvuldigen is eponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen:

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00

Nadere informatie

x 2x x 4x x 1x x 8x x x 12 = 0 G&R vwo B deel 1 1 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/25

x 2x x 4x x 1x x 8x x x 12 = 0 G&R vwo B deel 1 1 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/25 C. von Schwartzenberg 1/ 1 I, II, IV en V zijn tweedegraadsvergelijkingen. (de hoogste macht van is steeds ; te zien na wegwerken haakjes?) (III is een eerstegraadsvergelijking en VI is een derdegraadsvergelijking)

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni uur Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Inhoud. Aan de student. Studiewijzer. Aan de docent. Over de auteurs. Hoofdstuk 0 Basiswiskunde 1

Inhoud. Aan de student. Studiewijzer. Aan de docent. Over de auteurs. Hoofdstuk 0 Basiswiskunde 1 Inhoud Aan de student V Studiewijzer Aan de docent VII IX Over de auteurs XI Hoofdstuk 0 Basiswiskunde 1 Leereenheid 0.1 Elementaire algebra 3 0.1.1 Verzameling van getallen en het symbool 4 0.1.2 Merkwaardige

Nadere informatie

Dictaat Rekenvaardigheden. Faculteit Wiskunde en Informatica

Dictaat Rekenvaardigheden. Faculteit Wiskunde en Informatica Dictaat Rekenvaardigheden Faculteit Wiskunde en Informatica 7 mei 007 Voorwoord Voorwoord In het middelbaar onderwijs hebben zich de laatste jaren grote veranderingen voltrokken: de tweede fase met de

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur Eamen HAV 2015 1 tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A.

Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Wiskunde voor het hoger onderwijs deel A Errata 00 Noordhoff Uitgevers Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Hoofdstuk. 4 Op blz. in het Theorieboek staat halverwege de

Nadere informatie

Wiskunde B Herhaling en technische vaardigheden klas 5

Wiskunde B Herhaling en technische vaardigheden klas 5 Wiskunde B Herhaling en technische vaardigheden klas Begin klas : Raaklijnen Hieronder zien we de grafiek van f() + +. De gestippelde lijn is de raaklijn in het punt (,). raaklijn: Lijn die in een bepaald

Nadere informatie

Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 -

Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 - Wiskunde 0 maart 04 versie - -. a 3 a =. a.. 6.,AppB./ a 4 3. a 3. Rekenregels voor machten: als je twee machten op elkaar deelt, trek je de exponenten van elkaar af. De exponent van a wordt dan =. 3 6

Nadere informatie

2.1 Lineaire formules [1]

2.1 Lineaire formules [1] 2.1 Lineaire formules [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus C (WCB) op zaterdag 5 januari 04, 9:00 :00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 3 november 0 Normering voor pt vragen andere vragen naar rato): pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 donderdag 19 mei uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 donderdag 19 mei uur Eamen HAVO 011 tijdvak 1 donderdag 19 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 19 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 81 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u

== Uitwerkingen Tentamen Analyse 1, WI1600 == Maandag 10 januari 2011, u == en Tentamen Analyse, WI6 == Maandag januari, 4.-7.u Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI. Gegeven is de functie + e + e arctan,, f = +, >. a Beargumenteer dat f continu is op R. b Bepaal de

Nadere informatie

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking.

C. von Schwartzenberg 1/20. Toets voorkennis EXTRA: 3 Differentiëren op bladzijde 156 aan het einde van deze uitwerking. G&R havo B deel Differentiaalrekening C von Schwartzenberg /0 Toets voorkennis EXTRA: Differentiëren op bladzijde 56 aan het einde van deze uitwerking a f ( ) 5 7 f '( ) 8 5 b g( ) ( 5) 5 g '( ) 6 0 c

Nadere informatie

Cursusreader Analyse Plus (Capita selecta uit de Analyse)

Cursusreader Analyse Plus (Capita selecta uit de Analyse) Cursusreader Analyse Plus (Capita selecta uit de Analyse) Jaar uitgave:, herziene versie -, grondig herzien in 6-7 Versie: e versie Opleiding: WISKUNDE Auteur: Willem van Ravenstein (), Cornelia Wallien

Nadere informatie

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO

Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO Rekenvaardigheden voor klas en VWO Een project in het kader van het Netwerk VO-HO West Brabant Voorjaar 00 Samenstelling: M. Alberts (Markenhage College, Breda) I. van den Bliek (Mencia de Mendoza, Breda)

Nadere informatie

Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme

Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Les Speciale functies We ebben in de vorige les een aantal elementaire functies bekeken en iervoor gezien oe we deze functies kunnen afleiden. In wezen waren

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen HAV 2016 tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Exacte waarden bij sinus en cosinus

Exacte waarden bij sinus en cosinus acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie

Nadere informatie

14.0 Voorkennis. De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie.

14.0 Voorkennis. De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie. 14.0 Voorkennis De hierboven getekende functie herhaalt zich om de 6 seconden. Dit noemen we dan ook een periodieke functie. Evenwichtsstand = (min + max)/2 = (-100 + 300)/2 = 100 Amplitude = max evenw.

