FOURIERTHEORIE. Yu.A. Kuznetsov en J. Stienstra

Transcriptie

1 FOURIERTHEORIE Yu.A. Kuznetsov en J. Stienstra c Departement Wiskunde Universiteit Utrecht 29

2 Voorwoord Fouriertheorie geeft middelen (Fourierreeksen, Fourierintegralen) die voor de natuurkunde en techniek (o.a. optica, kristallografie, quantummechanica, signaalverwerking) van fundamenteel belang zijn en laat zien hoe hiermee enkele belangrijke gewone differentiaalvergelijkingen (bvb. voor mechanische en elektrische oscillatoren) en partiële differentiaalvergelijkingen (zoals de golf- en warmtevergelijking) efficiënt kunnen worden behandeld. Uitgangspunt van deze theorie is dat veel functies kunnen worden opgebouwd als een soort lineaire combinatie van zekere eenvoudige basisfuncties. Deze eenvoudige basisfuncties kunnen het best worden beschreven als e-machten van complexe getallen; sinussen en cosinussen doen het ook goed als basisfuncties, maar zijn toch iets minder handig dan de complexe e-machten. Het soort lineaire combinaties dat men nodig heeft is van de vorm c n e inx n Z of f(t)e itx dt. Veel (theoretisch) werk gaat zitten in het aangeven van het juiste kader voor dergelijke sommen van oneindig veel getallen resp. voor integralen over een oneindig lang interval. Limieten en convergentie zijn hier de fundamentele begrippen. Verder geven we een inleiding in de theorie van Distributies, o.a. de Dirac deltafunctie δ(x) waarvoor f(x)δ(x) dx = f(), de functies van Green en de Fouriertransformaties van distributies. Deze resultaten hebben veel toepassingen in de klassieke en quantumveldentheorie. De meer theoretische delen van dit diktaat zijn geschreven in de wiskunde-stijl met stellingen en bewijzen. Voor de natuurkundestudent die dit diktaat leest, is het belangrijk om de uitspraken in de stellingen te begrijpen en toe te passen. Bewijzen (meestal aangeduid met voor de liefhebber) zijn in dit diktaat opgenomen voor degenen die ook eens willen zien hoe wiskundigen redeneren om het juiste kader voor dergelijke sommen en integralen aan te geven. We zijn dankbaar J. Kolk en E. Belitser voor hun uitgebreide opmerkingen over sommige hoofdstukken van het diktaat. Yuri Kuznetsov Jan Stienstra

3 Reeksen. Complexe getallen Omdat complexe getallen van onmisbaar belang zijn voor een efficiënte beschrijving van Fourier theorie, geven we hier eerst een korte inleiding in complexe getallen. ( ) x Een complex getal is een vector z = in het vlak met de Cartesische y coordinaten x en y. y z r ϕ x ( ) x Voor een complex getal z = noemt men x het reële deel van z en y y het imaginaire deel van z; notatie x = Re z, y = Im z. De complex geconjugeerde van het complexe getal z = getal z := ( x y ) ( x y ) is het complexe dat het spiegel-beeld is van de vector ( z t.a.v. ) de horizontale as. De absolute x waarde van het complexe getal z = is zijn lengte y z := x 2 + y 2. Uit deze definitie volgt onmiddellijk ( ) dat z. Als r = z and ϕ de x hoek is die de vector z = met de horizontale as maakt, dan geldt y x = r cos ϕ, y = r sin ϕ

4 en dus z = ( r cos ϕ r sin ϕ ). De hoek ϕ heet het argument van het complexe getal z = ( x y ) ; notatie ϕ = Arg z. Het argument is gedefinieerd alleen voor de complexe getallen z Twee zulke complexe getallen ( ) ( ) r cos ϕ z = r2 cos ϕ en z r sin ϕ 2 = 2 r 2 sin ϕ 2 ( ). zijn gelijk dan en slechts dan als r = r 2 en ϕ = ϕ 2 + 2πk, waarin k Z een geheel getal is; k =, ±, ±2,.... De verzameling van alle reële getallen noteert men als R. De verzameling van alle complexe getallen noteert men als C. Optelling en vermenigvuldiging van complexe getallen wordt gedefinieerd door, resp. ( ) ( ) ( ) x x2 x + x + := 2 () y y 2 y + y 2 en ( ) ( ) ( ) x x2 x x := 2 y y 2. (2) y 2 x y 2 + x 2 y y Men kan nagaan dat hiervoor de gebruikelijke rekenregels gelden: voor alle complexe getallen z, z 2, z 3 geldt (z + z 2 ) + z 3 = z + (z 2 + z 3 ) z + z 2 = z 2 + z (z z 2 )z 3 = z (z 2 z 3 ) z z 2 = z 2 z z (z 2 + z 3 ) = z z 2 + z z 3 2

5 Omdat de optelling van complexe getallen () de gewone optelling van vectoren op het vlak met de parallelogramregel is, geldt dat (de driehoeksongelijkheid). z + z 2 z + z 2 z + z 2 z 2 z Reële getallen ziet men als bijzondere complexe getallen: namelijk die waarvan het imaginaire deel is: ( ) x x =. Voor die getallen geldt inderdaad ( ) ( ) ( x y x + y + = ) en ( x ) ( y ) = ( xy ). Verder hebben we + z = z, z =, z = z. Merk op dat de aftrekking van complexe getallen is gedefinieerd door z z 2 = z + ( )z 2. Het complexe getal met reëel deel en imaginair deel wordt kortweg genoteerd als i: ( ) i =. 3

6 Een bijzonder geval van de vermenigvuldigregel (2) is ( ) ( ) ( ) i 2 = = =. Een complex getal z kunnen we nu schrijven als ( ) ( ) ( ) ( x x y z = = + y ) = x + iy Omgekeerd kan men de vermenigvuldigregel (2) terugvinden door de bovengenoemde rekenregels te gebruiken in combinatie met i 2 =. Ieder complex getal z heeft een inverse t.a.v. de vermenigvuldiging: inderdaad, uit z volgt z en verder is zz = x 2 + y 2 = z 2 ; dus z z z 2 =, oftewel z = z z 2. Voor een reëel getal t definieert men het complexe getal e it door e it := cos t + i sin t. (3) e it t In het bijzonder is e i =, e iπ =, e i π 2 = i, e i 3π 2 = i. Verder laat definitie (3) meteen zien e it = e is er is een geheel getal k Z zodat s = t + 2πk. (4) 4

7 De complexe getallen die men met definitie (3) krijgt zijn precies de complexe getallen met absolute waarde ; inderdaad: e it = (cos t)2 + (sin t) 2 = ; als z = x + iy en z =, dan x 2 + y 2 = en dus is er een t R zo dat x = cos t, y = sin t. Voor reële getallen s, t is e is e it = e i(s+t). (5) Deze regel is equivalent met de bekende trigonometrische formules cos(s + t) = cos s cos t sin s sin t sin(s + t) = sin s cos t + cos s sin t. Uit (5) volgt dat (e it ) n = e int. Als r = z is and ϕ = Arg z, dan geldt ( ) r cos ϕ z = = r(cos ϕ + i sin ϕ) r sin ϕ ofwel z = re iϕ. De regel (5) impliceert ook dat voor twee complexe gelallen z = r e iϕ en z 2 = r 2 e iϕ 2 geldt z z 2 = r r 2 e i(ϕ +ϕ 2 ), zodat z z 2 = r r 2 = z z 2, Arg(z z 2 ) = ϕ + ϕ 2 = Arg z + Arg z 2. Uit de laatste formules volgt de eenvoudige meetkundige interpretatie van de vermenigvuldiging van complexe getallen. z z 2 r r 2 z 2 ϕ + ϕ 2 r 2 ϕ 2 r z ϕ 5

