Reeksen. Convergente reeksen
|
|
- Gabriël Peters
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Reekse Reekse Defiitie, otatie e voorbeelde Defiitie: Eereeks is ee koppel ( ) {u } l, {s } l met s = u k = u l + u l+ + u l u + u k=l u l = s l, u = s s, = l +, l +2,... {u } l oemt me de termerij, {s } l de rij va partieelsomme va de reeks. Notatie: u = u l + u l+ + u l Voorbeelde: De harmoische reeks: = De harmoische wisselreeks: {s } =, 2, 5 6, 7 2,... = , {s } =, 3 2, 6, 25 2,... = De meetkudige reeks met rede q: ( ) + = , q, =0 s = q+ q wat s = +q + q q qs = q + q 2 + q q + = s ( q) = q + Reekse Deelreekse Covergete reekse Defiitie: Als{u k } ee deelrij is va {u } da is u k ee deelreeks va k u k. Voorbeeld: De harmoische wisselreeks = u = ( ) + = heeft deelreekse =0 u 2+ = =0 2+ = e 5 = u 2 = = 2 = Meer algemee spreke we over de deelreekse va de positieve (egatieve) terme va ee gegeve reeks e otere die als k J pos ( ) u k,resp. k J eg ( ) u k waarbij J pos () = {k k N, k, u k 0} e J eg () = {k k N, k, u k < 0} Covergete e divergete reekse Defiitie: u is coverget als lim s = s R. s oeme we de som va de reeks e we otere s = u. u is diverget als de rij {s } l iet covergeert. Voorbeeld: =0 q = lim q + q = q divergeert als q als q <
2 Reekse Ee odige e voldoede voorwaarde voor covergetie Covergete e divergete reekse Voorbeeld: = q = lim ( +)q + q + ( q) 2 = Het covergetiecriterium va Cauchy Stellig: Bewijs: ( q) 2 als q < u is coverget a.s.a. ɛ >0, N zodaig dat m N geldt: u + u u m <ɛ u cov. {s } l cov. {s } l is ee Cauchy rij, m.a.w. ɛ >0, N zodaig dat m N geldt: s m s < ɛ u + u u m < ɛ Gevolg: u is diverget a.s.a. ɛ >0, zodaig dat N, m, N met u + u u m ɛ Toepassig: Deharmoische reeks is diverget wat ɛ = 2,zodaigdat N, = = N +, m =2N met u + u u m = N+ + N N N 2N Reekse Covergetie criteria Nodige maar iet voldoede voorwaarde voor covergetie Als u covergeert da geldt dat lim u =0 Bewijs: Uit het covergetiecriterium va Cauchy volgt dat ɛ >0, N zodaig dat m = N geldt: u + u u m = u < ɛ Gevolg: Als lim u 0 divergeert de reeks. Voorbeeld: De meetkudige reeks =0 q divergeert als q. Opgelet: De voorwaarde lim u =0isiet voldoede voor covergetie. Voorbeeld: De reeks = divergeert e toch geldt lim =0 Als u covergeert da zij de rije {u } l e {s } l begresd. Gevolg: Als{s } l iet begresd is, divergeert de reeks. Voorbeeld: = divergeert wat s = = Opgelet: De begresdheid va {s } l is iet voldoede voor covergetie. Voorbeeld: =0 ( )+ divergeert e {s } l =, 0,, 0,,... is begresd
3 Reekse Voorwaardelijke e absolute covergetie Defiities e voorbeelde Stellig: Als u covergeert, covergeert ook Bewijs: Uit het covergetie criterium va Cauchy volgt dat ɛ >0, N zodaig dat m N geldt u + u u m < ɛ u + u u m < ɛ Defiities: Als u covergeert, oemt me u absoluut coverget. Als u covergeert, maar u divergeert, oemt me u voorwaardelijk coverget. Voorbeeld: Elke covergete meetkudige reeks ( q < ) is absoluut coverget. ( ) 2 =0 = ( 2 ) = 2, 3 2 =0 = =2 2 ( ) + Voorbeeld: De harmoische wisselreeks is voorwaardelijk coverget = u Reekse Voorwaardelijke e absolute covergetie Covergetie/divergetie va de deelreekse Beschouw u met de deelreekse k J ( ) pos u k = v e = k J ( ) eg u k = w. De deelreeks met de positieve terme covergeert (divergeert) als lim k= v k = v > 0 ( ). De deelreeks met de egatieve terme covergeert (divergeert) als lim k= w k = w < 0 ( ). Voor het covergetieoderzoek va u e u beschouwe we de limiete lim s = lim lim S = lim u k = lim k=l k J pos () u k = lim k=l u k + u k,resp. k J () eg u k k J () pos k J () eg u k = lim s v w v+w - - lim S v w v-w -
4 Reekse Voorwaardelijke e absolute covergetie Besluite e voorbeelde Ee reeks covergeert absoluut a.s.a. de deelreekse met positieve e egatieve terme beide covergere. Voorbeeld: =0 u = =0 ( ) 2 = ( 2 ) = 2 3 = v + w =0 u = =0 2 = =2=v w = v = = =0 4 = = 4 3 = v 4 = w = =( 2 ) v = 2 3 = w Als ee reeks voorwaardelijk covergeert, divergere beide deelreekse. Voorbeeld: = u = ( ) + = =log(2) = u = = divergeert = v = = =0 2+ divergeert = w = ( 2 )( ) divergeert 3 Als éé deelreeks covergeert e de adere divergeert, divergeert de reeks. Voorbeeld: Reekse Het Cauchy product va twee reekse Defiitie e stellig Defiities: De reeks w met w = u j v j = u 0 v + u v u v 0 =0 j=0 oemt me het Cauchy product va de reekse u e v. Verklarig: ( =0 u )( =0 v ) =0 =0 = (u 0 + u + u )(v 0 + v + v ) = u 0 v 0 + u 0 v +u 0 v 2 +u 0 v u v 0 +u v +u v 2 + u v u 2 v 0 +u 2 v + u 2 v 2 + u 2 v = w 0 + w +w 2 +w = =0 w =0 v absoluut Stellig: Als =0 u absoluut covergeert met som s e covergeert met som t, da covergeert ook =0 w absoluut met som st. Voorbeeld: We berekee het Cauchy product va de absoluut covergete meetkudige reekse =0 ( q) e =0 q.hierisu =( q), v = q e w = j=0 u j v j = j=0 ( q)j q j = q j=0 ( )j = q ( ( ) ) w 2 = q 2, w 2+ =0 =0 w = =0 w 2 + =0 w 2+ = =0 (q2 ) = q 2 = +q q
5 Reekse Covergetieteste Het Cauchy product bij voorwaardelijke covergetie Opgelet: De stellig is iet algemee geldig bij voorwaardelijk covergete reekse. ( ) Voorbeeld: Het Cauchy-product va de covergete reeks met zichzelf is =0 + ee divergete reeks, wat lim w 0,l. w = j=0 w 2 = ( ) j j ( ) j j+, w 2 = 2 j= j+ 2 j Covergetieteste bij reekse met positieve terme () De vergelijkigstest (2) De itegraaltest (3) De verhoudigstest (criterium va d Alembert) (4) Het klei criterium va Cauchy (5) De covergetietest va Raabe Reekse Covergetieteste De vergelijkigstest Stellig: Als N zodaig dat N geldt dat 0 u v,da v covergeert = covergeert u divergeert = v u divergeert Ee reeks met ee covergete majorate covergeert zelf ook, ee reeks met ee divergete miorate divergeert zelf ook. Voorbeeld : De reeks = 2 +si 2 3 covergeert wat geldt dat 0 2 +si e = 2 = ( ) =0 2 =2 Voorbeeld 2: De reeks =2 log 0 < log < = 0 < < log Voorbeeld 3: De reeks =0 0 < 2+2 < e de reeks 2+ =0 divergeert wat 2 geldt dat e de harmoische reeks = divergeert. 2+ divergeert wat 0 geldt dat 2+2 = 2 = divergeert.