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus. Rekenregels voor vereenvoudigen ( ) = = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = ( )

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus. Rekenregels voor vereenvoudigen ( ) = = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = ( ) Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in één van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan uit tot

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 2012 tijdvak 2 woensdag 20 juni 1330-1630 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage Dit eamen bestaat uit 16 vragen Voor dit eamen zijn maimaal 79 punten te behalen Voor elk

Nadere informatie

4.1 Rekenen met wortels [1]

4.1 Rekenen met wortels [1] 4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B pilot havo I

Eindexamen wiskunde B pilot havo I Overlevingstijd Als iemand in koud water terecht komt, daalt zijn lichaamstemperatuur. Als de lichaamstemperatuur is gedaald tot 30 ºC ontstaat een levensbedreigende situatie. De tijd die verstrijkt tussen

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden 7.0 Voorkennis Bij bepaalde aantallen graden hebben de sinus, cosinus en tangens een exacte oplossing. In deze gevallen moet je de exacte oplossing geven: hoek 30 45 60 sinus cosinus 2 tangens 3 3 3 2

Nadere informatie

Differentiaalrekening. Elementaire techniek van het differentieren.

Differentiaalrekening. Elementaire techniek van het differentieren. Differentiaalrekening Elementaire techniek van het differentieren. Saxion Hogescholen Oktober 2008 Differentiaalrekening Een van de belangrijkste technieken in de wiskunde is differentiaalrekening. Deze

Nadere informatie

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 21 juni uur

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 21 juni uur Eamen VW 017 tijdvak woensdag 1 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 74 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met

Nadere informatie

wiskunde B pilot havo 2016-I

wiskunde B pilot havo 2016-I De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt ( 1, 1 ) 3p 1 Stel een vergelijking op van c. De punten B( 3, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) 2 2 C liggen op c. Punt Q is het midden van

Nadere informatie

Dictaat Rekenvaardigheden. Loek van Reij

Dictaat Rekenvaardigheden. Loek van Reij Dictaat Rekenvaardigheden Loek van Reij 0 maart 006 i ii Voorwoord In het middelbaar onderwijs hebben zich de laatste jaren grote veranderingen voltrokken: de tweede fase met de daaraan verbonden profielkeuze

Nadere informatie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie begin van document Eindtermen vwo wiskunde (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie Domein Subdomein in CE moet in SE Vaardigheden 1: Informatievaardigheden X X : Onderzoeksvaardigheden

Nadere informatie

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde voor B. 1 Eenvoudige operaties en functies. 1. De bewerkingen optellen aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen worden

Nadere informatie

2.1 Lineaire functies [1]

2.1 Lineaire functies [1] 2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen

Nadere informatie

Hoofdstuk 9: Allerlei functies. 9.1 Machtsfuncties en wortelfuncties. Opgave 1: a. Opgave 2: a. de grafiek van y2. ontstaat uit die van y 1.

Hoofdstuk 9: Allerlei functies. 9.1 Machtsfuncties en wortelfuncties. Opgave 1: a. Opgave 2: a. de grafiek van y2. ontstaat uit die van y 1. Hoofdstuk 9: Allerlei functies 9. Machtsfuncties en wortelfuncties Opgave : a. 0,0, c. y en y d. y en y Opgave : a. de grafiek van y ontstaat uit die van y door T 0, T 0,6 y y 6 Opgave : a. T 6,0 T,0 c.

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores

Vraag Antwoord Scores Eindexamen havo wiskunde B pilot 0-II Beoordelingsmodel Windenergie maximumscore Als de 60 000 gigawattuur windenergie 0% van het totaal is, dan is de voorspelde totale energiebehoefte maximaal Het totaal

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

a) Bereken het middelpunt van van cirkel C, door omzetting van de gegeven formule.

a) Bereken het middelpunt van van cirkel C, door omzetting van de gegeven formule. RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO NG/NT KLAS 12 T212-HNGNT-H7911 Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. Antwoorden moeten altijd zijn voorzien van een berekening,

Nadere informatie

Differentiëren. Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden

Differentiëren. Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden Differentiëren Training met de rekenregels en de standaard afgeleiden Wisnet-HBO update maart 2011 Voorkennis Repeteer de standaardafgeleiden en de rekenregels voor differentiëren. Draai eventueel het

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde B Profi

Examen VWO. Wiskunde B Profi Wiskunde B Profi Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak Woensdag 1 juni 13.30 16.30 uur 0 00 Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie

Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden

Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Hoofdstuk 1 Formules, grafieken en vergelijkingen (H4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Les 1 Lineaire verbanden Definitie lijn Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = richtingscoëfficiënt

Nadere informatie

Uitwerkingen H10 Integraalrekening

Uitwerkingen H10 Integraalrekening Uitwerkingen H Integraalrekening. De tweede benadering is de beste. a. Onder de grafiek liggen nog witte vlakdelen. Boven de grafiek steken blauwe vlakdelen uit. c. Neem bijvoorbeeld rechthoeken.. Als

Nadere informatie