8 Voorbeeld. Wat is 3 als we als een complex getal beschouwen? Met andere woorden, wat zijn de oplossingen van de vergelijking z 3 = in C? Zoek oplossingen in de form z = e iϕ. Dan is de vergelijking equivalent met r 3 e 3iϕ = e i. Dit impliceert dat r = en 3ϕ = + 2πk met k =, ±, ±2,.... Dus ϕ k = 2πk, k =, ±, ±2,..., 3 waarvan alleen k =, en 2 tot verschillende complexe getalen leiden. Dus krijgen we ϕ =, ϕ = 2π 3, ϕ 2 = 4π 3, zodat er drie complexe oplossingen ontstaan: z = en z = e i 2π 3 = cos 2π 3 + i sin 2π 3 = 2 + i 3 2, z 2 = e i 4π 3 = e i 2π 3 = cos 2π 3 i sin 2π 3 = 2 i 3 2. z 2 z z 2 Merk op dat z 2 = z..2 Partiële sommen en convergentie Een rij complexe getallen is... een rij complexe getallen; precies wat je denkt bij het nederlandse woord rij. Vanwege de analogie met functies op R is het echter ook nuttig om zo n rij te zien als een functie op de discrete ruimte Z van alle gehele getallen. Ondanks de analogie zijn er wel verschillen 6

9 in notatie: bij een functie f : R C wordt de waarde in x genoteerd als f(x) en wordt de functie zelf vaak aangegeven als f; bij een rij a : Z C wordt de functiewaarde in n genoteerd als a n (i.p.v. a(n)) en gebruiken we om de rij als geheel aan te geven de notatie {a n } (i.p.v. a). De getallen a n noemt men de termen van de rij. Veel rijen {a n } die we in de praktijk tegenkomen hebben een begin. In de meer formele beschrijving kan men dat formuleren als: er is een geheel getal p zo dat a n = voor alle gehele getallen n < p. Als we dit begin expliciet in de notatie tot uitdrukking willen brengen schrijven we {a n } n p. Dus is de rij {a n } n een functie is op N, de verzameling van alle niet-negatieve gehele getallen. Definitie. Men zegt dat een rij complexe getallen {a n } n convergeert als er een complex getal u is zodat de rij reële getallen { a n u } n limiet heeft, dwz. bij iedere ε > is er een index N zodat voor alle n N geldt a n u < ε. Het getal u noemt men dan de limiet van de rij {a n } n ; notatie u = lim n a n of {a n } u. Een niet convergente rij heet divergent. Samengevat u = lim n a n {a n } u lim n a n u =. Opmerkingen. Omdat en a n u Re a n Re u + Im a n Im u Re a n Re u a n u, Im a n Im u a n u, is de convergentie van een rij complexe getallen equivalent met de convergentie van twee reële rijen (die van zijn reële en imaginaire delen). 7

10 Hieruit volgt dat voor twee complexe convergente rijen {a n } n en {b n } n met lim a n = a en lim b n = b n n geldt lim (a n + b n ) = a + b en lim a n b n = ab. n n Is bovendien b dan a n lim = a n b n b. 2. Als {a n } u dan convergeert iedere deelrij van {a n } naar u, bijvoorbeeld lim a 2k = lim a 2k+ = u. k k Omgekeerd, als de rijen van even en oneven termen convergeren naar hetzelfde getal u dan convergeert de rij naar u. Definitie.2 Een rij complexe getallen {a n } n heet begrensd als er een reëel getal R > is zodat voor alle n geldt a n R. Lemma.3 Als {a n } n convergeert, dan is deze rij begrensd. Bewijs: Er is een complex getal u zodat u = lim n a n. Dus bestaat er een index N zodat a n u < voor alle n N. (Neem ε = in Definitie.). a N u a R a 8

11 Dit betekent dat slechts eindig veel punten (Re a n, Im a n ), n =,, 2,..., N, buiten een cirkel van straal met het middelpunt (Re u, Im u) liggen. Dus is er een voldoend grote cirkel met het middelpunt (, ) die alle punten (Re a n, Im a n ) bevat. Men gebruikt het lemma vaak om te bewijzen dat een rij divergent is: Stel dat een rij niet begrensd is, dan kan hij niet convergent te zijn. In het Nederlands is er vaak maar weinig verschil in betekenis tussen de woorden rij en reeks. In de wiskunde is er wel een duidelijk verschil: wanneer we praten over een reeks, dan wordt daarmee meteen aangegeven dat we de intentie hebben om de getallen van de rij op te tellen. Laat {a n } n een rij complexe getallen zijn. De daarbij horende reeks wordt genoteerd als a + a + a 2 +, ook wel als n a n of, nog korter, als a n. Voordat we aan een reeks, dwz. aan zo n som van oneindig veel getallen, een getalwaarde kunnen toekennen, moeten we eerst convergentiekwesties onderzoeken. Definitie.4 Laat {a n } n een rij complexe getallen zijn. Voor k noemt men de eindige som A k = a + a a k de k de partiële som van de reeks. De reeks n a n heet convergent als lim k A k bestaat. Deze limiet noemen we dan de som van de reeks en we noteren hem als n= a n := lim k A k = lim k Een niet convergente reeks heet divergent. k a n. n= Definitie.5 Laat {a n } een rij complexe getallen zijn, waarbij niet wordt verlangd dat a n = is voor alle n <. Zonodig wordt dit nog in de notatie benadrukt door te schrijven {a n } n Z. Men zegt dan dat de reeks n Z a n convergeert als beide reeksen n a n en m a m convergeren in de zin van definitie.4. In dat geval definieert men de som van de reeks n Z a n door a n := a n + a m. n= n= 9 m=

12 Wanneer n a n of m a m niet convergeert zegt men dat de reeks n Z a n divergeert. Opmerking. In het bovenstaande hebben we het verschil tussen een reeks en zijn som tot uitdrukking gebracht in de notaties. Een reeks wordt genoteerd met n a n resp. n Z a n terwijl bij convergentie zijn som genoteerd wordt met n= a n resp. n= a n. We zullen deze notatieconventie niet altijd strikt handhaven en ook wel eens n a n of n Z a n schrijven voor de som van de reeks. Voorbeelden. Beschouw de meetkundige reeks n 2 n (hierin is a n = 2 n ). We beweren dat voor elke k de partiële som A k wordt gegeven door A k = 2 2 k. Om deze bewering te bewijzen, gebruiken we volledige induktie als volgt: Start van de induktie: Voor k = is de bewering juist, want A = a = 2 = = 2 2. Induktiestap: als A k = 2 2 k dan is A k+ = A k +2 k = 2 2 k +2 k = k +2 k = 2 2 k. Volgens het principe van volledige induktie mogen we nu concluderen dat de bewering A k = 2 2 k juist is voor elk geheel getal k. Er geldt derhalve dat lim k A k = lim k (2 2 k ) = 2, en dus is de reeks convergent met som 2 n = 2. n= 2. Beschouw nu algemener de meetkundige reeks n zn met z een vast complex getal. De partiële som A k (z) van deze reeks wordt gegeven door: A k (z) = + z + z z k.

13 Met de volgende truc krijgen we een eenvoudige formule om A k (z) voor z te berekenen: ( z)a k (z) = ( + z + + z k ) (z + z z k+ ) = z k+. Dus A k (z) = zk+ mits z. (6) z Hieraan zien we dat de meetkundige reeks convergeert dan en slechts dan als z is en lim k z k+ bestaat; dus, dan en slechts dan als z <. Als z < is, dan is lim A k(z) = lim k z k+ k z = z. Dus wordt de som van een convergente meetkundige reeks gegeven door: z n = mits z <. z n= Voor z is de meetkundige reeks divergent. 3. Als laatste voorbeeld beschouwen we de reeks n n(n+). Omdat =, zijn de partiële sommen van de reeks gemakkelijk te n(n+) n n+ berekenen: A k = k n= ( n ) n + = k +. = ( ) ( ) ( k ) k + We zien hieraan dat lim k A k = ; de reeks is derhalve convergent, en n(n + ) =. n= In de bovenstaande voorbeelden zien we dat de termen van convergente reeksen naar nul gaan. Dat geldt algemeen: Lemma.6 Als a n convergent is, dan is lim n a n =.