6 Reekse De itegraaltest Covergetieteste Stellig: Zijf (x) 0 e daled op [, ) eziju = f (), da covergeert de reeks = u a.s.a. de oeigelijke itegraal f (x) dx covergeert. Bewijs: We beschouwe de reeks = v met v = + f (x) dx = v covergeert a.s.a. f (x) dx covergeert cov r eidig f (x) dx lim f (x) dx div r oeidig = v cov div lim f (x) dx lim v + v v eidig oeidig eidig oeidig = u covergeert a.s.a. = v covergeert, watf (x) is daled: f ( +) f (x) f (), x [, +] + f ( +)dx + f (x) dx + f () dx 0 u + v u e toepasse va de vergelijkigstest. Reekse De itegraaltest: toepassige De Dirichlet reeks Covergetieteste = p elke vaste p, verwijzed aar Voorbeelde: De reeks =2 = = covergeert voor elke vaste p > e divergeert voor 2 x p dx. is coverget, de reekse = e zij diverget. Meer algemee, als u c p,,dacovergeert de reeks u a.s.a. p >. De reeks p covergeert voor elke vaste p > e divergeert voor log elke vaste p. Bewijs: Alsp > covergeert de Dirichlet reeks e 3 geldt dat 0 < p log < p De reeks =2 log divergeert wat lim dx r x log x =. Ook voor p < divergeert de reeks wat geldt da dat 0 < log < p log r 2
7 Reekse Covergetieteste De verhoudigstest, iet limietvorm Stellig: Gegeve de reeks u met u > 0, l. Als s (0, ) e N zodaig dat N geldt dat u + s da covergeert de reeks. Als N zodaig dat u N geldt dat u + da divergeert de reeks. u Bewijs: (a) divergetie: N geldt u + u (b) covergetie: k geldt u N+ s u N u N+2 s u N+ =... u N+k s u N+k = u + u > 0= lim u 0 u N+ u N+2... u N+k u N u N+... u N+k s k u N+k u N s k 0 < u N+k u N s k De meetkudige reeks k=0 u N s k is ee covergete majorate voor k=0 u N+k.Ook u = N k=l u k + k=0 u N+k covergeert. Voorbeeld: De reeks = u = Opgelet: Als ekel geldt dat u + u =! covergeert wat u + u = + 2, <, N, is er gee algemee besluit. Voorbeeld: = 2 covergeert ( u + = 2 u (+) 2 <, ) = divergeert ( u + = <, ) u + Reekse Het criterium va d Alembert limes iferior, limes superior Defiities: M = lim sup x = lim v met v =sup{x, x +,...} m = lim if x = lim w met w =if{x, x +,...} Eigeschappe: ɛ >0, N N zodaig dat N geldt dat x < M + ɛ x > m ɛ M e m zij ophopigspute va {x } l, de limiet als M = m., De verhoudigstest, limietvorm Stellig: ZijM = lim sup u + e m = lim u if u +.AlsM < covergeert de u reeks u,alsm > is er divergetie, bijm M gee algemee besluit. Bewijs: (a)alsm < kieze we ee s (M, ) e dus s M > 0. Ergeldt u + ɛ >0, N zodaig dat N geldt: < M + ɛ u u + < s < u Uit de iet limietvorm va de verhoudigstest volgt de covergetie. (b) Zij m > : N zodaig dat N geldt u + > m (m ) = u Uit de iet limietvorm va de verhoudigstest volgt de divergetie. (c) = 2 e = zij voorbeelde waarbij M = m =
8 Reekse Covergetieteste De verhoudigstest, limietvorm 2 u Stellig: Zijμ = lim +.Alsμ< covergeert de reeks u u,alsμ> is er divergetie, bijμ = gee algemee besluit. Voorbeeld: = 2! covergeert wat lim u + u = lim 2 ( + ) = 2 e < Klei criterium va Cauchy Stellig: ZijΛ = lim sup u.alsλ < covergeert de reeks u,als Λ > is er divergetie, bijλ = gee algemee besluit. Bewijs: (a)alsλ< kieze we ee s (Λ, ). N zodaig dat N geldt: u < s 0 < u < s =0 s is ee covergete majorate va de gegeve reeks. (b) Λ > is ee ophopigsput va de rij { u } l. Er zij oeidig veel waarde waarvoor u > = u > = lim u 0. (c) = e = zij voorbeelde waarbij Λ = 2 Voorbeeld: = u = = covergeert wat lim u = lim =0 Reekse De test va Raabe ( Stellig: Als lim u ) + u c > e divergeert de reeks als c. Covergetieteste Voorbeeld: = divergeert wat lim covergeert wat lim ( 2 = 2 = c R da covergeert de reeks u als ( ) = lim + + =, (+) 2 ) = lim (2+) =2. Covergetieteste voor reekse met ook egatieve terme () Als N zodaig dat N geldt u 0: vorige teste toepasse (2) Als N zodaig dat N geldt u 0: u = ( u ) (3) Als N,, 2 N met u > 0eu 2 < 0 (3a) Beschouw u :Als u covergeert, is u absoluut coverget; i het adere geval is er gee algemee besluit. (3b) Beschouw de deelreekse k J ( ) pos e k J eg ( ) : Als beide deelreekse covergere, is de gegeve reeks absoluut coverget, als slechts éé va de deelreekse covergeert, is de gegeve reeks diverget. (3c) Is de reeks ee Leibiz reeks?