14 Bewijs: Veronderstel dat a n convergent is met som A. Dan is lim a n = lim (A n A n ) = A A =. n n Het lemma zegt dat een noodzakelijke voorwaarde voor convergentie van de reeks a n is dat de limiet lim n a n bestaat en gelijk is aan. Als de limiet lim n a n niet bestaat of wel bestaat, maar ongelijk is aan, dan is de reeks divergent. Voorbeelden van reeksen die om die reden divergent zijn, zijn n, ( ) n n, n +. n n We waarschuwen er hier voor dat lim n a n = beslist niet een voldoende voorwaarde is voor convergentie van de reeks a n. Voorbeeld. Neem bijvoorbeeld de zogeheten harmonische reeks: n dwz. a n = n voor n. Hiervoor is lim n a n =. Voor de partiële sommen A k = k n= n geldt echter n, n A 2 = + 2 > ) A 4 = + ( > = A 8 = + ( ) ( ) 8 etc. zodat voor m geldt > = + 3 2, A 2 m > + m 2. Dus is de rij {A k } niet begrensd, dus divergent. 2

15 We zeggen dat twee rijen {a n } n en {b n } n op den duur gelijk zijn als er een N N bestaat zo dat a n = b n voor alle n N. In dat geval geldt voor de partiële sommen A k resp. B k van de reeksen n a n resp. n b n, dat A k A N = B k B N als k N. Hieraan zien we dat lim k A k bestaat dan en slechts dan als lim k B k bestaat. Samenvattend: Stel dat op den duur geldt dat a n = b n. Dan convergeert de reeks n a n dan en slechts dan als n b n convergeert. In het bijzonder zien we voor willekeurige N dat een reeks n a n convergeert dan en slechts dan als de reeks n N a n convergeert; kortom het convergentiegedrag wordt alleen bepaald door de staart van de reeks. Uit de definitie van convergentie van een reeks leidt men op eenvoudige wijze de volgende rekenregel af: Lemma.7 Zijn n a n en n b n convergent en λ, µ C, dan convergeert ook n (λa n + µb n ) en er geldt: ( ) ( ) (λa n + µb n ) = λ a n + µ b n. n= n= n=.3 Cauchy-rijen en absolute convergentie In het voorbeeld onder Definitie.4 zagen we in dat de reeks 2 n convergeert door eerst de partiële som A k te berekenen. Bij andere reeksen is dit veelal onmogelijk. Toch zouden we ook dan graag kunnen besluiten of de reeks al dan niet convergeert. Veronderstel eerst dat de rij {A n } convergeert met limiet A. Dan bestaat er voor iedere ɛ > een getal N zo dat voor k N geldt: A k A < 2 ɛ. Voor alle m, n N geldt dan dat A m A n A m A + A A n < 2 ɛ + 2 ɛ = ɛ, Definitie.8 Een rij complexe getallen {A n } heet een Cauchy-rij als bij iedere ε > is er een index N zodat voor alle m, n N geldt A m A n < ε. We hebben dus het volgende lemma bewezen. 3

16 Lemma.9 Iedere convergente rij in C is een Cauchy-rij. Het is mogelijk de reële getallen op een zodanige wijze in te voeren dat de omgekeerde uitspraak bewezen kan worden: Iedere reële Cauchy-rij is convergent. Omdat de convergentie van een rij complexe getallen equivalent is met de convergentie van twee reële rijen (die van reële en imaginaire delen), geldt deze omgekeerde uitspraak ook voor rijen complexe getallen. Wij laten dat hier achterwege maar leggen de intuïtie dat R (en dus C) geen gaten heeft vast in een axioma. Axioma. (Volledigheid van C) Een rij complexe getallen {A n } convergeert dan en slechts dan deze rij een Cauchy-rij is. We weten al dat de harmonische reeks n n divergent is. Dit kunnen we nu op een andere manier bewijzen. partiële sommen A k = k n= n geldt Voor de A 2k A k = k+ k+2 2k k 2k 2k ( k termen) = 2 en dus is de rij {A n } geen Cauchy-rij. Wegens Axioma. is deze rij divergent. Definitie. Een rij reële getallen {B k } heet monotoon stijgend als B k+ B k voor alle k. De volledigheid van R impliceert de volgende belangrijke stelling over monotone rijen. Stelling.2 Zij {B k } k een monotoon stijgende rij reële getallen die bovendien naar boven begrensd is, dwz. er bestaat een R > zo dat B k R voor alle k. Dan is er een reëel getal B R met B = lim k B k. 4

17 Bewijs: (voor de liefhebber) Veronderstel dat {B k } k geen Cauchy-rij is. Dit betekent dat er een vast reëel getal ε > is zodat bij elke index N indices m, n N zijn, waarvoor B m B n ε. Omdat {B k } monotoon stijgend is, bestaat dan er bij elke index N een index M > N zodat B M B N ε ofwel B M B N + ε. en Dan zijn er indices M, M 2,..., M k,... zo dat < M < M 2 < < M k < B M B + ε, B M2 B M + ε B + 2ε, B M3 B M2 + ε B + 3ε, B Mk B + kε. Dit impliceert dat {B k } niet naar boven begrensd is, een tegenspraak. Dus is {B k } een Cauchy-rij, dus convergent. Gaan we nu naar de limiet k in B k R, dan krijgen we B R. Dit resultaat kunnen we gebruiken om de convergentie van sommige reeksen met positieve termen vast te stellen. Voorbeeld. We lichten dit toe aan de hand van de reeks n b n met b n = n2 n. Omdat b n 2 n, geldt voor de partiële sommen: B k. Omdat de termen van de reeks positief zijn, geldt ook dat B k B k+ voor alle k, zodat de rij {B k } k monotoon stijgend is. Uit Stelling.2 volgt de convergentie. Merk op dat we hierboven in feite het volgende resultaat afgeleid hebben. Gevolg.3 Zij n b n een reeks met reële niet-negatieve termen. Als de rij {B k } k van partiële sommen naar boven begrensd is door R, dan convergeert de reeks en geldt voor zijn som n= b n R. 5

18 Het belang van Cauchy-rijen komt verder ook tot uiting in de volgende stelling die we later veelvuldig zullen toepassen. Eerst geven we een definitie. Definitie.4 Een (complexe) reeks a n heet absoluut convergent als de reeks a n convergent is. Stelling.5 Iedere absoluut convergente reeks is convergent. absoluut convergeert, dan geldt: a n a n. n= n= Als a n Bewijs: Beschouw een (complexe) reeks a n en definieer b n = a n. Zij A k de k de partiële som van a n, en B k die van b n. Dan geldt voor alle q p dat A q A p = a p+ + a p a q b p+ + b p b q = B q B p. (7) Als a n absoluut convergent is, dan bestaat lim k B k per definitie. De rij {B k } is een Cauchy-rij. Uit de schatting (7) volgt nu dat ook de rij {A k } een Cauchy-rij is, dus convergeert. Voor alle m k geldt dat B k B m. Limiet overgang voor m geeft dat B k lim m B m. Door toepassing van de driehoeksongelijkheid voor eindige sommen volgt dat k n= a n B k lim m B m = a n. n= Het bewijs wordt voltooid door de limiet voor k te nemen. 6

19 Voorbeeld. Niet iedere convergente reeks is absoluut convergent. Zo is de alternerende reeks ( ) n+ = n n niet absoluut convergent (dan krijgen we de harmonische reeks), maar wel convergent. Dit laatste ziet men als volgt in. Zij A k weer de k de partiële som. Dan is de rij {A 2k } monotoon stijgend, dwz. A 2k A 2k+2. Voorts geldt voor alle k dat A 2k. Met behulp van Stelling.2 zien we nu dat lim k A 2k = L bestaat. Omdat A 2k+ A 2k =, volgt door 2k+ limietovergang dat lim k A 2k+ bestaat en gelijk is aan L. Derhalve is lim k A k = L. De alternerende reeks convergeert dus. Als een van de geavanceerdere toepassingen van het integraalkenmerk zullen we in paragraaf.5 zien dat L = ln 2 zodat ( ) n+ = ln 2. (8) n n= Merk op dat we hierboven in feite het volgende resultaat verkregen hebben. Stelling.6 Zij {b n } n een rij reële getallen waarvoor b n+ b n voor alle n en lim b n =. n Dan is de reeks ( ) n b n convergent. n= Onder een omschikking van een reeks n a n verstaan we een reeks m b m waarvan de termen gegeven worden door b m = a ϕ(m) met ϕ een bijectieve afbeelding N N. Stelling.7 Iedere omschikking m b m van een absoluut convergente complexe reeks n a n is ook weer absoluut convergent, terwijl b m = m= a n. n= 7

20 Bewijs: (voor de liefhebber) Zij ϕ : N N een bijectieve afbeelding zo dat b m = a ϕ(m) voor elke m N, en zij ϕ de inverse afbeelding. Voor N N en k > max{ϕ (),..., ϕ (N)} is dan {ϕ (),..., ϕ (N)} {,..., k}, dus {,..., N} {ϕ(),..., ϕ(k)}, en bijgevolg N k N k k a n b m = a n a ϕ(m) = a ϕ(m) n= Hieruit volgt a n n= m= n= k b m a n m= n= k m=,ϕ(m)>n a n. n>n n= m= a ϕ(m) m=,ϕ(m)>n N N k a n + a n b m 2 a n. n= m= n>n Omdat a n absoluut convergent is, is hier het rechterlid willekeurig klein te krijgen door N maar groot genoeg te nemen. Zo zien we dat de reeks b m convergeert en dat b m = a n. m= De reeks b m is een omschikking van de absoluut convergente reeks an. Volgens wat we inmiddels al hebben bewezen is de reeks b m dus ook convergent; m.a.w. de reeks b m is absoluut convergent. Zonder bewijs vermelden we hier nog dat tevens het volgende geldt: is an een reële reeks die convergent maar niet absoluut convergent is, dan kan men bij ieder reëel getal A een omschikking van de reeks a n vinden zo dat de nieuwe reeks A als som heeft. Zelfs kan men iedere niet-absoluut convergente complexe reeks tot een divergente reeks omschikken. Voorbeeld. Als illustratie beschouwen we de alternerende reeks (8), die convergent (naar ln 2) maar niet absoluut convergent is. We kunnen schrijven ( ( ) n+ = ) ( + n 2 3 ) ( k ) + 2k n= 8 n=

21 Defineer B m = m k= ( 2k ). 2k Dan convergeert de rij {B m } m naar ln 2. Introduceer nu een omschikking van de reeks (8), nl. ( 2 ) ( ) ( k 4k 2 ) + 4k en defineer Uit de gelijkheid volgt dan dat C m = m k= ( 2k 4k 2 ). 4k 2k 4k 2 4k = 4k 2 4k C m = 2 m k= ( 2k ) = 2k 2 B m. Dus convergeert ook de rij van de partiële sommen van de omschikking, maar lim C m = m 2 lim B m = m 2 ln 2 (!!!).4 Criteria voor convergentie De volgende stelling wordt in de praktijk vaak toegepast om de absolute convergentie van een reeks vast te stellen. Stelling.8 (Majorantie criterium). Zij a n een complexe reeks en t n een reeks met niet-negatieve reële termen (dwz. t n ). Veronderstel dat er een c > bestaat zo dat a n ct n voor alle n. Dan geldt tn convergent a n absoluut convergent a n convergent. (waarbij de laatste implicatie in feite Stelling.5 is.) 9

22 Bewijs: Defineer b n = ct n. Dan geldt a n b n voor alle n N. Uit de convergentie van t n volgt de convergentie van b n. Dus is de rij van de partiële sommen k B k = een Cauchy-rij, dwz. bij iedere ε > is er een index N zodat voor alle p, q N geldt B q B p < ε. Laat k A k = a n. Voor alle q p geldt dan n= n= A q A p = a p+ + a p a q b n b p+ + b p b q = B q B p < ε, waaruit volgt dat ook de rij {A k } een Cauchy-rij is, dus convergeert. M.a.w.: de reeks a n convergeert absoluut en door toepassing van Stelling.5 concluderen we uiteindelijk de convergentie. Opmerking. Omdat het convergentiegedrag alleen bepaald wordt door de staart van de reeks, is het voldoende dat op den duur a n ct n, dwz. voor alle n K waarin K > een geheel getal is. Voorbeeld. Beschouw de reeks n. 2 n= We hebben n 2 > (n )n > voor alle n 2. Dus Maar a n = n 2 < (n )n = t n, n 2. t n = n=2 n=2 (n )n = n(n + ) =. 2 n=

23 Dus is deze reeks convergent. Uit Stelling.8 en de opmerking daarna volgt dat de reeks a n = n 2 n=2 convergent is, dus convergeert ook n= n=2 n = + 2 n. 2 Later zullen we mbv. Fourierreeksen die som precies berekenen. Dan zal blijken dat n = π n= n=2 Het onderstaande resultaat is een direkt gevolg van Stelling.8 dat in de praktijk zo vaak voorkomt dat we het apart vermelden. Gevolg.9 (Limiet criterium). Zij a n een reeks met complexe termen en zij t n een reeks met positieve reële termen. Neem aan dat bestaat als reëel getal. Dan geldt: a n L = lim n t n Als t n convergeert, dan convergeert ook a n. Als L is en t n divergeert, dan divergeert ook a n. Let op: Op de tweede regel staat niet dat a n divergeert! Bewijs: Uit de definitie van limiet volgt dat op den duur geldt a n t n L + Dus a n ct n met c = L +. Bijgevolg: als t n convergeert, dan convergeert ook a n. 2

24 Als L is dan is op den duur a n >. Bovendien is dan lim n t n a n = L. Wanneer nu a n convergeert, dan convergeert ook t n. tn divergeert, dan moet ook a n divergeren. Wanneer dus Voorbeelden. Beschouw de reeks n voor z C \ Z. Uit z 2 n2 lim n z 2 n 2 n2 =, Gevolg.9 en de convergentie van n 2 volgt dat de gegeven reeks convergent is. 2. De reeks ( cos ) convergeert, omdat n n ( lim cos ) n 2 cos x = lim = n n x x 2 2 terwijl n 2 convergeert. 3. De reeks n sin divergeert, omdat sin >, dus sin = sin, n n n n voor elke n en omdat lim n sin n n = lim sin x x x = terwijl we al weten dat n n divergeert. 4. De voorwaarde L in de tweede bewering in Gevolg.9 is essentieel. n 2 Zo is bijvoorbeeld lim = lim n n n n =, terwijl de reeks n n divergeert en de reeks n n 2 convergeert. 22

25 Opmerking. In het vervolg zal het handig zijn om over de volgende notatie te beschikken. Laat {a n } n een complexe rij en {t n } n een rij reële getallen zijn. Veronderstel dat t n voor alle n. Met a n = O (t n ) (n ) (spreek uit: a n is grote oh van t n ) bedoelen we dan dat er een L < bestaat zodat a n lim = L. n t n Gevolg.9 laat zich nu herformuleren als: Als t n een convergente reeks van niet-negatieve reële termen is dan volgt uit a n = O (t n ) dat ook de reeks a n convergeert. Deze herformulering kunnen we gebruiken in combinatie met de formule van Taylor. Veronderstel dat f(x) = waarin R(x) = O ( x k), dwz. Neem nu aan dat k n= f (n) () x n + R(x), n! R(x) lim = L <. x x k a n = f ( ). n Als f (n) () = voor n k dan f(x) = O ( x k) waaruit volgt dat ( ) a n = O. n k Neem t n = n k. Als t n convergeert, dan convergeert de reeks a n absoluut. 23