9 Reekse Covergetieteste De stellig va Leibiz Defiitie: Ee reeks waarva de terme afwisseled positieve e egatieve getalle zij, wordt ee altererede reeks of wisselreeks geoemd. Stellig: Ee wisselreeks ( ) + u met 0 < u + u, e lim u =0 = is coverget. Bewijs: We bewijze dat de deelrije {s 2 } e {s 2+ } 0 dezelfde limiet hebbe. de rij der eve partiëelsomme {s 2 } is stijged: s 2+2 = u u u 2 + u 2+ u 2+2 = s 2 + u 2+ u 2+2 s 2 de rij der oeve partiëelsomme {s 2+ } 0 is daled: s 2+3 = u u u 2+ u u 2+3 = s 2+ u u 2+3 s 2+ Elke oeve partiëelsom s l is groter da elke eve partiëelsom s k : Gegeve k, l, bepaal zodaig dat 2 > k = s k s 2 2 > l = s l s 2 = s k < s l s 2 = s 2 u 2 < s 2 {s 2 } heeft ee limiet α (stijged e aar bove begresd), {s 2+ } 0 heeft ee limiet β (daled e aar oder begresd) e β = lim s 2+ = lim s 2 + u 2+ = α = lim s = s = α = β Reekse Leibiz reekse Voorbeelde e eigeschap Voorbeelde: De harmoische wisselreeks covergete Leibiz reeks, = Eigeschap: ( ) + 2 = ( ) + is ee voorwaardelijk ee absoluut covergete. u 4 u 2 u 2 s u s 2 s 4... s 2 s 2+2 s 2+ s 2... s 3 s geldt: s s 2 < u 2 s s 2 < u 2+ } = s s < u + + u 5 + u 2+ + u 3 Toepassig: De berekeig va het getal π. ( ) x 2+ x [, ] geldt =bgtg(x) = s = k=0 =0 =0 ( ) 2 + = 4 bgtg () = π ( ) k 4 2k+ = ( ) 4 2+ π. Hoe groot moet zij opdat π s < 0 5? Het volstaat dat u + < 0 5 = < 0 5 of !!
10 Reekse Herschikkig va reekse Defiities e stellige Defiities: Derij{h } is ee herschikkig va de rij {u } als h = u f () met f ee bijectie va N op N. De reeks = h is ee herschikkig va de reeks = u als {h } ee herschikkig is va {u }. Voorbeeld: De reeks = h = is ee herschikkig va de harmoische wiselreeks (f (3m) =4m, f (3m +)=2m +, f (3m +2)=4m +2). Stellig: Als = u absoluut covergeert met som s, covergeert elke herschikkig = h ook absoluut coverget met som s. Voorbeeld: = h = = ( ) =0 2 = 2 3 Stellig: Als = u voorwaardelijk covergeert, daka α ee herschikkig = h gevode worde met som α. Bewijs: (Costructief) De deelreekse k J ( ) pos u k e k J eg ( ) u k zij beide diverget. Stel dat α>0. Neem da, i volgorde, positieve terme va de gegeve reeks tot ee som gevormd is die juist groter is da α. Neem da egatieve terme, eveees i volgorde, tot de som juist kleier is da α, da weer positieve terme tot de som juist groter is da α e ga zo verder. Het resultaat is ee herschikkig va de gegeve reeks die covergeert aar α, vermitslim u =0. Reekse Herschikkig va reekse Voorbeeld We costruere ee herschikkig va de harmoische wisselreeks (som log 2) die covergeert met som α =.5. Zij t = k= h k, lim t =.5 Oefeig: Costrueer ee herschikkig va h t h t ( ) + = met lim t =
Analyse 2 - SAMENVATTING
Aalyse 2 - SAMENVATTING willem va ravestei ihoudsopgave 01. Rije, eigeschappe e stellige 02. Deelrije, Cauchy, meetkudige e telescopische rij 03. Coverget of diverget? 04. Altererede rije e het wortelcriterium
Nadere informatieOefeningen Analyse II
ste Bachelor Igeieursweteschappe ste Bachelor Natuurkude/Wiskude Academiejaar 27-28 9 jui 28 Oefeige Aalyse II. Ee lichaam bove het xy-vlak met willekeurige hoogte wordt lags oder begresd door de cirkel
Nadere informatieTrigonometrische functies
Trigoometrische fucties Ileidig De meest gebruikelijke defiitie va de trigoometrische fucties cos e si berust op meetkudige cocepte (cirkel, hoek, driehoeke etc.) die buite het bestek va de aalyse valle.
Nadere informatien n n bedoelen we uiteraard dat n N : 0 f x divergeert naar + of.