26 Voorbeeld. We kunnen de convergentie van de reeks ( cos ) n n= gemakkelijk vaststellen. Inderdaad, f(x) = cos x = ( x2 2 + O ( x 4) ) = x2 2 + O ( x 4) = O ( x 2) (hier is k = 2, L = ). Dus geldt 2 Zij cos a n = cos ( ) ( ) = O n n 2 ( ), t n = n n. 2 Omdat de reeks t n convergeert, is de reeks a n ook (absoluut) convergent. We besluiten deze paragraaf met twee convergentiecriteria die berusten op majorantie met een meetkundige reeks. Stelling.2 (Wortelcriterium). Veronderstel dat voor de reeks a n n an = L <. lim n Als L <, dan is a n absoluut convergent. Als L >, dan is a n divergent. Bewijs: Stel eerst L < en kies een getal R met L < R < ; bijvoorbeeld R = ( + L). Hierbij bestaat een natuurlijk getal N zo dat voor n > N 2 geldt: n an < R. Dus is op den duur a n < R n. We weten al dat de meetkundige reeks R n convergeert (immers < R < ) en met behulp van het majorantiecriterium (Stelling.8) concluderen we nu dat a n absoluut convergeert. Als L >, dan is op den duur a n >. De termen van de reeks gaan nu niet naar : de reeks a n divergeert. 24

27 Stelling.2 (Quotiëntcriterium). Veronderstel dat voor de reeks a n de termen op den duur zijn en dat lim a n+ n a n = L <. Als L <, dan is a n absoluut convergent. Als L >, dan is a n divergent. Bewijs: Stel eerst L < en kies een getal R met L < R < ; bijvoorbeeld R = ( + L). Er is dan een N zo dat voor alle n N geldt: a n+ 2 a n < R. Dan is dus voor n > N: ( ) a n < R a n < R 2 a n 2 <... < R n N an a N = R n. De meetkundige reeks R n convergeert omdat < R < is. Met behulp van het majorantiecriterium concluderen we dat de reeks a n absoluut convergeert. Als L > dan is er een N zodat a n+ a n > voor n N. Dus an > a N voor n > N. De termen gaan niet naar nul. De reeks divergeert. R N Voorbeeld. Beschouw de reeks n n 3 2 n. Hier L = lim a n+ n a n = ( 2 lim + 3n + 3n + n ) = n <. De reeks convergeert. a Opmerking. Men kan bewijzen: als lim n+ n a n bestaat, dan bestaat ook lim n n a n terwijl de limieten aan elkaar gelijk zijn; men zou dus kunnen volstaan met het berekenen van lim n n a n. In de praktijk blijkt het echter handig te zijn de Stellingen.2 en.2 naast elkaar te gebruiken. 25

28 Voorbeeld. Als illustratie beschouwen we de reeks z n n!. n Hier is n a n = n n! z, terwijl a n+ a n = z. Via de laatste gelijkheid valt n+ dus het gemakkelijkst in te zien dat de genoemde reeks convergeert voor alle z C. Opmerkingen a. Als lim n+ n a n =, dan helpt het bovenstaande criterium ons niet: de harmonische reeks divergeert, de reeks convergeert. n n 2 2. We beschouwen de reeks z n, (z C). Schrijven we a n 2 n = zn n 2 lim a n+ n a n = z dan is en we zien dat de gegeven reeks absoluut convergeert voor z <, en divergeert voor z >. Voor z = geeft het quotiënt criterium geen uitsluitsel! In het onderhavige geval geldt voor z = dat a n = n 2 zodat we met behulp van het majorantiecriterium toch kunnen beslissen dat de reeks convergeert..5 Het integraalkenmerk We beschouwen een functie f : [, ) R die continu en monotoon dalend is en alleen positieve waarden aanneemt. We gaan convergentiekwesties voor de reeks n f(n) en voor de integraal n+ f(x)dx met elkaar vergelijken. Omdat f monotoon dalend is geldt voor elke n N: f(n) f(x) f(n + ) als n x n +. Hieruit volgt dus f(n) n+ f(n) f(n + ) f(n) n f(x)dx f(n + ); n+ n f(x)dx. 26

29 y y = f(x) f() f(2) T k f(3) f(k) f(k + ) 2 3 k k + x Dit laat zien dat, wanneer we definiëren T k := k f(n) n= k+ f(x)dx, dan is de rij {T k } k monotoon stijgend en van boven begrensd door f(). Volgens Stelling.2 is deze rij dus convergent. Aldus is bewezen: Lemma.22 Als f : [, ) R een continue, monotoon dalende, positieve functie is, dan bestaat de limiet [ k ] k+ T = lim f(n) f(x)dx. k n= Een direkt gevolg van dit lemma is: Stelling.23 (Integraalkenmerk). Laat f : [, ) R een positieve, continue en monotoon dalende functie zijn. Dan convergeert de reeks f(n) n 27

30 dan en slechts dan als bestaat (als reëel getal). n+ lim f(x)dx n Voorbeeld. De reeks n convergeert als s > en divergeert als s. Dit kunnen we als volgt inzien: De rij { n+ dx x = [(n + s ) s ] als s s ln(n + ) als s = convergeert voor reële s > en divergeert voor s als n. Voor s is x s een monotoon dalende functie. Met behulp van het integraalkenmerk concluderen we dat de reeks n s convergeert als s > en divergeert als s. Uiteraard divergeert de reeks n s ook voor s <, gewoon omdat de termen niet naar nul gaan (er geldt dan zelfs lim n n s = ). Het integraalkenmerk is voor s < niet bruikbaar omdat dan de functie x s niet monotoon dalend is. n s Voor s = staat hierboven de harmonische reeks n n en we wisten al dat die divergeert, maar nu zien we bovendien met welke snelheid de reeks divergeert; immers uit Lemma.22 volgt dat ( n ) ln(n + ) lim n bestaat. Omdat lim n (ln(n + ) ln n) = lim n ln ( + n) =, bestaat dus ook ( n ) ln n. lim n Men noemt dit getal γ = lim ( n ) ln n =, (9) n 28

31 de constante van Euler. In het voorbeeld na Stelling.5 zagen we dat de alternerende reeks ( ) n+ n wel convergent is. Met behulp van het bovenstaande kunnen n we nu zijn som berekenen. Die is immers de limiet van 2k ( ) n+ = n k 2k = ( = ) ( 2 2k ) = 2k ( = ) ln 2k ( + 2 2k k ) ln k + ln 2. n= De laatste uitdrukking heeft voor k als limiet γ γ + ln 2 = ln 2. We zien ( ) n+ = ln 2. n n= Voorbeeld. Voor R > 2 is R We zien dat de rij 2 dx x(ln x) s = { s R) s (ln 2) s ] als s ln ln R ln ln 2 als s = n+ 2 dx x(ln x) s convergeert voor s > en divergeert voor s. De afgeleide van de integrand is s+ln x. Hieraan zien we dat de integrand op het interval x 2 (ln x) s+ {x R x > max(, e s )} een monotoon dalende functie is. Toepassing van het integraalkenmerk leert ons derhalve dat de reeks n 2 n(ln n) s convergeert voor s > en divergeert voor s. 29