Limiete Defiities a Limiet voor a I het hoofdstuk ratioale fucties i het begi va dit schooljaar zage we reeds dat zulke fucties soms perforatiepute hebbe De fuctiewaarde i zo put bestaat iet, maar de grafiek
Nadere informatieFuncties, Rijen, Continuïteit en Limieten
Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, 2-0 Cotiuïteit e Limiete Fucties, Rije, Cotiuïteit e Limiete Ihoud 1. Fucties Defiitie e kemerke / bewerkige op fucties Reële fucties va éé reële veraderlijke
Nadere informatieConvergentie, divergentie en limieten van rijen
Covergetie, divergetie e limiete va rije TI-spire e rije 7N5p GGHM 22-23 Eigeschappe rekekudige rij b = begiwaarde v = verschil tusse twee opeevolgede terme recursieve formule: u = u + v met u = b directe
Nadere informatieUITWERKINGEN VOOR HET VWO NETWERK VWO B2
UITWERKINGEN VOOR HET VWO NETWERK VWO B HOOFDSTUK 9 KERN RIJEN a) Zie ook plaatje..., wat ieder mes schudt de had va twee adere. Dele door twee, wat bij de worde de pare hade dubbel geteld. b) c) d) ;
Nadere informatieFourierreeksen. Calculus II voor S, F, MNW. 14 november 2005
Fourierreekse Calculus II voor S, F, MNW. 14 ovember 2005 Deze tekst is gedeeltelijk gebaseerd op het Aalyse BWI I dictaat e op aatekeige va Alistair Vardy. 1 Ileidig Het is vaak belagrijk ee gegeve fuctie
Nadere informatieHoofdstuk 1 Rijen en webgrafieken
Hoofdstuk Rije e wegrafieke Voorkeis: Rije ladzijde V-a u 7 + v +, c De vergelijkig 7 + +, oplosse geeft, e dus 8. Ze hee eide 8 rode gelope. V- u, u met u V-a u + ( ) + + s u + u + u +... + u + + 8 +
Nadere informatieVideoles Discrete dynamische modellen
Videoles Discrete dyamische modelle Discrete dyamische modelle Orietatie Algebraisch Algebraisch/ umeriek Numeriek Maak de volgede rijtjes af: Puzzele met rijtjes a. 2 4 6 8 10 - b. 1 2 4 8 16 - c. 1 2
Nadere informatieAppendix A: De rij van Fibonacci
ppedix : De rij va Fiboacci Het expliciete voorschrift va de rij va Fiboacci We otere het het e Fiboaccigetal met F De rij va Fiboacci wordt gegeve door: F F F F 4 F F 6 F 7 F De volgede afleidig is gebaseerd
Nadere informatie2. Limiet van een rij : convergentie of divergentie
2. Limiet va ee rij : covergetie of divergetie 2. Eigelijke of eidige limiet 2.. Voorbeeld I ee bos staa 4 bome. De diest bosbeheer zal jaarlijks 2% bome kappe e ieuwe aaplate. Zal het bos verdwije? Zal
Nadere informatiePraktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling
Praktische opdracht: Complexe getalle e de Julia-verzamelig Auteur: Wiebe K. Goodijk, Zerike College Hare Beodigde Voorkeis: 1 = i Het complexe vlak. Notatie: z = a + bi of z = r(cosϕ + i si ϕ) Regel va
Nadere informatie1. Hebben de volgende rijen een limiet, en zo ja, bepaal die dan: (i) u n = sin(πn) (d) u n = cos(2πn) (l) u n = log n
Hoofdstuk 1 Limiet va ee rij 1.1 Basis 1. Hebbe de volgede rije ee iet, e zo ja, bepaal die da: (a) 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... (b) 1, 4, 9, 16, 5, 36, 49,... (c) 1, 8, 7, 64, 15,... (d) u = ( 1) (e) u =
Nadere informatieopgave Opgave Bepaal de convergentiestralen van de volgende machtreeksen: (n + 1)! n! = lim n = lim (n + 1)!/(2n + 2)! n!/(2n)!
opgave 7 7 Bepaal de covergetiestrale va de volgede machtreekse: a!z ; b! (! z ; c 3 z! ; d z! a Zij a!, da lim ( +!! ( +, dus R 0 b Zij a!, da (! lim ( +!/( +!!/(! ( + 0, dus R c Zij a 3, da! lim 3 +
Nadere informatieEen meetkundige constructie van de som van een meetkundige rij
Ee meetkudige costructie va de som va ee meetkudige rij [ Dick Kliges ] Iets verder da Euclides deed Er wordt door sommige og wel ees gedacht dat Euclides (hij leefde rod 300 v. Chr.) allee over meetkude
Nadere informatieWPP 5.2: Analyse. Oplossing onderzoeksopdrachten
WPP 5.: Aalyse oderzoeksopdrachte Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 0 Limiet va ee rij : defiities Beschouw de rij u :,,, 4,.... Bepaal de algemee term u. Via PC / GRT bepaal je de tabel e teke je
Nadere informatieNETWERK B2 UITWERKINGEN VOOR HET VWO. HOOFDSTUK 10 CONVERGENTIE Kern 1 LIMIETEN. u 2 u 1. u 3. u 4. u 5. u 7
UITWERKINGEN VOOR HET VWO NETWERK B a) 7 log 7 7 log 7 7 b) 7 a) Niet b) Wel c) Niet ) HOOFDSTUK CONVERGENTIE Ker LIMIETEN Hee f t Ci j f ers log 7 7 log 7 7 77 ) µ Hee f t Ci j f ers a) µ ; µ ; ; µ ;
Nadere informatieOplossingen extra oefeningen: rijen (leerstof RR, leerstof MR)
Oplossige extra oefeige: rije (leerstof RR, leerstof MR) Beschouw de rij ( u ) = 3,5,9,7,33, () Geef de volgede twee terme uit deze rij ( u e u 7) Defiieer deze rij (je mag kieze tusse ee expliciete of
Nadere informatieUitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Rijen
Uitwerkige ij _0 Voorkeis: Rije V_ a U = 7 + U = +,5 7 + = +,5 0,5 = 4 = 8 Na 8 rode krijge ze elk,-. V_ U() =, 06 U( ) met U(0) = 500 e U() het eidedrag a jaar. V_ a u 458 8 r u 8 9 4 = = = dus 5 u5 8
Nadere informatiePARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens
PARADOXEN 9 Dr Luc Gheyses LIMIETEN, AFGELEIDEN EN INTEGRALEN: ENKELE MERKWAARDIGE VERHALEN Ileidig: verhale over ifiitesimale Ee ifiitesimaal (of ifiitesimaal kleie waarde) is ee object dat mi of meer
Nadere informatie2.6 De Fourierintegraal
2.6 De Fourieritegraal We vertrekke va de Fourierreeks i complexe vorm: voor g : [ π,π] C kue we schrijve met g(t) α e it, α 1 Z π g(t)e it dt. 2π π We herschrijve deze formules eerst voor ee fuctie f
Nadere informatieOngelijkheden. IMO trainingsweekend 2013
Ogelijkhede IMO traiigsweeked 0 Deze tekst probeert de basis aa te brege voor het bewijze va ogelijkhede op de IMO. Het is de bedoelig om te bewijze dat ee bepaalde grootheid (ee uitdrukkig met ee aatal
Nadere informatiePolynomen groep 2. Trainingsweek, juni Complexe nulpunten. Een polynoom is van de vorm P (x) = n
Polyome groep 2 Traiigsweek, jui 2009 Complexe ulpute Ee polyoom is va de vorm P (x) = i=0 a ix i, met coëfficiëte a 0, a 1,..., a, die uit ee gegeve verzamelig kome (meestal Z of R). Als alle coëfficiëte
Nadere informatie4 Differentierekening en reeksen
WIS4 4 Differetierekeig e reekse 4. Delt Differeties Differetierekeig bestudeert de differetie-opertor, gedefiieerd door f(x) = f(x + ) f(x) Vergelijk dit met differetilrekeig: de fgeleide-opertor D is
Nadere informatieHOOFDSTUK III. SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters en Betrouwbaarheidsintervallen. Theorie Statistiek Les 6
HOOFDSTUK III SCHATTEN VAN PARAMETERS Schatters e Betrouwbaarheidsitervalle 3. HET GEMIDDELDE VAN EEN NV Steekproef uit ee ormaal verdeelde populatie De kasveraderlijke X, X, X 3,..., X zij N(µ, σ) verdeeld
Nadere informatiePeriodiciteit bij breuken
Periodiciteit bij breuke Keuzeodracht voor wiskude Ee verdieede odracht over eriodieke decimale getalle, riemgetalle Voorkeis: omrekee va ee breuk i ee decimale vorm Ileidig I deze odracht leer je dat
Nadere informatie4.1 Rijen. Inhoud. Convergentie van een reeks. Reeksen. a k. a k = lim. a k = s. s n = a 1 + a 2 + + a n = k=1
Reesen en Machtreesen Reesen en Machtreesen 4-0 Reesen en Machtreesen Inhoud. Rijen 2. Reesen Definities en enmeren Reesen met niet-negatieve termen Reesen met positieve en negatieve termen 3. Machtreesen
Nadere informatieKanstheorie. 2de bachelor wiskunde Vrije Universiteit Brussel. U. Einmahl
Kastheorie 2de bachelor wiskude Vrije Uiversiteit Brussel U. Eimahl Academiejaar 2011/2012 Ihoudsopgave 1 Kasruimte 1 1.1 Toevallige experimete................................. 1 1.2 De axioma s va Kolmogorov.............................
Nadere informatieIteratie is het steeds herhalen van eenzelfde proces, verwerking op het bekomen resultaat. Verwerking
1. Wat is iteratie? Iteratie is het steeds herhale va eezelfde proces, verwerkig op het bekome resultaat. INPUT Verwerkig OUTPUT Idie de verwerkig gebeurt met ee (reële) fuctie geldt voor ee startwaarde
Nadere informatieElementaire speciale functies
ANALYSE 1A, Ivoerig Elemetaire Speciale Fucties p.1 Elemetaire speciale fucties 1. Differetieerbaarheid zie syll. Calculus Ia, II.1.1 of Browder, Ch. 4). Zij I ee iterval, a ee iwedig put va I e f: I R
Nadere informatieWe kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen:
Masteropleidig Fiacial Plaig Kwatitatieve Methode Relevate wiskude We kee i de wiskude de volgede getalleverzamelige: De atuurlijke getalle: N = {0,,,,4, } De gehele getalle: Z = {, -,-,-,0,,,, } (egels:
Nadere informatieInleiding. 1. Rijen. 1.1 De rij van Fibonacci. 2 Zou je deze regelmatigheden kunnen verklaren met wiskunde? déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå=téíéåëåü~éééå=
Ileidig Waarom vorme zoebloempitte 2 bochte i de ee richtig e 34 i de adere? E wat heeft ee huisjesslak te make met + 5 2 Zou je deze regelmatighede kue verklare met wiskude? Heeft wiskude cocrete toepassige
Nadere informatieDit geeft ee voorwaarde die slechts afhagt va de begiwaarde va de `basisoplossige' (bij (3) is die voorwaarde a b a b 0). Hoe ka me twee lieair oafhak
Lesbrief 5 Recurreties e ogelijkhede Recursief gedefiieerde rije Er zij getallerije {a } die voldoe aa ee recurrete betrekkig va de vorm a +k = f(a +k ;a +k ;:::;a ) voor = ; ;:::, waardoor de + k-de term
Nadere informatieOpgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100...
Opgave OPGAVE 1 a. Itereer met F( ) = e als startwaarde 1 e 1. 16 1............... 16 1............... b. Stel de bae grafisch voor i ee tijdgrafiek. c. Formuleer het gedrag va deze bae. (belagrijk is
Nadere informatieKansrekenen [B-KUL-G0W66A]
KU Leuve Kasrekee [B-KUL-G0W66A] Notities Tom Sydey Kerckhove Gestart 8 februari 2015 Gecompileerd 9 februari 2015 Docet: Prof. Tim Verdock Ihoudsopgave 1 Combiatoriek 2 1.1 Variaties..........................................
Nadere informatieStatistiek 2 voor TeMa Associaties tussen kwalitatieve variabelen. Statistiek 2 voor TeMa Associaties tussen kwalitatieve variabelen
Statistiek voor TeMa Associatiemate Is er ee verbad (associatie) tusse variabele? atwoord: -value -toets Ka ee evetuele afhakelijkheid i ee steekroef ook daadelijk worde gedetecteerd? atwoord: oderscheidigsvermoge
Nadere informatie1. Gegeven is het polynoom P (z) = z 4 + 4z 3 + 6z 2 + 4z + 5 met z C.
Radboud Uiversiteit Tetame Calculus A NWI-WP5 ovember 7, 5.45 8.45 Het gebruik va ee rekemachie/gr, telefoo, boek, aatekeige e.d. is iet toegestaa. Geef precieze argumete e atwoorde. Zorg dat uw redeerige
Nadere informatie1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde
Recursievergelijkige va de e orde Rekekudige rije Het voorschrift va ee rekekudige rij ka gegeve wordt met de volgede recursievergelijkig: u = u + b Idie we deze vergelijkig i de vorm u = u u = b otere
Nadere informatieBass eenheden in ZG.