32 .6 Opgaven. Bereken i, dwz. vind alle complexe getallen z waarvoor z 2 = i. Schrijf de antwoorden in de vorm re iϕ en in de vorm x + iy. 2. Bereken de limieten als n van de volgende rijen: (a) a n = ln(n + ) ln n (b) a n = n + n 3. Bereken de limiet als n van de rij a n = ein 2 n. 4. Ga na of de volgende reeksen convergent zijn: (a) n (b) n 2 2 n n! ; ; (ln n) n (c) n sin n 2 ; (d) n cos n 2 ; (e) n ( cos n ); (f) n n+ ln. n n 5. Ga na of de volgende reeksen convergent of divergent zijn: (a) n (b) n n(n 2 ) n n+ (c) n sin n (d) n ( n sin n ) (e) n sin n n Idem voor de reeksen: (a) n ln( + n ) (b) n (en 2 ) 3

33 (c) n ne n (d) n nn 2 n (e) n e n (f) n 2 n+ln n 7. Idem voor de reeksen: (a) n ( n n+ )n2 (b) n (c) n (d) n (e) n (f) n (ln n) 3 (ln 3) n (n!) 2 (2n)! 2 n +3 n 3 n +4 n n n e n n! n n sin π 3n 8. Bepaal de som van de reeks n 2 ln ( n ) Waar liggen in het complexe vlak alle getallen z waarvoor e n(z 2 +) convergeert?. Voor welke reële x zijn de volgende reeksen convergent? (a) n (b) n (c) n x n x 2 +n 2 ; sin(x n ) n 2 + ; 2+sin nx n (a) Toon aan dat: ( ) n n= n 2 = 2 n= n 2. 3

34 Aanwijzing: Zoek een verband tussen de partiële sommen van beide reeksen. (b) Toon aan dat: n= (2n + ) 2 = 3 4 n= n Voor welke reële a zijn de volgende reeksen convergent? (a) n (b) n 2 ln n; n a. n a ln n 3. Ga voor de volgende reeksen na of ze convergent of divergent zijn. Motiveer uw antwoorden. (a) n 2 (b) n 2 (c) n 2 n ln n n ln n ln ln n. n ln n(ln ln n) 2 4. Bepaal voor alle reële getallen x of de reeks n x + n 2x n convergent of divergent is. Hint: onderscheid de gevallen x =, x < en x > en vergelijk met een bekende reeks. 5. Definieer de reeks n a n door: als n = 3m 2 4m 3 a n = als n = 3m 4m als n = 3m 2m Dus a n = n Bereken n a n en vergelijk het resultaat met = ln

35 2 Fourierreeksen en periodieke functies In dit hoofdstuk bekijken we het verband tussen periodieke functies en Fourierreeksen. Daarbij kan de theorie het meest elegant en efficiënt worden gepresenteerd als we systematisch gebruik maken van functies van een reële variabele die complexe getallen als functiewaarden aannemen. Om die reden hebben we in paragraaf 2. een aantal zaken over dergelijke functies bij elkaar gezet. 2. Functies R C We bespreken kort de theorie van het differentiëren en integreren van functies f : R C. Door de functiewaarden te splitsen in reëel en imaginair deel splitst ook de functie f in een reëel deel Re f en een imaginair deel Im f: f : R C, Re f : R R, Im f : R R, (Re f)(t) := Re (f(t)), (Im f)(t) := Im (f(t)) voor alle t R, f = Re f + iim f, f(t) = Re f(t) + iim f(t). Definitie 2. De functie f : R C heet continu als Re f en Im f beide continue reëelwaardige functies zijn. Deze definitie is in overeensteming met de wat abstractere definitie: De functie f : R C heet continu in t R als er bij iedere ɛ > een δ > is zodat voor alle h met h < δ geldt f(t + h) f(t) < ɛ. Inderdaad, geldt voor ieder tweetal complexe getallen z = x+iy en w = u+iv, met x, y, u, v R dat Dus x u z w, y v z w en z w x u + y v. f(t + h) f(t) Re f(t + h) Re f(t) + Im f(t + h) Im f(t) 33

36 en Re f(t + h) Re f(t) f(t + h) f(t), Im f(t + h) Im f(t) f(t + h) f(t). Dus is f : R C continu volgens de abstracte definitie dan en slechts dan als Re f en Im f beide continue functies zijn. Definitie 2.2 Een functie f : R C heet differentieerbaar als Re f en Im f beide differentieerbare reëelwaardige functies zijn. In dat geval definiëren we f (t) := (Re f) (t) + i (Im f) (t) en noemen dit de afgeleide van f in t R. Als functie f : R C differentieerbaar is in het punt t R dan bestaat de limiet f(t + h) f(t) lim h h en is die gelijk aan f (t). Opgave: Ga dat na. Voorbeeld. Voor een complex getal λ = α + iβ (α, β R, i 2 = ) definiëren we de functie e λt : R C door e λt := e αt cos(βt) + i e αt sin(βt) voor t R. De functie e λt is differentieerbaar omdat de functies e αt cos(βt) en e αt sin(βt) differentieerbaar zijn, en er geldt d dt eλt = [αe αt cos(βt) βe αt sin(βt)] + i [αe αt sin(βt) + βe αt cos(βt)] = (α + iβ)(e αt cos(βt) + i e αt sin(βt)) kortom d dt eλt = λe λt Alle gebruikelijke rekenregels voor het differentiëren gelden ook voor functies R C; we noemen met name de produktregel (f g) (t) = f (t) g(t) + f(t) g (t); 34

37 het is een goede oefening om deze produktregel voor complex-waardige functies af te leiden uit de produktregel voor reëel-waardige functies en de vermenigvuldigregels voor complexe getallen. Definitie 2.3 Voor een continue functie f : R C en voor a, b R, definiëren we b f(t)dt := b (Re f)(t)dt + i b a a a (Im f)(t)dt. Volgens de bekende theorie voor het differentiëren en integreren van reëelwaardige functies, is voor een continue functie k : R R b a k(t)dt = K(b) K(a) waarbij K : R R een differentieerbare functie is met afgeleide K = k. Door dit toe te passen op de functies Re f en Im f ziet men dat ook voor een complex-waardige continue functie f : R C geldt b a f(t)dt = F (b) F (a) met een differentieerbare functie F : R C zo dat F (t) = f(t). Voorbeeld. Als λ is, dan is b a e λt dt = λ (eλb e λa ). Uit het voorgaande volgt dat de gebruikelijke formules voor partiëel integreren ook gelden voor functies f, g : R C; er geldt namelijk: Als G : R C een continu-differentieerbare functie is zo dat G = g en als f continu-differentieerbaar is, dan is: inderdaad b a f(t)g(t)dt = f(b)g(b) f(a)g(a) f(b)g(b) f(a)g(a) = b a (f G) (t)dt = 35 b a b a f (t)g(t)dt; (f (t)g(t) + f(t)g (t))dt

38 Tenslotte, vermelden we dat de gebruikelijke schatting voor a b b b f(t) dt f(t) dt a ook geldt voor een continue complex-waardige functie f : R C. 2.2 Periodieke functies uit Fourierreeksen Fourierreeksen zijn reeksen van de vorm c n e inx. () n Z Daarbij is x een reële variabele en is {c n } n Z een rij complexe getallen. Een aantal voorbeelden zijn bij elkaar gezet in paragraaf 2.4. Het is verstandig om bij het bestuderen van de theorie deze paragraaf met voorbeelden regelmatig te raadplegen. Voor vaste x R is n Z c ne inx een reeks van complexe getallen. Wanneer deze reeks convergeert in de zin van Definitie.5 heeft deze reeks een som C(x) := c n e inx. a n= Dit is een complex getal, dat in het algemeen afhangt van x. De kwestie voor welke reële getallen x de Fourierreeks n Z c ne inx convergeert is in het algemeen heel subtiel. Als echter gegeven is dat de reeks n Z c n convergeert (in de zin van Definitie.5) dan convergeert de Fourierreeks n Z c ne inx voor elke x R; immers c n e inx = c n (want e inx = ) en absolute convergentie impliceert convergentie (zie Stelling.5). Stelling 2.4 Zij {c n } n Z een rij complexe getallen, zo dat de reeks c n n Z absoluut convergeert. Dan is de reeks c n e inx voor elke x R (absoluut) n Z 36

39 convergent. We krijgen een functie C : R C door te definiëren C(x) := c n e inx voor x R. n= Deze functie C is continu en periodiek met periode 2π dwz.: C(x + 2π) = C(x) voor alle x R. Bewijs: (voor de liefhebber). Voor alle n Z en x R geldt c n e inx = c n. De veronderstelde absolute convergentie van n Z c n impliceert dus de (absolute) convergentie van n Z c ne inx voor elke x R. Daarmee is de functie C : R C dus gedefinieerd. Om de continuïteit van de functie C te bewijzen moeten we laten zien: voor elke x R en elke ɛ > is er een δ > zodat als h < δ dan C(x + h) C(x) < ɛ. Laat dus x R en ɛ > gegeven zijn. Vanwege de absolute convergentie van de reeks n Z c n is er een geheel getal N > zodat c n < ɛ en c n < ɛ 5 5 Dan is voor elke h: C(x + h) C(x) n>n n< N N c n e inx (e inh ) + c n e in(x+h) + n= N n>n + c n e in(x+h) + c n e inx + c n e inx n< N n>n n< N N c n e inx (e inh ) ɛ. n= N Bij N n= N c ne inx (e inh ) gaat het om een eindige som van continue functies en in het bijzonder is lim N h n= N c n e inx (e inh ) =. 37

40 Bij g is er een δ > zodat voor elke h met h < δ geldt N c n e inx (e inh ) < ɛ 5. n= N Alles bij elkaar blijkt dat voor elke h met h < δ geldt C(x+h) C(x) < ɛ. Hiermee is de continuïteit van de functie C bewezen. De 2π-periodiciteit van de functie C volgt uit e in(x+2π) = e inx e 2πin = e inx voor alle n Z, x R. Voorbeelden. Een Fourierreeks hoeft niet per se oneindig veel termen (ongelijk nul) te hebben. Hier zijn drie volkomen legitieme voorbeelden: 2. De Fourierreeks e ix = 2 e ix + 2 eix = cos x 2i e ix + 2i eix = sin x. k= e (2k+)ix (2k + ) 2 definieert een 2π-periodieke functie. In Paragraaf 2.4 zullen we zien dat voor π x π de functiewaarde gelijk is aan π2 4 π 2 x. Zonder bewijs vermelden we hier een stelling, die zegt dat, onder geschikte voorwaarden, een Fourierreeks een differentieerbare functie geeft en dat de afgeleide kan worden berekend door in de Fourierreeks elke term te differentiëren naar x. 38

41 Stelling 2.5 Zij {c n } n Z een rij complexe getallen, zo dat de reeks n Z nc n absoluut convergeert. Dan convergeren de reeksen n Z voor elke x R. De functie C : R C, gegeven door C(x) := n= c n e inx voor x R, c n e inx en n Z is dan differentieerbaar en z n afgeleide C wordt gegeven door C (x) = n= in c n e inx voor x R. nc n e inx De volgende stelling geeft een handige formule () waarmee de Fouriercoëfficiënten kunnen worden teruggevonden uit de 2π-periodieke functie. Zo n formule noemt men een Fourierinversie formule. Stelling 2.6 Zij {c n } n Z een rij complexe getallen, zo dat de reeks n Z c n absoluut convergeert. Zij C : R C de functie gegeven door C(x) := n= c n e inx voor x R. Dan is voor elke k Z π C(x)e ikx dx = c k. () 2π π Bewijsschets: De onderstaande berekening geeft een indicatie dat de formule () klopt. 2π C(x)e ikx = 2π e ikx n= c n e inx = 2π n= c n e i(n k)x. Als we de reeks termsgewijs kunnen integreren, dan moet gelden π C(x)e ikx dx = 2π π n= 39 c π n e i(n k)x dx. (2) 2π π

42 Merk nu op dat voor n k geldt 2π π π e i(n k)x dx = 2πi(n k) [ei(n k)π e i(n k)π ] = (3) en dat voor n = k π e i(n k)x dx = π dx =. (4) 2π π 2π π Dus blijft in het rechter deel van (2) slechts één term: c k. Bewijs: (voor de liefhebber). Laat k Z gegeven zijn. We bewijzen dat voor ieder positief reëel getal ɛ geldt c k π C(x)e ikx dx 2π < ɛ. π Door vervolgens de limiet te nemen voor ɛ vinden we formule (). Neem ɛ >. Dan kunnen we, vanwege de absolute convergentie van de reeks n Z c n, een N > k nemen zodat n=n+ Voor elke x R is dan en dus n= c n < ɛ 2 n=n+ en c n e i(n k)x < ɛ 2 c n e i(n k)x N n= N Daaruit volgt π N C(x)e ikx dx 2π π π c n e i(n k)x 2π π n= n= N N n= en c n < ɛ 2. N n= c n e i(n k)x < ɛ. c π n 2π π N n= N e i(n k)x dx c n e i(n k)x dx < ɛ. c n e i(n k)x < ɛ 2 (5) 4

43 Nu maken we gebruik van (3) en (4). Uit de formule (5) blijkt dan π C(x)e ikx dx c k < ɛ, 2π zoals gewenst. π Stelling 2.7 Zij {c n } n Z een rij complexe getallen, zo dat de reeks n Z c n absoluut convergeert. Zij C : R C de functie gegeven door C(x) = n= c n e inx voor x R. Dan π C(x) 2 dx = 2π π n= c n 2. (6) Bewijsschets: De onderstaande rekenpartij geeft slechts een indicatie van het bewijs. Voor een wiskundig volledig verantwoord bewijs zou men elke oneindige som n= moeten benaderen met een eindige som N n= N en zou men zorgvuldig moeten nagaan hoe groot de fout is in die benadering. n= c n 2 = = = n= n= n= π = 2π = 2π = 2π c n c n ( π c n 2π π ( π c n 2π π π π π π C(x) π ( C(x) e inx dx ) C(x) e inx dx n= C(x) C(x) dx C(x) 2 dx. 4 c n e inx ) ) dx

44 2.3 Fourierreeksen bij 2π-periodieke functies Definitie 2.8 Zij g : R C een functie. Dan g(x + ) := lim t x g(t) en g(x ) := lim t x g(t). Definitie 2.9 Men zegt dat een functie f : [p, q] R, die is gedefinieerd op een gesloten interval [p, q], stuksgewijs continu (engels: piecewise continuous) is, als er in het interval eindig veel punten t,..., t n zijn zo dat p < t < t 2 <... < t n < t n < q en zo dat is voldaan aan de volgende voorwaarden f is een continue functie op de open intervallen (p, t ), (t n, q) en (t j, t j ) voor j = 2,..., n; de limieten f(p + ), f(q ) en f(t ± j ) voor j =, 2,..., n bestaan (als reële getallen). t = p t t 2 tn q = t n+ t Opmerking. We eisen niet dat f(t + j ) = f(t j) of f(t j ) = f(t j) of f(t + j ) = f(t j ). In het punt t j mag f sprongen maken; de bovenstaande figuur laat zien wat daarbij zoal mogelijk is. Men noemt deze punten t,..., t n de uitzonderingspunten of discontinuïteitspunten. Overigens hoeft f in zo n discontinuïteitspunt niet per se een sprong te maken, f mag er ook continu verlopen. Als we spreken over de discontinuïteitspunten t,..., t n van de 42