Bass eehede i ZG. 2 Hoofdstuk 1 Bass eehede 1.1 Cyclotoische eehede i Z(ɛ ) Als G ee abelse groep is, da zij de bicyclische eehede i ZG alleaal triviaal. We oete i die situatie dus op zoek gaa aar adere
Nadere informatieHet andere binomium van Newton Edward Omey
Ileidig Het adere biomium va Newto Edward Omey Bija iederee heeft tijdes ij studies eis gemaat met de biomiale coëf- ciëte of getalle Dee worde diwijls voorgesteld oder de vorm die door Blaise Pascal (6-66)
Nadere informatiedéäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå
déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå téíéåëåü~éééå táëâìåçé oáàéå e~åë=_éâ~éêí oçöéê=i~äáé iéçå=iéåçéêë hçéå=píìäéåë 4, LUC Diepebeek (België), Geboeid door Wiskude e Weteschappe Niets uit deze uitgave mag worde verveelvoudigd
Nadere informatieRijen. 6N5p
Rije 6N5p 0-03 Rije Ileidig I de wiskude werke we vaak met formules e/of fucties die elke mogelijke waarde aa kue eme. Als bijvoorbeeld f( x) = 5x + 5x 3, da ku je voor x (bija) elke waarde ivulle e ka
Nadere informatieOngelijkheden groep 2
Ogelijkhede groep 2 Jese e Muirhead Traiigsweek 8 13 jui 2009 1 Jese Defiitie covex) Zij f : R R ee fuctie. We oeme f covex op [a, b] als voor elke x, y [a, b] geldt de koorde met eidpute x, fx)) e y,
Nadere informatieUitwerkingen toets 11 juni 2011
Uitwerkige toets 11 jui 2011 Opgave 1. Laat 2 e k 1 gehele getalle zij. I ee lad zij stede e tusse elk paar stede is ee busverbidig i twee richtige. Laat A e B twee verschillede stede zij. Bewijs dat het
Nadere informatieB C D E Welke rij is noch een Rekenkundige. noch een Meetkundige Rij? A B C D E
Naam : Klas:.Datum: Ma 0 sept. 00 Rechterkat als kladblad gebruike A. 5067 De rij x, x+, x+,... is rekekudig als x gelijk is aa ) ) ) 4) 4 5) 0 6) 4 7) 8) ee getal tusse e 0 B. 57 80 De legtes a, b e c
Nadere informatie1) Complexe getallen - definitie
Complexe getalle ) Complexe getalle - defiitie a) Meetkudige betekeis va het getal i Als je ee reëel getal met ee ader reëel getal vermeigvuldigt, wordt zij afstad tot de oorsprog met dit getal vermeigvuldigd
Nadere informatieJulian gooit 20 keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat hij precies 5 keer een zes gooit.
- Test Hfst D kasrekeig - Kase ofwel exact ofwel afgerod op decimale geve. ( x p) Tim gooit drie keer met ee gewoe dobbelstee. Na zij derde worp telt hij het aatal oge va de drie worpe bij elkaar op. Bereke
Nadere informatieAnaloge Elektronika 1 FREKWENTIERESPONSIE
Aaloge Elektroika FEKWENTIEESPONSIE Als me aa ee lieair systeem ee sius aalegt, da meet me aa de uitgag ook ee sius, met dezelfde frekwetie maar met ee adere amplitude e ee adere faze (figuur ). (t) V
Nadere informatie3 Meetkundige voorstelling van complexe getallen
3 Meetkudige voorstellig va complexe getalle 31 Complexe getalle als pute va ee vlak Complexe getalle zij geïtroduceerd als pute va ee vlak tov ee orthoormaal assestelsel Ee dergelijk assestelsel is odig
Nadere informatie1. Weten dat in het geval van compressoren rekening moet gehouden worden met thermische effecten
Hoofdstuk 4 Compressore Doelstellige 1. Wete dat i het geval va compressore rekeig moet gehoude worde met thermische effecte 2. Wete dat er ee gres is aa het verhoge va de druk va ee gas 3. Wete welke
Nadere informatieWISKUNDE 5 PERIODEN DEEL B
EUROPEES BACCALAUREAAT 2012 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 11 jui 2012, ochted DUUR VAN HET EXAMEN: 3 uur (180 miute) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Exame met techologisch hulpmiddel 1/6 NL VRAAG B1 ANALYSE Blz.
Nadere informatieEen toelichting op het belang en het berekenen van de steekproefomvang in marktonderzoek.
006 Wolters-Noordhoff bv Groige/Houte De steekproefomvag Ee toelichtig op het belag e het berekee va de steekproefomvag i marktoderzoek. Ihoud 1 Ileidig Eerst ekele defiities 3 Steekproefomvag e respose
Nadere informatieComplexe getallen. c(a+ib)=ca+i(cb) id(a+ib)=i(ad)+i 2 (bd)=(-bd)+i(ad) (a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i 2 (bd)= ac-bd+i(ad+bc)
. Ileidig: Complexe getalle I de wiskude stelt zich het probleem dat iet bestaat voor de reële getalle of dat de vergelijkig x + 0 gee reële ulpute heeft. Om dit euvel op te losse werd het getal i igevoerd
Nadere informatieKanstheorie. 2de bachelor wiskunde Vrije Universiteit Brussel. U. Einmahl
Kastheorie 2de bachelor wiskude Vrije Uiversiteit Brussel U. Eimahl Academiejaar 208/209 Ihoudsopgave Kasruimte. Toevallige experimete..................................2 De axioma s va Kolmogorov.............................
Nadere informatie1) Definitie, rekenkundige en meetkundige rijen
Rije ) Defiitie, reeudige e meetudige rije ) Defiitie e ottie Ee rij is ee fbeeldig v u : u, u, u,, u, N i R We otere ee rij ls ( ) 3 Hierbij zij u, u, u 3, de terme v die rij, e u is de lgemee term v
Nadere informatieDeel A. Breuken vergelijken 4 ----- 12
Deel A Breuke vergelijke - - 0 Breuke e brokke (). Kleur va elke figuur deel. Doe het zo auwkeurig mogelijk.. Kleur va elke figuur deel. Doe het telkes aders.. Kleur steeds het deel dat is aagegeve. -
Nadere informatieHoofdstuk 6 : Veeltermen
- 8 - Hoofdstuk 6 : Veelterme Evetjes herhale! Veelterme i éé obepaalde: Elke uitdrukkig va de gedaate a 0 + a + a +... + a + a + a0 waarbij a a, a,... 0, a R e N oeme we e veelterm i de obepaalde Beamige
Nadere informatieDus n n (a + b) n = a n + a n 1 b + heet een binomiaalcoëfficiënt (uitspraak n boven k ). Newton vond de
CONTINUE WISKUNDE: BINOMIUM VAN NEWTON EN RECURRENTE BETREKKINGEN Het Biomium va Newto Het Biomium va Newto is ee uitdruig voor a + b), waarbij a e b willeeurige getalle zij, e ee atuurlij getal I deze
Nadere informatieDe speler die begint mag in zijn eerste beurt niet alle stenen pakken.
Nim Het spel: Op tafel ligt ee stapel stee (meer da éé). Twee spelers eme om beurte stee va de stapel. De speler die begit mag i zij eerste beurt iet alle stee pakke. De speler die aa de beurt is mag iet
Nadere informatieSamenvatting. Fouriertheorie en distributies. Fourier en Schwartz. De warmtevergelijking. De exacte benadering
Samevattig Fouriertheorie e distributies De exacte beaderig Ileidig 2 De warmtevergelijkig Ja Wiegerick Korteweg - de Vries Istituut voor Wiskude Uiversiteit va Amsterdam 27 september 22 3 Oplossig door
Nadere informatieZ.O.Z. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 2016, 12:30 15:30 (16:30)
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 016, 1:30 15:30 (16:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van aantekeningen
Nadere informatiewiskunde A pilot vwo 2016-I
wiskude A pilot vwo 06-I Aalscholvers e vis maximumscore 3 De viscosumptie per dag is 30 0 0,36 + 696 0, 85 ( 788 (kg)) I de maad jui is dit 30 788 (kg) Het atwoord: 38 000 ( 38 duized) (kg) Als ee kadidaat
Nadere informatieBevolkingsevolutie en prijsevolutie: rijen en de TI-89
Bevolkigsevolutie e prijsevolutie: rije e de TI-89 Joha Deprez, EHSAL Brussel - K.U. Leuve. Ileidig Deze tekst is bedoeld als keismakig met de symbolische rekemachie TI-89 va Texas Istrumets. We geve gee
Nadere informatieOefeningen op Rijen. Leon Lenders, Bree
Oefeige op Rije Leo Leders, Bree I de tekst staa ee aatal oefeige i verbad met rije. De moeilijkere oefeige zij volledig uitgewerkt. Volgede oderwerpe kome aa bod : Plooie va ee blad papier Salaris Het
Nadere informatie6 Het inwendig product
6 Het iwedig prdct Te algebra e meetkde gescheide vakke ware, was h vrtgag lagzaam e h t beperkt Maar sids beide vakke zij vereigd, hebbe ze elkaar derlig versterkt e zij ze gezamelijk pgetrkke aar perfectie
Nadere informatieHET BELANG VAN. Vragen Tijdens de voordracht op 14 augustus 2007 hebben we de volgende vragen besproken.
HET BELANG VAN KP HART Vrage Tijdes de voordracht op augustus 007 hebbe we de volgede vrage besproke. Hoe ku je izie dat ee vierkat, bij gegeve omtrek, de rechthoek met de maximale oppervlakte is? Hoe
Nadere informatieCombinatoriek. Nota s in samenwerking met Anja Struyf en Sabine Verboven (Universiteit Antwerpen)
1 Combiatoriek Nota s i samewerkig met Aja Struyf e Sabie Verbove (Uiversiteit Atwerpe) I het dagelijkse leve worde we vaak gecofroteerd met vraagstukke waarva de oplossig het telle va het aatal elemete
Nadere informatieRijen en reeksen. Mei 2008. Remy van Bergen Peter Mulder
Rije e reekse Keuzeoderwerp Atheeum 5 wiskude B e B Mei 008 Remy va Berge Peter Mulder Dit boekje gaat over rije e reekse. Wiskudige rije! Rije worde i de wiskude op verschillede maiere gedefiieerd. Met
Nadere informatie7.1 Recursieve formules [1]
7.1 Recursieve formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is ee getallerij. De getalle i de rij zij de terme. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is de vijfde term (u
Nadere informatieOp het internet is heel wat bijkomend materiaal te vinden over dit onderwerp. We vermelden een tweetal URL s:
Fiboacci: joger da je dekt! -- Ileidig Het documet dat voorligt is opgesteld door ere-pedagogisch begeleider Walter De Volder. Oze bijzodere dak e waarderig gaa da ook volledig aar hem: va zij vele ure
Nadere informatieNieuwe wiskunde tweede fase Profiel N&T Freudenthal instituut. Eindeloze Regelmaat
Nieuwe wiskude tweede fase Profiel N&T Freudethal istituut Eideloze Regelmaat Eideloze Regelmaat Project: Wiskude voor de tweede fase Profiel: N&T Domei: Voortgezette Aalyse Klas: VWO 6 Staat: Herziee
Nadere informatieEindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II
Groepsfoto s Alle mese kippere met hu oge. Daardoor staa op groepsfoto s vaak ekele persoe met geslote oge. Sveso e Bares hebbe oderzocht hoeveel foto s je moet make va ee groep va persoe om 99% kas te
Nadere informatieUITWERKINGEN TOETS TRAININGSKAMP. Valkenswaard, 10 juni 2006
UITWERKINGEN TOETS TRAININGSKAMP Valkeswaard, 0 jui 006 Opgave. Als we ee verzamelig pute i de ruimte hebbe, moge we ee put va de verzamelig spiegele i ee ader put va de verzamelig e het beeld hierva toevoege
Nadere informatieUitwerkingen huiswerk week 7
Lieaire algebra ajaar 008 Uitwerkige huiswerk week 7 Opgave 5 Ee -matrix va de vorm 1 a 1 a 1 a 1 a a a A 1 a 3 a 3 a 1 a a a 1 a1 1 a 1 3 a3 1 a 1 heet ee Vadermode matrix Laat zie dat det A 1 i
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - II
Eideame wiskude B vwo 200 - II Sijde met ee hoogtelij Op ee cirkel kieze we drie vaste pute, B e C, waarbij lijstuk B gee middellij is e put C op de kortste cirkelboog B ligt. Ee put doorloopt dat deel
Nadere informatiebeheersorganisme voor de controle van de betonproducten Tel. (02) Fax (02) RN 001 REGLEMENTAIRE NOTA
PROBETON Vereigig zoder wistoogmerk beheersorgaisme voor de cotrole va de betoproducte Aarlestraat 53 - B9 040 Brussel Tel. (0) 37.0.0 Fax (0) 735.3.5 e-mail : mail@probeto.be website : www.probeto.be
Nadere informatieUitwerkingen huiswerk week 7
Lieaire algebra ajaar 009 Uitwerkige huiswerk week 7 Opgave 19. Ee -matrix va de vorm 1 a 1 a 1 a 1 a a a A = 1 a 3 a 3 a.... 1 a a a 1 a1 1 a 1 3 a3 1. a 1 heet ee Vadermode matrix. Laat zie dat det A
Nadere informatieVOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodelle e ormaal verdeelde steekproefgroothede 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1.
Nadere informatieRijen met de TI-nspire vii
Rije met de TI-spire vii De tore va Pisa Me laat ee bal valle vaaf de tore va Pisa(63m hoog) Na elke keer stuitere haalt de bal og ee vijfde va de voorgaade hoogte. Gevraagd zij: a) De hoogte a de e keer
Nadere informatieVOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS. Verklarende statistiek. 6. Proporties. Werktekst voor de leerling. Prof. dr. Herman Callaert
VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Verklarede statistiek 6. Werktekst voor de leerlig Prof. dr. Herma Callaert Has Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vacaudeberg 1. Ee ieuwe aam voor ee gekede grootheid...2
Nadere informatie0 niet gedefinieerd is).