45 functie f dan geven we daarmee dus niet zo zeer aan dat f in die punten niet continu is, als wel dat f overal elders wel continu is. Een stuksgewijs continue functie f op een gesloten interval [p, q] mag slechts eindig veel uitzonderingspunten hebben. Definitie 2. Men zegt dat een functie f : [p, q] C op een gesloten interval [p, q] R stuksgewijs continu is als beide functies Re f, Im f : [p, q] R stuksgewijs continu zijn. Zij nu f een stuksgewijs continue functie als in Definitie 2.. Voor de eenvoud in de formulering schrijven we t = p en t n+ = q. Voor j =,,..., n definiëren we een functie f j op het gesloten interval [t j, t j+ ] door f j (t) = f(t) voor t j < t < t j+ f j (t j ) = f(t + j ) f j (t j+ ) = f(t j+ ) Dan is f j een continue functie op het gesloten interval [t j, t j+ ] en de integraal tj+ t j f j (t)dt (die we volgens de Definitie 2.3 berekenen) bestaat. We definiëren nu q p f(t)dt := n j= tj+ t j f j (t)dt. (7) Echter, bij nader inzien blijken de waarden van f in zijn discontinuïteitspunten totaal geen invloed te hebben op de waarde van de integraal (7). Definitie 2. Men zegt dat een functie f : [p, q] R, die is gedefinieerd op een gesloten interval [p, q], stuksgewijs continu-differentieerbaar (engels: piecewise continuously-differentiable) is, als er in het interval eindig veel punten t,..., t n zijn zo dat p < t < t 2 <... < t n < t n < q en zo dat is voldaan aan de volgende voorwaarden op de open intervallen (p, t ), (t n, q) en (t i, t i ) voor i = 2,..., n is f een differentieerbare functie en is de afgeleide functie f continu 43

46 de limieten f(p + ), f (p + ), f(q ), f (q ) en f(t ± i ), f (t ± i ), voor i =,..., n bestaan (als reële getallen). De punten t,..., t n zullen we steeds de uitzonderingspunten noemen. t = p t t 2 tn q = t n+ t Merk op dat iedere stuksgewijs continu-differentieerbare functie f is stuksgewijs continu. Als f een stuksgewijs continu-differentieerbare functie is, dan is volgens de voorgaande definitie de waarde van f (t) wel gedefinieerd voor elk punt t in een van de open intervallen (p, t ), (t n, q) of (t i, t i ) voor i = 2,..., n er staat immers als voorwaarde dat de afgeleide functie f bestaat op elk van die open intervallen maar er wordt geen enkele poging gedaan om de waarden van de afgeleide functie f in p, q of in de uitzonderingspunten t, t 2... te definiëren. Op dezelfde manier kan men stuksgewijs r-keer continu-differentieerbare functies definiëren. Definitie 2.2 Men zegt dat een functie f : [p, q] C op een gesloten interval [p, q] R stuksgewijs (r-keer) continu differentieerbaar is als beide functies Re f, Im f : [p, q] R stuksgewijs (r-keer) continu differentieerbaar zijn. Definitie 2.3 Een periodieke functie met periode 2π of korter gezegd een 2π-periodieke functie is een functie f : R C die voldoet aan f(t + 2π) = f(t) voor alle t R. (8) 44

47 Definitie 2.4 Voor een stuksgewijs continue 2π-periodieke functie f : R C definiëren we de rij van zijn Fouriercoëfficiënten { f n } n Z door: f n := 2π π π f(t)e int dt. (9) Met deze rij van Fouriercoëfficiënten kunnen we vervolgens de Fourierreeks f n e inx n Z vormen. Deze reeks noemen we de Fourierreeks van f. Natuurlijke vragen zijn nu: a. Convergeert de Fourierreeks n Z f n e inx voor elke x R? b. Zo ja, is dan f(x) gelijk aan n= f n e inx voor elke x R? De hierna volgende Stellingen 2.6 en 2.7 geven een genuanceerd antwoord op deze vragen. Als de eerste stap naartoe, geven we het volgende lemma. Lemma 2.5 (Riemann-Lebesgue) Zij f : R C een stuksgewijs continue 2π-periodieke functie. Dan is lim f n =. n ± Bewijs: (voor de liefhebber). Het is voldoende het lemma alleen voor reëelwaardige functies te bewijzen. Inderdaad, geldt voor iedere stuksgewijs continue en 2π-periodieke functie f : R C dat π π f(t)e int dt = π π (Re f)(t)e int dt + i π π (Im f)(t)e int dt, waarin (Re f) en (Im f) reëel-waardige stuksgewijs-continue en 2π-periodieke functies zijn. In de rest van het bewijs zullen we dus annemen dat f : R R. 45

48 Neem ɛ > en defineër een stuksgewijs constante functie ϕ : [ π, π] R zo dat ϕ(t) = f(t + j ) voor t [t j, t j+ ) en ϕ(t M+ ) = ϕ(t ). Hierin zijn π = t, t, t 2,..., t M, t M+ = π de discontinuïteitspunten van ϕ. Als M voldoende groot is en alle t j+ t j klein genoeg zijn, dan π (zie figuur). π f(t) ϕ(t) dt < ɛ 2 f(t) ϕ(t) ϕ j π t t j t j+ t M π t Dan is π π e int f(t)dt π π e int (f(t) ϕ(t))dt + e int ϕ(t)dt π π π π f(t) ϕ(t) dt + e int ϕ(t)dt π π < ɛ π 2 + e int ϕ(t)dt. (2) π 46

49 Definiëer verder ω j = ϕ(t j ) ϕ(t j ) voor j =,..., M. Dan is voor n > : π [ e ist ϕ(t)dt = ϕ(π)e iπn in π ] M ω j e int j ϕ( π)e iπn C n j= met We zien dat als we n > 2C ɛ M C = ω j. j= nemen, dan is π e int ϕ(t)dt < ɛ 2. (2) π Door (2) en (2) te combineren zien we dat π e int f(t)dt < ɛ voor alle n > 2C ɛ. π Omdat ɛ > willekeurig is, is hiermee bewezen lim n fn =. Op precies dezelfde manier bewijst men lim n fn =. Opmerking. Het Riemann-Lebesgue Lemma impliceert dat voor een stuksgewijs continue 2π-periodieke functie f : R R geldt π lim n π π f(x) cos(nx) dx = lim f(x) sin(nx) dx =. n π Stelling 2.6 Zij f een stuksgewijs continu differentieerbare 2π-periodieke functie. Dan bestaat voor elke x R de limiet [ N ] f n e inx lim N n= N 47

50 en geldt de Fourierinversie formule: [ f(x ) + f(x + ) ] [ N = lim 2 N n= N f n e inx ]. (22) Als de reeks n Z f n e inx convergeert en f continu is in het punt x, dan neemt formule (22) de volgende aantrekkelijke gedaante aan f(x) = n= f n e inx. (23) [ N Opmerking. Het bestaan van de limiet lim f ] N n= N n e inx is niet een voldoende reden voor de convergentie van de reeks n Z f n e inx! Men mag dan ook niet zonder meer n= f n e inx schrijven in plaats van lim N [ N N f n e inx ]. Om toch een kompakte notatie te hebben voor deze limiet (als hij bestaat) schrijven sommige auteurs [ N ] fn e inx := lim f n e inx N n= n= N (24) en noemen dit dan de hoofdwaarde van de Fourierreeks. Wanneer we (om andere redenen) weten dat de reeks f n Z n e inx convergeert, dan is natuurlijk wel n= f n e inx = lim N [ N n= N f n e inx ] Bewijs: (voor de liefhebber) Laat x R gegeven zijn. Definieer daarbij een nieuwe 2π-periodieke functie ϕ: ϕ() :=, ϕ(t) := f(t + x) A Bv(t) voor π < t π (25). met A = 2 [ f(x ) + f(x + ) ], B = 2 [ f(x + ) f(x ) ] 48