Mchte 1) Mchte et gehele exoete Volgede defiities kee we l ekele jre,...... 1 fctore (erk o dt iet gedefiieerd is). 1, Je ket ook l ee hele tijd de ekede rekeregels,,.,,,,,,.,, ) Vierktswortels e -de chtswortels
Nadere informatie0 niet gedefinieerd is).
Mchte 1) Mchte et gehele exoete Volgede defiities kee we l ekele jre fctore R, N R (erk o dt iet gedefiieerd is) 1 1 R, N Je ket ook l ee hele tijd de ekede rekeregels R,, Z R,, Z R Z,,,, R Z, R, Z R )
Nadere informatieBewijzen voor de AM-GM-ongelijkheid
Bewijze voor de AM-GM-ogelijkheid Prime Ee beroemde olympiadeogelijkheid is de ogelijkheid tusse het rekekudig gemiddelde (AM, arithmetic mea) e het meetkudig gemiddelde (GM, geometric mea). Voor ee gegeve
Nadere informatieCorrectievoorschrift VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
Wiskude B, (ieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereided Weteschappelijk Oderwijs 0 0 Tijdvak Izede scores Uiterlijk op jui de scores va de alfabetisch eerste vijf kadidate per school op de daartoe
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 30 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 33 Outline 1 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen
Nadere informatieWaarschijnlijkheidsrekening en Statistiek
Vrije Uiversiteit Brussel Faculteit Toegepaste Weteschappe Waarschijlijkheidsrekeig e Statistiek S. Caeepeel e P. de Groe Syllabus bij de cursus Waarschijlijkheidsrekeig e Statistiek Tweede Kadidatuur
Nadere informatieEquidistributie en ergodiciteit
Equidistributie e ergodiciteit Michiel Lieftik, Wouter Rieks, Mike Daas 9 december 207 Ileidig Beschouw ee situatie waari me ee grote verzamelig umerieke data tot zij beschikkig heeft Ee vraag die me zich
Nadere informatieMachtsfuncties en wortelfuncties. Introductie 177. Leerkern 178
Ope Ihoud Uiversiteit leereeheid 6 Wiskude voor ilieuweteschappe Machtsfucties e wortelfucties Itroductie 77 Leerker 7 Machtsfucties et ee atuurlijk getal als epoet 7 Machtsfucties et ee egatief geheel
Nadere informatiefíéê~íáéi=çóå~ãáëåüé=éêçåéëëéå=éå= åìãéêáéâé=ãéíüççéå=
fíéê~íáéiçóå~ãáëåüééêçåéëëéåéå åìãéêáéâéãéíüççéå oçöéêi~äáé hçéåpíìäéåë Iteratie, dyamische processe e umerieke methode Roger Labie Koe Stules www.scholeetwerk.be 005, UHasselt (België), Scholeetwerk Weteschappe
Nadere informatieAnalyse I. 2. Formuleer en bewijs de formule van Taylor voor een functie f : R R. Stel de formules op voor de resttermen van Lagrange en Liouville.
Academiejaar 006-007 1ste semester februari 007 Analyse I 1. Toon aan dat elke begrensde rij een convergente deelrij heeft. Geef de definitie van een Cauchy rij, en toon aan dat elke Cauchy rij begrensd
Nadere informatieHoeveel getallen van 2 verschillende cijfers kan je vormen met de cijfers 1,4,7,8? tweede cijfer 4 7 8 1 7 8 1 4 8 1 4 7
Hoofdstu Combiatorie. Basisregels Combiatorie is de studie va telprobleme. De ust va het telle bestaat vaa uit het codere of aders voorstelle va het telprobleem, zodat het uiteidelij volstaat om de volgede
Nadere informatieC p n = C p (2000) Zet op de volgende uitdrukking gelijke noemer. 1 (p + 1)!n! + 1. (n + 1)!p! (a 3 2 a 2 )15
Combiatieleer. (99 Op hoeveel maiere kue 8 studete verdeeld worde i groepe als elke groep uit mistes studet moet bestaa.. (99 Hoeveel terme elt ee homogee veelterm va graad 5 i 3 obepaalde x, y e, z? 3.
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Exame HAVO 2013 tijdvak 2 woesdag 19 jui 13.30-16.30 uur wiskude A Bij dit exame hoort ee uitwerkbijlage. Dit exame bestaat uit 21 vrage. Voor dit exame zij maximaal 80 pute te behale. Voor elk vraagummer
Nadere informatiewiskunde A pilot vwo 2017-II
wiskude A pilot vwo 07-II Gewicht va diere maximumscore 4 Het opstelle va de vergelijkige 3, 7 = a b e 50 = a 000 b 3, 7 Uit de eerste vergelijkig volgt a = 3, 7 b = De tweede vergelijkig wordt hiermee
Nadere informatied 25, 35, 47 of27, 43, 69 b 2, 27, 10240, 100, e = 287 u( n) = 243 ( ) n
Netwerk 4-5 vwo wiskude D Hoofdstuk 8 uitwerkige Hoofdstuk 8 Ker a 3, 37, 43 c 5, 3, 49 b, 3, d 5, 35, 47 of7, 43, 9 a,, 3, 5, 7 d 0,,,, 0 b, 7,, 3, 8 e 35, 35, 35, 35, 35 c 5, 0, 0, 40,80 f 0,, 8, 7,
Nadere informatieToelichting bij Opbrengstgegevens VAVO 2011-2013
Toelichtig bij Opbregstgegeves VAVO 2011-2013 Ihoud Ileidig Aatal deelemers exame Kegetalle toezicht exames CE-cijfer alle vakke CE-cijfer alle vakke - tred SE-cijfer mius CE cijfer alle vakke Percetage
Nadere informatie2 Veelhoeken 1 REGELMATIGE VEELHOEKEN
Veelhoeke 1 EGELMATIGE VEELHOEKEN Voor meetkudige figure met meer da vier zijde geruike we vaak de verzamel aam veelhoeke. Als we te make hee met regelmatige veelhoeke, kue we hu omtrek e oppervlakte erekee
Nadere informatie2de bach TEW. Statistiek 2. Van Driessen. uickprinter Koningstraat Antwerpen ,00
de bach TEW Statistiek Va Driesse Q www.quickpriter.be uickpriter Koigstraat 3 000 Atwerpe 46 5,00 Nieuw!!! Olie samevattige kope via www.quickpritershop.be Hoofdstuk : Het schatte va populatieparameters.
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatie